Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL

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1 Max C. Wewel Saisik im Bachelor-Sudium der BWL ud VWL Mehode, Awedug, Ierpreaio Mi herausehmbarer Formelsammlug ei Impri vo Pearso Educaio Müche Boso Sa Fracisco Harlow, Eglad Do Mills, Oario Sydey Mexico Ciy Madrid Amserdam

2 Progoseverfahre. Eiführug Wisseschafliche Progose Daebasis ud saisische Progosemodelle Beispiel: Umsazprogose Regressiosaalyse Problemsellug Besimmug der Regressioskoeffiziee Beureilug des Regressiosmodells Zeireiheaalyse Problemsellug Besimmug der glae Kompoee Besimmug der zyklische Kompoee Beureilug der Zeireihezerlegug Saisobereiigug Aufgabe ÜBERBLICK

3 PROGNOSEVERFAHREN. Eiführug.. Wisseschafliche Progose Die Aalyse saisischer Dae die ich ur der Beschreibug, soder auch der Vorhersage beobachbarer Tabesäde. Dabei werde Erfahruge aus der Vergagehei i die Zukuf forgeschriebe oder auf adere Objeke überrage. Progose geauer: Ex-ae-Progose sid Aussage über ubekae Beobachugswere eies Merkmals, die sich eweder auf och ich uersuche (zuküfige) Zeiperiode = +, +,... oder och ich uersuche Merkmalsräger = +, +,... beziehe. Ex-ae-Progose sid demach ich zwagsläufig auf die Zukuf geriche; escheided is vielmehr, dass die bereffede Beobachugswere bei der Progoseersellug ich beuz werde (köe). Demgegeüber beziehe sich Ex-pos-Progose auf bereis bekae Beobachugswere, die bei der Progoseersellug verwede werde. Ex-pos-Progose köe umielbar mi de esprechede asächliche Beobachugswere vergliche werde ud sid somi geeige, die Güe des verwedee Progosemodells zu beureile. Wisseschafliche Progose müsse besimme mehodologische Aforderuge geüge. Hierzu gehör zuallerers, dass sie sich auf eischlägige Erfahruge süze müsse, d.h. auf bekae Beobachugswere des bereffede Merkmals, welche eweder i vergagee Zeiperiode =,..., oder bei vergleichbare Merkmalsräger =,..., gesammel wurde. Jede verüfige Ex-ae-Progose is ämlich i gewisser Weise eie Überragug vo im Schäzbereich =,..., beobachee Sachverhale auf zuküfige oder vergleichbare Fälle im Progosebereich = +, +,.... Beispiele Eie Aussage über die Gewiewicklug eier deusche Akiegesellschaf im kommede Jahr is eie Ex-ae-Progose, da sie sich auf eie och ich uersuche Zeiperiode bezieh. Bei dieser Progose is die Gewiewicklug dieser Akiegesellschaf i de vergagee Jahre sicherlich eie uverzichbare Erfahrugsgrudlage. Eie Aussage über die moaliche Uerhalskose eies eu auf de Mark gekommee Kraffahrzeugyps, desse asächliche Kose och ich ermiel werde koe, is ebefalls eie Ex-ae-Progose, da sie sich auf eie och ich uersuche Merkmalsräger bezieh. Als Erfahrugsgrudlage wird ma hier Koseerhebuge bei vergleichbare Fahrzeugype verwede. 8

4 . Eiführug Nebe der empirische Grudlage wird vo eier wisseschafliche Progose geforder, dass sie iersubjekiv achprüfbar is, d.h. es muss uabhägig vo der Perso durch weiere Beobachuge grudsäzlich fessellbar sei, ob die Progose wahr oder falsch is. Zumides muss ei Vergleich der progosiziere mi de späer asächlich beobachee Were prizipiell möglich sei. Ferer solle i eier wisseschaflich seriöse Progose die ihr zugrudeliegede Aahme ex ae spezifizier werde. Aderefalls ka sich der Progosiker bei falsche Progose ex pos immer dami herausrede, dass die (zuächs ich spezifiziere) Aahme seier Progose ebe ich eigeroffe seie. Tasächlich is gerade bei Wirschafsprogose eie derarige Immuisierugssraegie häufig azureffe. Schließlich solle ach Möglichkei auch die Ableiug der Progose iersubjekiv achvollziehbar sei. Dies eröffe die Möglichkei, die Progosemehode selbs eier kriische Diskussio zu uerziehe, was ewa bei subjekive Eischäzuge überhaup ich möglich is. Dieser Trasparez-Grudsaz leg die Verwedug mahemaisch-saisisch fudierer Progoseverfahre ahe... Daebasis ud saisische Progosemodelle I der empirische Wirschafsforschug uerscheide ma ach der verwedee Daebasis Lägsschiaalyse ud Querschiaalyse. Bei eier Lägsschiaalyse werde besimme Merkmale bei ei ud demselbe Merkmalsräger i verschiedee Zeiperiode uersuch. Die Daebasis beseh i diesem Fall aus zeilich geordee Beobachugsreihe (Zeireihe). Demgegeüber werde bei eier Querschiaalyse besimme Merkmale bei verschiedee Merkmalsräger i ei ud derselbe Zeiperiode uersuch. Die Daebasis umfass da ugeordee Beobachugswere, da die Merkmalsräger keie Reihefolge aufweise. Abbildug.: Lägsschi- ud Querschiaalyse

5 PROGNOSEVERFAHREN Beispiel Progose eies Ladagswahlergebisses Vor eier Ladagswahl solle die Simmeaeile der Pareie progosizier werde. I eier Lägsschiaalyse würde ma die Ergebisse bei zurückliegede Ladagswahle i diesem Budeslad als Erfahrugsgrudlage uze. I eier Querschiaalyse würde ma higege die akuelle Ergebisse bei Ladagswahle i adere Budesläder (z.b. ierhalb der leze Moae) als Erfahrugsgrudlage uze. Beide mehodische Asäze habe hier ihre Vor- ud Nacheile. Am bese is es i diesem Fall sicherlich, beide Asäze i eiem Progosemodell zu verbide. Im Folgede werde zwei saisische Modelle zur Ersellug vo Progose behadel: die Regressiosaalyse ud die Zeireiheaalyse. Modelle der Regressiosaalyse basiere auf der Aahme, dass das zu progosizierede (abhägige) Merkmal eie Fukio vo eiem oder mehrere adere (uabhägige) Merkmale is. Diese Fukio, zu dere Schäzug sowohl Lägsschials auch Querschidae verwede werde köe, bilde die Grudlage für bedige Progose. Aus mehodologischer Sich erscheie solche We-da- Aussage wege der explizie Aahme-Spezifikaio sowie der dami verbudee Möglichkei, Progose für aleraive Szearie zu erselle, besoders voreilhaf. Je ach Fukiosyp ud Zahl der uabhägige Variable uerscheide ma lieare ud ich-lieare Modelle der Eifach- ud Mehrfachregressio. Im folgede wird ur das lieare Eifachregressiosmodell behadel. Zeireiheaalyische Modelle seze demgegeüber Lägsschidae (Zeireihe) voraus. Die Grudaahme laue, dass die zu progosizierede Zeireihe besimme Regelmäßigkeie aufweise, die sich i die Zukuf forschreibe lasse. Isofer hadel es sich da um ubedige Progose. Besoders eifach sid die sog. Zeireihezerlegugsmodelle, bei dee eie Zeireihe addiiv (oder muliplikaiv) i verschiedee Kompoee (Tred, Saisofigur ec.) zerleg wird. Ei solches Modell wird i diesem Kapiel vorgesell. Nebe de Zerlegugsmodelle gib es i der Zeireiheaalyse och zahlreiche adere Asäze (Gläugsverfahre, Box-Jekis-Verfahre, Spekralaalyse ec.). Die i der empirische Wirschafsforschug vielfach verwedee ökoomerische Modelle verbide regressios- ud zeireiheaalyische Mehode.

6 . Eiführug.. Beispiel: Umsazprogose Um die Gemeisamkeie bzw. Uerschiede der Regressiosaalyse ud Zeireihezerlegug zu verdeuliche, solle beide Asäze am gleiche Beispiel eier beriebliche Umsazprogose aufgezeig werde. Umsazprogose Beispiel I eiem Berieb soll zu Begi des Jahres eie Ex-ae-Umsazprogose für die vier Quarale dieses Jahres ersell werde. Dabei sehe dem Uerehme die Quaralsdae der Umsäze i de zurückliegede Jahre - zur Verfügug. Währed diese Iformaioe für eie Zeireiheaalyse ausreiche, beöig ma für eie Regressiosaalyse weiere Dae, da ma de Umsaz (= abhägige Variable) durch mideses ei aderes Merkmal erkläre will. Als Hypohese mag dabei die Vorsellug diee, dass der Umsaz vo der Höhe der Werbeausgabe (= uabhägige Variable) abhäg. Für diese beide Merkmale liege folgede Quaralsdae vor. Quaral Schäzbereich / / / / Umsaz [Mio. ],,7,5, beobachee Were Werbeausgabe [ ] 8 / / / /,,,,7 / / / /,6,,6,8 Progosebereich Progose geplae Were / / / /???? 5 7 Tabelle.: Dae zur Umsazprogose

7 PROGNOSEVERFAHREN. Regressiosaalyse.. Problemsellug Die Regressiosaalyse sell eie Weierewicklug der Korrelaiosaalyse dar (vgl. Abschi.5), wobei hier grudsäzlich vorausgesez wird, dass die beide berachee Merkmale X ud Y quaiaiv sid. Währed die Merkmale i der Korrelaiosaalyse völlig gleich behadel werde, wird i der Regressiosaalyse uersell, dass das erse Merkmal (X) uabhägig is ud das zweie Merkmal (Y) vom erse Merkmal abhägig is. Diese Zusammehag beschreib die Regressiosfukio y = f(x). Welches Merkmal uabhägig ud welches abhägig is, riche sich i.a. ach der vermuee Kausaliä. Sehr of is die im Modell erkläre (abhägige) Variable Y eie Zielgröße (Gewi, Umsaz ec.) ud die erklärede (uabhägige) Variable X eie Isrumegröße (Absazpreis, Werbeausgabe ec.). Als Regressiosfukio wird meis eie lieare Fukio gewähl, weil dies die eifachse Form der Abhägigkei is ud alle differezierbare Fukioe lokal durch eie lieare Fukio ageäher werde köe. Ohehi habe Regressiosfukioe immer ur approximaive Charaker, weil sich Zusammehäge zwische ökoomische Merkmale, die i.d.r. das Verhale vo Wirschafssubjeke (Produzee, Kosumee ec.) wiederspiegel, aurgemäß ich durch eifache Fukioe exak beschreibe lasse. Dies bedeue, dass beim Eiseze vo asächliche zweidimesioale Beobachugswere ( x, y ) ( =,,...) (.) seie sie aus dem Schäz- oder Progosebereich fas immer eie Abweichug (bzw. ei Fehler oder eie Sörug) u zwische dem Beobachugswer der abhägige Variable y ud dem Fukioswer f(x ) aufri. Uer Berücksichigug dieser empirische Abweichug laue das allgemeie Regressiosmodell y = f( x ) + u ( =,,...) (.) bzw. das lieare Regressiosmodell y = a+ b x + u ( =,,...). (.) Im Rahme eier Regressiosaalyse sid u im weseliche zwei Probleme zu behadel: Schäzproblem: Wie ka die Regressiosfukio bzw. im lieare Fall wie köe die beide Regressioskoeffiziee a ud b opimal passed zu de vorliegede Beobachugswere des Schäzbereichs umerisch besimm werde? Beureilugsproblem: Wie läss sich die Aussagefähigkei der so geschäze Regressiosfukio ud dami die Güe der aus ihr abgeleiee Progose beureile?

8 . Regressiosaalyse.. Besimmug der Regressioskoeffiziee Empirischer Ausgagspuk des Schäzproblems der Regressiosaalyse sid die zweidimesioale Beobachugswere des Schäzbereichs ( x, y ) ( =,..., ), welche i eiem Sreuugsdiagramm veraschaulich werde köe. Die Regressiosfukio soll de uerselle lieare Zusammehag zwische diese Beobachugswere der beide Merkmale X ud Y opimal beschreibe. Abbildug.: Sreuugsdiagramm zur Umsazprogose (vgl. Tabelle.) Als Opimaliäskrierium wird das sog. Kleis-Quadrae-Prizip (oder kurz: KQ- Prizip) agewad, ach dem die Summe der quadriere Fehler im Schäzbereich miimier wird. Für das lieare Regressiosmodell bedeue das: = = u = ( y a bx ) = : q( a, b) mi! (.) Im Sreuugsdiagramm wird also diejeige Gerade gesuch, für die die Summe der quadriere sekreche Absäde zu de zweidimesioale Beobachugswere am kleise is. Abbildug.: Kleis-Quadrae-Prizip

9 PROGNOSEVERFAHREN Exkurs Exkurs Ableiug der Kleis-Quadrae-Schäzuge Gesuch wird das lokale (ud zugleich globale) Miimum der Fukio qab (, ) = ( a+ bx y) = Die owedige Bediguge für ei lokales Exremum sid die Normalgleichuge:! ˆ ˆ ˆ ˆ (, ) ( ) ˆ ˆ qa a b = a+ bx y = a+ b x y = Die hireichede Zusazbediguge für ei lokales Miimum sid erfüll: = σ >. = = = aˆ + bx ˆ y = aˆ = y bx ˆ! q a b a bx y x a x b x x y ˆ ˆ ˆ (, ˆ ) ( ˆ ) ˆ b = + = + = = = = = + = ˆ ˆ ( ) y bx x b x = x y = aˆ ˆ b = x x = x y xy =. ˆ σ xy b = σ ˆ ˆ (, ˆ ) (, ˆ aa = > bb ) = > = q a b ud q a b x ˆ ˆ ˆ ( ˆ, ) ( ˆ, ) ( ( ˆ aa bb ab, )) = = = = = q a b q a b q a b x x x x x x. Nach dem Kleis-Quadrae-Prizip laue die geschäze Regressiosgerade also mi de Regressioskoeffiziee ud y = aˆ + b ˆ x ˆ b ˆ σ = σ xy x â = y b ˆ x (.5) (.6). (.7) Die Schäzformel (.6) für de Asieg der Regressiosgerade zeig folgede Zusammehag zur Korrelaio der Merkmale X ud Y: seigede Regressiosgerade posiive Korrelaio fallede Regressiosgerade egaive Korrelaio horizoale Regressiosgerade keie Korrelaio.

10 . Regressiosaalyse Ferer erke ma durch Auflöse der Schäzformel (.7) ach y, dass die geschäze Regressiosgerade durch de Schwerpuk ( xy, ) geh. Sez ma u i die geschäze Regressiosgerade (.5) bekae bzw. ageommee Were x der uabhägige Variable ei, so erhäl ma bedige Progosewere yˆ für die abhägige Variable. Sowei es sich um Ex-pos-Progose hadel, köe diese mi de (bei der Schäzug beuze) Beobachugswere vergliche werde. Die dabei aufreede Differeze heiße Ex-pos-Progosefehler oder kurz Residue: uˆ = y yˆ ( =,..., ). (.8) ˆ Für die Ex-pos-Progosewere y ( =,..., ) gil im lieare Regressiosmodell aufgrud der o.g. Schwerpuk-Eigeschaf: y (.7) ˆ = y ˆ = ( a ˆ+ bx ˆ ) = a ˆ+ bx ˆ = y, = = ˆ d.h. die Ex-pos-Progosewere y ( =,..., ) espreche im Miel de Beobachugswere y ( =,..., ). Es ree also keie sysemaische Progosefehler auf. Für die Residue gil: uˆ = y yˆ =. Umsazprogose Beispiel Aus de Dae i Tabelle. soll die küfige Umsazewicklug des Uerehmes mi Hilfe eies Regressiosmodells progosizier werde, bei dem uersell wird, dass der Umsaz des Uerehmes (Y) äherugsweise eie lieare Fukio der im gleiche Zeiraum geäige Werbeausgabe (X) is. Zur Schäzug der Regressioskoeffiziee die die folgede Arbeisabelle. Quaral x x x (x x) y y y (x x)(y y) / / / / ,,7,5, -, -,5 -,7 -,,6,,, / / / / ,,,,7 -, -,,5 -,,6 / / / / 5 6,6,,6,8,,,, , 7,,8,,, Tabelle.: Schäzug der Regressiosgerade ach dem Kleis-Quadrae-Prizip 5

11 PROGNOSEVERFAHREN Ma erhäl: [ 8 x = = ] σ [ 6 x = = ] 8, [ 6 7, y = =, ] σ [ xy = =,6 ],6 ud somi: b ˆ = =,5 [ ] a ˆ =,,5 =,55 [ 6 ] Die geschäze Regressiosgerade laue also: yˆ =,55+,5x. Die Regressioskoeffiziee b ˆ ud â lasse sich hier so ierpreiere, dass... jeder zusäzlich für Werbug ausgegebee Euro de Umsaz um ca. 5 erhöh ud ohe Werbeausgabe ur mi eiem Quaralsumsaz vo,55 Mio. zu reche is. Abbildug.: Regressiosgerade im Sreuugsdiagramm Die geschäze Regressiosgerade ka u zu bedige Progose geuz werde. Für die erse vier Quarale im Progosebereich (vgl. Tabelle.) ergebe sich die folgede Ex-ae-Progosewere. Quaral x / / / / yˆ,,5,,7 Tabelle.: Ex-ae-Progose mi dem Regressiosmodell 6

12 . Regressiosaalyse.. Beureilug des Regressiosmodells Nach dem Kleis-Quadrae-Prizip ka gemäß de Formel (.6) ud (.7) immer eie opimale lieare Regressiosfukio besimm werde, selbs we aus dem Sreuugsdiagramm klar hervorgeh, dass zwische de Beobachugswere der beide Merkmale, x ud y, überhaup kei Zusammehag beseh. Daher is es owedig, das Schäzergebis eier kriische Prüfug zu uerziehe. Die geschäze Regressiosgerade ud die daraus abgeleiee Progose sid offebar umso zuverlässiger, je kleier die Residue beragsmäßig sid. Ei Maß für die absolue Größe der Residue is dere Variaz: σ = uˆ uˆ = Sie häg allerdigs vo der Dimesio der abhägige Variable Y ab ud muss och geeige ormier werde. Hierzu biee sich die im lieare Regressiosmodell allgemei gülige Sreuugszerlegug a: σ =σ +σ y yˆ uˆ.. (.) Diese Beziehug besag, dass die Variaz der Beobachugswere σ y addiiv zerleg werde ka i die Variaz der Ex-pos-Progosewere σ ŷ (= erkläre Sreuug) ud die Variaz der Residue σ û (= Ressreuug). Die Variaz der Ex-pos-Progosewere σ ŷ wird als erkläre Sreuug bezeiche, weil sie derjeige Teil der Sreuug der y -Were is, der aufgrud der Regressiosgerade aus der Sreuug der x -Were resulier oder aders ausgedrück mi der Sreuug der x -Were erklär werde ka. Es gil der folgede i Abbildug.5. verdeuliche Zusammehag: (.6) ˆ σ xy σ xy yˆ b x x σ x σ x σ = σ = σ =. Abbildug.5: Sreuugserklärug im Regressiosmodell 7

13 PROGNOSEVERFAHREN Im güsigse Fall lieg ei perfeker liearer Zusammehag zwische de x - ud y -Were vor (vgl. Abbildug.6). Da liege alle zweidimesioale Beobachugswere auf der geschäze Regressiosgerade. Die Ex-pos-Progosewere yˆ sid mi de Beobachugswere y ideisch. Für die Variaze i der Sreuugszerlegug gil somi: σ =σ yˆ y ud σ =. uˆ I diesem Fall wird die Sreuug der y -Were mi dem Regressiosmodell also vollsädig durch die Sreuug der x -Were erklär. Umgekehr is die Siuaio, we überhaup kei liearer Zusammehag erkebar is (vgl. Abbildug.7). Im ugüsigse Fall völlig ukorrelierer x - ud y -Were verläuf die Regressiosgerade horizoal. Alle Ex-pos-Progosewere yˆ espreche da dem arihmeische Miel y ud es gil für die Variaze i der Sreuugszerlegug: σ = yˆ ud σ =σ, uˆ y d.h. die Sreuug der y -Were bleib vollsädig uerklär, weil sie ich auf die Sreuug der x -Were zurückgeführ werde ka. Abbildug.6: Perfeker liearer Zusammehag Abbildug.7: Kei liearer Zusammehag Als Ergebis dieser Überleguge is feszuhale, dass ei Regressiosmodell umso besser is, je größer der Aeil der erkläre Sreuug a der Gesamsreuug is. Dieser Aeil heiß Besimmheismaß ud esprich dem Quadra des Korrelaioskoeffiziee ach Bravais/Pearso: r σ σ σ = = = σ σ σ σ yˆ xy uˆ y x y y. (.) Das Besimmheismaß is auf das Eiheisiervall ormier: r. (.) 8

14 . Regressiosaalyse Als grobe Orieierug für die Ierpreaio mag die folgede Fausregel diee: r < r < r kei liearer Zusammehag zwische X ud Y schwach ausgepräger liearer Zusammehag zwische X ud Y sark ausgepräger liearer Zusammehag zwische X ud Y. Umsazprogose Beispiel I Forführug des Beispiels aus Tabelle.. werde zur Beureilug des Regressiosmodells die Ex-pos-Progosewere ud Residue sowie die Kompoee der Sreuugszerlegug ermiel (vgl. Tabelle.). Dabei ergib sich wege, [, 8 ] [,8 σ ] [ y = =,6 σ yˆ = =, σ ] uˆ = =,7, das Besimmheismaß r = =,565,,6 d.h. 56,5 % der Sreuug des Umsazes köe mi dem Regressiosmodell durch die Sreuug der Werbeausgabe erklär werde. Somi is der uerselle lieare Zusammehag ur mäßig sark ausgepräg. Ma solle daher versuche, das Regressiosmodell z.b. durch Verwedug eies adere Fukiosyps oder durch zusäzliche erklärede Variable zu verbesser (ich-lieares bzw. muliples Regressiosmodell). Quaral y / / / /,,7,5, yˆ,75,,,5 u ( y y) ( yˆ yˆ ) ˆ,5 -, -, -,5,,5,,,5,,,5 uˆ,65,,6,5 / / / / ,,,,7,5,,, -,5,5,,,5,,,5,5 / / / /,6,,6,8,5,5,5,8,,5,5,6,,6,6,,5,5,6,,5, , 8,,,8,8 Tabelle.: Ex-pos-Progosewere, Residue ud Sreuugszerlegug

15 PROGNOSEVERFAHREN. Zeireiheaalyse.. Problemsellug Eie Zeireihe is eie Folge vo zeilich hiereiader, meis i regelmäßige Absäde bei demselbe Merkmalsräger erhobee Beobachugswere eies Merkmals: Typische Beispiele für Zeireihe sid y ( =,...,, +, +,... ). (.) die ägliche Schlusskurse eies börsegehadele Werpapiers, die moalich fesgeselle Arbeislosezahl i Deuschlad, die Quaralsumsäze eies Uerehmes oder die Jahresprodukio eies Sahlwerks. Üblicherweise werde solche Zeireihe i eiem Zeireihediagramm grafisch dargesell, wobei die lieare Verbidug aufeiader folgeder Were ur der bessere Veraschaulichug die (vgl. Abbildug.8). Abbildug.8: Zeireihediagramm der Umsazreihe (Dae aus Tabelle.) I der Zeireiheaalyse werde Zeireihe auf Gesezmäßigkeie uersuch, die sich aus der zeiliche Abfolge der Beobachugswere ergebe. Die eifachse Verfahre ziele darauf ab, de Zeireiheverlauf so gu es geh auf sysemaische Kompoee wie Tred ud Saisoeiflüsse zurückzuführe. Nebe de sysemaische Kompoee wird och eie Reskompoee berücksichig, i der alle ich-sysemaische ( zufällige ) Eiflüsse auf die Zeireihe zusammegefass werde. Das addiive Modell der Zeireihezerlegug laue: y = g + s + r ( =,,...), (.)

16 . Zeireiheaalyse wobei die Zeireihe y i eie glae Kompoee (Tred) g, eie zyklische Kompoee (z.b. Saisofigur) s ud eie Reskompoee r zerleg wird. Wie i der Regressiosaalyse sid auch bei der Zeireiheaalyse zwei Probleme zu behadel: Schäzproblem: Wie lasse sich die sysemaische Kompoee g ud s aus de vorliegede Zeireihewere schäze? Beureilugsproblem: Wie läss sich die Güe bzw. Aussagefähigkei der Zeireihezerlegug beureile?.. Besimmug der glae Kompoee Bei der Zeireihezerlegug begi ma mi der glae Kompoee, idem ma eie besimme Fukiosyp für die Tredfukio uersell. Die eifachse Aahme is die eier lieare Tredfukio g = a+ b Durch Eiseze i die Modellgleichug (.) erhäl ma die Gleichug y = a+ b+ ( s + r ), die dem lieare Regressiosmodell esprich, we ma die Were der uabhägige Variable x durch die Zeiperiode ud die Söruge u durch die kombiiere Saiso- ud Reskompoee s + r ersez. Demach köe die Koeffiziee a ud b der lieare Tredfukio wieder ach dem Kleis-Quadrae-Prizip geschäz werde: ( s+ r) = ( y a b) = : q( a, b) mi! = = Das Ergebis is die geschäze Tredgerade. gˆ = aˆ+ b ˆ (.) mi de aalog zu (.6) ud (.7) besimme Koeffiziee b ˆ σ = σ y (.5) ud aˆ = y + b ˆ. (.6) Da die Were vo die Zahle,..., sid, gil bei der Berechug: + = = =

17 PROGNOSEVERFAHREN + (+ )(+ ) ( + ) sowie σ = = (.7) 6 = + ud σ y = ( y y) = y y. (.8) Die so geschäze Tredgerade liefer Tredprogosewere g für die Zeireihe. Sie solle als Ex-ae-Progose aber ur verwede werde, we die Zeireihe offesichlich keie oder ur gerige zyklische Beweguge aufweis. Ifolge der Schwerpuk-Eigeschaf der Tredgerade sid die Ex-pos-Tredprogosewere g ( =,..., ) frei vo sysemaische Progosefehler, d.h. es gil: ĝ= y. ˆ, Beispiel ( + )((+ ) (+ )) ( + )( ) = = = = = ˆ Umsazprogose Aus de Dae i Tabelle. soll die küfige Umsazewicklug des Uerehmes mi Hilfe des addiive Zeireihezerlegugsmodells progosizier werde. Zuächs wird die lieare Tredfukio besimm. Quaral y / / / /,,7,5, y y ( y y) gˆ -, -,5 -,7 -, -, -, -, -,8,65,75,85,5 y gˆ,5 -,5 -,5,5 / / / / ,,,,7 -, -,,5 -, -,8,,5,5,5,5 -,5 -,5 -,5,5 / / / /,6,,6,8,,,,6,6,, 7,,5,55,65, ,, 8,,5 -,5 -,5,5 Tabelle.5: Schäzug der lieare Tredfukio Ma erhäl: [Quarale, σ ] [ 6 = =, σ y = =, /Quarale] ud somi: ˆ, [ 6 b = =, /Quaral] a ˆ =,, =,55 [ 6 ].,

18 . Zeireiheaalyse Die geschäze lieare Tredfukio laue also: gˆ =,55+,, woraus hervorgeh, dass der redbedige Asieg der Umsazes auf pro Quaral geschäz wird. Die beide leze Spale der Tabelle.5 ehale die Expos-Tredprogosewere sowie die Ex-pos-Tredprogosefehler; Tabelle.6 weis die Ex-ae-Tredprogose für die erse vier Quarale im Progosebereich aus. Quaral / / / / 5 6 gˆ,85,5,5,5 Tabelle.6: Ex-ae-Tredprogose.. Besimmug der zyklische Kompoee Eie Zeireihe ka sehr uerschiedliche zyklische Beweguge aufweise. Bei ökoomische Zeireihe sid isbesodere jahreszeiliche oder kojukurbedige Schwakuge zu uerscheide. Deshalb muss zuächs geklär werde, welche Ar vo Zyklus bei eier Zeireihe geschäz werde soll. Espreched is die Zyklusläge k feszulege, d.h. die Azahl der Zeiperiode, aus dee ei Zyklus beseh. Bei saisoale Zykle ergib sich die Zyklusläge umielbar aus der Azahl der Periode pro Jahr, z.b. k = bei Quaralswere ud k = bei Moaswere. Is die Zyklusläge ich eideuig vorgegebe (z.b. bei Kojukurzykle), so muss ma ofalls mi verschiedee k-were experimeiere. Nach Möglichkei solle der Schäzzeiraum so gewähl werde, dass alle Zyklusphase gleichmäßig repräseier werde, d.h. solle möglichs ei gazzahliges Vielfaches vo k sei. Der Schäzzeiraum umfass da m = k Zykle. Die eifachse Aahme für die Schäzug eier zyklische Kompoee is diejeige eies kosae Zyklus, bei dem sich die zyklische Kompoee alle k Periode exak wiederhol. Für alle Periode gil da: s = s + k. Da die zyklische Kompoee s i de Tredprogosefehler ( y ˆ ) ehale is, g lieg es ahe, sie als durchschiliche Ex-pos-Tredprogosefehler i esprechede Zyklusphase zu schäze: m sˆ ˆ ˆ ˆ. (.) = s + k = s + k =... = ( y + jk g + jk) ( =,..., k) m j=

19 PROGNOSEVERFAHREN Dami is schließlich auch die Reskompoee im addiive Modell (.) besimm: rˆ = y gˆ sˆ ( =,..., ). (.) Sie sell de Ex-pos-Progosefehler dar, da Progosewere mi diesem Modell als Summe der geschäze sysemaische Kompoee bereche werde: y = gˆ + sˆ. (.) Weil sich die Saisoeiflüsse über de gesame Zyklus ausgleiche ( sˆ = ), sid die so berechee Ex-pos-Progosewere wiederum frei vo sysemaische Progosefehler, d.h. es gil: rˆ = y gˆ sˆ =. Umsazprogose ˆ Beispiel Nachdem für die Umsazreihe aus Tabelle. die lieare Tredfukio besimm wurde (s.o.), werde u die saisoale Eiflüsse geschäz. Da es sich um Quaralswere hadel, beräg die Zyklusläge k = Periode. Der Schäzzeiraum umfass = Quarale ud somi m = gaze Zykle. Ausgagspuk für die Schäzug der Saisofigur sid die Ex-pos-Tredprogosefehler, wie sie i Tabelle.5 bereche wurde. Quaral y / / / /,,7,5, gˆ,65,75,85,5 y ˆ g s ˆ ˆ ˆ g+ s rˆ,5 -,5 -,5,5,5 -,5 -,5,5,8,6,7,,, -, -, / / / / ,,,,7,5,5,5,5 -,5 -,5 -,5,5,5 -,5 -,5,5,,,,5 -, -,,, / / / /,6,,6,8,5,55,65,75,5 -,5 -,5,5,5 -,5 -,5,5,6,,5, , 8, 8,, -, Tabelle.7: Schäzug der Saisofigur ud der Reskompoee Die kosae Saisoeiflüsse i de vier Quarale werde gemäß (.) bereche: sˆ= sˆ5= sˆ = ( ˆ ˆ ˆ ) ( 5 5) ( ) y g + y g + y g (,5,5,5),5 [ 6 = + = ]

20 . Zeireiheaalyse sˆ = sˆ6 = sˆ = ( y ˆ ˆ ˆ g) + ( y6 g6) + ( y g) (,5,5,5),5 [ 6 ] = = sˆ = sˆ7 = sˆ = ( y ˆ ˆ ˆ g) + ( y7 g7) + ( y g) (,5,5,5),5 [ 6 ] = = sˆ = sˆ8 = sˆ = ( ˆ ˆ ˆ ) ( 8 8) ( ) y g + y g + y g (,5,5,5),5 [ 6 = + = ]. Dies bedeue, dass die Umsäze saisobedig im erse ud viere Quaral eies Jahres jeweils um 5. über dem Tredwer ud im zweie ud drie Quaral jeweils um 5. uer dem Tredwer liege. Deshalb solle die Ex-ae-Tredprogose aus Tabelle.6 um diese Saisoeiflüsse korrigier werde (vgl. Tabelle.8 ud Abbildug.). Quaral / / / / 5 6 yˆ,,8,, Tabelle.8: Ex-ae-Progose uer Berücksichigug der Saisoeiflüsse Abbildug.: Progosewere der Umsazreihe ohe ud mi Saisofigur 5

21 PROGNOSEVERFAHREN.. Beureilug der Zeireihezerlegug Im hier berachee addiive Zeireihemodell gil aalog zum lieare Regressiosmodell die Sreuugszerlegug wobei u, (.) die Variaz der beide sysemaische Kompoee σ ĝ ud σ ŝ als erkläre Sreuug ud die Variaz der Reskompoee als Ressreuug bezeiche werde. Die Güe des Zeireihemodells ud der aus ihm abgeleiee Progose ka daher wieder ahad des Aeils der erkläre Sreuug a der Gesamsreuug beureil werde. Je ach Eibeziehug der zyklische Kompoee gib es zwei Besimmheismaße: σ gˆ σy r (.) gˆ = = σ y σ σ y ud. (.) Währed das Besimmheismaß (.) ur de Erklärugsaeil der Tredfukio agib, ehäl (.) zusäzlich och de Erklärugsaeil der zyklische Kompoee. Umsazprogose Beispiel Im Fall der addiive Zerlegug der Umsaz-Zeireihe erhäl ma die folgede Sreuugszerlegug (vgl. Tabelle.):, [ ], σ,6 [ ] y = = σ gˆ = =,7,7 [ ], σ [ ] sˆ = =,5 σ rˆ = =,8 ud dami die Besimmheismaße σ =σ+σ+σ y gˆ sˆ rˆ σ ˆr gˆ sˆ gˆ sˆ = σ y r + σ +σ,7 r gˆ = =,78,6,7+,5 ud r. gˆ + sˆ = =,885,6 Somi wird die Sreuug des Umsazes zu 7,8 % durch de lieare Tred ud zu weiere,6 % durch die kosae Saisofigur erklär. Mi eiem Besimmheismaß vo isgesam 88,5 % liefer die addiive Zeireihezerlegug mihi eie gue bis sehr gue Erklärug des Zeireiheverlaufs (was auch aus Abbildug. hervorgeh). 6

22 . Zeireiheaalyse y ( ) g y y ˆ ( ˆ ˆ) s g g ˆ sˆ rˆ rˆ,,7,5,,,5,,,65,75,85,5,5,5,5,65,5 -,5 -,5,5,5,5,5,5,, -, -,,,,, ,,,,7,,,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 -,5 -,5,5,5,5,5,5 -, -,,,,,,,,6,,6,8,6,,6,6,5,55,65,75,65,5,5,5,5 -,5 -,5,5,5,5,5,5, -,,, --- 8,, 8,,,7, Tabelle.: Sreuugszerlegug im addiive Zeireihemodell..5 Saisobereiigug I der empirische Wirschafsforschug wird die Zeireiheaalyse of zur Saisobereiigug verwede. Zahlreiche ökoomische Zeireihe wie z.b. die Arbeislosezahle oder die Nachfrage ach besimme Kosumgüer weise ämlich ausgepräge saisoale Schwakuge auf. Dadurch wird die Beureilug der Veräderuge besoders am akuelle Rad erschwer. So is z.b. fraglich, iwiewei ei Asieg der Beschäfigug im Frühlig oder eie Umsazseigerug i der Vorweihachszei auf kojukurelle Belebuge hiweise oder ur Ausdruck jährlich wiederkehreder Saisoeiflüsse sid. Zur Aalyse der lägerfrisige Ewicklugsedeze empfiehl es sich daher, de Saisoeifluss aus der Ursprugsreihe y ( =,...,) zu elimiiere. Diese Vorgag e ma Saisobereiigug. Allgemei bezeiche ma die Elimiaio kurzfrisiger Schwakuge aus Zeireihe auch als Gläug vo Zeireihe. Die Saisobereiigug sez eie Schäzug der saisoale Eiflüsse sˆ ( =,...,) voraus, z.b. mi Hilfe der obe dargeselle Modells der addiive Zeireihezerlegug. Die saisobereiige Zeireihe yˆ s ( =,...,) erhäl ma da durch Subrakio der geschäze Saisoeiflüsse vo de Ursprugswere: s yˆ = y sˆ ( =,..., ). (.5) 7

23 PROGNOSEVERFAHREN Saisobereiiger Umsaz Beispiel Die i diesem Kapiel verwedee Umsaz-Zeireihe weis, wie die Aalyse i de voragehede Abschie gezeig habe, deuliche jahreszeiliche Schwakuge auf. Zur Beureilug des Uerehmeserfolgs erschei es daher sivoll, die Saisoeiflüsse aus der Umsazreihe herauszureche. Die achfolgede Tabelle. ehäl sowohl die Ursprugswere y sowie die saisobereiige Umsäze yˆ s. Aus dem dazugehörige Zeireihediagramm (Abbildug.) erke ma, dass die saisobereiige Reihe deulich glaer verläuf als die Ursprugsreihe; sie ehäl keie sysemaische Schwakuge mehr. Quaral y / / / / / / / / / / / / ,,7,5,,,,,7,6,,6,8,5 -,5 -,5,5,5 -,5 -,5,5,5 -,5 -,5,5 yˆ s,85,85,65,85,85,5,5,55,5,55,75, , 8, sˆ Tabelle.: Saisobereiigug Abbildug.: Saisobereiigug 8

24 . Aufgabe. Aufgabe Aufgabe. Der Persoalchef eies Uerehmes vermue eie Zusammehag zwische der Beschäfigug i der Regio ud der Zahl der Krakmelduge i seiem Berieb. Die durchschiliche Arbeislosezahle im bereffede Arbeisamsbezirk (X) ud die Zahl der Krakmelduge (Y) beruge i de leze zwölf Jahre: Arbeislose [] Aufgabe zu Kapiel Krakmelduge [] a) Bereche Sie für die beide Zeireihe jeweils die Sadardabweichug, die Kovariaz ud de Korrelaioskoeffiziee! Beureile Sie die Korrelaio der beide Merkmale! b) Besimme Sie ach der Mehode der kleise Quadrae die Koeffiziee der Regressiosgerade ud zeiche Sie die Gerade i das Sreuugsdiagramm ei! c) Bereche ud ierpreiere Sie das Besimmheismaß! Aufgabe. Ei Professor mei, dass bei de Sudierede des Sudiegags BWL ei sarker Zusammehag zwische der Mahemaikoe im erse Semeser (X) ud der Examesoe (Y) beseh. Bei Absolvee ergab sich folgede zweidimesioale Vereilug dieser beide (als iervallskalier berachee) Noe: y j x i 5 a) Besimme Sie die Durchschisoe, die Variaze vo X ud Y sowie die Kovariaz! b) Schäze Sie die Regressiosgerade y = a + b x ach der Mehode der kleise Quadrae! c) Wie beureile Sie das Ergebis der Regressiosaalyse? Was besag hier das Besimmheismaß? d) Besimme Sie die Variaze der Ex-pos-Progosewere ud der Residue, ud! σ ŷ σ û e) Progosiziere sie die Examesoe eies Sudierede, der i der Mahemaik- Klausur eie bzw. eie hae.

25 PROGNOSEVERFAHREN Aufgabe zu Kapiel Aufgabe. Adreas ieressier sich für de Kauf eies Gebrauchwages vom Typ Smar. I der Samsagsausgabe der Regioalzeiug fide er ach passede Ageboe: Tachosad [ km] Preis [ ],7,,6,,8,,,5 a) Adreas imm a, dass der Preis (Y) liear vom Tachosad (X) abhäg. Schäze Sie die Regressiosgerade ach der Mehode der kleise Quadrae! b) Beureile Sie die Güe der Regressio ahad des Besimmheismaßes! c) Adreas erfähr vo seiem Freud Simo, dass dieser ihm seie gebrauche Smar mi Tachosad km zum Freudschafspreis vo verkaufe würde. Wie beureile Sie das Agebo? Aufgabe. Die Absazzahle eies europäische Nuzfahrzeug-Hersellers auf dem ordamerikaische Mark ewickele sich i de Jahre bis 5 wie folg: Halbjahr I/ II/ I/ II/ I/ II/ I/ II/ I/5 II/5 Absaz [ Sück] a) Bereche Sie die Tredgerade für die Absazewicklug ud beureile Sie die Güe der Apassug mi Hilfe des Besimmheismaßes! b) Ermiel Sie die Halbjahres-Saisofigur! Wie beureile Sie dere Beirag zur Erklärug des Zeireiheverlaufs? c) Gebe Sie Progosewere für das erse ud zweie Halbjahr 6 ohe ud mi Berücksichigug des Saisoeiflusses a d) Hale Sie eie Saisobereiigug der Absazzahle für sivoll? (Begrüdug?)

26 . Aufgabe Aufgabe.5 Die Beschäfigezahl (Quaralsdurchschie) eier Sraßebaufirma ewickele sich i de Jahre bis wie folg: Quaral I/ II/ III/ IV/ I/ II/ III/ IV/ I/ II/ III/ IV/ Beschäfige Aufgabe zu Kapiel a) Wie viele Miarbeier beschäfige die Firma im Durchschi der Jahre -, ud wie hoch war die Sadardabweichug der Quaralswere? b) Bereche Sie die Tredgerade ud beureile Sie die Güe der Apassug mi dem Besimmheismaß! c) Ermiel Sie die Saisofigur ud beureile Sie dere Beirag zur Erklärug der Beschäfigugsschwakuge! d) Erselle Sie Ex-ae-Progose für die Quarale des Jahres!