Mathematik für Biologen

Transkript

1 Dirk Horstmann Mathematik für Biologen 2. überarbeitete und ergänzte Auflage & Springer Spektrum

2 1 Einstieg und grafische Darstellungen von Messdaten Grafische Darstellung von Daten und unterschiedliche Mittelwerte Weitere Analyse der vorliegenden Messdaten 8 Übungsaufgaben 13 Literatur 16 2 Grundlegende Rechenoperationen Welche Zahlen sind aus der Schule bekannt? Das Prinzip eines Widerspruchsbeweises Weitere Bezeichnungen und Notationen Weitere Regeln für das Rechnen mit reellen Zahlen Potenzen, Binomial-Koeffizienten und der Binomische 25 Lehrsatz" Binomische Formeln Das Hardy-Weinberg'sche Gleichgewicht Binomial-Koeffizienten und der Binomische Lehrsatz" Das Prinzip der vollständigen Induktion Der Umgang mit fehlerhaften Daten/Rechnen mit Fehlern Übungsaufgaben 51 Literatur 53 3 Rechnen mit Ungleichungen Grundregeln für das Rechnen mit Ungleichungen Beschränktheit von Mengen 60 Übungsaufgaben 61 4 Polynome und Polynomdivision Rechenoperationen mit Polynomen Polynomdivision 65 Übungsaufgaben 68 XIII

3 XIV 5 Lineare Gleichungssysteme Das Lösen linearer Gleichungssysteme mithilfe von Einsetzen Die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen Matrizen Rechnen mit Matrizen Determinanten und invertierbare Matrizen Determinanten Berechnung der Inversen Spezielle Gleichungssysteme und die Eigenwerte einer Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren Komplexe Zahlen Rechnen mit komplexen Zahlen 110 Übungsaufgaben 112 Literatur Funktionen Was ist eine Funktion? Wie erhält man eine Funktionsgleichung aus experimentellen Daten? Besondere Klassen von Funktionen Lineare Funktionen Lineare Regression Polynome Approximation der Daten mithilfe von Lagrange-Polynomen Rationale Funktionen Partialbruchzerlegung Potenzfunktionen Eigenschaften von Funktionen 138 Übungsaufgaben 140 Literatur Die Exponentialfunktion und ihre Anwendung in der Biologie Die Exponentialfunktion Die Logarithmusfunktion Die Radiocarbon-Methode Die allgemeine Exponentialfunktion Logistisches Wachstum 154 Übungsaufgaben 155 Literatur Die trigonometrischen Funktionen Rechenregeln für die Sinus-und die Cosinusfunktion Anwendung von Cosinus und Sinus Winkelmaße 163

4 XV 8.2 Tangens und Cotangens Die Umkehrfunktionen des Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens Die Darstellung der komplexen Zahlen 167 Literatur Differentialrechnung Die Ableitung einer Funktion Differentiationsregeln 172 Übungsaufgaben 181 Literatur Integralrechnung Der Begriff des Integrals Integrationsregeln Uneigentliche Integrale 199 Übungsaufgaben 201 Literatur Gewöhnliche Differentialgleichungen Die Trennung der Variablen Die Variation der Konstanten Ansatz vom Typ der rechten Seite Differentialgleichungssysteme Von der einzelnen Differentialgleichung n -ter Ordnung zum Differentialgleichungssystem erster... Ordnung Lösung von linearen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung Grafische Darstellung der Lösungen bzw. Phasendiagramme Stabilitätsanalyse von stationären Punkten Räuber-Beute-Modelle 232 Übungsaufgaben 234 Literatur Differenzengleichungen Die Fibonacci-Gleichung Homogene lineare Differenzengleichungen Lineare Differenzengleichungen erster Ordnung mit variablen Koeffizienten Allgemeine inhomogene, lineare Differenzengleichungen Erzeugende Funktionen und ihre Anwendungen Lösung von Differenzengleichungen mittels erzeugenden und exponentiell erzeugenden Funktionen 250 Übungsaufgaben 253 Literatur 255

5 XVI 13 Wahrscheinlichkeitsrechnung Laplace-Wahrscheinlichkeit Eigenschaften der Laplace-Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit Unabhängigkeit von Ereignissen Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Der Satz von Bayes Statistische Wahrscheinlichkeit 278 Übungsaufgaben Literatur Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zufallsvariable Diskrete Zufallsvariable Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Stetige Zufallsvariable Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Maßzahlen von Zufallsvariablen Der Mittelwert bzw. der Erwartungswert einer Zufallsvariablen Die Varianz und die Standardabweichung a-quantile Die Kovarianz und der Korrelationskoeffizient Kenngrößen für Stichproben Zentraler Grenzwertsatz 315 Übungsaufgaben 316 Literatur Parameterschätzung Schätzung des Erwartungswertes Planung des Stichprobenumfangs bei einer Erwartungswertschätzung Maximum-Likelihood-und Kleinste-Quadrate-Schätzer Maximum-Likelihood-Schätzer Kleinste-Quadrate-Schätzer Konfidenzintervalle für Varianzen Konfidenzintervalle für das Verhältnis zweier Varianzen 338 Übungsaufgaben 342 Literatur 343

6 XVII 16 Testen von Hypothesen/Ein-Stichproben-Tests Das Testen von Hypothesen über den Erwartungswert Das Testen von Hypothesen über den Erwartungswert einer annähernd normalverteilten Zufallsvariablen bei großen Stichproben (N >30) Das Testen von Hypothesen bzgl. der Mittelwerte von Bernoulli-Experimenten bei großen Stichproben/ Der sogenannte Binomial-Test Dert-Test Der t-test für abhängige Stichproben Der/2-Test/-Anpassungstest 360 Übungsaufgaben 371 Literatur Weitere Anmerkungen zur Fehlerrechnung Auswirkung von Eingabefehlern auf Funktionswerte 373 Literatur Formelsammlung Notationen Intervalle Rechenregeln und-gesetze Potenzsummen Komplexe Zahlen Exponentialfunktionen Logarithmen Trigonometrische Funktionen Ausgewählte Funktionsgleichungen Differentiations-und Integrationsregeln Kennzahlen von Stichproben Mittelwerte Weitere Kennzahlen für Stichproben Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Kenngrößen Diskrete Zufallsvariable Stetige Zufallsvariable Allgemeine Rechenregeln für Kennzahlen diskreter und stetiger Zufallsvariablen 388 Personenverzeichnis 389 Sachverzeichnis 391