Zweck Geltungsbereich I. Generelles zur Risikoquantifizierung im SST I.1 Analytisches Modell I.1.1 Vollversion...

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1 WEGLEITUNG zum SST-Martrso-Stanarmoell Ausgabe vom 23. Dezember 2015 Inhaltsverzechns Zwec... 2 Geltungsberech... 2 I. Generelles zur Rsoquantfzerung m SST... 2 I.1 Analytsches Moell... 3 I.1.1 Vollverson... 3 I.1.2 Verenfachte Verson... 5 I.1.3 Angemessenhet es Moells... 5 II. Ermttlung er Senstvtäten... 6 III. Beschrebung er Rsofatoren... 7 IV. Schätzung er Zetrehenparameter... 9 IV.1 Postv-Defnthet er Korrelatonsmatrx V. Zuornung von Zahlungsströmen auf vorhanene Znsrsofatoren VI. Berechnung von Renten VI.1 Absolute Renten VI.2 Relatve Renten VI.3 Logarthmsche Renten VII. Lteratur Laupenstrasse 27, 3003 Bern Tel. +41 (0) , Fax +41 (0)

2 Zwec Dese Wegletung stellt m Snne von Rz 107 es FINMA-RS 08/44 SST en Erläuterungsoument zum Martrso-Stanarmoell sowe zur Benutzung es SST-Templates ar. Se enthält zuem Ausführungen genereller Art zur Rsoquantfzerung m SST. Se begrünet ene Rechtsansprüche. Geltungsberech Nach Art. 50b er Aufschtsverornung (AVO; SR ) un Rz 100 es FINMA-Runschrebens 2008/44 SST erarbetet oer bezechnet e FINMA Stanarmoelle. Es gbt zwe glechberechtgte Versonen es SST-Martrso-Stanarmoells: De Vollverson (Delta-Gamma-Ansatz) un e verenfachte Verson (Delta-Normal-Ansatz). De Parametrserung er Vollverson st n en branchenspezfschen SST-Templates (m Folgenen SST-Template ) mplementert; e Berechnungen selber müssen jeoch ausserhalb es jewelgen Templates gemacht weren. De verenfachte Verson, e anstelle er quaratschen Abhängget es rsotragenen Kaptals von en Rsofatoränerungen ene lneare vorseht, st m SST- Template umgesetzt. Welche er Versonen anzuwenen st, bestmmt sch unter Berücschtgung er jewelgen Rsostuaton es Verscherungsunternehmens bzw. er Verscherungsgruppe. Nach Art. 50b Abs. 2 AVO entscheet e FINMA, welches Stanarmoell zu verwenen st. Nur wenn as Martrsoexposure es zulässt, ann as Verscherungsunternehmen ese verenfachte Verson anwenen. Des st nsbesonere ann er Fall, wenn as Rso urch e lneare anstatt er quaratschen Abhängget ncht unterschätzt wr. I. Generelles zur Rsoquantfzerung m SST De Solvabltät enes Verscherungsunternehmens (VU) nach SST letet sch ab aus em per Stchtag verfügbaren Kaptal un senen möglchen Schwanungen über enen Enjahreshorzont. Das per Stchtag verfügbare Kaptal wr m SST als rsotragenes Kaptal bezechnet, wofür e Bezechnung RTK verwenet wr. Wr nehmen an, ass as rsotragene Kaptal zum Zetpunt 0 beannt st, währen RTK(s) mt s > 0 ene stochastsche Grösse arstellt, also unbeannt st. Aus Rsomanagement- un aufschtsrechtlcher Scht nteresseren e möglchen Veränerungen es rsotragenen Kaptals über enen bestmmten Zethorzont h, also RTK( t h) RTK( t). Der allgemenen Rsomanagement-Konventon folgen wr as rsotragene Kaptal als Funton von Rsofatoren Z 1,, Z argestellt: RTK RTK t; Z ( t) RTK t; Z1( t),, Z ( t), 2/29

3 Z ( t ) Z1( t),, Z ( t). mt T Häufg verwenete Rsofatoren sn e logarthmerten Prese von Aten, Immoblen oer Wechselursen oer e Znsen un Cret Spreas. Der Zethorzont m SST beträgt we erwähnt en Jahr. Da sch e Solvenzanforerungen aus er Veränerung es rsotragenen Kaptals über en Enjahreshorzont ergeben, st es üblch, e entsprechenen Änerungen er Rsofatoren zu betrachten: Es glt ann ( t 1) Z( t 1) Z( t). RTK( t 1) RTK( t 1) RTK( t) RTK RTK t 1; Z( t 1) RTKt ; Z( t) t 1; Z( t) ( t 1) RTKt ; Z( t) De Veränerung es rsotragenen Kaptals st somt ene Funton er Rsofatoränerungen. I.1 Analytsches Moell Fortan bezechnen wr mt t = 0 en Stchtag er SST-Erhebung. I.1.1 Vollverson In sener Vollverson macht as Martrso-Stanarmoell e Näherung RTK Z (1) RTKZ(0) 1 RTK( Z(0)) z oer, unter Berücschtgung von RTK 1 RTK Z(1) RTK Z(0) 2 RTK( Z(0)) z z RTK( 1) 1 RTK( Z(0)) z T 1 T δ RTK( Z(0)) z z (1) 3/29

4 wobe ( 1) (1),, T 1 (1) un δ,, T 1 en Vetor er ersten Abletungen bezechnet un e Matrx er zweten Abletungen, also RTK( Z(0)), z 2 RTK( Z(0)) z z (2) Glechung (1) efnert e Approxmaton für e Veränerung es RTK n er so genannte Vollverson es Martrso-Stanarmoells (Delta-Gamma). Mathematsch gesprochen entsprcht ese er Taylor-Approxmaton 2. Ornung, welche näherungswese en funtonalen Zusammenhang zwschen en Veränerungen es RTK un en Änerungen er Rsofatoren beschrebt. Im Untersche zur verenfachten Verson (Kaptel I.1.2 unten) önnen m vorlegenen Fall e Rsomasse Value-at-Rs un Expecte Shortfall er RTK-Veränerung ncht analytsch bestmmt weren, selbst unter er verenfachenen Annahme er multvaraten Normalvertelung. De Wahrschenlchetsvertelung von RTK n (1) ann zum Bespel va numersche Inverson er charaterstschen oer momenteerzeugenen Funton ermttelt weren, sehe z.b. Glasserman [2] S Alternatv un enfacher zu mplementeren st en smulatonsbaserter Ansatz (Delta-Gamma-Monte-Carlo). En smulatonsbaserter Ansatz hat zuem en Vortel, ass er ncht auf normalvertelte Rsofatoren engeschränt weren muss. Trotzem wr für e Vollverson es Martrso-Stanarmoells unveränert e Annahme getroffen, ass e Änerungen er Rsofatoren multvarat normalvertelt sn. De mesten statstschen Softwarepaete erlauben ene routnemässge Erzeugung (Smulaton) normalvertelter Zufallsvetoren mt em Mttelwertvetor un er Kovaranz-Matrx als Engabegrössen. Hntergrunnformatonen azu fnet man zum Bespel n McNel et. al. [4], Sete 66. De smulerte Vertelung RTK gemäss (1) ergbt sch ann urch ene belebg hohe Anzahl Smulatonen es Vetors. En enfacher ncht-parametrscher Schätzer es Expecte Shortfalls n enem smulatonsbaserten Ansatz st er Durchschntt sämtlcher RTK-Veränerungen, e en entsprechenen Value-at-Rs Schätzer unterschreten: ES α = N j=1 ΔRTK j 1 {ΔRTKj <VaR α} N j=1 1 {ΔRTKj <VaR α} wobe VaR α en Schätzer es Value-at-Rs zum Konfenznveau α bezechnet (α = 0.01; Quantlschätzer) un ΔRTK j e smulerte Veränerung es RTK m j-ten Smulatonsurchgang (j = 1,, N). De Grösse 1 A bezechnet e Inatorfunton, also 1 A = 1, falls as Eregns A entrtt un 0 sonst. Da er Value-at-Rs len st, hat man es mt enem rare event Smulatonsproblem zu tun. Erfahrungen haben gezegt, ass e Anzahl Smulatonen n er Grössenornung von legen sollte, um hnrechen stable Resultate zu erhalten. Unter Umstänen muss aber auch ene entsprechene Varanz mnmerene Techn angewenet weren, sehe z.b. Asmussen [1], S. 432 oer Glasserman et. al. [3]. 4/29

5 I.1.2 Verenfachte Verson Be Exposures, be enen e lneare Approxmaton e RTK-Veränerungen hnrechen gut beschrebt, ann auf en quaratschen Term verzchtet weren. Wr erhalten ann e Approxmaton für e Veränerung es RTK n er verenfachten Verson es Martrso-Stanarmoells: RTK( 1) 1 RTK( Z(0)) z δ T (3) Dese Verenfachung st n er Regel be Schaenverscherungsunternehmen möglch, sofern eren Exposures ncht urch Long-Tal-Geschäft omnert weren. Für en renes Atenportfolo bespelswese st e Annahme enes lnearen Zusammenhanges zwschen en RTK-Veränerungen un en Wertveränerungen er Aten orret. Für en Portfolo hngegen, as Dervate oer znsabhängge Instrumente enthält, weren e RTK-Veränerungen urch e lneare Approxmaton nur unzurechen beschreben. Wll en Verscherungsunternehmen e verenfachte Verson es Martrso- Stanarmoells anwenen, so muss es en Nachwes erbrngen, ass es zu ener Unterschätzung es Rsos führt. Des ann zum Bespel ann er Fall sen, wenn e Znssenstvtäten er Verbnlcheten höher sn als e er Atven. Wr as Rso urch e verenfachte Verson unterschätzt, so muss e Vollverson es Martrso-Stanarmoells angewenet weren. Im Martrso-Stanarmoell wr angenommen, ass e Veränerungen er Rsofatoren ener mehrmensonalen Normalvertelung genügen. Zusammen mt er Lneartätsannahme erlaubt es ene analytsche Berechnung er Rsomasse Value-at-Rs un Expecte Shortfall. Denn m Falle er multvaraten Normalvertelung für enen Zufallsvetor st as Salarprout von mt enem -mensonalen Vetor δ unvarat normalvertelt. Konret: Falls ~ N μ, wobe un δ R so glt δ T ~ N δ T μ δ T 1, δ un somt VaR ES T T T δ δ μ δ δ q Z T T T q Z δ δ μ δ δ 1 q Z as -Quantl ener stanarnormalvertelten Zufallsvarabeln Z bezechnet un e Dchtefunton. Allgemen st en solcher Ansatz unter em Namen Delta-Normal -Ansatz beannt. I.1.3 Angemessenhet es Moells Im Martrso-Stanarmoell wr angenommen, ass e Rsofatoränerungen multvarat normalvertelt sn. Dese Annahme stellt ene verenfachte Scht er Realtät ar. Denn n er Praxs zegt sch oft, ass e Rsofatoren leptourtsch sn ( ünne Sptze er Wahrschenlchetschte un 5/29

6 afür mehr Masse n en Tals) un arüber hnaus Tal-Abhänggeten aufwesen. Dese so genannten stylze facts önnen urch e multvarate Normalvertelung nur unzurechen weergegeben weren. Szenaroanalysen stellen eshalb ene wchtge Ergänzung es analytschen Martrso- Moells ar, um eser Schwachstelle entgegenzuwren. Es wr auf e Wegletung betreffen Szenaren un Stresstests m SST verwesen. Prnzpell st as Stanar-Marrsomoell, sowohl n er verenfachten we n er Vollverson, nur ann geegnet, wenn es e Rsen es Verscherungsunternehmens genügen werspegelt: Des beeutet nsbesonere, ass e Proxes er Rsofatoren e Investments gut werspegeln Anzahl un Auswahl er Rsofatoren ausrechen st Annahme er quaratschen bezehungswese lnearen Approxmaton vertretbar st Ist es ncht gegeben, so ann nach Art. 50b Abs. 3 ene Anpassung es Stanarmoells verlangt weren. Ene Anpassung ann bespelswese über as Hnzufügen zusätzlcher Rsofatoren erfolgen. Aus er blossen Anwenbaret er Mappngregeln gemäss Anhang B ann allen noch ncht abgeletet weren, ass e entsprechenen Proxes genügen gut sn. Velmehr st stets ene Gesamtwürgung er jewelgen Exposures un eren Abblung urch e vorhanenen Rsofatoren unter Berücschtgung er jewelgen Materaltät vorzunehmen. Der Ensatz zusätzlcher, über as Martrso-Stanarmoell hnausgehener Rsofatoren setzt voraus, ass anernfalls e Rsostuaton ncht genügen wergespegelt würe un bearf für jeen hnzugefügten Rsofator enes esbezüglchen Nachweses. Herbe st e Anzahl zusätzlcher Rsofatoren so gerng we möglch zu halten. II. Ermttlung er Senstvtäten Zur Bestmmung er Veränerung es RTK über enen Enjahreshorzont müssen e Abletungen es RTK nach en Rsofatoren bestmmt weren, sehe (2): RTK( Z(0)), z 2 RTK( Z(0)) z z In er verenfachten Verson müssen nur e ersten Abletungen bestmmt weren. De Vollverson erforert e Bestmmung er ersten un zweten Abletungen es RTK nach en Rsofatoren. Be er pratschen Umsetzung enes Delta-Gamma-Verfahrens ergbt sch verglchen mt er verenfachten Delta-Normal Methoe folgener zusätzlche Aufwan: 6/29

7 Ermttlung er Matrx Γ, also er partellen Abletungen es RTK nach em -ten un -ten Rsofator. Insbesonere e Bestmmung er gemschten Abletungen ( ; so genannte Kreuz- o- er cross-gamma -Terme); Bestmmung er Wahrschenlchetsvertelung von RTK( 1) 1. Für en Delta-Gamma-Verfahren müssen also zusätzlch zu en Senstvtäten oer Rsofatorauslenungen nach oben un unten e zweten Abletungen es RTK nach en Rsofatoren geschätzt weren. Des gescheht weerum mt Hlfe von Senstvtätsberechnungen. De Tabellen n Anhang A un B zegen, we e Senstvtätsberechnungen urchgeführt weren müssen. Es st e Aufgabe er Verscherungsunternehmen, nachzuwesen, welche Elemente er Matrx allenfalls vernachlässgbar sn. Ist für enen Rsofator e Summe s + + s 0 (sehe Anhang A), so legt en Dagonal-Gamma-Betrag vor. Insofern st es ncht gerechtfertgt, esen zu gnoreren, falls as Rso aurch unterschätzt wr. Alle Werte n er Gamma-Matrx m Blatt Senstvtaeten Gamma_Maret es SST-Templates sn auf null gesetzt. De Null-Werte haben enen ren technschen Hntergrun: Se stellen e orrete Berechnung er Szenarenwerte m Blatt Scenaros scher, wenn e verenfachte Verson es Martrso-Stanarmoells (Delta-Normal-Ansatz) angewant wr. Anwener er Vollverson es Martrso-Stanarmoells (Delta-Gamma-Ansatz) müssen e gesamte Matrx explzt entragen. III. Beschrebung er Rsofatoren Das Martrsomoell umfasst e folgenen 82 Rsofatoren: Znsen (Zero Rates) für e Währungen CHF, EUR, USD, GBP separat für e Laufzetenbäner 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 20, 30 Jahre [4*13 Rsofatoren] Implzte Znsvolatltät [1 Rsofator] Cret Sprea USA: AAA, AA, A, BBB [4 Rsofatoren] Cret Sprea BB [1 Rsofator] Cret Sprea Europa: AAA, AA, A, BBB [4 Rsofatoren] Swap-Government Sprea [1 Rsofator] Wechselurse: EUR/CHF, USD/CHF, GBP/CHF, JPY/CHF [4 Rsofatoren] Implzte F-Volatltät [1 Rsofator] als quarat- 1 Im Untersche zum Delta-Normal Ansatz st RTK ncht mehr unvarat normalvertelt, a T sche Form normalvertelter Zufallsvetoren ncht mehr normalvertelt st. 7/29

8 Aten: Schwez, EMU, USA, Grossbrtannen, Japan, Pazf ohne Japan, EMU Small Cap [7 Rsofatoren] Implzte Atenvolatltät [1 Rsofator] Hege-Funs [1 Rsofator] Prvate Equty [1 Rsofator] Immoblen Schwez: Drete Wohnmmoblen, Immoblenfons, rete Geschäftsmmoblen [3 Rsofatoren] Betelgungen [1 Rsofator]: atv zum restlchen Marrso, Volatltät 25 % 2 Hnwes zum Swap-Government Sprea: Exposures von Swap-Prouten (z.b. Swaps un Swaptons) auf en Sprea zwschen Swap-Znsen un rsofreen Znsen weren zuünftg auf esen Rsofator gemappt (un ncht mehr auf en Rsofator Cret Sprea AA). Hnwes zu en Atennzes: Be en MSCI Atennzes hanelt es sch um sogenannte Total- Return-Inzes; e Dvenen weren urch en Inexwert somt berücschtgt. Hnwes zu mplzter Znsvolatltät, Hege-Funs, Prvate Equty, reten Geschäftsmmoblen un Betelgungen: Be esen Rsofatoren gbt es vorgegebene Proxes bezehungswese pauschale Vorgaben setens er FINMA bezüglch er Volatltäten un Korrelatonswerte. Dese önnen urch egene Schätzungen ersetzt weren, sofern e Verscherungsunternehmen zu eren Herletung geegnete Zetrehen wählen. In esem Fall sn egene Korrelatonen un Volatltäten zu bestmmen, welche ret n e entsprechenen Zellen er Matrx enzufügen sn. Das Verscherungsunternehmen hat ann scherzustellen, ass e resulterene Matrx orret st. Insbesonere muss e Matrx postv efnt sen. Zur Überprüfung, ob vorgegebene Volatltäten oer Korrelatonen geänert wuren, st ene automatsche Kontrolle vorhanen. Das Verscherungsunternehmen hat e Angemessenhet er verweneten Proxes un eren Angemessenhet m SST-Bercht zu erläutern. Ist es ncht er Fall, so weren be reten Geschäftsmmoblen e Werte von Rü Blass (Immoblenfons) übernommen. Hnwes zu Hege-Funs un Prvate Equty: Es wr angezwefelt, ass e Schätzung er Volatltäten un Korrelatonen mt er beobachtbaren Hstore es Hege-Funs- bezehungswese Prvate- Equty-Portfolos enes Verscherungsunternehmens bezehungswese Inzes als Proxy as Rso eser Investments aäquat werspegelt. Ene vorschtge Wahl er Parameter st angezegt. De selbstgeschätzte Volatltät st zu veroppeln, as hesst, se st mt em Fator 2 zu multplzeren. Ausgenommen hervon sn Proxes für Prvate Equty, e auf lquen Transatonen beruhen. 2 Ene bessere Moellerung er Rsostuaton von Betelgungen st en loo through, nem e Senstvtät es Betelgungswerts auf e Veränerung er Rsofatoren mtberücschtgt wr. Es wr auf Rz 87 un 88 es FINMA-RS 08/44 SST verwesen. 8/29

9 IV. Schätzung er Zetrehenparameter We erwähnt, wr m Martrso-Stanarmoell angenommen, ass e Änerungen er Rsofatoren multvarat normalvertelt sn. De Normalvertelung wr urch en Mttelwertvetor μ un e Kovaranzmatrx vollstäng charatersert. Sowohl n sener Vollverson we auch n er verenfachten Verson muss e Kovaranzstrutur geschätzt weren,.h. e Volatltäten un Korrelatonen er Rsofatoränerungen. De Ermttlung eser Parameter erfolgt grunsätzlch auf er Bass von monatlchen Renten währen er vergangenen 10 Jahre 3. De Verwenung von Monatsrenten über 10 Jahre st en Kompromss zwschen er erforerlchen Datenmenge, um engermassen stable Schätzwerte zu erhalten, un er Atualtät er Daten (vgl. Anhang C für e Beschrebung er Inzes aus Bloomberg sowe verfügbarem Zetraum un Frequenz). Der Zusammenhang zwschen er Kovaranzmatrx un er Korrelatonsmatrx P st er folgene: P, wobe e Dagonalmatrx mt en Stanarabwechungen (Volatltäten) er Rsofatoränerungen als Dagonalelemente bezechnet, also Falls n Beobachtungen (e.g. n 120) von -mensonalen Vetoren 1,,n von Rsofatoränerungen vorlegen, so sn e Stanar-Momentenschätzer von μ un gegeben urch: 1 n n, S 1 n n T Been Schätzer un S haben enen Bas. Enen Schätzer R ( r j ) j, er Korrelatonsmatrx P erhält man unmttelbar aus S ( s j ) j,. Das Element n Zele j un Spalte st gegeben urch. 3 Der SW IAZI Investment Real Estate Performance Inex hngegen steht nur auf Quartalbass zur Verfügung. 9/29

10 s j rj. s s jj De Varanz ener Zufallsvarablen st schwerg zu nterpreteren, a se e Abwechung vom Mttelwert m Quarat msst. In er Praxs msst man e Schwanungen eshalb häufg urch e Stanarabwechung (auch Volatltät genannt). Dese entsprcht er Quaratwurzel er Varanz. Da er Zethorzont m SST en Jahr beträgt, müssen annualserte Volatltäten verwenet weren. Dese erhält man aus en Volatltäten er Monatsrenten, nem man se mt er Quaratwurzel er Anzahl Monate pro Jahr multplzert: Jahr 12 Monat Legen nur Quartalsaten vor, so wr e annualserte Volatltät we folgt berechnet: Jahr 4 Quartal Der Korrelatonsoeffzent st unabhängg von er Frequenz er beobachteten Daten un muss somt ncht annualsert weren. De statstschen Egenschaften von Fnanzzetrehen änern sch n er Regel mt er Frequenz er Beobachtung: Tagesrenten zum Bespel haben ene höhere Kurtoss als monatlche Renten. IV.1 Postv-Defnthet er Korrelatonsmatrx De mttels oben efnertem Schätzer ermttelte Korrelatonsmatrx R st oft ncht postv efnt 4, a as Martrso-Stanarmoell vele Znsrsofatoren enthält, e hoch orrelert sn. Um ene snnvolle Berechnung urchführen zu önnen, muss e geschätzte Korrelatonsmatrx entsprechen angepasst weren. Ene pragmatsche Methoe, um ene postv efnte Matrx aus er ursprünglchen Schätzung zu erhalten st e folgene: De geschätzte Korrelatonsmatrx R habe e Egenwerte (orthogonalen) Egenvetoren v, v2,, v,, 1 n un e 1 n. bezechne abe e n x n Matrx, welche auf er Haupt- 4 Ene quaratsche Matrx A hesst postv efnt, falls b T Ab 0 für alle Vetoren b 0. Se hesst postvsemefnt, falls b T Ab 0 für alle Vetoren b 0. Ene quaratsche Matrx st genau ann postv efnt, wenn alle Egenwerte postv sn. Se st genau ann postv semefnt, falls alle Egenwerte grösser oer glech Null sn. 10/29

11 agonalen e Egenwerte,, 1 n als Enträge hat un sonst 0; V eren -te Spalte urch en -ten Egenvetor v efnert st. Es glt ann bezechne e n x n-matrx, T R VV. Falls e geschätzte Korrelatonsmatrx R ncht postv efnt st, sn m 1 Egenwerte negatv. Wr bezechnen ese Egenwerte als,,, 1 2 m wobe I 1, 2,, m e Inexmenge mt Inzes zwschen 1 un n er negatven Egenwerte bezechnet. Wr efneren nun ene neue Matrx ~, nem wr ausgehen von eren negatve Egenwerte mt jewels em Mnmum von 10 5 un em mt ( 1) multplzerten Egenwert ersetzen: ~, mn(,10 I, 5 ) I. Daraus lässt sch ene neue, postv efnte Matrx bestmmen mttels ~ T. R V ~ V Da e so entstanene Korrelatonsmatrx R ~ n er Regel ncht nur Ensen auf er Dagonalen hat, muss man, um ene Korrelatonsmatrx zu erhalten, noch folgene Transformaton er Enträge vornehmen: rj rj. r r jj Falls en Verscherungsunternehmen e Kovaranzstrutur er Rsofatoren selbst ermttelt, so müssen e ersetzten negatven Egenwerte er Korrelatonsmatrx m SST-Bercht aufgelstet weren. V. Zuornung von Zahlungsströmen auf vorhanene Znsrsofatoren Um ene ausrechene Datenqualtät aller Rsofatoren zu garanteren, weren Zahlungsströme zwecs Ermttlung hrer Znssenstvtät auf e vorhanenen Znsrsofatoren abgeblet. Znsexposures: Ban 0 9 Jahre: Grunsätzlch wr e Laufzet enes Cash Flows auf as nächste ganze Jahr aufgerunet. Zum Bespel wr er Barwert enes Cash Flows, er nach 2 Jahren un 4 Monaten anfällt, mt em Znssatz für 3 Jahre un ener ftven Laufzet von 3 Jahren berechnet Jahre: Laufzet 10 Jahre. 11/29

12 13 17 Jahre: Laufzet 15 Jahre Jahre: Laufzet 20 Jahre Jahre: Laufzet 30 Jahre. Hnwes: Man beachte, ass ese Zuornung ene grobe Verenfachung arstellt, a mt hr n er Regel weer e Barwerte er Zahlungsströme noch e Znssenstvtäten erhalten bleben. Jeer belebge Zahlungsstrom müsste besser erart auf zwe benachbarte Zns-Bucets t l un t r abgeblet weren, ass sowohl er Barwert we auch e Znssenstvtäten erhalten bleben. Das hesst, en Zahlungsstrom c (t) fällg zum Zetpunt t mt 0 tl t tr müsste n re ftve Zahlungsströme zerlegt weren: c lower ( t l ), c upper ( t r ) un c 0(0). De Cash-Poston zum Zetpunt t 0 st notweng, amt nebst en Znssenstvtäten auch er Barwert erhalten blebt. De re Unbeannten lassen sch ann urch en lneares Glechungssystem bestmmen. Damt erfolgt ene Zuornung auf benachbarte Zns-Bucets t l un tr erart, ass nebst em Barwert auch e Duraton (Znssenstvtät) erhalten blebt. VI. Berechnung von Renten Renten önnen grunsätzlch auf verscheene Arten berechnet weren. Wr unterscheen absolute, relatve un logarthmsche Renten. Wr bezechnen mt Z (t) en Rsofator oer Wert enes Instrumentes zum Zetpunt t. VI.1 Absolute Renten De absoluten Renten sn efnert als abs ( t 1) Z( t 1) Z( t) un weren gewöhnlch für Zns- un Cret-Sprea-Veränerungen verwenet, a für logarthmerte Renten von Znsen un Spreas e Normalvertelungsannahme eutlch ungeegneter st als für absolute Renten. 12/29

13 VI.2 Relatve Renten De enfachen oer relatven Renten sn efnert als Z( t 1) Z( t) ( t 1) Z( t) rel, VI.3 Logarthmsche Renten Häufger benutzt weren n er Praxs logarthmsche Renten. Dese weren auch stetge Renten genannt un sn we folgt efnert: wobe fnen wr Z( t 1) ( t 1) log log t Z( t) Z( t 1) logz ( ) log, log en natürlchen Logarthmus bezechnet. Da für lene x ungefähr glt log( 1 x) x Z(t ) Z(t ) Z(t) 1 1 Z(t 1) Z(t) log Z(t) log 1. Z(t) Z(t) log rel, De Wertveränerung bespelswese enes renen Atenportfolos V ( t) S ( t) 1 lässt sch urch logarthmsche Atenursveränerungen log ( t 1) log( S( t 1)) log( S( t)) we folgt ausrücen: V ( t 1) V ( t) e Z ( t 1) Z ( t) S ( t 1) S ( t) e e Z ( t ) e Z ( t1) Z S ( t) e log, ( t 1) ( t) wobe Z ( t) logs ( t) un log, ( t 1) Z ( t 1) Z ( t) logs ( t 1) logs ( 1) ( ) log S t t. ( ) S t Das hesst, e Wertveränerung es Atenportfolos lässt sch urch e logarthmschen Renten ausrücen. 13/29

14 De lnearserte Wertveränerung ergbt sch unter Berücschtgung von e x 1 x für lene x : De Approxmaton 2. Ornung lautet n esem Fall V ( t 1) V ( t) S ( t) log, ( t 1) V ( t 1) V ( t) S ( t) log, ( t 1) log, ( t 1). 2 1 Jee Wert- oer Presveränerung ann als enfache oer als stetge Rente ausgerüct weren. De stetge Rente log wr urch e Formel rel e log 1 n ene relatve Rente überführt. Umgeehrt entsprcht er enfachen Rente Rente log gegeben urch rel e logarthmsche log rel log 1. Zum Bespel entsprcht ene relatve Rente von 5 % ener logarthmschen Rente von 4.88 %. Bee Renten, ob 5 % enfach oer 4.88 % stetg, werspegeln eselbe Wertveränerung, leglch e Art er zugrune legenen Verznsung st unterschelch: enfach (jährlch) m ersten Fall, ontnuerlch m zweten Fall. Ene wetere wchtge Egenschaft logarthmscher Renten st, ass sch e logarthmsche Rente über mehrere Peroen als Summe er Renten er enzelnen Peroen ergbt: T log ( 0, T) logz ( T) logz (0) log t 1 Folgene Tabelle gbt ene Überscht über e für e verscheenen Rsofatoren verweneten Verfahren für e Renteberechnung. Vergleche azu auch e Lste er Rsofatoren n Kaptel III oben. ( t) 14/29

15 Kategore Znsen Implzte Znsvolatltät Cret Spreas Fremwährungsurse Implzte Volatltät von Währungen Atenurse Implzte Volatltät von Atenursen Hege-Funs Prvate Equty Immoblen Betelgungen Verwenete Methoe zur Renteberechnung absolut logarthmsch absolut logarthmsch logarthmsch logarthmsch logarthmsch logarthmsch logarthmsch logarthmsch logarthmsch Tabelle 1: Verwenete Methoen zur Renteberechnung er Rsofatoren. VII. Lteratur [1] Asmussen, S. (2007). Stochastc Smulaton. Sprnger. [2] Glasserman, P. (2004). Monte Carlo Methos n Fnancal Engneerng. Sprnger. [3] Glasserman, P., Heelberger, P., an Shahabun, P. (2000). Varance Reucton Technques for Estmatng Value-at-Rs. Management Scence, Vol. 46, No. 10. [4] Mc Nel, A., Frey, R. an Embrechts, P. (2005). Quanttatve Rs Management. Concepts, Technques an Tools. Prnceton Unversty Press. 15/29

16 Anhang A: Senstvtäten für en Delta-Gamma-Verfahren Senstvtät / Abletung Geschätzt urch Kommentar δ = RTK z RTK(, z + h, ) RTK(, z h, ) 2h = s + s 2h Γ = 2 RTK RTK(, z + h, ) RTK(, z, ) 2 2 z h Senstvtäten / Auslenungen nach oben un unten [analog Delta-Normal-Ansatz]. Absolute Auslenungen h be Znsen un Cret Spreas bezehungswese relatve Auslenungen h h z sonst, sehe Anhang B. Dagonalelemente er Matrx Γ + RTK(, z h, ) RTK(, z, ) h 2 = s + + s h 2 Γ = 2 RTK z z ( ) RTK(, z + h,, z + h, ) RTK(, z + h,, z h, ) 4h h + RTK(, z h,, z h, ) RTK(, z h,, z + h, ) 4h h Kreuzterme (Cross-Gamma) er Matrx Γ Allgemen: s + f(x + h) f(x) hf (x) h2 f (x) ; s f(x h) f(x) hf (x) h2 f (x) Daraus folgt: s + s 2h f (x), s + +s h 2 f (x). 16/29

17 Anhang B: Input für e Martrsosenstvtäten m SST Wchtger Hnwes: De zur Ermttlung er - bezehungswese -Senstvtäten notwengen Auslenungen h un h er Rsofatoren sn für Znsen un Cret Spreas als absolute Auslenungen zu verstehen, sehe Anhang A. Be allen aneren Rsofatoren hngegen, für welche stetge bzw. logarthmsche Änerungen betrachtet weren, sn e Auslenungen relatv zu verstehen,.h.: De Auslenung von 10 % bem Rsofator RTK 1.1 Z 0.1 Z logs 0.1log S 1.1 logs logs bezehungswese urch st ann urch 2 10% logs zu veren., z h z, RTK, z h z, 2h z Z logs beeutet somt Folgenes: Es st er Wert es RTK zu ermtteln, nem Z logs enmal urch Z Z logs 0.1log S 0.9log S logs ersetzt wr. De Dfferenz De Senstvtäten müssen alle Blanz-Postonen umfassen. Der Input er Senstvtäten erfolgt für Atven un Passven getrennt. Atven Umfasst Senstvtäten aller Atven aller n Atven engebetteten Dervate (bspw. Optonen n Wanelanlehen oer n struturerten Prouten) aller Fnanzervate (bspw. Optonen auf Atentteln/Atennzes, Inex-Futures, Znsswaps, Caps/Floors, F-Forwars, F-Swaps, Currency- Swaps). Passven Umfasst Senstvtäten aller Passven aller n Passven engebettete Optonen un Garanten (bspw. Mnestznsgaranten) Optonen un engebettete Garanten De Senstvtäten aus Dervaten un engebetteten Dervaten sn m Spreasheet ncht separat zu erfassen, müssen er FINMA aber m Bercht separat ausgewesen weren (getrennt für Fnanzervate, engebettete Dervate n Atven, engebettete Dervate n Passven). 17/29

18 Sn e Dervatpostonen substanzell, so ann as Stanar-Martrso-Moell aufgrun er quaratschen Approxmaton (bzw. lnearen Approxmaton m Falle es verenfachten Ansatzes) ncht angebracht sen; n esem Fall muss en nternes Moell verwenet weren. Unt Lne un Separate Accounts Senstvtäten für Kaptalanlagen aus Unt Lne un Separate Accounts sn für Atven un Passven zu rapporteren, es se enn, es ann lar nachgewesen weren, ass se perfet entsch sn. Berechnung es Znsrsos (für alle Währungen gültg) Grunsätzlch wr e Laufzet enes Cash Flows auf as nächste ganze Jahr aufgerunet. Zum Bespel wr er Barwert enes Cash Flows, er nach 2.3 Jahren anfällt, mt em Znssatz für 3 Jahre un ener ftven Laufzet von 3 Jahren berechnet. 18/29

19 Bezechnung Znsen (Zero Rates) (CHF; EUR; USD; GBP) 1. Jahr Znsen (Zero Rates) (CHF; EUR; USD; GBP) 2. Jahr Znsen (Zero Rates) (CHF; EUR; USD; GBP) 3. Jahr Auslenung h Beeutung Ermttlung er Senstvtät Zu berücschtgene Postonen 100 bps Barwerteffet ener Änerung Neubewertung er znssenstven Alle znssenstve Postonen, we etwa er Znsurve m Postonen mt ener Znsurve, Oblgatonen Berech Jahr. welche m Berech von Jahren Wanelanlehen um 100 bps höher (tefer) st Krete als e Ausgangsurve,.h. e Darlehen Ausgangsurve wr m Berech Hypotheen Verpflchtungen Jahre um 100 bps parallel Znsgaranten angehoben (gesent). Znsswaps Des glt für alle Znsurven ncht Caps/Floors nur für e rsolosen. F-Forwars F-Swaps 100 bps 100 bps Barwerteffet ener Änerung er Znsurve m Berech Jahre. Barwerteffet ener Änerung er Znsurve (Dsonturve) m Berech Jahre. Erfolgt e Bewertung gewsser Assets urch Dsonterung mt enem nstrumenten-spezfschen Yel (bspw. Bewertung ener Unternehmensanlehe), so wr er Renteaufschlag (Cret Sprea) bezüglch es rsolosen Znssatzes bestmmt un ann mt em um 100bps erhöhten rsolosen Znssatz plus Cret Sprea sontert un as Resultat em 1-Jahres-Zetban zugeornet. Analog zu Znsen (Zero Rates) 1. Jahr Immoblen sn für esen Rsofator ncht zu berücschtgen. Znsen n aneren Währungen: Znsexposures n Währungen, für e ene gesonerten Rsofatoren exsteren, sn en Bucets er geographsch nächsten erfassten Währung zuzuornen. Dabe gelten für en ostasatschpazfschen Raum (Asa-Pacfc) un Nor- un Süamera (Amercas) e USA als nächstgelegen, für Europa, en Nahen Osten, Afra un e GUS-Staaten (EMEA) er Euro-Raum. Ene Ausnahme blen herbe e Schwez un as Verengte Köngrech, für welche es egene Zns-Rsofatoren gbt. 19/29

20 Bezechnung Znsen (Zero Rates) (CHF; EUR; USD; GBP) 4. Jahr Znsen (Zero Rates) (CHF; EUR; USD; GBP) 5. Jahr Znsen (Zero Rates) (CHF; EUR; USD; GBP) 6. Jahr Znsen (Zero Rates) (CHF; EUR; USD; GBP) 7. Jahr Znsen (Zero Rates) (CHF; EUR; USD; GBP) 8. Jahr Znsen (Zero Rates) (CHF; EUR; USD; GBP) 9. Jahr Znsen (Zero Rates) (CHF; EUR; USD; GBP) 10. Jahr Znsen (Zero Rates) (CHF; EUR; USD; GBP) 15. Jahr Auslenung h Beeutung Ermttlung er Senstvtät Zu berücschtgene Postonen 100 bps Barwerteffet ener Änerung er Znsurve (Dsonturve) m Berech Jahre. 100 bps Barwerteffet ener Änerung er Znsurve (Dsonturve) m Berech Jahre. 100 bps Barwerteffet ener Änerung er Znsurve (Dsonturve) m Berech Jahre. 100 bps Barwerteffet ener Änerung er Znsurve (Dsonturve) m Berech Jahre. 100 bps Barwerteffet ener Änerung er Znsurve (Dsonturve) m Berech Jahre. 100 bps Barwerteffet ener Änerung er Znsurve (Dsonturve) m Berech Jahre. 100 bps Barwerteffet ener Änerung er Znsurve (Dsonturve) m Berech Jahre. 100 bps Barwerteffet ener Änerung er Znsurve (Dsonturve) m Berech Jahre. 20/29

21 Bezechnung Znsen (Zero Rates) (CHF; EUR; USD; GBP) 20. Jahr Znsen (Zero Rates) (CHF; EUR; USD; GBP) 30. Jahr Implzte Znsvolatltät 10 % (relatv) Auslenung h Beeutung Ermttlung er Senstvtät Zu berücschtgene Postonen 100 bps Barwerteffet ener Änerung er Znsurve (Dsonturve) m Berech Jahre. 100 bps Barwerteffet ener Änerung er Znsurve (Dsonturve) m Berech Jahre. Wertveränerung von Fnanznstrumenten, e auf ene Znsvolatltät senstv sn, be ener Zubezehungswese Abnahme er mplzten Volatltät um 10 %. Cret Sprea 100 bps Barwerteffet ener Änerung er Cret Spreas (Dfferenz zwschen Znsen für retrsobehafteten Anlagen un retrsofreen Anlagen) um 100 bps. Änerung er Volatltät um 10 %. Barwertänerung, welche urch ene Parallelverschebung er Znsurve um 100 bps entsteht. Erfolgt e Bewertung gewsser retrsobehafteter Anlagen urch Dsonterung mt enem Instrumenten-spezfschen Yel (bspw. Bewertung ener Unternehmensanlehe), so st e Wertänerung be ener Erhöhung / Alle Postonen, e ene Senstvtät auf e mplzte Znsvolatltät haben, we: Optonen auf znssenstven Postonen we etwa Oblgatonen Hypotheen Znsswaps Forwars Spezfsche oer engebettete Znsoptonen we etwa Caps / Floors (caplet / floorlet) Collars Das Sprearso bezeht sch auf Fnanznstrumente eren Barwerte auf Änerungen von Cret Spreas senstv sn. Sprearsen sn grunsätzlch auch für alle mt enem Gegenparterso behafteten Postonen relevant. Ausgenommen sn Staatsschulpapere un entsprechene Dervate 5 n ener urch en jewelgen Staat selbst ontrollerbaren Währung sofern as angewante Rsomoell über Znsrsofatoren n eser 5 Zu berücschtgen blebt jeoch en allfällges Sprearso es Emttenten enes solchen Dervats (z.b. ener Ban, e Optonen auf US-Staatsanlehen emttert). 21/29

22 Bezechnung Auslenung Beeutung Ermttlung er Senstvtät Zu berücschtgene h Postonen Reuton es Yels um 100 bps zu messen. Währung verfügt. Bem Martrso- Stanarmoell sn es Staatsschulpapere er Schwez, es Verengten Köngrechs un er Verengten Staaten, ncht aber solche aus en Länern es Euro-Raums. Zu berücschtgen sn auch alle Forerungen aus Kretervaten un retrsobehaftete Forerungen aus mplzten Optonen (engebettet n hanelbaren lquen Fnanznstrumenten). Be Cret Sprea USA (AAA, AA, A, BBB) glt: Sämtlche retrsobehaftete Postonen we Anlehen un Darlehen von Unternehmen un öffentlchen Schulnern aus Nor- un Süamera (Amercas), em Fernen Osten un em Pazfschen Raum (Asa Pacfc) mt entsprechenem Ratng. Postonen ohne von er FINMA genehmgtes Ratng weren em Ratng BBB zugeornet. Be Cret Sprea Europa (AAA, AA, A, BBB) glt: Sämtlche retrsobehaftete Postonen we Anlehen un Darlehen von Unternehmen un öffentlchen Schulnern (we Staaten, Kantone un Bunesläner sowe Gemenen) aus Europa (auch: er GUS-Staaten, es Nahen Ostens un Afras [EMEA]) mt entsprechenem Investment-Grae-Ratng. Ausserem: Schwezer Hypotheen weren em Ratng A zugeornet. Postonen ohne von er FINMA genehmgtes Ratng weren em Ratng BBB zugeornet. 22/29

23 Bezechnung Auslenung Beeutung Ermttlung er Senstvtät Zu berücschtgene h Postonen Für Cret Sprea BB glt: Sämtlche retrsobehaftete Postonen mt Sub-Investment-Grae-Qualtät, wobe e Exposures unterhalb es Ratngs BB ncht materell sen ürfen. Für Swap-Government Sprea glt: Alle Postonen n Swap Prouten (z.b. Swaps un Swaptons) F EUR/CHF F USD/CHF F GBP/CHF F JPY/CHF 10 % 10 % 10 % 10 % Barwerteffet ener Änerung es EUR/CHF- Wechselurses um 10 %. Barwerteffet ener Änerung es USD/CHF Wechselurses um 10 %. Barwerteffet ener Änerung es GBP/CHF Wechselurses um 10 %. Barwerteffet ener Änerung es JPY/CHF Wechselurses um 10 %. Neubewertung aller Postonen mt enem EUR/CHF Kurs, er um 10 % über / unter em Ausgangsurs legt. Analog zu F EUR/CHF Drete Hypotheen sn auf as entsprechene A-Ratng abzublen. Alle Postonen un Dervate, e ene EUR- Komponente enthalten (also bspw. er EUR- Leg enes EUR / GBP F-Swaps) Exposures zu Währungen, für e ene gesonerten Rsofatoren exsteren, sn er geographsch nächstgelegenen Währung zuzuwesen. De Währungen Europas, es Nahen Ostens, Afras sowe er GUS-Staaten (EMEA) sn abe em Euro zugeornet, mt Ausnahme es Schwezer Franens un es brtschen Pfuns. Ostasen un er pazfsche Raum (Asa-Pacfc) sn em japanschen Yen, e Währungen Nor- un Süameras (Amercas) em US-Dollar zuzuornen. Implzte F-Volatltät 10 % (relatv) Barwerteffet von Fnanznstrumenten, e auf ene F-Volatltät senstv sn, be ener Änerung Neubewertung er Postonen be 10 % Änerung er Volatltät. Alle Postonen, e ene Senstvtät auf e mplzte F-Volatltät haben. 23/29

24 Aten Bezechnung Schwez EMU USA Grossbrtannen Japan Pazf ohne Japan EMU Small Cap Auslenung h Beeutung Ermttlung er Senstvtät Zu berücschtgene Postonen er mplzten Volatltät um 10 %. 10 % Barwerteffet ener Änerung von Atenursen um 10 %. Neubewertung er Postonen be 10 % Änerung er Aten- /Inexurse. Alle Postonen, welche gegenüber enzelnen Atenursen, bezehungswese Atennzes, senstv sn. Zu berücschtgen sn neben Dervaten auch engebettete Optonen (bspw. n Wanelanlehen). Der Effet auf Postonen n egenen Atentteln st ncht zu berücschtgen, wohl aber er Effet auf Dervate, e auf egene Ttel lauten (bspw. Lepos). Ebenso sn Betelgungen ncht zu berücschtgen. De Exposures sn em zum jewels geographsch nächsten Wrtschaftsraum gehörgen Rsofator we folgt zuzuwesen: Europa, er Nahe Osten, Afra sowe e GUS-Staaten (EMEA) sn abe em Euro-Raum zuzuornen. Ene Ausnahme blen herbe e Schwez un as Verengte Köngrech, e als egene Wrtschaftsräume gelten. Ostasen un er pazfsche Raum (Asa-Pacfc) ausser Japan weren em Rsofator für Pazf ohne Japan zugeornet, Japan glt als egener Wrtschaftsraum. Nor- un Süamera (Amercas) weren auf e USA abgeblet. Klene Kaptalgesellschaften aus em Euro-Raum sowe aus en em Euro-Raum zugeorneten Staaten sn em Rsofator Small Cap EMU zuzuwesen. 24/29

25 Bezechnung Implzte Atenvolatltät Auslenung h Beeutung Ermttlung er Senstvtät Zu berücschtgene Postonen 10 % Alle Postonen, e ene Senstvtät auf e (relatv) mplzte Atenvolatltät haben. Barwerteffet auf Fnanznstrumente, e auf e Volatltät von Aten / Atennzes senstv sn, be ener Änerung er mplzten Volatltät um 10 %. Hege-Funs 10 % Barwerteffet ener Änerung er Hegefon- Bewertungen um 10 %. Prvate Equty 10 % Barwerteffet ener Änerung um 10 % er als Prvate Equty geltenen Anlagen. Drete Wohnmmoblen Schwez Immoblenfons Schwez Drete Geschäftsmmoblen Schwez 10 % 10 % 10 % Barwerteffet ener Änerung es Immoblennexes um 10 % Barwerteffet ener Änerung es Immoblenfonsurses um 10 %. Barwerteffet ener Änerung es Immoblennexes um 10 % Betelgungen 10 % Barwerteffet ener Änerung er Betelgungswerte um 10 %. Neubewertung er Postonen be 10 % Änerung er Atenvolatltät. Neubewertung er Postonen be 10 % Änerung er Hegefon- Bewertungen. Neubewertung er Postonen be 10 % Änerung er Kurse er Anlage. Neubewertung er Postonen be 10 % Änerung er Immoblenprese. Neubewertung er Postonen be 10 % Änerung er Kurse er Immoblengesellschaften. Neubewertung er Postonen be 10 % Änerung er Immoblenprese. Neubewertung er Postonen be 10 % Änerung er Kurse er Betelgung. Alle Anlagen, welche Engagements n Hege- Funs arstellen, nsbesonere Hege-Funs (Dretanlage) Dachfons m Berech Hege-Funs Alle Anlagen, welche Engagements n Prvate Equty arstellen, nsbesonere Prvate-Equty-Funs Prvate-Equty-Gesellschaften Dretnvesttonen n: Wohn-Immoblen Gemschte Immoblen mt wenger als 50 % Geschäftsantel obge Anlagen m Bau. Börsengehanelte Immoblenfons Geschäftsmmoblen (Dretnvestton oer selbst genutzte Objete), Gemschte Immoblen mt mehr als 50 % Geschäftsantel, Obge Anlagen m Bau. Betelgungen: Jee Dretanlage (ohne Immoblen, Prvate Equty, Partzpatons- un Genussschene), be er en loo through angezegt st. 25/29

26 Anhang C: Beschrebung er Bloomberg-Inzes / Datengrunlage Rsofator Bloomberg-Coe Frequenz Startatum CHF Znsen (Zero Rates) EUR Znsen (Zero Rates) 1J 2J 3J 4J 5J 6J 7J 8J 9J 10J 15J 20J 30J 1J 2J 3J 4J 5J 6J 7J 8J 9J 10J 15J 20J 30J SNB Daten 6 Täglch 1995 I01301Y Inex I01302Y Inex I01303Y Inex I01304Y Inex I01305Y Inex I01306Y Inex I01307Y Inex I01308Y Inex I01309Y Inex I01310Y Inex I01315Y Inex I01320Y Inex I01330Y Inex Täglch De Datenhstore wr auf er FINMA-Internetsete publzert. 26/29

27 Rsofator Bloomberg-Coe Frequenz Startatum USD Znsen (Zero Rates) GBP Znsen (Zero Rates) 1J 2J 3J 4J 5J 6J 7J 8J 9J 10J 15J 20J 30J 1J 2J 3J 4J 5J 6J 7J 8J 9J 10J 15J 20J 30J I02501Y Inex I02502Y Inex I02503Y Inex I02504Y Inex I02505Y Inex I02506Y Inex I02507Y Inex I02508Y Inex I02509Y Inex I02510Y Inex I02515Y Inex I02520Y Inex I02530Y Inex I02201Y Inex I02202Y Inex I02203Y Inex I02204Y Inex I02205Y Inex I02206Y Inex I02207Y Inex I02208Y Inex I02209Y Inex I02210Y Inex I02215Y Inex I02220Y Inex I02230Y Inex Täglch 1995 Täglch 1995 Implzte Znsvolatltät CHF SFSV1010 Täglch Ab Ene 1999 Cret Sprea USA: AAA, AA, A, BBB Mooy s-inex mnus ressgjährge US- Staatsanlehe (Treasury) MOODCAAA Inex - GT30 GOVT, MOODCAA Inex - GT30 GOVT, MOODCA Inex - GT30 GOVT, MOODCBAA Inex - GT30 GOVT Täglch AAA un BBB ab 1983, Rest ab /29

28 Rsofator Bloomberg-Coe Frequenz Startatum Cret Sprea BB Cret Sprea Europa: AAA, AA, A, BBB Swap-Government Sprea Wechselurse Implzte F-Volatltät Dfferenz er zehnjährgen Laufzet Bloomberg Far Maret Curve BB zum zehnjährgen FINMA Proxy für en USD rsolosen Zns. Dfferenz er zehnjährgen Laufzeten er em Ratng entsprechenen Bloomberg Far Maret Curve zum zehnjährgen FINMA Proxy für en zehnjährgen EUR rsolosen Zns. Da er Bloomberg-Proxy für AAA Euro Spreas m November 2011 engestellt wure, wr e Zetrehe ünstlch extrapolert 7. Dfferenz er zehnjährgen Laufzet von CHF-Swap zu CHF-Govy EUR/CHF USD/CHF GPB/CHF JPY/CHF USD/CHF 3 Monate ATM Optonen C88410Y Inex - I02510Y Inex Täglch Ab November 2002 AAA: C66410Y Inex - I01310Y Inex AA:C66710Y Inex - I01310Y Inex A : C67010Y Inex - I01310Y Inex BBB: C67310Y Inex - I01310Y Inex Täglch Ab März 2002 (BBB ab Ma 2000) I05710 Y Inex I08210Y Inex Täglch Ab Anfang 1995 SFEC Curncy SFUS Curncy SFBP Curncy SFJY Curncy Täglch 1980 USDCHFV3M Curncy Täglch Aprl De extrapolerten Daten weren auf er FINMA-Internetsete publzert. 28/29

29 Rsofator Bloomberg-Coe Frequenz Startatum Aten: Schwez EMU USA Grossbrtannen Japan Pazf ohne Japan EMU Small Cap MSCI Total Return Inzes: Swtzerlan EMU USA Unte Kngom Japan Pacfc ex Japan Small Cap EMU GDDLSZ Inex GDDLEMU Inex GDDLUS Inex GDDLUK Inex GDDLJN Inex GDDUPJ Inex MEMSC Inex Monatlch 1970 Implzte Atenvolatltät VI VI Inex Täglch 1994 Hege-Funs HFRI Fun of Funs Composte HFRIFOF Monatlch Ab Anfang 1990 Inex Prvate Equty LP Drect Inex LPIDITR Täglch Ab Anfang 1999 Immoblen SW IAZI Investment Real Estate Performance Inex Rü Blass Immoblennex IREALC Inex DBCHREE Inex Quartal Monatlch , ab täglch Hnwese: De her angegeben Frequenzen un Startaten bezehen sch auf e Verfügbaret un ncht auf eren Verwenung. Für e Schätzung er Korrelatonsmatrx un er Volatltäten weren m Martrso-Stanarmoell, ausser für en IAZI-Inex, Daten mt monatlcher Frequenz verwenet. De verwenete Hstore beträgt 10 Jahre. Be monatlcher Frequenz sn n Bloomberg telwese Monatsmttelwerte publzert. Es st scherzustellen, ass e Monatsenwerte verwenet weren. Mooy s stellt täglche un monatlche Zetrehen für Renten auf Unternehmensanlehen n en USA für verscheene Ratnglassen zur Verfügung. Mooy s berechnet e Renten er Unternehmensanlehen auf Portfolos mt ener Restlaufzet von 30 Jahren. Somt wuren e Renten von Staatsanlehen mt 30 Jahren Restlaufzet verwenet. Be monatlcher Frequenz entsprechen e Bloomberg-Daten für e Mooy s-inzes ncht en Monatsenwerten, sonern en Monatsurchschnttswerten. Deshalb erfolgt e Berechnung er Monatsenwerte er auf Mooy s baserten Spreas, nem er letzte Wert jees Monats aus en täglche Werten, gemnert um en entsprechenen Government Yel, ermttelt wr. 29/29