3 Das Paradoxon von Simpson

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1 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Paradoxien und Täuschungen F. 2 9 An einem konkreten Zahlenbeispiel (Paradoxon von Simpson) soll gezeigt werden, dass es Einsichten gibt, die in Abhängigkeit von der Analysetiefe immer wieder zu sich umkehrenden Schlüssen führen können. Das Zahlenbeispiel wird vom Lehrer vorgestellt und von den Schülern in einer Diskussion interpretiert. (Die Daten wurden vom Verfasser frei konstruiert.) Überprüfen Sie die folgenden Daten und interpretieren Sie diese. Im Rahmen einer Untersuchung werden die Straftaten von Menschen in Abhängigkeit vom Merkmal M 1 : Bildungshintergrund dargestellt. M 1 : Bildungshintergrund (erstes Unterscheidungsmerkmal) Material MA 3 A: Anzahl der Menschen in der durch die Merkmale bezeichneten Rubrik T: Anzahl von Tätern in der bezeichneten Rubrik SQ: Straftatquote Rubrik A (M 1 : Abitur) Rubrik B (M 1 : Kein Abitur) M 1 : Abitur M 1 : Kein Abitur Eine gängige Interpretation lautet: Je höher der Bildungsgrad ist, umso gesetzestreuer verhalten sich die Menschen. In gewisser Hinsicht trägt die Bildungspolitik damit zur Gesetzestreue und damit auch zur Friedfertigkeit bei. Jedoch gibt es üblicherweise bei Schülern auch die folgende Interpretation: Abiturienten lassen sich halt seltener erwischen. Nachdem die Daten in der Klasse besprochen und interpretiert wurden, stellt der Lehrer die erweiterte Tabelle mithilfe der Folie von MA 3 vor. Das Arbeitsblatt MA 3 wird an die Schüler ausgeteilt. Material MA 3 Zur Ausdifferenzierung der Daten in einem zweiten Analyseschritt wird das Merkmal M 2 : Gegend für die Wohngegend der erfassten Personen genutzt. Es wird zwischen dörflicher Wohngegend ( Land ) und urbaner Wohngegend ( Stadt ) unterschieden. Nun zeigt sich überraschenderweise, dass unter Beachtung des zweiten Merkmals die Menschen mit Abitur in höherem Maße zu Straftaten neigen. Die Daten werden von etlichen Schülern sehr sorgfältig überprüft. Dies sollte in der Klasse dann auch gemeinsam vorgenommen werden.

2 F Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Paradoxien und Täuschungen Dieser Befund führt bei den Schülern zu vielfältigen Reaktionen: Einige Schüler äußern sich in etwa so: Ich habe es ja immer gewusst: Die Gebildeten sind auch strafanfälliger. Einige Schüler fragen sich, ob man Statistiken überhaupt noch trauen kann. Das Sprichwort Traue nur der Statistik, die du selbst gefälscht hast! wird von einigen Schülern in diesem Zusammenhang genannt. Dieses Phänomen ist in der Literatur als Simpson sches Paradoxon bekannt. E. H. Simpson hatte im Jahr 1951 diese Struktur bekannt gemacht. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter Beachtung verschiedener Merkmalsgrößen (M 1 und M 2 ) entspricht nicht unbedingt der Ereigniswahrscheinlichkeit unter Beachtung einer reduzierten Anzahl von Merkmalsgrößen (M 1 ). P(A M 1) < P(A M 1) Insofern besteht die Notwendigkeit, die Gegebenheiten sehr sorgfältig zu analysieren. Dies sollen sich die Schüler im Rahmen ihrer selbst erarbeiten. Freie Konstruktion von Zahlenwerten unter Beachtung eines weiteren Merkmals, mit dem die in der zweiten Stufe gebildeten Daten widerlegt bzw. sogar (wieder) auf den Kopf gestellt werden können. Tafelbild Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter Beachtung verschiedener Merkmalsgrößen (M 1 und M 2 ) entspricht nicht unbedingt der Ereigniswahrscheinlichkeit unter Beachtung einer reduzierten Anzahl von Merkmalsgrößen (M 1 ). P(A M ) < P(A M ) Wahrnehmungsparadoxien Was fällt Ihnen an diesem Bild auf? Welche Paradoxien können Sie erkennen? Die Stangen des Vogelkäfigs wurden so gezeichnet, dass nicht klar ist, welche perspektivisch gesehen weiter hinten verlaufen. Die vorderen Papageien scheinen außerhalb des Käfigs zu sitzen, obwohl der Baum innerhalb des Käfigs wächst. Die Schatten im Bild haben unterschiedliche Lichtquellen, was den paradoxen Eindruck noch verstärkt.

3 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Paradoxien und Täuschungen F Simpson sches Paradoxon erste Stufe MA 3 Arbeitsblatt Einstieg Rubrik A (M 1 : Abitur) Rubrik B (M 1 : Kein Abitur) M 1 : Abitur M 1 : Kein Abitur M 1 : Bildungshintergrund (erstes Unterscheidungsmerkmal) A: Anzahl der Menschen in der durch die Merkmale bezeichneten Rubrik T: Anzahl von Tätern in der bezeichneten Rubrik SQ: Straftatquote Paradoxie Rubrik A (M 1 : Bildungshintergrund Abitur) Rubrik B (M 1 : Bildungshintergrund Kein Abitur) M 1 : Abitur M 1 : Kein Abitur Rubrik A (M 1 : Abitur) Rubrik B (M 1 : Kein Abitur) Rubrik A-1 (M 2 : Gegend Land) Rubrik A-2 (M 2 : Gegend Stadt) Rubrik B-1 (M 2 : Gegend Land) Rubrik B-2 (M 2 : Gegend Stadt) M 1 : Abitur M 1 : Abitur M 1 : Kein Abitur M 1 : Kein Abitur M 2 : Land M 2 : Stadt M 2 : Land M 2 : Stadt A: A: A: A: T: T: T: T: SQ: 6 % SQ: 3,5 % SQ: 5,67 % SQ: 3 % 6 % > 5,67 % 3,5 % > 3 %

4 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Paradoxien und Täuschungen F Unterrichtsstunde Die Farbfolie MA 2 mitbringen. Von Material MA 3 eine Folie sowie Kopien im Klassensatz erstellen. Vorbereitung 2 Wahrnehmungsparadoxien Neudurchnahme Die Schüler hatten bereits zu Hause die Möglichkeit, die Bilder auf MA 1 genau zu betrachten. Nun sollen sie in der Klasse über ihre Wahrnehmungen und Täuschungen diskutieren. Material MA 1 Betrachten Sie die Bilder und beschreiben Sie, worin das Paradoxe bzw. die Täuschung liegt. Wie begründet sich diese Spannung in der Wahrnehmung? 1. Bestimmung der Längen (Müller-Lyer-Täuschungen) Die Längen sind gleich. Sie werden jedoch in Abhängigkeit von der Einbettung ganz unterschiedlich erfasst. 2. Kontextabhängigkeit der Wahrnehmung In Abhängigkeit vom Kontext wird ein B oder aber die Zahlenfolge 13 gelesen. 3. Amodale Figur (nach Kanizsa) Ein Dreieck wird in der Mitte erkannt, obwohl die Seiten nicht vorhanden sind. 4. Hering sches Gitter Schattierte Kreise werden in den Übergangsflächen zwischen den Quadraten erkannt. 5. Elefant Bei dem Elefant auf diesem Bild stellt sich die Frage, wie viele Beine eingezeichnet wurden. 6. Vogelschwarm Frau Ein Vogelschwarm oder aber das Gesicht einer Frau werden erkannt. 7. Saxophonspieler Frau Das Gesicht einer Frau oder aber ein Saxophonspieler werden erkannt. 8. Eskimo Indianer Ein Eskimo oder aber das Gesicht eines Indianers werden erkannt.

5 F. 2 8 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Paradoxien und Täuschungen Ursache für all diese Wahrnehmungsauffälligkeiten sind Figur-Hintergrund-Überschneidungen und spezielle Schattenwirkungen und Kontextbeziehungen. Bedeutsam ist, dass diese Effekte in gewisser Hinsicht für alle Menschen weitgehend in allen Kulturkreisen gelten. Das menschliche Gehirn neigt z. B. dazu, Linien erkennen zu wollen. Quasi werden diese in das Material projiziert. Wichtig ist dies z. B. für die Bestimmung der Sternbilder. Das Gehirn erkennt z. B. bei den Bildern 5 8 die anderen Motive erst nach einiger Zeit. Eventuell erfolgt dann auch ein Wechsel zwischen den verschiedenen Perspektiven. Es kann sogar zum beständigen Wahrnehmungswechsel kommen. Die Wahrnehmung kann nur zum Teil vom Menschen bewusst gesteuert werden. Material MA 2 Die Schüler betrachten MA 2. In einer Diskussion sollen die Schüler beschreiben, was ihnen an diesem Bild auffällt und wo Paradoxien zu erkennen sind. Was fällt Ihnen an diesem Bild auf? Welche Paradoxien können Sie erkennen? Die Stangen des Vogelkäfigs wurden so gezeichnet, dass nicht klar ist, welche perspektivisch gesehen weiter hinten verlaufen. Die vorderen Papageien scheinen außerhalb des Käfigs zu sitzen, obwohl der Baum innerhalb des Käfigs wächst. Die Schatten im Bild haben unterschiedliche Lichtquellen, was den paradoxen Eindruck noch verstärkt. Die Problematik der paradoxen Realitätsbeschreibungen wurde von Künstlern in umfangreicher Art thematisiert. Bekannt sind in diesem Zusammenhang z. B. auch die Bilder von Escher, der Gebäude malte, die zunächst völlig normal wirken, aber so in der Realität nicht gebaut werden könnten. An der Aufklärung der Gegebenheiten arbeiten vielfältige Fachdisziplinen wie Psychologie (Wahrnehmungspsychologie), Medizin, Pädagogik, Arbeitswissenschaften, Linguistik, Logik, Philosophie, Informatik, Kunst usw. Speziell die Mathematik bemüht sich um die exakte Aufklärung und Beschreibung von vermeintlichen oder aber auch unhintergehbaren Widersprüchen, Täuschungen und Paradoxien. Gerade bei stochastischen Verflechtungen können für Menschen Paradoxien (paradox anmutende Zusammenhänge) auftreten. Da viele alltagspraktische Erscheinungen nur stochastisch erfasst werden können, können somit widersprüchliche Erklärungen gefunden werden. Mit den nachfolgenden Betrachtungen soll verdeutlicht werden, dass gerade bei statistischen Untersuchungen eineindeutige Zuschreibungen nicht selbstverständlich sein müssen.

6 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Paradoxien und Täuschungen F. 2 9 An einem konkreten Zahlenbeispiel (Paradoxon von Simpson) soll gezeigt werden, dass es Einsichten gibt, die in Abhängigkeit von der Analysetiefe immer wieder zu sich umkehrenden Schlüssen führen können. Das Zahlenbeispiel wird vom Lehrer vorgestellt und von den Schülern in einer Diskussion interpretiert. (Die Daten wurden vom Verfasser frei konstruiert.) Überprüfen Sie die folgenden Daten und interpretieren Sie diese. Im Rahmen einer Untersuchung werden die Straftaten von Menschen in Abhängigkeit vom Merkmal M 1 : Bildungshintergrund dargestellt. M 1 : Bildungshintergrund (erstes Unterscheidungsmerkmal) Material MA 3 A: Anzahl der Menschen in der durch die Merkmale bezeichneten Rubrik T: Anzahl von Tätern in der bezeichneten Rubrik SQ: Straftatquote Rubrik A (M 1 : Abitur) Rubrik B (M 1 : Kein Abitur) M 1 : Abitur M 1 : Kein Abitur Eine gängige Interpretation lautet: Je höher der Bildungsgrad ist, umso gesetzestreuer verhalten sich die Menschen. In gewisser Hinsicht trägt die Bildungspolitik damit zur Gesetzestreue und damit auch zur Friedfertigkeit bei. Jedoch gibt es üblicherweise bei Schülern auch die folgende Interpretation: Abiturienten lassen sich halt seltener erwischen. Nachdem die Daten in der Klasse besprochen und interpretiert wurden, stellt der Lehrer die erweiterte Tabelle mithilfe der Folie von MA 3 vor. Das Arbeitsblatt MA 3 wird an die Schüler ausgeteilt. Material MA 3 Zur Ausdifferenzierung der Daten in einem zweiten Analyseschritt wird das Merkmal M 2 : Gegend für die Wohngegend der erfassten Personen genutzt. Es wird zwischen dörflicher Wohngegend ( Land ) und urbaner Wohngegend ( Stadt ) unterschieden. Nun zeigt sich überraschenderweise, dass unter Beachtung des zweiten Merkmals die Menschen mit Abitur in höherem Maße zu Straftaten neigen. Die Daten werden von etlichen Schülern sehr sorgfältig überprüft. Dies sollte in der Klasse dann auch gemeinsam vorgenommen werden.

7 F Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Paradoxien und Täuschungen Dieser Befund führt bei den Schülern zu vielfältigen Reaktionen: Einige Schüler äußern sich in etwa so: Ich habe es ja immer gewusst: Die Gebildeten sind auch strafanfälliger. Einige Schüler fragen sich, ob man Statistiken überhaupt noch trauen kann. Das Sprichwort Traue nur der Statistik, die du selbst gefälscht hast! wird von einigen Schülern in diesem Zusammenhang genannt. Dieses Phänomen ist in der Literatur als Simpson sches Paradoxon bekannt. E. H. Simpson hatte im Jahr 1951 diese Struktur bekannt gemacht. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter Beachtung verschiedener Merkmalsgrößen (M 1 und M 2 ) entspricht nicht unbedingt der Ereigniswahrscheinlichkeit unter Beachtung einer reduzierten Anzahl von Merkmalsgrößen (M 1 ). P(A M 1) < P(A M 1) Insofern besteht die Notwendigkeit, die Gegebenheiten sehr sorgfältig zu analysieren. Dies sollen sich die Schüler im Rahmen ihrer selbst erarbeiten. Freie Konstruktion von Zahlenwerten unter Beachtung eines weiteren Merkmals, mit dem die in der zweiten Stufe gebildeten Daten widerlegt bzw. sogar (wieder) auf den Kopf gestellt werden können. Tafelbild Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter Beachtung verschiedener Merkmalsgrößen (M 1 und M 2 ) entspricht nicht unbedingt der Ereigniswahrscheinlichkeit unter Beachtung einer reduzierten Anzahl von Merkmalsgrößen (M 1 ). P(A M ) < P(A M ) Wahrnehmungsparadoxien Was fällt Ihnen an diesem Bild auf? Welche Paradoxien können Sie erkennen? Die Stangen des Vogelkäfigs wurden so gezeichnet, dass nicht klar ist, welche perspektivisch gesehen weiter hinten verlaufen. Die vorderen Papageien scheinen außerhalb des Käfigs zu sitzen, obwohl der Baum innerhalb des Käfigs wächst. Die Schatten im Bild haben unterschiedliche Lichtquellen, was den paradoxen Eindruck noch verstärkt.

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