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1 Hinweise zur Klausur Schließende Statistik / Statistik 2 - Die Klausur besteht aus zwei Teilen. Die Aufgaben aus Teil 1 sind mit dem Statistiklabor am PC zu lösen, die Aufgaben aus Teil 2 sind klassisch auf dem Papier zu lösen. Die Klausurzeit kann frei eingeteilt werden. Es wird jedoch empfohlen, die Aufgaben aus Teil 1 zuerst zu lösen. - Im Statistiklabor muss zur Lösung der Aufgaben aus Teil 1 die User-Bibliothek statistik2.r in der Version 1.1 oder höher geladen sein. Es liegt in der Verantwortung der Klausurteilnehmer(innen), die Bibliothek zu laden. - Alle Aufgaben aus Teil 1 sollten in einem Ordner auf dem Desktop gespeichert werden, der nach folgender Konvention benannt ist: Matrikelnummer_Nachname - Beginnen Sie bei den Laboraufgaben jeweils mit einem leeren Laborszenario. Wählen Sie beim Speichern folgendes Benennungsschema: Matrikelnummer_Aufgabennummer - Denken Sie daran, Ihre Laboraufgaben regelmäßig am besten jeweils nach Lösung einer Teilaufgabe zu speichern. - Öffnen Sie nicht zu viele Laborszenarien gleichzeitig (Richtwert: nicht mehr als drei)! Sonst wird der PC zu langsam. - Bei Problemen mit dem Labor (Fehlermeldungen o.ä.) verständigen Sie durch Handzeichen die Aufsicht. Klicken Sie Fehlermeldungen in keinem Fall eigenmächtig weg! - Während der Klausur darf nicht aufs Internet/Intranet zugegriffen werden. Bei Laptops müssen alle ggf. vorhandenen drahtlosen Kommunikationsmodule (z.b. WLAN) unbedingt deaktiviert werden. Fragen Sie ggf. die Aufsicht. Verstöße gegen diese Regel werden als Täuschungsversuch gewertet! - Zur Abgabe der Lösungen aus Teil 1 wird das Tool CeDiS Klausurabgabe in der Version 1.1 oder neuer benötigt. Wenn Sie den Text Ja, ich möchte die oben angegebenen Aufgaben abgeben bestätigt und auf Aufgaben abgeben geklickt haben, erfolgt die verbindliche Abgabe Ihrer Lösungen aus Teil 1. Bitte prüfen Sie alle Aufgaben vor der Abgabe gründlich! Sollten Sie versehentlich eine falsche Datei abgegeben haben, so melden Sie dies sofort der Aufsicht, damit die Datei unmittelbar ersetzt werden kann. Nach Verlassen des Prüfungsraums können entsprechende Änderungswünsche nicht mehr berücksichtigt werden! Aufgabe Σ mögliche Punkte erreichte Punkte Schließende Statistik / Statistik 2 2 Version A

2 Klausur Schließende Statistik / Statistik 2 Version A Teil 1: Labor-Aufgaben Lösen Sie die Aufgaben in diesem Teil mit dem Statistiklabor am PC. Auf dem Aufgabenblatt notierte Lösungen werden für diesen Teil nicht gewertet! Achten Sie darauf, dass der Lösungsweg nachvollziehbar ist. Verwenden Sie pro Aufgabe nur einen R-Kalkulator und einen Texteditor, damit die Lösungen übersichtlich bleiben. Aufgabe 1: (20 Punkte) Ein Dienstleistungsunternehmen unterhält ein Inbound-Callcenter, in dem Callcenter-Agenten im Auftrag der Kunden Anrufe entgegennehmen. a) Importieren Sie den Datensatz AnrufeQ1 07.xls in ein Datensatzobjekt. Der Datensatz [1] enthält die Anzahl der Anrufe für vier Kunden (Variablen: Kunde1, Kunde2, Kunde3, Kunde4), die jeweils von Montag bis Freitag (Variable: Wochentag) im ersten Quartal des Jahres 2007 im Callcenter angenommen wurden. b) Im Folgenden interessieren Sie sich ausschließlich für den 4. Kunden (Variable: Kunde4). Erstellen [2] Sie einen QQ-Plot, um zu prüfen, ob für die Anzahl der eingehenden Anrufe pro Tag für diesen Kunden eine Normalverteilung unterstellt werden kann. c) Kann anhand des QQ-Plots aus Aufgabenteil b) Normalverteilung unterstellt werden (ja/nein, [2] kurze Begründung)? d) Bestimmen Sie den Stichprobenumfang. [2] Der Betreiber des Callcenters möchte anhand der vorliegenden Stichprobe die erwartete Anzahl der Anrufe für den 4. Kunden schätzen. Als Schätzfunktionen kommen ihm das arithmetische Mittel und der Median in den Sinn. Er ist sich jedoch unsicher, welche der beiden Schätzfunktionen die geringere Varianz hat. e) Um dies beurteilen zu können, benötigen Sie mehr als eine Stichprobe. Da die genaue Verteilung [3] der Daten nicht bekannt ist, soll das Bootstrap-Verfahren zum Einsatz kommen. Erzeugen Sie mit Hilfe des Bootstrap-Verfahrens eine Matrix mit 1000 Replikationsstichproben aus der Variablen Kunde4 und nennen Sie diese boot. Der Stichprobenumfang der Replikationsstichproben soll dem der Basisstichprobe (vgl. Aufgabenteil d) entsprechen. f) Bestimmen Sie für jede der 1000 Replikationsstichproben das arithmetische Mittel und den [4] Median. Verwenden Sie als Variablennamen mittel für das arithmetische Mittel und med für den Median. g) Bestimmen Sie die empirische Varianz der beiden Schätzfunktionen. Welche Schätzfunktion hat [3] unter den vorliegenden Daten die geringere Varianz? h) Liefert die in Aufgabenteil g) identifizierte Schätzfunktion mit der geringeren Varianz unter [3] der vorliegenden Verteilung auch unverzerrte Schätzungen für den Erwartungswert µ (ja/nein, kurze Begründung)? Schließende Statistik / Statistik 2 3 Version A

3 Aufgabe 2: (20 Punkte) Herr Controlletti ist ein US-Amerikaner mit italienischen Vorfahren, sesshaft in Las Vegas. Seine große Leidenschaft, der er gemeinsam mit seiner Frau oder mit seinem Nachbarn nachgeht, ist das Bridge -Spiel. Bridge ist ein Kartenspiel für vier Personen. Je zwei sich gegenübersitzende Spieler bilden eine Mannschaft, die zusammen spielt und zusammen gewertet wird. Herr Controlletti ist der Meinung, dass er zusammen mit seiner Frau in Bridge-Turnieren grundsätzlich geringere Punktzahlen erreicht, als wenn er mit seinem Nachbarn im Team spielt. Um dies zu überprüfen, spielte Herr Controlletti bei insgesamt 20 Bridge-Turnieren abwechselnd mit seiner Frau und mit seinem Nachbarn. Die in den Turnieren erreichten Punktzahlen (von maximal 100 Punkten) wurden im Datensatz bridge.xls aufgezeichnet. Die Variable Punkte enthält die erreichten Punktzahlen. Die Variable Spiel hat den Wert 0, wenn Herr Controlletti mit seiner Frau gespielt hat beziehungsweise 1, wenn er zusammen mit seinem Nachbarn gespielt hat. Es wird vereinfachend angenommen, dass für die erreichten Punkte die iid-annahme gilt und Normalverteilung unterstellt werden kann. Hinweis: Führen Sie im Folgenden alle Tests zum Signifikanzniveau α = 0.05 durch. Begründen Sie Testentscheidungen grundsätzlich so, dass nachvollziehbar ist wie die Entscheidung zustande kommt. a) Importieren Sie den Datensatz bridge.xls in ein leeres Laborszenario und stellen Sie die [1] Daten in einem Datensatzobjekt dar. b) Definieren Sie die folgenden zwei Hilfsvariablen: [2] Frau <- Punkte[Spiel==0] Nachbar <- Punkte[Spiel==1] c) Testen Sie die Hypothese H: Herr Controlletti erzielt mit seiner Frau im Durchschnitt 50 [3] Punkte. Wie lautet Ihre Testentscheidung? d) Die Spieler werden nach jedem Turnier mit einem Clubbonus belohnt, wenn sie mehr als 60 [5] Punkte erreichen. Testen Sie, ob Herr Controlletti davon ausgehen kann, mit seinem Nachbarn im Team durchschnittlich über 60 Punkte zu erreichen. Formulieren Sie zunächst die Hypothese und Alternative. Wie lautet Ihre Testentscheidung? e) Herr Controlletti vermutet, dass er mit seinem Nachbarn im Durchschnitt eine höhere Punktzahl [2] erzielt als mit seiner Frau. Sollte dies zutreffen, wäre das dem Familienfrieden nicht zuträglich. Wie sollte Herr Controlletti Hypothese und Alternative eines einseitigen statistischen Tests formulieren, um den Familienfrieden nicht leichtfertig zu gefährden? f) Führen Sie einen geeigneten Test zur Prüfung der Hypothese aus e) durch. Treffen Sie dabei [5] zunächst eine Aussage darüber, ob sich die Varianzen der beiden in b) definierten Variablen voneinander unterscheiden. Gehen Sie von unverbundenen Stichproben aus und begründen Sie Ihre Testentscheidung. g) Begründen Sie in einem Satz, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist: Der p-wert kann [2] ohne Kenntnis der Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese allein bei Kenntnis des Werts der Teststatistik bestimmt werden. Schließende Statistik / Statistik 2 4 Version A

4 Aufgabe 3: Der Datensatz (20 Punkte) miete03.xls enthält einen Teil der Daten, die anlässlich der Erstellung des Münchner Mietspiegels von 2003 erhoben wurden. Im Folgenden sollen verschiedene Einflüsse auf die Höhe der Nettomiete mittels einer linearen Regression untersucht werden. a) Importieren Sie die Datei miete03.xls in ein Datensatzobjekt. [1] b) Sie interessiert der Einfluss der Wohnfläche (Variable: wfl, in m 2 ) auf die Höhe der Nettomie- [3] te (Variable: nm, in e). Führen Sie eine Einfach-Regression durch und notieren Sie die dabei geschätzte Regressionsgleichung der Form ŷ = ˆβ 1 + ˆβ 2 x im Texteditor. c) Welche inhaltliche Bedeutung hat der Koeffizient ˆβ 2? Beachten Sie die Einheiten der Varia- [3] blen. Testen Sie die Hypothese H: β 2 = 0 zum Signifikanzniveau α = Begründen Sie die Testentscheidung in einem Satz. Um den Erklärungsgehalt des Modells zu verbessern, sollen zusätzliche unabhängige Variablen einbezogen werden. d) Definieren Sie die Variable alter, welche das Alter des Hauses (in Jahren) enthält, in dem [1] sich die Mietwohnung befindet. Geben Sie hierzu folgenden Befehl in den R-Kalkulator ein: alter < bj e) Das Modell aus b) soll nun um folgende erklärende Variablen erweitert werden: [3] Anzahl Zimmer (Variable: rooms) Alter des Hauses (Variable: alter) Einbauküche vorhanden=1, Einbauküche nicht vorhanden=0 (Variable: kueche) Verbinden Sie zuerst alle Vektoren inklusive einer Konstanten mithilfe des cbind-befehls zu einer Designmatrix (Variablenname: X). f) Führen Sie eine multiple Regressionsanalyse zu dem Modell aus e) durch. [2] g) Welche inhaltliche Bedeutung hat der Koeffizient der Variable kueche? Beachten Sie die Einhei- [3] ten. Ist dieser Koeffizient signifikant von 0 verschieden, wenn man sich nur in einem von tausend Fällen irren will (Begründung in einem Satz)? h) In Berlin bezahlt man üblicherweise für Wohnungen in Altbauten eine höhere Nettomiete als in [2] Neubauten. Gilt diese Tendenz laut Ihrem Modell aus e) auch für München (kurze Begründung)? i) Bestimmen Sie die Nettomiete, mit der ein Mieter laut Regressionsmodell aus e) zum Zeitpunkt [2] der Erhebung rechnen musste, wenn er eine 2-Zimmer-Wohnung mit 60 m 2 Wohnfläche inklusive Einbauküche in einem Neubau (Baujahr 1998) beziehen wollte. Schließende Statistik / Statistik 2 5 Version A

5 Teil 2: Klassische Aufgaben Tragen Sie die Lösungen zu den folgenden Aufgaben direkt in die dafür vorgesehenen Freiräume unter der jeweiligen Aufgabenstellung ein. Achten Sie darauf, dass bei Rechnungen der Lösungsweg nachvollziehbar ist. Sie können das Statistiklabor zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Quantilen etc. verwenden. Wenn Sie von dieser Option Gebrauch machen, müssen jedoch die verwendeten Laborbefehle unter den entsprechenden Ergebnissen unbedingt vermerkt sein! Aufgabe 4: (20 Punkte) Der Mineralölkonzern BPM will sein Tankstellennetz erweitern. Dazu möchte er Ivos gut laufende Tankstelle übernehmen. Bei BPM ist man sich jedoch nicht sicher, ob sich die Tankstelle in ihrer bisherigen Form für den Konzern mit seinen ehrgeizigen Zielen rentiert. Die Tankstelle hat erwartete Tageseinnahmen (X, in tausend e) in Höhe von E(X) = 40 mit einer Standardabweichung von σ X = 4. Im Folgenden wird unterstellt, dass die Tageseinnahmen unabhängig identisch normalverteilt sind. a) Geben Sie die Verteilung von X an. [1] X b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die Tankstelle an einem Tag Einnahmen in Höhe [2] von maximal e hat. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der Tageseinnahmen von mindestens e erreicht [3] werden. Schließende Statistik / Statistik 2 6 Version A

6 d) Bestimmen Sie den Wert der Tageseinnahmen (in tausend e), der in 99% der Fälle nicht [2] überschritten wird. e) Geben Sie die Grenzen des zentralen Schwankungsintervalls (in tausend e) an, in das 90% der [4] Einnahmen fallen. f) Der Konzern interessiert sich nun für den erwarteten Jahresumsatz (Y, in tausend e). Geben [3] Sie die Verteilung von Y mit den dazugehörigen Parametern an. Hinweis: Die Tankstelle hat an 365 Tagen im Jahr geöffnet. E(Y ) = V (Y ) = Y Schließende Statistik / Statistik 2 7 Version A

7 g) Der erwartete Jahresgewinn (G, in tausend e) kann mithilfe der erwarteten Umsatzrendite (r, [2] in Prozent) aus dem Jahresumsatz berechnet werden. Beispiel: Beträgt der Jahresumsatz 1000 e und die Umsatzrendite 20% ist der Jahresgewinn gleich 1000 e 0.2 = 200 e. Bestimmen Sie zunächst die Verteilung von G mit den dazugehörigen Parametern in Abhängigkeit von r. E(G) = V (G) = G h) Der Konzern möchte nun mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% mindestens einen Jahresgewinn [3] von 1.5 Mio. e erzielen. Wie hoch muss dazu die erwartete Umsatzrendite (r in Prozent) sein? Schließende Statistik / Statistik 2 8 Version A

8 Aufgabe 5: (20 Punkte) Nachdem Weihnachten vorbei ist, beginnt die Schokoladen-Hohlkörper AG aus dem schweizerischen Üsterhasli mit der Produktion von Schokoladenosterhasen. Auf zwei identischen Maschinen werden jeweils konventionelle Schokoladenosterhasen fabriziert. Die Firma möchte frühzeitig wissen, wie viele Osterhasen bis Ostern an den Einzelhandel ausgeliefert werden können. Der Werksleiter versucht dazu nach dem ersten Produktionstag (es gab keinerlei Anlaufschwierigkeiten) die Wahrscheinlichkeit zu schätzen, mit der ein Osterhase nicht den Qualitätsanforderungen entspricht und somit nicht verkaufsfähig ist. Vom Maschinenführer der ersten Maschine erhält der Werksleiter die Information, dass über den kompletten Tag 1200 Osterhasen auf der ersten Maschine gefertigt wurden. Davon waren 200 nicht verkaufsfähig. verwendete Notation Maschine 1 Maschine 2 gesamt Anzahl produzierter Hasen n 1 n 2 n = n 1 + n 2 Anzahl nicht verkaufsfähiger Hasen X 1 X 2 X = X 1 + X 2 Wkt. für nicht verkaufsfähigen Hasen p 1 p 2 p a) Geben Sie jeweils ein Modell für die Verteilung von X 1 und X 2 mit den zugehörigen Parametern [2] an. X 1 X 2 Schließende Statistik / Statistik 2 9 Version A

9 Der übereifrige Maschinenführer der zweiten Maschine hat voreilig zu einem Ihnen nicht bekannten Zeitpunkt des Tages die Wahrscheinlichkeit für die Verkaufsunfähigkeit eines auf seiner Maschine produzierten Osterhasen auf 13% geschätzt. Da beide Maschinen in der Vergangenheit nie systematische Unterschiede bezüglich Produktionsgeschwindigkeit und Qualität der Endprodukte ( p 1 = p 2 = p) aufwiesen, entschließt sich der Werksleiter für eine gemeinsame Schätzung der Ausschusswahrscheinlichkeit unter Verwendung der Daten beider Maschinen. Als Schätzfunktion wählt er: ˆp = X 1 + X 2 n 1 + n 2 b) Prüfen Sie, ob dieser Schätzer erwartungstreu für p und konsistent ist. Geben Sie dazu zunächst [7] E(X 1 ), E(X 2 ), V (X 1 ) sowie V (X 2 ) in Abhängigkeit von p 1 und n 1 beziehungsweise p 2 und n 2 an. Gehen Sie im Folgenden vereinfachend von Unabhängigkeit zwischen X 1 und X 2 aus. Schließende Statistik / Statistik 2 10 Version A

10 [ggf. Fortsetzung der Lösung zu b)] Zusätzlich hat der Maschinenführer der zweiten Maschine ein 95%-Konfidenzintervall für seine Schätzung (ˆp 2 ) berechnet, welches durch [0.11; 0.15] gegeben ist. Aufgrund der hohen Fallzahlen hat er die einfache Formel nach Lösungsweg a) von Folie 491 (Kapitel 11) verwendet. c) Ermitteln Sie, nach wie vielen produzierten Osterhasen er dieses Konfidenzintervall aufgestellt [4] hat. Schließende Statistik / Statistik 2 11 Version A

11 d) Bestimmen Sie die Varianz der Schätzfunktion ˆp von Seite 10 in Abhängigkeit von n 1, n 2 [5] und p. Erfahrungsgemäß tragen beide Maschinen etwa gleiche Teile zur Gesamtproduktion bei (n 1 n 2 ). Begründen Sie in einem Satz anhand Ihres Ergebnisses, ob es in Bezug auf die Varianz der Schätzung bei gegebener Gesamtproduktion (n) eine Rolle spielt, wie viele Einheiten auf Maschine 1 (n 1 ) beziehungsweise Maschine 2 (n 2 ) produziert wurden. Hinweis: Sollten Sie die gesuchte Varianz bereits in b) explizit berechnet und angegeben haben, können Sie an dieser Stelle auf Ihr Ergebnis aus b) verweisen. e) Bisher wurde vereinfachend Unabhängigkeit zwischen X 1 und X 2 unterstellt. Nennen Sie einen [2] realistischen Einflussfaktor, der eine positive Korrelation zwischen X 1 und X 2 begründen würde. Schließende Statistik / Statistik 2 12 Version A

12 Aufgabe 6: (20 Punkte) Beantworten Sie die folgenden Fragen jeweils kurz. Bei Rechnungen werden im Rahmen dieser Aufgabe lediglich Ansatz und Ergebnis gewertet. a) In Aufgabe 1 (Seite 3) wird die Anzahl der Anrufe betrachtet, die für einen Kunden in einem [4] Callcenter an einem bestimmten Tag eingehen. Diese Anzahl kann als Zufallsvariable X modelliert werden. Schlagen Sie basierend auf Ihrem Wissen aus den Veranstaltungen Statistik für Wirtschaftswissenschaftler und Schließende Statistik ein geeignetes Verteilungsmodell für X vor und begründen Sie Ihre Wahl kurz. b) Ein Studierender macht ein Praktikum bei einem großen Versandhändler und soll dort eine [5] Kundenbefragung durchführen. Zu allen Kunden liegt die Postanschrift vor. Der Studierende schlägt aus Kosten- und Zeitgründen vor, 25 Kunden zufällig aus der Kundendatenbank zu ziehen und diesen einen Fragebogen zuzuschicken. Der Abteilungsleiter insistiert und behauptet, dass die Ergebnisse nicht repräsentativ seien, da lediglich 25 Kunden befragt werden. Hat der Abteilungsleiter recht (ja/nein)? Begründen Sie Ihre Antwort kurz! Schließende Statistik / Statistik 2 13 Version A

13 c) Erläutern Sie anschaulich an einem selbst gewählten Beispiel die Bedeutung der Formel [5] P (X > x 1 + x 2 X > x 1 ) = P (X > x 2 ) (Kapitel 7, Folie 364), die für exponential-verteilte Zufallsvariablen X gilt. Schließende Statistik / Statistik 2 14 Version A

14 d) Akkus unterliegen i.d.r. einer gewissen Selbstentladung: Damit ist gemeint, dass ein geladener [6] Akku ständig Energie verliert, auch wenn er nicht genutzt wird. Bei einigen Modellen kann dieser Effekt so gravierend ausfallen, dass ein voll geladener Akku nach vier Monaten Lagerung nahezu seine gesamte gespeicherte Energie verloren hat also vor Verwendung erneut geladen werden muss. Einige Akku-Modelle versuchen den Effekt der Selbstentladung durch Einsatz spezieller Verfahren stark zu reduzieren. Ein Akku-Hersteller möchte derartige Akkus mit dem Slogan Jährliche Selbstentladung von maximal 15% bewerben. Die Aussage soll über einen statistischen Test zum Signifikanzniveau α = 0.05 abgesichert werden (H: µ 0.15, A: µ < 0.15, wobei µ die erwartete Selbstentladung im Zeitraum von einem Jahr ist). Angenommen der Test liefert einen angepassten p-wert von 0.07, so dass die Hypothese nicht abgelehnt werden kann. Erklären Sie, warum daraus nicht folgt, dass die Hypothese falsch ist. Was könnte man versuchen, wenn eine Anhebung des Signifikanzniveaus nicht infrage kommt und man auf seriöse Weise dennoch zu einer Ablehnung der Hypothese kommen möchte? Schließende Statistik / Statistik 2 15 Version A

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