Notizen zur Vorlesung über Kurven
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- Alwin Schräder
- vor 5 Jahren
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1 Noizen zur Vorlesung über Kurven Michel Krow, TU-Berlin November 6, 9 Definiion: Eine prmerisiere Kurve is eine seige Abbildung x : R I R n, wobei I ein (offenes, hlboffenes oder bgeschlossenes) Inervll is, oder I R. Alernive Schreibweise für die Abbildung x: x() (x (),x (),...,x n ()) R n, I. Die Bildmenge x(i) { x() I} wird ebenflls ls Kurve bezeichne. Genuere Sprechweise: x(i) is die Spur der Kurve x. Bemerkungen. Die Vrible heiß Kurvenprmeer. Mn knn uch ndere Buchsben zur Bezeichnung einer Kurve und des Kurvenprmeers nehmen. Beispiele: u c(u) (c (u),c (u),...,c n (u)) R n, u I, τ γ(τ) (γ (τ),γ (τ),...,γ n (τ)) R n, τ I. Mögliche physiklische Inerpreionen: Zeipunk. x() Posiion eines Mssenpunkes zur Zei oder x() Zusnd eines physiklischen Sysems zur Zei. Im zweien Fll sind die Komponenen von x die Were der physiklischen Größen, welche den Zusnd des Sysems besimmen. Bei einem Gs in einem Behäler z.b.: x () Gsdruck, x () Gsemperur. Die Kurve x(i) { x() I} knn ber uch die momenne Lge eines gebogenen Drhes beschreiben. In diesem Fll h der Prmeer nich die Bedeuung eines Zeipunks. Differenzierbrkei und Länge einer Kurve: Eine Kurve x : R I R n heiß differenzierbr n der Selle I, flls sämliche Komponenenfunkionen x k ( ) n der Selle differenzierbr sind. Die Ableiung von x n der Selle is dnn x () : lim τ x(τ) x() τ (x (),x (),...,x n ()). In vielen Anwendungen wird x () ls Geschwindigkei inerpreier. Mn sell dnn x () durch einen Vekorpfeil dr, der m Punk x() ngehefe is. Der Vekor x () lieg ses ngenil n der Kurve. Der Berg der Geschwindigkei is x () x () + x () x n ().
2 Flls die Kurve x : I R n mi höchsens endlich vielen Ausnhmen n llen Sellen [,b] seig differenzierbr is, dnn is die Länge L des Kurvensücks x([,b]) gegeben durch die Formel x () d x () + x () x n() d. Der Ausdruck hiner dem Inegrlzeichen heiß differenielles Bogenelemen und wird mi ds bezeichne: ds : x () d x () + x () x n() d. x x () x() x I Kurve mi Ableiung (Geschwindigkeisvekor). x Beispiele. ) Eine Kreislinie mi Mielpunk (, ) und Rdius r > is die Punkmenge K r {(x,y) R x + y r }. Eine Prmerisierung von K r is gegeben durch x : [, π[ R, x() : [ ] r cos() r r sin() [ ] cos(). () sin() Inerpreion von : Winkel, den der Vekor x() mi der x-achse einschließ. Siehe Bild.
3 y()r sin() r cos()x() r Prmerisierung einer Kreislinie. Für die Länge der Kreislinie (Kreisumfng) bekomm mn: π π π x () + y () d ( sin()) + (r cos()) d r d π r. ) Mn bekomm ineressne ndere Kurven, indem mn in () den Rdius r von bhängig mch: [ ] cos() x : [, π[ R, x() : r(). sin() Mi der Vorschrif r() ( + cos()), [, π], bekomm mn eine Krdioide (Herzkurve). Mi der Vorschrif r() cos(), [ π/4,π/4] [3π/4, 5π/4] bekomm mn eine Lemniske. Mi der Vorschrif r() bekomm mn eine Archimedische Spirle (wenn mn lle nichnegiven Zhlen durchlufen läss). Anmerkung: Mn knn diese Kurven ebenso wie den Kreis durch Gleichungen beschreiben. Die Lemniske is z.b. die Punkmenge L {(x,y) R ( x + y ) ( x y ) }. 3
4 Kurven. links: Krdioide, mie: Lemniske, rechs: Archimedische Spirle 3) Wenn mn in () für die beiden Komponenen unerschiedliche Rdien,b > einführ, bekomm mn chsenprlle Ellipsen: [ ] cos() x : [, π[ R, x() : b sin() Ds Bild (synonym: die Spur) von x is die Ellipse E,b {(x,y) R x + y b Vorsich: Wenn b, dnn is der Kurvenprmeer nich der Winkel zwischen dem Vekor x() und der x-achse. }. b 4) Die Punkmenge H,b : {(x,y) R x Ellipse mi Hlbchsenlängen,b. y b },,b >. is eine Hyperbel, deren Asympoen die Seigung ±b/ hben. Eine Prmerisierung des rechen Hyperbelses (ds sind lle Punke der Hyperbel mi x > ) is [ ] cosh() x(), R. b sinh() 4
5 Im Fll b is der Flächeninhl im Bild unen. 3 sinh()y 5 b xcosh() 5 Asympoen links: Hyperbel (x/) (y/b), rechs: Hyperbel x y. 5) Eine Zykloide is die Bhn eines Punkes, der n einem rollenden Rd befesig is. Siehe Vorlesung und Husufgbe. 6) Grphen seiger Funkionen f : I R (I ein Inervll) sind ebenflls Kurven: Grph(f) {(x,f(x)) x I}. Eine nheliegende Prmerisierung is x γ(x) : [ ] x, x I. f(x) Die Länge eines Grphensücks is γ (x) dx γ (x) + γ (x) dx + f (x) dx. Der obere Hlbkreis vom Rdius r um den Punk (, ) is z.b. der Grph der Funkion f : [,r] R, f(x) r x. 5
6 Für die Bogenlänge des Hlbkreises erhäl mn (wenig überrschend): + f (x) dx r + x r x dx r r x dx (x/r) dx (x/r) r [rcsin(x/r)] r r π. r dx 7) Eine Schrubenlinie (Helix) is eine Rumkurve der Form r cos() x() r sin() R 3, R Schrubenlinie (Helix). 6
8.5 Uneigentliche Integrale Integrale über unbeschränkte Bereiche. f(x) dx. Integrale über unbeschränkte Funktionen mit Singularitäten am Rand
8.5 Uneigenliche Inegrle Inegrle über unbeschränke Bereiche,, Inegrle über unbeschränke Funkionen mi Singulriäen m Rnd, f : (, b] R seig, f : [, b) R seig Lokle Inegrierbrkei: Definiion: Eine Funkion f
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