Asset Liability Management in einem selbstfinanzierenden Pensionsfonds

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1 Forschung am IVW Köln, 9/215 Insiu für Versicherungswesen Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds Osar Goece

2 Forschung am IVW Köln, 9/215 Wählen Sie ein Elemen aus. Osar Goece Forschungsselle FaRis Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds Zusammenfassung Wir berachen einen Pensionsfonds, der den Versorgungsberechigen gegen Zahlung eines Einmalbeirags eine Leibrene gewähr. Der Pensionsfonds verfüg über einen exernen Sponsor oder Garaniegeber (daher selbsfinanzierend), so dass alle Renen immer und ausschließlich aus dem vorhandenen Vermögen gezahl werden müssen. In exremen Siuaionen (deuliche Verlängerung der Lebenserwarung, subsanzielle Einbrüche bei den Kapialanlagen) muss der Pensionsfonds daher die Renen nach unen anpassen. Wir enwiceln und unersuchen Regeln für das Asse Liabiliy Managemen, bei denen die beiden widersrebenden e, nämlich hohe und zugleich sabile Renen, simulan berücsichig werden. Wir führen den Nachweis, dass der inergeneraionale Risioausgleich im Renenolleiv subsanziell das Rendie-Risio-Profil für die Versorgungsempfänger verbesser. Absrac We consider a pension fund which provides life annuiies o he reirees who pay a single premium when enering he fund. The pension fund is self-financing in he sense ha here is no exernal sponsor who guaranies he pension paymens. As a consequence in exreme scenarios (due o longeviy ris or capial mare riss) he pension fund migh be forced o reduce he amoun of pensions. We develop asse liabiliy managemen rules which simulaneously ae ino accoun he wo conflicing objecives, namely high and sable pensions. We provide evidence ha he inergeneraional ris ransfer wihin he collecive of reirees subsanially improves he ris reurn profile for he pensioners. Schlagwörer selbsfinanzierender Pensionsfonds, auarielle Tonine, Langlebigeisrisio, Kapialanlagerisio, Asse Liabiliy Managemen, Risio-Rendie-Profile, inergeneraionaler Risioransfer Keywords self-financing pension fund, acuarial onine, longeviy ris, capial mare ris, asse liabiliy managemen, ris-reurnprofiles, inergeneraional ris ransfer

3 Inhal 1 Einführung Modell eines offenen selbsfinanzierenden Pensionsfonds Grundelemene des Modells Bezeichnungen Kapialmarmodell Modellierung der Serblichei Deerminisisches CBD-Modell Kalibrierung des CBD-Modells Sochasisches CBD-Modell Simulaion Besandsenwiclung Generaionenrendie Asse Liabiliy Managemen für den Pensionsfonds Forschreibung der Aiva und Passiva Sruurparameer des Renenbesandes ALM Sraegie Allgemeine Darsellung Konreisierung der ALM-Regeln Modellrechnungen Kalibrierung des Referenzmodells, Simulaionsszenarien Deerminisisches ALM-Modell Sochasische Serblichei bei sicherer Kapialanlage Der allgemeine Fall Unerdecungswahrscheinlicheien Rendie-Risio Profile I

4 5 Anhang Das Problem der doppelen Sochasiziä Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung in CBD-Modell Sochasi der Decungsrücsellung im CBD-Modell Die auarielle Tonine Definiion Generaionenrendie bei einer Tonine Rendie-Risio-Profil einer Tonine Lieraur Abbildungs- und Tabellenverzeichnis II

5 1 Einführung Wir berachen die Renenphase (oder Ensparphase) einer apialgedecen Alersversorgung: Aus einem gegebenen Kapialsoc soll für eine Gruppe von Renenempfängern eine Leibrene finanzier werden. Triff man Annahmen hinsichlich der Überlebenswahrscheinlicheien und der Verzinsung des Kapialsocs, so ann man mi auariellen Mehoden berechnen, welche Renen sich aus dem Kapialsoc finanzieren lassen. Da die asächlichen Überlebenswahrscheinlicheien und die asächlichen Kapialerräge von den angenommenen abweichen, sell sich die Frage, ob die Renen oder der Kapialsoc an die geänderen Verhälnisse angepass werden. Wir sprechen von einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds, 1 wenn abgesehen vom anfänglichen Kapialsoc eine exerne Finanzierungsquelle zur Verfügung seh. Es gib also einen exernen Drien (Aionär, Arbeigeber, öffenliche Selle, o.ä.), der bei bei einer Finanzierungslüce von außen Kapial zuführ. Is die Bereischaf von außen Kapial zuzuführen Teil eines Geschäfsmodells (wie z.b. bei einer Lebensversicherungs-AG), so wird der Kapialgeber eine Gegenleisung verlangen, ewa in Gesal einer Beeiligung an Kapialerrägen. In jedem Falle geh die Gegenleisung zu Lasen der Renen. Da es sich um ein Risiogeschäf handel, wird der exerne Kapialgeber eine Risioprämie, also eine Überrendie im Vergleich zu einer sicheren Kapialanlage als Gegenleisung für die Bereisellung von Sicherungsapial erwaren. Im Bereich der berieblichen Alersversorgung (Pensionsasse, Pensionsfonds) is regelmäßig der Arbeigeber verpfliche, bei Bedarf Kapial nachzuschießen. Aus Sich der Renenbezieher is dies sicherlich eine günsige Siuaion. Doch aus Arbeigebersich is die Einsandspflich ein Kosenfaor, der im Exremfall den Arbeigeber veranlassen önne, Versorgungsordnungen für neue Arbeinehmer zu schließen. Zumindes wird er bei Versorgungszusage die Kosen bzw. die Risien einalulieren. Ob in der privaen oder berieblichen Alersversorgung in jedem Falle geh jede von außen bereigeselle Garanie zu Lasen der Renen, dire oder indire. Dies gil nich nur in Bezug auf das Kapialmarrisio, sondern auch für das Langlebigeisrisio. Selbsfinanziernder Pensionsfonds biee somi endenziell höhere Leisungen. Selbsfinanzierende Pensionsfonds sind allerdings auf ein wirsames Asse-Liabiliy Managemen (ALM) angewiesen: Der Kapialsoc muss bei verrebarem Risio möglichs renabel angeleg werden und die Renen müssen so angespass werden, dass sie 1 Wir verwenden hier den Begriff Pensionsfonds im allgemeinen Sinne als eine Einrichung, die einen Kapialsoc verwale bzw. am Kapialmar anleg und hieraus an eine Gruppe von Renenbezieher Renen zahl. 1

6 dauerhaf finanzierbar bleiben und zugleich eine faire Beeiligung am Kapialsoc ermöglichen. Des Weieren müssen Veränderung der Lebenserwarung rechzeiig erann und berücsichig werden. In der vorgelegen Arbei werden wir ALM-Sraegien für selbsfinanzierende Renenbesände enwiceln. Es wird gezeig, dass selbsfinanzierende Renenbesände aufgrund des Risioausgleichs zwischen den Rennergeneraionen das sysemaische und das idiosynraische Langlebigeisrisio ragen önnen, indem die Renen modera an verändere Serblicheisraen angepass werden, durch eine vergleichsweise hohe Aienquoe in der Kapialanlage höhere Kapialerräge und dami ein höheres Renenniveau ermöglichen, gegenüber anderen nich-olleiven Verrenungsverfahren (Toninen) ein signifian besseres Rendie-Risio Profil aufweisen. In [Goece 211, 213b] haben wir anhand eines einfachen Kapialmarmodells den Ansparprozess zum Aufbau eines Versorgungsapials unersuch. Wir haben dabei gezeig, dass olleive Sparformen einem individuellen Sparprozess überlegen sind. Das in [Goece 211, 213b] vorgeselle Modell des Kolleiven Sparens wird in der hier vorgelegen Arbei auf den Renenphase (Ensparphase) überragen. Anders als in der Ansparphase önnen wir in der Ensparphase das Serblicheisrisio nich ausblenden. Diese und vorangegangene Unersuchungen ([Goece 211, 212, 213a, 213b]) unersreichen den Nuzen, den olleive Versorgungssyseme für die Beeiligen haben. Die Unersuchung is wie folg aufgebau. Nach einer urzen Einführung sellen wir in Kapial 2 ein sochasisches Modell für einen offenen selbsfinanzierenden Pensionsfonds vor. Dieses beinhale sowohl ein sochasisches Kapialmarmodell (Abschni 2.3) als auch ein sochasisches Serblicheismodell, eine einfache Variane des von Cairns, Blae und Dowd enwicelen Modells (CBD-Modell in Abschni 2.4). In Abschni 2.5 führen wir den Begriff der Generaionenrendie ein, der einen Vergleich verschiedener ALM-Sraegien ermöglich. Hierauf aufbauend formulieren wir in Kapial 3 ALM-Sraegien für selbsfinanzierende Pensionsfonds. Diese Sraegien sind so onzipier, dass nach einer exernen Sörung der Pensionsfonds ses wieder in den Gleichgewichszusand zurücgeführ wird. Die heoreischen Ergebnisse des 3. Kapiels werden im folgenden Kapiel 4 anhand von umfangreichen Modellrechnungen (Mone Carlo Simulaionen) auf ihre Praiabiliä hin unersuch. Im Anhang (Abschni 5) werden einige spezielle Aspee gesonder dargesell das Problem der doppelen Sochasiziä bei leinen Pensionsbesänden, 2

7 Goece: Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds die Ableiung von Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung im CBD-Modell, die Sochasi der Decungsrücsellung im CBD-Modell, die auarielle Tonine. 3

8 2 Modell eines offenen selbsfinanzierenden Pensionsfonds 2.1 Grundelemene des Modells Wir berachen einen reinen Renenbesand, der mi einem Kapialsoc ausgesa is. Aus dem Kapialsoc werden für alle Personen des Renenbesandes jährlich vorschüssig Renen gezahl. Der Renenbesand änder sich laufend, zum einen verserben Renner und zum anderen ri jährlich eine Gruppe von Neurennern dem Renenolleiv bei. Mi Einri in das Renenolleiv leisen die Neurenner einen einmaligen Finanzierungsbeirag. Wir wollen der Einfachhei halber von einem Pensionsfonds sprechen. 2 Wir ordnen dem Pensionsfonds eine Bilanz zu (vgl. Abbildung 1): Auf der Aivseie verbuchen wir die Kapialanlagen (das Porfolio) mi ihren Zeiweren und auf der Passivseie die bewereen Renenverpflichungen (Decungsrücsellungen), die nach auariellen Mehoden berechne werden. Der Pensionsfonds soll apialgedec sein, d.h. in aller Regel soll der Zeiwer der Kapialanlagen größer sein als die Decungsrücsellungen. Der Teil der Kapialanlagen, der nich für die Bedecung der Rücsellungen benöig wird, wollen wir als olleive Reserve bezeichnen vgl. [Goece 211]. ABBILDUNG 1: Silisiere Bilanz des Pensionsfonds Die Kapialanlagen werden auf dem Kapialmar angeleg, je nach Zusammensezung des Porfolios is die Werenwiclung ( Verzinsung ) mehr oder weniger sar schwanend. Auch die Dauer der Renenzahlungen an die Pensionäre is ungewiss; zum einen is die Lebensdauer jedes einzelnen ungewiss (individuelles oder idiosynraisches 2 Eine Verwechlung mi dem Pensionsfonds im Sinne Legaldefiniion des 112 VAG is nich zu befürchen. 4

9 Goece: Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds Serblicheisrisio), zum anderen is die olleive Lebenserwarung der Gesambevölerung ungewiss (sysemaisches Serblicheisrisio). Der Pensionsfonds is selbsfinanzierend, d.h. es gib einen exernen Kapialgeber (Aionär, Arbeigeber, öffenliche Sellen, ec.), der bei Bedarf Miel zuschießen önne bzw. Miel ennehmen önne. Wir wollen annehmen, dass ein Pensionsfondsmanager (m./w.) dami beaufrag is, die Kapilanlagen zu seuern (Asse Managemen) und die Einmalbeiräge der Neurenner sowie die Renenhöhe (Liabiliy Managemen) feszulegen. Wir gehen davon aus, dass der Pensionsfondsmanager selbslos und ausschließlich im Ineresse des Kolleivs der Renenempfänger handel. 2.2 Bezeichnungen : Zeiindex =, 1,, T z: feses Reneneinrisaler, für alle Modellrechnungen wählen wir z = 65. ω: heoreisch erreichbares Höchsaler, für alle Modellrechnungen wählen wir ω = 115. L z { Lz(), Lz + 1(),..., L ω ()}: Anfangsbesand zum Zeipun =, wird als gegeben angenommen. Wir gehen grundsäzlich von homogenen Personengruppen (Alersohoren) aus; für alle Personen gleichen Alers gil die gleiche Überlebenswahrscheinlichei. () : Anzahl der Neurenner, die zum Zeipun dem Renenolleiv beireen; wir berachen L () als eine deerminisische Größe. z L () x : Anzahl der überlebenden x-jährigen Personen des Renenbesandes zu Beginn des (+1)-sen Jahres für x = z+ 1,..., ω. ω L (): = L () : Gesamzahl der Renner zu Beginn des (+1)-sen Jahres. x= z x r (): Höhe der Rene, die zu Beginn des (+1)-sen Jahres an jeden Renner gezahl wird. Die Rene wird jährlich vorschüssig gezahl, alle Renner erhalen die gleiche Rene. 5

10 p (, ) x s : die geschäze -jährige Überlebenswahrscheinlichei einer (zum Zeipun ) x-jährigen Person für die Periode [, + [ basierend auf den Beobachungen bis zum Zeipun s. Für =1 schreiben wir px(, s) = 1 px(, s). Für gil 1px( s, ) = px( s, ) px 1( + 1, s), hierbei folgen wir der Konvenion, dass px(, s ) = µ : onsaner Rechnungszins (als Zinsinensiä). ω x axs (,, ) : = exp( µ ) p( s, ) : Barwer einer jährlich vorschüssigen Leibrenen = x vom Berage 1 für eine (zum Zeipun ) x-jährige Person, alulier auf Basis der Beobachungen bis zum Zeipun s. a ( ): (,, ) x = ax : Barwer einer jährlich vorschüssigen Leibrenen vom Berage 1 für eine (zum Zeipun ) x-jährige Person, alulier auf Basis der Beobachungen bis. ω V(): = r () ax (,,) L () : Decungsrücsellung zum Zeipun. x= z x ω V () v(): = = ax (,,) L x() : normiere Decungsrücsellung. r () x= z EP( + 1) = f r( + 1) a( z, + 1, ) L ( + 1) : Einmalbeirag der Gruppe der Neurenner z zum Zeipun +1 bei Einri in das Renenolleiv. Hierbei unersellen wir einen onsanen Sicherheisfaor f als Aufschlag auf die zum Zeipun geschäzen Renenbarwere. P (): Zeiwer des Porfolios zu Beginn des (+1)-sen Jahres, nach Zugang des Einmalbeirags der Neurenner und vor Auszahlung der fälligen Renen. P () ρ( ) : = ln : Zum Zeipun beobachee log-reservequoe (oder urz Reservequoe). V () 3 3 Wie wir späer noch sehen werden, erleicher die Verwendung der log-reservequoe sa der üblichen P () V () / P () die formale Darsellung erheblich. Reservequoe ( ) 6

11 Goece: Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds r ( + 1) ε ( ) : = ln : Die ab Zeipun +1 wirsame Renenanpassung. In dem hier r () vorgesellen Modell wird ε () bereis zum Zeipun fesgeleg; es gil also das Prinzip der Vorausdelaraion. Bemerungen 1. In den Modellrechnungen (Kapiel 4) sind die Größen Lx () ses ganzzahling, d.h. die mi der (sochasischen) Überlebenswahrscheinlichei muliplizieren Anzahl von Personen einer Alersohore werden in den Modellrechnungen auf ganzzahlige Were gerunde. In den Herleiungen dieses und des folgenden Kapiels sind die Größen Lx () nich nowendiger Weise ganzzahling. Wir inerpreieren Lx () als Anzahl einer Kohore eines sehr großen Besandes. Insbesondere gil dann L ( x ) = px(, + ) ; L( x) + + die zum Zeipun + geschäze Überlebenswahrscheinlichei ensprich also der asächlichen (beobacheen) Überlebenswahrscheinlichei. 2. Für die Barwere axs (,, ) gil folgende Reursion: a( ω,, s) = 1und axs (,, ) = 1+ exp( µ ) p( s, ) ax ( + 1, + 1, s) für z x< ω. (Gl. 1) x 3. Wir önnen den Barwer axs (,, ) als Funion des Rechnungszinses berachen und sezen h( µ ) = axs (,, ). Dann bezeichnen wir ( µ ) ω x µ dln h( ) e px(, s) D( axs (,, )) : = =, dµ axs (,, ) = als die Duraion des Renenbarweres axs (,, ). Es gil folgende Abschäzung ( ( )) h( µ + µ ) h( µ ) exp µ D axs (,, ). (Gl. 2) Die Duraion ensprich der (mi dem Disonierungsfaor und der Erlebenswahrscheinlichei) gewicheen Reslaufzei der Renenverpflichung. 2.3 Kapialmarmodell Wir wählen ein sehr einfaches Kapialmarmodell, das Blac-Scholes-Modell, das zwei Anlagemöglicheien vorsieh, nämlich eine sichere Kapialanlage zu einem fesen Zinssaz µ (als Zinsinensiä) und eine Anlage in ein brei gesreues Aienporfolio 7

12 (Marporfolio). Die Werenwiclung des Marporfolios, dargesell als Index S(), folg einer geomerischen Brownschen Bewegung: S ( ) = S() exp( µ + σ W), (Gl. 3) wobei ( ) Es gil M M W ein Sandard- Wienerprozess is. S ( + 1) E = + S () 1 2 exp( µ M σ ) 2 M. Die Sharpe Raio r M 1 2 µ M + σ 2 M µ : = is ein σ Maß für die durchschniliche Überrendie pro Risioeinhei. Den sochasischen Prozess S() önnen wir auch miels einer sochasischen Differenzialgleichung charaerisieren, es gil nämlich: ds() = ( µ + σm rm) d + σm dw, (Gl. 4) S () Sämliche Modellrechnungen basieren auf folgender Kalibrierung: µ =.2, σ =.2, r =.25. (Gl. 5) M M Für die erwaree Rendie des Marporfolios gil dann E S ( + 1) = µ = µ + σ σ = S () 1 2 ln M M rm.5 2 M Wir nehmen an, dass zum Zeipun =,1,..., T 1 fesgeleg wird, welcher Aneil des vorhandenen Vermögens des Pensionsfonds P () in das Marporfolio invesier wird. Wir nehmen ferner an, dass innerhalb des Anlagejahres die Aienquoe AQ() - gemessen als relaiver Aneil des Vermögens, der in das Marporfolio invesier wird - durch Umschichung onsan gehalen wird (Consan Mix- Sraegie). Wir bezeichnen mi σ(): = AQ() σm die Risioexposiion des Porfolios zum Zeipun. M Bemerungen: 1. Wir berachen ein Porfolio P () ohne exerne Zu- oder Abflüsse, bei dem die Risioexposiion σ () zeiseig angepass wird. Dann gil und dp() = ( µ + σ() rm ) d + σ() dw (Gl. 6) P () 8

13 Goece: Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds P () = + s r s ds + s dw 1 2 ln µ σ() M σ () σ() 2 s P() (Gl. 7) 2. Wähl man zum Zeipun eine Aienquoe AQ und führ im Zeiinerval [, ] eine Umschichungen durch (Buy-and-Hold Sraegie), so änder sich die Aienquoe im Zeiablauf (bezogen auf den jeweiligen Zeiwer) und es gil dann: () ln P = ln exp + ) + (1 ) exp( ) P() ( AQ ( µ M σ M W ) AQ µ ) Für AQ 1 sind die Rendien offensichlich nich normalvereil.. (Gl. 8) Die Vereilungen der Rendie in (Gl. 7) und (Gl. 8) unerscheiden sich bei einem 1-jährigen Anlagehorizon nur geringfügig, so dass bei Simulaionsrechnungen der Unerschied aum ins Gewich fäll. Allerdings is zu beachen, dass bei einer Buy-and-Hold- Sraegie für eine Aienquoe leiner als 1% der Teil des Vermögens, der sicher angeleg wurde, ein Mindesvermögen zum Ende der Anlageperiode sichersell. Bei einer Consan Mix- Sraegie gib es hingegen ein sri posiives Mindesvermögen zum Ende der Anlageperiode. 2.4 Modellierung der Serblichei Deerminisisches CBD-Modell Wir verwenden hier das nach den Auoren Cairns, Blae und Dowd benanne CBD-Modell in seiner einfachsen Form und berachen in diesem Abschni zunächs die deerminisische Variane. 4 Hierzu definieren wir zunächs die logi-funion: q logi( q) : = ln 1 q für < q < 1. Wir modellieren die 1-jährigen Serbewahrscheinlicheien einer x-jährigen Person zum Zeipun über folgenden 2-fach linearen Ansaz: ( ) κ1 κ2 logi qx (, ) = ( ) + ( ) ( x z) für x < ω (Gl. 9) κ1() = + 1 und κ2() = β + β1 (Gl. 1) 4 Es gib milerweile ein ganzes Sperum von Varianen des CBD-Modells - vgl. [Cairns e.a. 26], [Cairns e.a. 29], Pla[29], [Cairns e.a. 211], [Cairns 213]. 9

14 Wir inerpreieren z als das Renenbeginnaler und ω als das Schlussaler, d.h. q( ω,) = 1für alle. Sezen wir px (,): = 1 qx (,) so gil ( g x ) 1 px (,) = 1 + (,) für x < ω und p( ω,) = für alle, (Gl. 11) mi g( x,): = exp ( κ () + κ ()( x z) ) 1 2 Die folgende Abbildung zeig den Verlauf von logi ( qx (, )) für den Alersbereich x = 65,, 114 für die Basisafel der Richafeln Heubec 25G 5 und für die projiziere Periodenafel 255 für Männer und Frauen. ABBILDUNG 2: CBD-Modell, logi(qx) für die Basisafel der Richafel Heubec 25G und die projiziere Periodenafel 255 (Renenbesand, Aler ) für Männer (rechs) und Frauen, sowie jeweils die linearen Approximaionen. Bemerungen: 1. Der Parameer κ () 1 repräsenier das Serblicheisniveau für alle Aler; 1 < bedeue ceeris paribus eine Serblicheisverbesserung in der Zei für alle Alersgruppen (säulare Serblicheisrend). κ () 2 charaerisier die Alersabhängigei der Serblichei; für die zeiunabhängige Komponene β wird man plausiblerweise annehmen, dass β >, denn die Serbewahrscheinlichei nimm mi forschreiendem Aler zu. 6 Die zeiabhängige Komponene β 1 ermöglich die Berücsichung einer 5 [Heubec e.a. 26] 6 Eine für besimme Alersgruppen sinende Serblichei, wie man sie ewa beim sog. Unfallbucel beobache, ann man in dem hier vorgesellen einfachen CBD-Modell nich abbilden. 1

15 Goece: Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds vom Aler abhängigen Serblicheisverbesserung. Da β = 1 2 ( qx ) logi (, ) x bedeue β 1 >, dass der säulare Trend der Serblicheisverbesserung für hohe Aler särer wir. 2. Es geh im Folgenden nich darum, die Serblichei eines Rennerbesandes möglichs exa zu prognosizieren oder die Rechnungsgrundlagen Heubec 25G ( Richafeln ) möglichs genau zu approximieren. 7 Vielmehr wollen wir ein möglichs einfaches und ransparenes Modell enwiceln, dass die Sochasi der ünfigen Serblicheisenwiclung plausibel abbilde. Die Plausibiliä des Modells soll insbesondere dadurch gewährleise sein, dass Simulaionsrechnung ompaibel mi den projizieren Perioden-Serbeafeln der Richafeln sind. Wir approximieren also die Richafeln 25G (Basisafel und Projeionen), ohne das Serblicheismodell der Richafeln zu hinerfragen. 3. Für die Basisafel 25 der Richafeln sind die logi-were der Serbewahrscheinlicheien zumindes für die Alersgruppe der Renner nahezu linear vgl. Abb. 2. Diese Beobachung dec sich mi ensprechenden Unersuchungen für Serbeafeln anderer Länder. 8 Der obige Ansaz in (Gl. 9) und (Gl. 1) is allerdings nich geeigne, die Serbewahrscheinlichei für alle Aler zu approximieren; daher is das Modell für breiere Alerslassen ensprechende zu modifizieren Für Aler über 9 Jahre is die lineare Approximaion der logi-were (insbesondere bei Frauen) schlecher; dies ann aber auch dami zusammenhängen, dass bei der Herleiung der Richafeln für höhere Aler eine Exrapolaion auf der Grundlage eines modifizieren Gomperz-Ansazes erfolge. 1 Ähnliches gil für die projizieren Serbeafeln; hier wird für die Richafeln eine nach Alern und Geschlech gesaffele prozenuale Abnahme der Serbewahrscheinlicheien angenommen. Eine solche Annahme führ nowendigerweise dazu, dass ein zunächs linearer Zusammenhang der logi-were verloren geh. 7 Die Modellrechnungen in Abschni 4 zeigen allerdings, dass das vereinfache CBD-Modell für Renenbesände eine sehr gue Approximaion der Richafeln liefer. 8 Vgl. [Cairns e.a. 29] 9 Vgl. hierzu die Modell M6, M7 und M8 in [Cairns e.a. 29] p. 12 ff. 1 Vgl. [Heubec e.a. 26] S. 488f. 11

16 2.4.2 Kalibrierung des CBD-Modells Wir sezen z = 65 und ω = 115 und alibrieren unser Modell (Gl. 9, 1) auf der Grundlage der Richafeln 25G, wobei wir uns bei der Kalibrierung auf die Serbewahrscheinlicheien des Rennerbesandes für die Alersgruppe x = 65, 66,, 1 beschränen. Bei den Richafeln werden aufbauend auf der Basisafel (= Periodenafel für das Jahr 25) die Periodenafeln für die Jahre nach 25 durch einfache Projeion der Serbewahrscheinlicheien besimm. Wir berücsichigen die Projeionen der Periodenafeln für die Jahr 25 bis 255. Eine im Jahre jährige Person würde im Überlebensfalle im Jahre 255 das Schlussaler ω = 115 erreichen. ABBILDUNG 3: Parameer κ 1(), κ 2() für {,1,..., 5}, = ensprich dabei dem Basisjahr 25, = 5 ensprich dem Projeionsjahr 255. Wir inerpreieren = als das Jahr 25 und besimmen für jedes {,1,..., 5} die Parameer ( κ (), κ () ), so dass ( ) ( logi qrt 25G ( x, ) κ 1( ) κ 2( ) ( x z) ) mini- x= 65 mier wird. Die sich so ergebenden Were sind in Abb. 3 dargesell. Abb. 3 zeig, dass sich die Parameer κ 1(), κ 2() nun ihrerseis rech gu als lineare Funionen von annähern lassen. Wir sezen daher κ1() = + 1 bzw. κ2() = β + β1, wobei die Parameer, 1, β, β 1 wiederum miels eines leinse Quadrae-Ansazes besimm werden. Dabei ergeben sich folgende Were: 12

17 Goece: Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds Männer Frauen hybrider Besand β β Tabelle 1: Übersich der Parameer für das CBD-Modell bei einer Kalibrierung auf der Grundlagen der Periodenafeln der Richafeln Heubec 25G. Die Parameer für den hybriden (gemischen) Besand ergeben sich jeweils aus Mielwere der Größen für Männer und Frauen. Man beache, dass ein anfänglicher Besand, der je zur Hälfe aus Frauen und Männern beseh, aufgrund der unerschiedlichen Serbewahrscheinlicheien für Frauen und Männern im Laufe der Jahre ein abweichendes Geschlecherverhälnis aufweisen wird. Simulier man also den Renenbesand gerenn nach Männer und Frauen, so ergib sich ein anderer Verlauf als bei eine Simulaion mi gemieler Kalibrierung. Um nich immer für Männer und Frauen separa rechnen zu müssen, werden wir im Folgenden in aller Regel auf die hybride Kalibrierung zurücgreifen und nur gelegenlich für Frauen und Männer gerenn rechnen. ABBILDUNG 4: Vergleich der Periodenserbeafeln Heubec 25G und CBD-Modell für das Basisjahr 25 und für das Projeionsjahr 255, jeweils für Männer und Frauen. 13

18 Um die Güe der Approximaion zu illusrieren haben wir in Abb. 4 die Periodenafeln der Richafeln und der Approximaionen durch das vereinfache CBD-Modelle für die Jahre 25 (Basisjahr) und 255 jeweils für Männer und Frauen verglichen. Dabei wurde die Kalibrierung der Tabelle 1 zugrunde geleg. Der Vergleich zeig, dass das vereinfache CBD-Modell die Heubecafeln hinlänglich gu approximier. Es sei nochmals beon, dass es hier nich darum geh, die Heubec Rechnungsgrundlagen möglichs gu zu approximieren, sondern darum, die Serblicheisenwiclung in einem sochasischen Modell plausibel zu simulieren Sochasisches CBD-Modell Das Risio, dass die Kalulaionsannahmen für die Serblichei falsch sind bzw. Änderungen der Serblicheisenwiclung falsch eingeschäz werden, onsiuier das Langlebigeisrisio. In unserem Modell soll dieses Risio vereinfach abgebilde werden. In (Gl. 9) ersezen wir dazu die deerminisische Funion κ1() = + 1 durch einen Random Wal mi onsaner Drif: + + σ W = κ () + σ W (Gl. 12) mi σ > und einem Sandard Wienerprozess ( W ) mi W =. Wir unersellen, dass die beiden Wiener Prozesse ( W ) und ( W ) sochasisch unabhängig sind. Ob asächlich die Bevölerungsserblichei und die Kapialmäre voneinander unabhängig sind, ann bezweifel werden. In einer prosperierenden Volwirschaf werden sich endenziell die Kapialmäre posiiv enwiceln und zugleich aufgrund einer besseren medizinischen Versorgung die Lebenserwarungen seigen. Es wird auch die These verreen (Asse Meldown Hypohesis) 11, dass in einer alernden Volswirschaf (u.a. hervorgerufen durch eine gesiegene Lebenserwarung der Renenbezieher) die Werpapierrendien sinen. Da jedoch nich erennbar is, wie man die Abhängigei zwischen Bevölerungsserblichei und die Kapialmäre angemessen modellieren önne, geschweige denn eine Kalibrierung der Abhängigeien vornehmen önne, schein die oben geroffene Annahme verrebar. Somi erhalen wir die sochasischen Überlebenswahrscheinlicheien ( ) 1 px (, ) : = 1+ exp( σ W + 1) g( x, ) für x < ω und p ( ω,). (Gl. 13) 11 vgl. [Taás 21] 14

19 Goece: Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds Für die -jährigen Überlebenswahrscheinlicheien sezen wir 1 px (, ): = px ( + j, + j) (Gl. 14) j = Bemerungen: 1. Bei der Inerpreaion von (Gl. 13) is zu beachen, dass wir zu den Zeipunen =,1,2, die 1-jährigen Serbewahrscheinlicheien qx (, ) bzw. die 1-jährigen Überlebenswahrscheinlicheien px (, ) jeweils auf das Jahr [ +, 1] beziehen. Die Zufallsgrößen qx (, ) bzw. px (, ) realisieren sich also ers zum Zeipun +1. Die vom Wienerprozess ( W ) erzeuge σ-algebra M inerpreieren wir in gewohner Weise als den Informaionssand zum Zeipun Für x < ω gil ses < px (,) < 1; dies is ein Voreil gegenüber dem Gomperzschen Serbegesez ( ) x+ 1 ln p( x, ) = µ ( x + u, u) du, wenn man einen linearen Ansaz x für der Serbeinensiä unersell. Is ewa µ ( x,) = y1() + y2()( x z) und ersez man hier die Parameer y1(), y2() durch Gauss-Prozesse, so erhäl man posiiver Wahrscheinlichei Überlebenswahrscheinlicheien größer als In [Cairns 26] erhäl auch κ () 2 eine sochasische Komponene: β + β1 + σ β W + 1 = κ2() + σ β W + 1 mi orrelieren Prozessen ( W, W ). Die Sochasi der Serblicheisenwiclung erhäl dadurch eine alersabhängige Komponene. Die Schwanungen der Serblichei bei höheren Alern sind dann größer als bei jüngeren. Aus Gründen der Übersichlichei der Darsellung verzichen wir auf diese zweie sochasische Komponene. Denn anders als in [Cairns 26] wollen wir nich das Langlebigeisrisio beweren, vielmehr wollen wir ALM-Regeln zu Seuerung eines selbsfinanzierenden Renenbesandes unersuchen. Bei der Kalibrierung unseres vereinfachen Modells greifen wir jedoch Ergebnisse in [Cairns 26] zurüc. 12 Vgl. hierzu [Cairns e.a. 29] S [Schrager 26] führ ein Modell mi affiner sochasischer Moraliä ein, das als Spezialfall den Gomperz-Ansaz umfass. Die analyische Handhabbarei des Modells wird aber durch die Möglichei negaiver Serblichei erauf - vgl. [Schrager 26] S

20 eine Realisaion des Prozesses ( W :,1, 2,...) 4. Is ( w, w1, w2,... ) 1 ( σ ) px (, ) = 1+ exp( w ) g( x+ j, + j) j j= 1 =, so gil. Die asächliche -jährige Überlebenswahrscheinlichei realisier sich also ers im Zeipun Für s is ( p(., ) s ) E M die (zufällige) Periodenserbeafel für die Periode [ +, 1] basierend auf dem Informaionssand bis zum Zeipun s. Falls W s = w s, so is E 1 ( σ ) ( ) E ( σ + 1 ) px (, ) W = w = 1+ exp ( W W ) exp( w) g( x, ) W = w + s s s s s s = 1 exp( s 1 σ z) exp( σ w s ) g( x, ) + + ϕ( z) dz 1 (Gl. 15) der besen Schäzer der Überlebenswahrscheinlichei auf der Grundlage der bis zum Zeipun s verfügbaren Informaionen. Hierbei bezeichne ϕ (.) die Dichefunion der Sandardnormalvereilung. Das Inegral in (Gl. 15) muss numerisch ausgewere werden, was bei Mone Carlo Simulaionen sehr zeiaufwendig is. Wir ersezen daher den Ausdruc ( 1 exp 1 ( ( ) 1 ) exp( ) (, ) + σ W+ W s σ w s g x W s = w s) E durch 1 ( σ( E W 1 W s W s w s) ) σ w s g x + ( σw s g x ) 1 + exp ( ) = exp( ) (, ) = 1+ exp( ) (, ) Bei einer realisischen Kalibrierung (s.u.) is der Fehler vernachlässigbar. Wir sezen daher ( e) x ( σ ) 1 min( s, + 1) p ( s, ) : = 1+ exp( w ) g( x, ) (Gl. 16) und inerpreieren x ( e p ) (, s ) als die Schäzung der 1-jährigen Überlebenswahrscheinlicheien x-jähriger Personen für die Periode [ +, 1] basierend auf den Beobachungen bis zum Zeipun s. Für s + 1 gil ( e) x ( ) 1 σ + 1 p ( s, ) = 1+ exp( w ) g( x, )

21 Goece: Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds 6. Allgemeiner is für 1 und s + 1 E 1 j = px ( + j, + j) W s = w s 1 1 = E ( 1+ exp ( σ ( W + j+ 1 W s) ) exp( σ w s) g( x+ j, + j) ) W s = w s j = der bese Schäzer der -jährige Überlebenswahrscheinlichei uner Berücsichigung der Beobachungen bis s. Dieser Wer ann berechne werden; erforder aber die numerische Auswerung eines -fachen Inegrals. Analog zu Ziffer 5 approximieren wir diesen Ausdruc durch ( 1+ exp( w ) g( x+ j, + j) ). Allgemeiner definieren wir für alle s : 1 j = σ ( σ min(, + + 1) ) s 1 1 ( e) 1 px ( s, ) : = 1+ exp( w s j ) g( x+ j, + j) (Gl. 17) j = und inerpreieren x ( e p ) (, s ) die Schäzung der -jährigen Überlebenswahrscheinlicheien x-jähriger Personen für die Periode [, + ] basierend auf den Beobachungen bis zum Zeipun s. Für s + is ( e p ) (, s) = p() die asächlich realisiere -jährige Überlebenswahrscheinlichei. x x Kalibrierung des Parameers σ Eine Kalibrierung der Volailiä σ des W -Prozesses is auf der Grundlage der Richafeln naürlich nich möglich, da diesen ein deerminisisches Modell der ünfigen Moraliäsenwiclung zugrunde lieg. Wir greifen daher zurüc auf die Kalibrierung in [Cairns e.a. 26]. Auf der Grundlage der Serbeafeln für England und Wales ergib sich ein Wer von σ 4%. 14 Weier unen werden wir zeigen, dass die Sochasi des W -Prozesses das Asse Liabiliy Managemen weniger sar beeinfluss als das Kapialanlagerisio oder sruurelle Verschiebungen im Besand. 14 Da das Modell in [Cairns e.a. 26] eine alersabhängige sochasische Komponenen umfass, haben wir hier die Berechnung der Sandardabweichung für ein durchschniliches Besandsaler von x = 9 zugrunde geleg. Da das asächliche Durchschnisaler in der Regel niedriger is, wird hierdurch die Sandardabweichung ewas überschäz. 17

22 Die folgenden Abbildung (Abb. 5) zeig die milere fernere Lebenserwarung 65-jähriger Männer und Frauen in Abhängigei vom Gebursjahr (194 2). Bei der Berechnung der Quanile des sochasischen CBD-Modells wurden jeweils 5 Simulaionen ausgewere. Zu Vergleichszwecen wurde die Enwiclung der Lebenserwarung nach den Richafeln 25G dargesell. Abb. 5 mach deulich, dass die Abweichung des vereinfachen CBD-Modells von den Richafel-Weren im Verhälnis zu Unsicherhei der Serblicheisenwiclung aum ins Gewich fäll. ABBILDUNG 5: Mileren ferneren Lebenserwarung 65-jähriger Männer (lins) bzw. Frauen (rechs) in Abhängigei vom Gebursjahr, Vergleich CBD-Modell und Richafeln 25G, sowie die 1% und 99%-Quanile für das CBD-Modell ( σ =.4 ) Simulaion Besandsenwiclung Bei der Simulaion des Renenbesandes berücsichigen wir die doppele Sochasi in folgender Weise: 1. Wir simulieren den Prozesse W für =,1,..., T und erhalen für jeden Simulaionslauf eine Folge 1-jähriger Überlebenswahrscheinlicheien ( px (, ) :, 1,..., T) = + +. Wir inerpreieren = als das Jahr 25 und simulieren die Besandsenwiclung bis zum Jahre 265; d.h. T = Für alle {,1,..., T 1} und x { z, z+ 1,..., ω} simulieren wir die Größe L ( 1) + 1 x+ als Realisaion einer Bn (, p) -vereilen Zufallsvariablen mi n= L ( x) und p= p (, x). Auch im Hinblic auf die weieren Modellrechnungen onsruieren wir einen großen Muserbesand ( BesandXL ) mi folgenden Eigenschafen (vgl. Abb. 6): 18

23 Goece: Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds Anzahl der 65-jährigen (Neurenner) beräg L z () = 1. Für x z, x< ω gil Lx+ 1 () = Lx() px (,), ganzzahlig gerunde. px (,) wird alibrier nach Tabelle 1 für einen hybriden Besand. Ohne Serblicheisrend befände sich also dieser Besand in einem seady sae, d.h. die Anzahl der Gesorbenen würde durch einen Neuzugang von 1 genau ausgeglichen. Die Gesamzahl der Personen dieses Besandes beräg Aus dem BesandXL leien wir zwei weiere, uner der Ganzzahligeibedingung sruurgleiche Besände ab: BesandL: Besandssruur wie BesandXL, jedoch mi insgesam Personen, im Anfangsbesand, also rund 1/1 des Besandes XL. BesandS: Besandssruur wie BesandXL, jedoch mi insgesam nur 184 Personen im Anfangsbesand, also rund 1/1 des Besandes XL. ABBILDUNG 6: Sruur des Anfangsbesandes BesandXL Auf der Grundlage der obigen Kalibrierung führen wir für alle drei Besände jeweils 2 Simulaionsläufe durch und berechnen die Enwiclung der Gesamzahl der Renner für für einen Zeiraum von 6 Jahren (ab 25 bis 265). Die Berechnungen sind in Abb. 7 zusammengefass. Für die drei Muserbesände werden jeweils drei Niveaus für die Volailiä der Serblicheisenwiclung unersell: σ = (line Spale in Abb. 7), σ 19

24 = 4% (milere Spale) und σ = 8% (reche Spale). Zusäzlich is in den Teildiagrammen jeweils durch eine gebrochene Linie der (deerminisische) Besandsverlauf, berechne auf Grundlage der Rechnungsgrundlagen der Richafeln 25G, dargesell. 15 Zunächs fäll auf, dass bei nahezu allen Hochrechnungen die Gesamzahl der Renner im Zeiablauf anseig; dies is dem Umsand geschulde, dass der Ausgangsbesand die seady-sae Sruur der Basisafel 25 ha und dass aufgrund der sinenden Serbewahrscheinlicheien der Besand immer langsamer absirb. Das Teildiagramm oben lins (eine Sochasi) zeig, dass das CBD-Modell eine sehr gue Approximaion der projizieren Periodenserbeafeln der Richafeln 25G liefer. Die drei Grafien der linen Spale illusrieren die Sochasiziä der individuellen Serblichei. Nur bei dem leinen Besand (unere Zeile der Abb. 7) omm es zu nennensweren Abweichungen vom erwareen Verlauf. Das sysemaische Serblicheisrisio dominier das idiosynraische Risio also auch bei einem leinen Besand. 15 Aus den abellieren Rechnungsgrundlagen der Richafeln 25G haben wir durch einfache Inerpolaion hybride Rechnungsgrundlagen für einen gemischen Besand abgeleie. 2

25 BesandXL σ = BesandXL σ = 4% BesandXL σ = 8% BesandL σ = BesandL σ = 4% BesandL σ = 8% BesandS σ = BesandS σ = 4% BesandS σ = 8% ABBILDUNG 7: Simulaion der Besandsenwiclung (einschl. Neuzugang) für 6 Jahre für einen großen, mileren und leinen Besand bei verschiedenen σ-niveaus. Die gebrochene Linie zeig jeweils die deerminisische Hochrechnung des Besandes, wenn man die Rechnungsgrundlagen der Richafeln 25G zugrunde leg. 21

26 2.5 Generaionenrendie Kern des olleiven Modells is es, den Risioausgleich zwischen den Generaionen in Bezug auf das Langlebigeisrisio und das Kapialanlagerisio darzusellen. Der generaionenübergreifende Ausgleich des Kapialanlagerisio ha zur Folge, dass ex pos einzelnen Generaionen von dem olleiven Ausgleich profiieren, andere hingegen ohne den olleiven Ausgleich besser gesell wären. Um diesen Vereilungseffe zu quanifizieren, wollen wir besimmen, in welchem Maße die einzelnen Rennergeneraionen an der Kapialmarenwiclung parizierieren. Zu diesem Zwec führen wir den Begriff der Generaionenrendie ein, den wir im Folgenden präzisieren. Hierzu berachen wir die (Renner-) Generaion G = G(), die zum Zeipun mi insgesam Lz () Personen des Alers z dem Renenolleiv bzw. Pensionsfonds beiri. Mi Beiri zahl diese Generaion einen Einmalbeirag in Höhe von EP() = f r() a( z,, 1) L (). z Zum Zeipun + ( =,..., ω z) umfass diese Generaion L + ( + ) Überlebende, die jeweils eine Rene in Höhe von r( + ) = r() exp ( ε() ε( + 1) ) erhalen. Wir bezeichnen mi CF G den Cashflow aller Renenzahlungen an die Personen der Generaion G vom Zeipun bis zum Zeipun + ω z. Es gil ( ( ) ( ), ( 1) ( 1),..., ( ) ( )) CF = L r L + r+ Lω + ω z r+ ω z. G z z+ 1 Als Rendie der Generaion G bezeichnen wir den Zinssaz µ G, für den der Barwer dieses Cashflows der Einmalprämie dieser Generaion ensprich, also ω z EP( ) = BW ( CF, µ ) : = L ( + ) r( + )exp( µ ). (Gl. 18) G G z+ G = Der Cashflow CF G bzw. die Generaionenrendie µ G häng von der Serblicheisenwiclung und von der Kapialmarenwiclung ab, gerieben von den sochasischen Prozessen W und W. CF G bzw. µ G häng naürlich auch von den Managemenenscheidungen ab, diese jedoch hängen ihrerseis von der Serblicheis- und von der Kapialmarenwiclung ab. Die Zufallsvariable µ G= µ G () realisier sich ers zum Zeipun + ω z. z

27 Goece: Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds Bemerung (Gl. 18) is gleichbedeuend mi ω z ω z 1 f p p j = = j= z(, 1) exp( µ ) = z(, + ) exp ( µ G ε( + )) (Gl. 19) Begründung hierfür: Da L ( z ) = pz(, + ) erhalen wir L( z) + + ω z EP() = faz (,, 1) = f pz(, 1) exp( µ ) und rl () () z = ω z 1 (, µ ) BW CF G L() r () z G = pz(, + ) exp ε ( + j) exp( µ G) = j=. 23

28 3 Asse Liabiliy Managemen für den Pensionsfonds Im Folgenden unersellen wir einen hinlänglich großen Besand von Rennern, so dass wir das idiosynraischen Risio nich gesonder berücsichigen müssen. Im Anhang (Abschni 5.1, Gl. 36) wird gezeig, wie das bei leinen Besänden relevane idiosynraische Risio durch eine ensprechend Anfassung des Faors σ berücsichig werden ann. 3.1 Forschreibung der Aiva und Passiva Für =,1,..., T is P () den Wer des Porfolios nach Zugang der Finanzierungsbeiräge des Neuzugangs ( EP() ) und vor Auszahlung der fälligen Renen ( r () L ()). Somi gil ( ) ( ) P ( + 1) = P () rl () () exp µ () + σ ()( W + W) + EP ( + 1), P 1 mi µ = µ + σ σ. 1 2 P(): () rm () 2 Von einem rechnungsmäßigen Verlauf des Besandes wollen wir sprechen, wenn bei Wahl der Risioexposiion σ () die Kapialanlagen sich mi der erwareen 1 2 Porfoliorendie µ () = µ + σ() r σ () verzinsen - vgl. (Gl. 7), P M 2 die asächliche Anzahl der Überlebenden Lx+ 1 ( + 1) = px(, + 1) Lx( ) mi der zum Zeipun geschäzen Anzahl der Überlebenden ( e L ) ( 1) : (, ) ( ) x+ 1 + = px Lx für x = z,..., ω 1 übersimm. ( e Ensprechend bezeichnen wir mi ) ( e P ( + 1) bzw. ) ( e) V ( + 1) bzw. v ( + 1) das uner der Annahme eines rechnungsmäßigen Verlaufs auf den Zeipun +1 hochgerechnee Porfolio bzw. die (normiere) Decungsrücsellung. Da wir den Neuzugang als beann voraussezen und auch der Einmalbeirag des Neuzugangs auf der Grundlage der zum Zeipun geschäzen Renenbarwere berechne wird, önnen wir zum Zeipun uner der Annahme eines rechnungsmäßigen Verlaufs Wer der Kapialanlagen ( e ) ( e P ( + 1) und die Decungsrücsellung V ) ( + 1) zum Zeipun +1 besimmen. Es gil ( ) ( µ ) ( e P ) ( + 1) = P () rl () () exp () + EP ( + 1) (Gl. 2) P 24

29 Goece: Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds ( µ ε )( ) ( e V ) ( + 1) = r ( + 1) az (, + 1,) L( + 1) + exp + () V () r () L () (Gl. 21) z ( ) + = (Gl. 22) ( e) v ( 1) az (, 1, ) Lz ( 1) exp( µ ) v( ) L ( ) Begründung hierfür: (Gl. 2) is lar, (Gl. 21) folg aus (Gl. 22). Zum Beweis von (Gl. 22) is zunächs zu be- ( e) achen, dass µ ( ) ax ( + 1, + 1, ) L ( + 1) = exp( ) ax (,, ) 1 L( ) - vgl. (Gl. 1). Somi x+ 1 x folg: ω ( e) ( e) v ( + 1) = ax (, + 1, ) Lx ( + 1) x= z ω 1 ( ) = az (, + 1, ) L( + 1) + exp( ) ax (,, ) 1 L( ) z µ x= z ω = az (, + 1, ) Lz( + 1) + exp( µ ) ax (,, ) Lx( ) L ( ) x= z ( ) = az (, + 1, ) L( + 1) + exp( µ ) v( ) L ( ). z x Bemerungen: 1. ( e P ) ( + 1) is nich das erwaree Vermögen E ( P ( + 1) W = w), sondern das mi der erwareen Rendie µ P() = ( µ P() + σ ()( W+ 1 W) W = w) Vermögen. E hochgerechnee ( e 2. Ebenso is V ) ( + 1) nich die erwaree Decungsrücsellung zum Zeipun +1, sondern die mi den geschäzen Überlebenswahrscheinlicheien hochgerechnee Decungsrücsellung vgl. Bemerung 5 in Abschni Sruurparameer des Renenbesandes Die Sochasi des Renenbesandes (Anzahl der Überlebenden, Decungsrücsellung) häng naürlich wesenlich von der Sruur des Besandes ab. Wir definieren daher drei Kenngrößen, die die Sruur bzw. die Dynami eines Renenbesandes charaerisieren. Wir sezen ( e) L () Lz ( + 1) az (, + 1, ) v ( + 1) λ : =, ν : =, ( e) ξ : = ln. v( ) v ( + 1) v( ) 25

30 Bemerungen: 1. r () L () λ = önnen wir als Liquidiäsquoe des Besandes inerpreieren, sie gib V () an, welcher Aneil der Decungsrücsellung unmielbar fällig is. 2. ν is das relaive Gewich des Neuzugangs am gesamen Verpflichungsvolumen, wobei zu beachen is, dass ν zum Zeipun auf Basis der geschäzen Were besimm wird. 3. ( e V ) ( + 1) ξ = ln ε( ) is das um den Renenerhöhungseffe orrigiere Besandswachsum, geschäz auf der Basis der zum Zeipun vorliegenden Informaionen. V () Diese Quoe wird vom Neugeschäf beeinfluss, allerdings auch vom Serblicheisrend. 4. Für die Sruurparamener ν, ξ wählen wir den Zeiindex und nich +1, um zu verdeulichen, dass diese Größen zum Zeipun beobache werden. 5. Zwischen diesen Sruurparameern beseh folgender Zusammenhang: 1 ν = exp( µ ξ ) 1 λ und λ = 1 (1 ν )exp( ξ µ ). Die Enwiclung der Sruurparameer in der Zei für verschiedene Neuzugangsszenarien wird in Abb. 1 (Abschni 4.2) illusrier. 3.3 ALM Sraegie Allgemeine Darsellung In unserem Modell sind die sochasischen Prozesse ( W ) und ( ) W, der Anfangsbesand, der jährliche Neuzugang Lz () sowie die Einsiegsprämien der Neurenner EP() exogene Größen. Wir unersellen, dass der Renenbesand sich selbs ragen muss. Insbesondere gib es also einen exerenen Kapialgeber, der dem Kolleiv Miel zuschießen bzw. Miel enziehen önne. Die Bewerung der Aiva und Passiva des Pensionsfonds erfolg nach Zeiweren. Hierbei berachen wir allerdings im Kapialmarmodell den sicheren Zins µ als onsan. 26

31 Goece: Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds Ensprechend unersellen wir auch einen onsanen Rechnungszins µ. Für die Modellrechnugen (Kapiel 4) werden wir ses µ = µ sezen. Der Rechnungszins is also der Zins, der risiolos am Kapialmar erziel werden ann es sind also eine Sicherheismargen eingerechne. Die biomerischen Rechnungsgrundlagen, die für die Berechnung der Decungsrücsellungen zugrunde geleg werden, enhalen ebenfalls eine Sicherheisabschläge und basieren jeweils auf der auellen Schäzung der Überslebenswahrscheinlicheien. Aiva und Passiva unerliegen zunächs einmal sochasischen Einflüssen, die von den W gerieben werden. Ferner sind der Anfangsbesand und der Prozessen ( ) W und ( ) Neuzugang und dessen Finanzierungsbeirag aus Sich des Pensionsfonds nich beeinflussbare Größen. Durch die Feslegung der Risioexposiion σ () der Kapialanlagen (Asse Managemen) und die Feslegung der Anpassungsrae ε () der fälligen Renen (Liabiliy Managemen) önnen aber Aiva und Passiva beeinfluss bzw. geseuer werden. Asse Liabiliy Managemen (ALM) bedeue, dass die Feslegung der Risioexposiion und der Renenanpassung aufeinander abzusimmen sind. Da die Bilanz eine Eigenapialposiion enhäl, somi also eine exerne Finanzierungsquelle zur Verfügung seh, muss das ALM so erfolgen, dass mi großer Wahrscheinlichei zu jedem Zeipun die Asses die Liabiliies überdecen, dass also P () V () gil. Wir wollen diese Bedingung ewas allgemeiner fassen und fordern, dass P () ρ( ) = ln ρ V () min für ein vorgegebenes ρ min. (Solvenzbedingung) Wir bezeichnen ρ min als Mindes-Solvaquoe, wobei wir das Unerschreien als Auslöser eines disreionären Eingriffs (ewa durch ein Aufsichsorgan) inerpreieren. ρ min ann durchaus eine negaive Größe darsellen, wenn nämlich eine emporäre Unerdecung des Pensionsfonds olerier wird. Bevor wir unser Modell formal beschreiben, soll zunächs die Grundidee der ALM-Seuerung dargesell werden. Basis des ALM is die Besimmung eines reservequoe ρ und einer sraegischen Risioexposiion σ, die aus Sich des Pensionsmanagers eine Gleichgewichssiuaion 27

32 marieren. Wenn die auelle Reservequoe ρ () der reservequoe ρ ensprich, so soll auch die gewähle (aische) Risioexposiion σ () der sraegischen Risioexposiion σ ensprechen. Bei der Feslegung des sraegischen ALM-Gleichgewichs ( ρ, σ ) is naürlich darauf zu achen, dass σ und ρ zueinander passen. Eine hohe sraegische Risioexposiion verlang angesichs der Solvenzbedingung (s.o.) ein passende Reservequoe; auf dieses Problem wird weier unen eingegangen. Wir wollen jedoch unersellen, dass ρ und σ. Wenn das sraegische ALM-Gleichgewich ( ρ, σ ) fesseh, is das Besreben des Pensionsmanager darauf geriche, diesen Gleichgewichszusand zu erreichen. Hierzu vergleich der Pensionsmanager zu Beginn jeden Jahres die Is-Reservequoe ρ () mi der reservequoe. Is dann ρ() < ρ, so wird die Renenanpassung so gewähl, dass sich im Folgejahr die Reservequoe verbesser bzw. die Reservelüce ρ ρ() verringer wird. Ebenso wird der Pensionsmanager möglicherweise besreb sein, die Risioexposion nach unen hin anzupassen, um eine Gefährung der Solvabiliäsbedingung zu vermeiden. Beobache er einen Reserveüberhang, d.h. ρ() > ρ, so beseh Spielraum für zusäzliche Renenanpassung, was wiederum zu einem Abschmelzen des Überhangs führ. Ensprechend wird er bei einer Reserveüberdecung Spielraum sehen, die Risioexposiion über σ hinaus zu erhöhen Zu Präzisierung der ALM-Regeln sezen wir u (): = ρ() ρ und sezen ( ) σ() = σ + au () mi Nebenbedingung σ() σm (AM-Regel - Gl. 23) ( ) ε () = µ () µ + θ u (), (LM-Regel - Gl. 24) P P 1 2 wobei µ () = µ + σ() r σ () für die erwaree Porfoliorendie bei Wahl der Risioexposiion σ () darsell. M 2 au ( ) und θ ( u) sind Anpassungsfunionen, die seuern, wie schnell die Risioexposiion und die Renenhöhe bei einen Reserveüberschuss ( u ( ) > ) bzw. einer Reservelüce ( u ( ) < ) angepass werden. Die Nebenbedingung in der AM-Regel is erforderlich, da ohne diese im disreen Modell eine negaive Risioexposiion nich ausgeschlossen werden ann. Darüber hinaus 28

33 Goece: Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds soll sichergesell werden, dass die Aienquoen nich über 1% liegen soll. 16 Weiere Nebenbedingungen sind denbar, z.b. eine unere oder obere Schrane für die Renenanpassung bzw. für die Risioexposiion. Dies soll weier unen unersuch werden. Man beache, dass die LM-Regel den Fall ε () <, also eine Renenürzung, nich grundsäzlich ausschließ. 17 Der Spezialfall au ( ) verdien eine gesondere Berachung. In den Modellrechnungen des Kapiels 4 werden wir uns auf diesen Fall beschränen. Is au ( ), so önnen wir von einer reinen Liabiliy-Sraegie sprechen, denn die ALM-Seuerung nimm nur noch Einfluss auf die Passivseie. Eine reine Liabiliy-Sraegie vermeide insbesondere eine prozylische Anlagesraegie. Komm es nämlich infolge eines Börsencrashs dazu, dass die Reservequoe uner den wer sin ( u < ), so führ die LM-Regel für au ( ) < dazu, dass in einer Baisse-Phase Aien verauf werden müssen. Verziche man jedoch auf die Anpassung der Asse-Alloaion, so wird es ensprechend schwieriger, die Solvabiliäsbedingung sicherzusellen. Wenn zum Zeipun aufgrund der ALM-Regeln (Gl. 23 u. 24) die Seuerungsgrößen σ () und ε () fesgeleg wurden, so ann man uner der Annahme eines rechnungsmäßigen Verlaufs die erwaree Reservequoe ρ ( e) P ( 1) : ln V ( + 1) ( + 1) ( e) + = ( e) zum Zeipun +1 besimmen. Proposiion 1 Is σ () die onsane Risioexposiion für das Zeiinervall [ +, 1] und ε () die Renenanpassung zum Zeipun +1, so gil: ( e) 1 v ρ ( + 1) = ln fv + exp ( µ P() µ ε() ) ( exp ( ρ() ) λ) 1 λ (Gl. 25) ( e) ρ( 1) ρ ( 1) X+ 1 Y+ 1 + = + + (Gl. 26) 16 Ließe man ein redifinanzieres Aieninvesmen zu, so wären Aienquoen von über 1% möglich. 17 Man beache, dass nach deuschem Rech reguliere Pensionsassen regelmäßig als Nofallmaßnahme eine Renenürzung vorsehen. 29

34 P () mi den sochasischen Prozessen X : = ln ( e) P () v() V (). v () V () und Y : = ln = ln ( e) ( e) Beweis Aus (Gl. 2 u. 21) folg ( e) P ( + 1) P () rl () () EP ( + 1) = exp ( ) ( µ P( ) e ) ( e) ( e) +. ( e) V ( + 1) V ( + 1) V ( + 1) V ( + 1) Man rechne nun leich nach, dass V P () 1 ν = exp ( ρ() ε() ξ ) = exp ( ρ() ε () µ ), ( + 1) 1 λ ( e) r () L () 1 ν = exp( ε( )) λ exp( ) exp ( ) ξ = ( ε ( ) µ e ) λ V ( + 1) 1 λ Hieraus folg (Gl. 25); (Gl. 26) is offensichlich. EP( + 1) und = ( e) V ( + 1) f ν. Bemerungen 1. Die erwaree Reservequoe ( ρ e) ( + 1) basier auf den Beobachungen bis zum Zeipun ; X + 1 bzw. Y + 1 sind die sochasische Komponenen der Kapialmarenwiclung bzw. der Serblicheisenwiclung im Zeiraum [ +, 1] und realisieren sich zum Zeipun Die Darsellungen in (Gl. 25 und 26) gelen unabhängig vom gewählen Kapialmarund Serblicheismodell. 3. Für w+ 1: = W+ 1 W gil: ( ) ( µ P σ + 1) P ( + 1) = P () rl () () exp () + () w + EP ( + 1) und somi folg ( ( )( )) X = ln ζ + exp σ() w 1 ζ (1 ζ ) σ() w, (Gl. 27) EP( + 1). ( e) P ( + 1) Der sochasische Prozess häng primär von der Kapialmarenwiclung ab. Der wobei ζ ( e) : = = ν exp ( ρ ( + 1) ) Prozess wird aber auch beeinfluss von EP( + 1) und somi von der Renenhöhe 3

35 Goece: Asse Liabiliy Managemen in einem selbsfinanzierenden Pensionsfonds bzw. der ALM-Seuerung. Angesichs der Größenordnung des Sruurparameers ν (vgl. Abb. 1 in Abschni 4.2) ann man bei 1-jähriger Berachungsweise X σ () w annähern Man beache, dass Y + 1 ausschließlich von der Serblicheisenwiclung abhäng. Y + 1 is unabhängig von der Renenhöhe und somi auch unabhängnig von der ALM-Seuerung. 5. Bei rechnungsmäßigem Verlauf gil X = Y = Konreisierung der ALM-Regeln Die Darsellung in (Gl. 25) zeig, wie die Wahl von ε () die erwaree Reservequoe beeinfluss. Lösen wir diese Gleichung nach ε () auf, so erhalen wir uner Verwendung der Sruurparameer λ und ν : ( ρ ) 1 v exp ( ) λ ε () = µ P() µ + ln. ( e) 1 λ exp ( ρ ( + 1) ) f ν (Gl. 28) Die Darsellung in (Gl. 28) is wohldefinier, wenn wir zum Zeipun unersellen, dass P () > r () L (), also das Vermögen des Pensionsfonds zumindes ausreich um die fälligen Leisungen auszuzahlen. Es gil nämlich ( e) ( e) P ( + 1) EP( + 1) exp ( ρ ( + 1) ) fν > > P () > rl () () ( e) ( e) V ( + 1) V ( + 1) und ( ρ ) exp () λ > P () > rl () (). (Gl. 28) gib an, wie die Renen anzupassen sind, so dass sich bei rechnungsmäßigem ( Verlauf eine Reservequoe von ρ e) ( + 1) einsell. Die Renenanpassung ε () beseh aus einem Zinsaneil µ P () µ ( Überzins ) und einer Sruuromponene, die von der Asse-Alloaion unabhängig is. Wir haben oben dargesell, dass der Kern der ALM-Sraegie darin beseh, die Reservequoe auf dem Niveau der reservequoe ρ zu halen bzw. darin, eine Reservelüce u () < bzw. einen Reserveüberhang u () > aufzufüllen bzw. abzubauen. Aufgrund der Sochasi der Porfolio- und der Serblicheisenwiclung ann die Reservequoe der Folgeperiode nich fesgeleg werden. Es beseh lediglich die Möglichei, 31

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