27. Statistische Tests für Parameter. Was ist ein statistischer Test?
|
|
- Florian Küchler
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 27. Statistische Tests für Parameter Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen Was ist ein statistischer Test? Ein statistischen Test ist ein Verfahren, welches ausgehend von Stichproben bestimmte Hypothesen überprüft, und diese - mit gewissen Fehlerwahrscheinlichkeiten - bestätigt oder verwirft. Steht die Form der Verteilung außerfrage und man macht nur Hypothesen über Parameter der Verteilung (wie µ, σ 2, Anteilswert, Korrelationskoeffizient etc), so liegt ein parametrischer Test vor Dieses Kapitel. Hypothesen über die komplette Verteilung als solche (Stichprobe ist konsistent mit bestimmter Verteilung, zwei Stichproben gehorchen der selben Verteilung, zwei Stichproben sind konsistent mit Unabhängigkeit etc) werden in nichtparametrischen Tests untersucht Kap. 28. ff
2 27.1 Prinzip des Signifikanztests Fast immer werden statistische Tests in Form von Signifikanztests durchgeführt: Man formuliert eine Nullhypothese H 0 und die komplementäre Alternativhypothese H 1 = H 0 und überprüft, ob die Zufalls-Stichprobe wesentlich ( signifikant ) von H 0 abweicht. Wichtig: Durch Stichproben kann man mit den Mitteln der Statistik i.a. keine Fragen der Art zeige, dass...! beantworten, sondern nur Fragen der Art zeige, dass nicht widerlegt werden kann, dass...! das Wortes signifikant wird dabei durch das Signifikanzniveau quantifiziert: Das Signifikanzniveau α = P( abgelehnt H 0 ) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Signifikanztest die Nullhypothese H 0 abzulehnen, obwohl sie wahr ist. Üblich: α =0.10, 0.05, 0.01 Tabellen! α wird auch als α-fehler, Fehlerwahrscheinlichkeit oder Fehler erster Art bezeichnet. Der komplementäre Fehler zweiter Art oder β-fehler P( angenommen H 0 ) ist i.a. schwer zu kontrollieren und kann viel größer als α werden.
3 27.1 (b): Hintergrund: Entscheidungsmatrix unschuldig schuldig Freispruch Schuldspruch Ent- richtige scheidung Ent- richtige scheidung Irrtum zugunsten des Angeklagten Irrtum zuungunsten des Angeklagten In der Entscheidungsmatrix gibt es drei Mengen von Objekten: Eine Menge von Zuständen (H 0 ist wahr oder falsch) Eine Menge von möglichen Entscheidungen (H 0 annehmen oder nicht) Eine Menge möglicher Konsequenzen (Entscheidung richtig oder falsch) Aufgabe: 1. Ordnen Sie in obigen Beispiel die drei Mengen zu 2. Als Nullhypothese könnten Sie der Angeklagte ist unschuldig oder der Angeklagte ist schuldig annehmen. Warum ist hier die Nullhypothese der Angeklagte ist unschuldig besser?
4 27.1 (c): Entscheidungsmatrix beim Rührei Scherzhafte Beispiele haben manchmal größere Bedeutung als ernste Michael Stifel ( ) Man hat fünf (gute) Eier in einen Topf geschlagen und hat noch ein Ei. Soll man es gleich dazugeben, sicherheitshalber zunächst in eine Tasse aufschlagen oder gleich fortwerfen? 6.Ei ist gut 6.Ei ist faul Ei 6 dazugeben Ei 6 fortwerfen Ei 6 zunächst in Tasse Aufgabe: Tragen Sie die Konsequenzen in die fehlenden Kästchen ein. Diskutieren Sie die Entscheidungen der linken Spalte unter dem Gesichtspunkt: Nullhypothese annehmen oder verwerfen.
5 27.1 (c) II: Lösung 6.Ei ist gut 6.Ei ist faul Ei 6 dazugeben 6-Ei Rührei alles verdorben Ei 6 fortwerfen Verlust: 6.Ei 5-Ei Rührei 6. Ei zunächst in Tasse 6-Ei Rührei + zusätzlicher Abwasch 5-Ei Rührei + zusätzlicher Abwasch Hier ist die Konsequenz des Zustands 6. Ei ist faul schwerwiegender als die des Zustandes 6. Ei ist gut, deshalb muss man die Wahrscheinlichkeit einer möglichen Fehleinschätzung Ei als gut erklärt, obwohl es faul ist durch den Fehler erster Art kontrollieren können. Als Nullhypothese ist deshalb H 0 : Das 6. Ei ist faul dem Sachverhalt angemessen.
6 27.1 (d): Entscheidungsmatrix beim Signifikanztest H 0 annehmen H 0 verwerfen H 0 ist richtig richtig falsch Fehler 1. Art H 0 ist falsch falsch Fehler 2. Art richtig Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art: Ablehnung einer zutreffenden Nullhypothese kann man durch die Irrtumswahrscheinlichkeit α genau angeben und beeinflussen: P(H 0 verworfen H 0 ) = α Wesentlich weniger Kontrolle hat man über den Fehler zweiter Art oder β-fehler, bei einem Signifikanztest eine falsche Nullhypothese nicht abzulehnen: P(H 0 angenommen H 0 ) = β Richtlinie für die Auswahl der Nullhypothese: Der jeweils schwerwiegendere Fehler sollte kontrollierbar sein, also dem Fehler erster Art entsprechen. Im Zweifel für den Angeklagten!
7 27.1(e) Beispiele und Aufgaben 1. Welche Nullhypothese ist sinnvoll (i) beim Gericht (Schuldig oder unschuldig?), (ii) in der Qualitätssicherung (Ware ist gut oder schlecht?) Hinweis: Im Zweifel für den Angeklagten! 2. Nutella, qualitativ: Bei Stiftung Warentest geht der Vorwurf ein, dass Nutellagläser im Mittel nicht die angegebenen 400 g Nutella enthalten. Stiftung Warentest kauft daraufhin 9 Nutellagläser, stellt die Abfüllgewichte fest und führt einen parametrischen Test zum Signifikanzniveau α = 5% durch. Voruntersuchungen ( Kap. 28) zeigten, dass eine Gaußverteilung angenommen werden kann. (a) Was stellt die Zufallsgröße X dar und welcher statistische Parameter wird getestet? (b) Formulieren Sie eine sinnvolle Nullhypothese (c) Bestimmen Sie - analog wie bei der Schätztheorie - eine Schätzgröße und ihre Verteilung, falls H 0 grenzwertig zutrifft, d.h. der wahre Mittelwert µ = 400 g ist. (d) Die Schätzgröße ist t-verteilt (d.h. sieht wie Gaußverteilung aus). Formulieren Sie, zunächst rein grafisch, die Kriterien, die zur Annahme bzw. Ablehnung von H 0 führen. (e) Tatsächlich sei das mittlere Abfüllgewicht nun g, die Herstellerfirma füllt also in der Tat zu wenig Nutella ein. Schätzen Sie grob ohne Rechnung die Wahrscheinlichkeit β dafür ab, das Stiftung Warentest dies nicht erkennt (=Fehler zweiter Art)
8 27.2 Die Testfunktion Um eine datenbasierte Entscheidung durchführen zu können, wird für das jeweilige Testproblem eine Testfunktion T mit folgenden Eigenschaften definiert: Die Testfunktion T( X) = T(X 1, X 2,..., X n ) wird aus der Stichprobe gebildet. Als Funktion von Zufallsgrößen (nämlich den i.i.d. Merkmalsausprägungen X i der Stichprobe) ist T selbst eine Zufallsgröße. Genau wie bei den Schätzverfahren wird T aus dem effizienten Schätzer des zu testenden Merkmals durch Standardisierung gebildet, und zwar so, dass sie an der Grenze des durch H 0 definierten Parameterraums definierte statistische Eigenschaften hat. Beispielsweise gilt für einen Test des Mittelwertes µ bei bekannter Varianz σ, dass an der Grenze von H 0, also µ = µ 0, die Testfunktion T = Z = X µ 0 µ=µ n 0 N(0, 1) σ einer Standardnormalverteilung gehorcht. In Abhängigkeit von H 0 und der Fehlerwahrscheinlichkeit α wird aus dem Wertebereich von T (z.b. reelle oder positive Zahlen) ein kritischer Bereich K α gebildet. Liegt die Stichproben- Realisierung t von T in K, wird H 0 abgelehnt.
9 27.2 (b) Gütefunktion Zur Bestimmung der α-und β- Fehler und zur Definition von Gütekriterien für die Tests wird die Gütefunktion als Ablehnwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der wahren Parameterwerte definiert. Für Tests auf den Mittelwert µ (keine Einschränkung der Allgemeinheit) gilt G α (µ) = P T( X) K α wahrer Wert µ Damit kann man für alle möglichen wahren Werte µ die jeweiligen Fehler erster und zweiter Art α(µ) bzw. β(µ) angeben: α(µ) = j G(µ) µ H0 0 sonst, β(µ) = j 0 µ H0 1 G(µ) sonst. und folgende Gütekriterien definieren: Ein Test {T, K} ist unverfälscht, falls α(µ) = G(µ) α für alle µ H 0, G(µ) > α für alle µ H 1 = H 0. Ein unverfälschter Test {T, K} einer Nullhypothese H 0 ist der gleichmäßig beste Test, falls alle anderen Tests {T 2, K 2 } derselben Nullhypothese einen größeren β-fehler für alle anwendbaren Parameterwerte µ H 1 aufweisen. Mit der zu T 2 gehörigen Gütefunktion G 2 (µ) und Fehlerfunktion β 2 (µ) bedeutet dies β(µ) β 2 (µ) für alle µ H 1.
10 27.2(c) Beispiele: Verschiedenen Tests auf µ Nullhypothese H 0 : µ = µ 0, T = Z = X µ 0 σ n K = {z : z < z α/2 oder z > z 1 α/2 }, G(µ) = Φ `z α/2 y + 1 Φ `z 1 α/2 y, y = µ µ 0 n σ 1 Wahrscheinlichkeit α Fehler β Fehler Gütefunktion n 1/2 (µ µ 0 )/σ Nullhypothese H 0 : µ µ 0, T = Z = X µ 0 σ n K = {z : z > z 1 α }, G(µ) = 1 Φ (z 1 α y), y = µ µ 0 n σ Wahrscheinlichkeit α Fehler β Fehler Gütefunktion n 1/2 (µ µ 0 )/σ
11 27.2(d) Allgemeines Vorgehen bei der Durchführung 1. Festlegen der Nullhypothese H 0 und des Signifikanzniveaus α. Es gibt zwei Arten von Nullhypothesen Zweiseitige Tests: Gleichheits-Hypothese, z.b. µ = µ 0, Einseitige Tests: Ungleichheits-Hypothese, z.b. µ > µ Bestimmung der Testfunktion und deren Verteilung unter der vorläufigen Annahme, dass H 0 zutrifft (Gleichheits-Hypothese) bzw. grenzwertig zutrifft (Ungleichheits-Hypothese). In beiden Fällen wird also dieselbe Testfunktion verwendet und auch dessen hypothetische Verteilung unter der Annahme von z.b. µ = µ 0 ist dieselbe. Die Testfunktionen werden auf den nächsten Seiten vorgestellt. 3. Bestimmung des konkreten, aus der Stichprobe ermittelten Wertes der Testfunktion. 4. Testentscheidung durch Vergleich der Schwellwerte der Testverteilung mit dem aus der Stichprobe ermittelten Wert. Die Schwellwerte sind so definiert, dass sie die Grenze(n) für die Annahme von H 0 darstellen: Bei zweiseitige Tests sind es die α/2- und (1 α/2)- Quantile, Bei einseitigen Tests ist es das (1 α)- Quantil.
12 27.3 Test des Mittelwertes µ 1. Nullhypothese H 0 : Entweder zweiseitiger Test auf Gleichheit µ = µ 0 (z.b. genau 400 g Nutella ), oder einseitiger Test auf Ungleichheit µ µ 0 oder µ µ 0 (z.b. mindestens 400 g Nutella oder höchstens 400 g Nutella ), 2. Die Testfunktion ist dieselbe wie bei der Ermittlung der Konfidenzintervalle, wobei man den bei den Konfidenzintervallen vorausgesetzten wahren Wert µ durch die Nullhypothese µ 0 ersetzt (die Test-Statistik wird ja unter Annahme von H 0 ermittelt!) Bekannte Varianz: Z = X µ 0 σ n N(0; 1) Unbekannte Varianz: T = X µ 0 S n T(n 1) 3. Realisierung z von Z bzw. t von T aus der Stichprobe 4. Testentscheidung: H 0 wird angenommen beim einseitigen Test auf µ µ 0, falls z z α = z 1 α bzw. t t (n 1) α beim zweiseitigem Test, falls z z 1 α 2 bzw. t t (n 1) 1 α 2 = t (n 1) 1 α
13 27.3 (b) Beispiele und Aufgaben.. weil so schließt er messerscharf, nicht sein kann was nicht sein darf. Christian Morgenstern Nutellabeispiel, quantitativ: Lösen Sie die Nutella-Aufgabe von 27.1 für α = 5% und 1% für eine Stichprobe mit folgenden festgestellten Abfüllgewichten: 403 g, 400 g, 393 g, 396 g, 398 g, 401 g, 398 g, 397 g, 396 g. Annahme- und Ablehnungsbereiche Zeichnen Sie qualitativ die Testverteilung samt Annahme- und Ablehnungsbereiche für die Tests auf µ = µ 0, µ µ 0 und µ µ 0. Ändert sich bei normalverteilten Zufallsvariablen etwas, wenn man auf µ < µ 0 anstelle µ µ 0 testet? Fehlerwahrscheinlichkeiten. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten für Fehler erster und zweiter Art maximal bei (i) einseitigen, (ii) zweiseitigen Tests? Tests vs. Konfidenzintervalle. Von einer Zufallsgröße hat man bereits das Konfidenzintervall für den Mittelwert berechnet: µ 50 ± 2. Kann man nun ohne zusätzliche Rechnung für dieselbe Fehlerwahrscheinlichkeit α einen zweiseitigen Test z.b. auf µ 0 = 47 oder µ 0 = 51.5 durchführen?
14 27.3 (c) Zweiseitiger Test vs. Konfidenzintervalle Beim zweiseitigen Test auf Gleichheit wird die Fehlerwahrscheinlichkeit α auf die Extremwerte der Test-Statistik zu beiden Seiten verteilt, so dass für jede Seite nur eine Fehlerwahrscheinlichkeit α/2 übrig bleibt: w P(t<t )= α/2 α/2 P(t>t )= α/2 1 α/2 Ablehnungs bereich t= 0 Annahme bereich t Ablehnungs bereich t α/2 t 1 α/2 Für symmetrische Test-Statistiken (d.h. für alle hier behandelten Parameter-Tests mit Ausnahme des Varianztests) gilt folgender wichtiger Zusammenhang (vgl. die Übungsfrage bei 27 (b)): Hat man ein empirisches Konfidenzintervall, so ergibt sich direkt auch das Ergebnis des zweiseitigen Tests auf H 0 : µ = µ 0 : H 0 abgelehnt, falls µ 0 nicht im Konfidenzintervall, ansonsten wird H 0 akzeptiert. Die Umkehrung: Konfidenzintervall aus Ergebnis eines zweiseitigen Tests geht natürlich nicht!
15 27.4 Tests für den Anteilswert θ Setzt man die Gültigkeit des Zentralen Grenzwertsatzes voraus, nθ 0 (1 θ 0 ) > 9, so sind die einseitigen (θ θ 0 bzw. θ θ 0 ) und zweiseitigen Tests des tatsächlichen Anteilswertes der Grundgesamtheit θ auf den Wert = θ 0, sowie der Zusammenhang des zweiseitigen Tests mit dem Konfidenzintervall, identisch zu den Mittelwert-Tests für bekannte Varianz. Ersetzt man in der standardnormalverteilte Testfunktion Z = ( X µ 0 )/σ das Stichprobenmittel X durch den Stichprobenanteil (=relative Häufigkeit) f = h n, entsprechend den Erwartungswert µ = f = θ 0, und die Varianz σ 2 = θ 0 (1 θ 0 )/n, erhält man die auf den Anteilswert spezialisierte Test-Statistik Z = f θ 0 p θ0 (1 θ 0 ) n
16 27.5 Einige weitere statistische Tests Varianztest: z.b. Überprüfen einer oberen zulässigen Grenze σ 0 der Streuung von gaußverteilten Bruchlasten sicherheitsrelevanter Teile (oder Check der Streuungen beim obigen Flugzeug- Beispiel): Nullhypothese: H 0 = Varianz σ 2 > σ 2 0, Test-Statistik: Q = (n 1)s2 σ 0 2 = 1 P n σ 0 2 i=1 (X i X) 2, Realisierung q von Q aus der Stichprobe, H 0 ist verworfen und damit zulässige Grenze überprüft, falls für die Stichproben-Realisierung u gilt: u χ 2 n 1,α mit χ 2 n 1,α dem α-quantil der χ2 -Verteilung mit (n 1) Freiheitsgraden. Differenztest der Erwartungswerte bei zwei verbundenen Stichproben X i und Y i, i = 1,, n (z.b. X i : Körpergewicht vor, und Y i : Körpergewicht nach einem Amerikabesuch): Führe die ganz normalen Mittelwert-Tests an der Differenzvariablen Z i = Y i X i durch, z.b. mit der Nullhypothese Z z 0 = 0. Zwei-Stichproben-Differenztest der Erwartungswerte zweier unabhängigen Stichproben {X i, i = 1,, n} und {Y j, j = 1,, m} (z.b. Körpergewichte von n Deutschen und m Amerikanern gleichen Alters). Falls n > 30 und m > 30 ist bei beliebigen Verteilungen die Testvariable Z = Ȳ X q Sx 2 n + S2 y m N(0, 1). Ansonsten siehe z.b. Baur, Kap oder Bohley Kap. 18
17 27.5(b) Güte- und Fehlerfunktionen für den Varianztest Nullhypothese H 0 : σ = σ 0, T = Q K = {q : q < q α/2 oder q > q 1 α/2 }, G(σ) = F Q q α/2 /y F Q q 1 α/2 /y 2, y = σ σ 0 1 Wahrscheinlichkeit α Fehler β Fehler Gütefunktion Freiheitsgrade σ/σ 0 Nullhypothese H 0 : σ σ 0, T = Q K = {q : q < q α }, G(σ) = F Q q α /y 2, y = σ σ 0 Wahrscheinlichkeit β Fehler α Fehler Gütefunktion Freiheitsgrade σ/σ 0 Verständnisfrage: Sind beide Tests unverfälscht?
18 27.5 (c) Test der Werte der linearen Regression Aus der Varianz der Schätzfunktion der linearen Regression Ŷ (x) = Â + ˆBx (vgl. die Übungsaufgabe zu 25.6),! V Ŷ (x) = σ2 R (x x) n ergibt sich folgende Test-Statistik für den Test des Regressionsparameters b auf den Wert b 0 bzw. der Regressionsfunktion selbst auf y 0 (x) = a 0 + b 0 x: s 2 x T b = ˆB b0 sx n ˆσ R T(n 2). s x n T y(x) = Ŷ (x) y0 (x)) p ˆσ R s 2 x + (x x)2 T(n 2). mit Ŷ (x) = Â + ˆBx und der (nicht-stochastischen) Varianz s 2 x = 1 n P n i=1 (x i x) 2. Die Test-Statistiken enthalten die Schätzer der linearen Regressionskoeffizienten: Â = Ȳ ˆB x, ˆB = 1 ns 2 x nx `Yi Ȳ (x i x), i=1 und den Schätzer für die Residualvarianz σ 2 R von Kap. 25.6: ˆσ 2 R = 1 n 2 nx i=1 Y i Ŷ (x i) 2. Der Test von b auf b 0 findet häufig Anwendung, wenn man Zeitreihen auf das Vorhandensein eines Trends prüfen will (b 0 = 0).
19 27.5 (d) Beispiele und Aufgaben Motorenherstellung Bei einem Kfz-Hersteller wurde ein Teil der Motorenherstellung in ein neues Werk verlagert. Sowohl vor als auch nach der Verlagerung wurde in Stichproben (Umfang in beiden Fällen n = 36) die PS-Zahl ermittelt. Man erhielt Vor der Verlagerung einen empirischen Mittelwert von 110 bei einer (als bekannt angenommenen) Varianz von 4 2, Nach der Verlagerung einen empirischen Mittelwert von 108 bei einer Varianz von 3 2 Hat sich die PS-Zahl signifikant (α = 5%) verschlechtert? Führen Sie den entsprechenden einseitigen Test an der Differenz durch! Berücksichtigen Sie, dass die Differenz eine Varianz von 5 2 hat und das n > 30 ist! tägliches Reisezeitbudget Das tägliche Reisezeitbudget für Alltagsfahrten wie Wohnen- Arbeit, Arbeit-Einkaufen, Wohnen-Freizeitbeschäftigung etc. ist in Europa seit vielen Jahrzehnten erstaunlich konstant. Nehmen Sie folgende Zeitreihe dafür an: Jahr Zeitbudget (min) Testen Sie, ob man bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 5% die Aussage das Reisezeitbudget ist konstant oder sinkt widerlegen kann und damit auf ein steigendes Zeitbudget schließen kann.
Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über
Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion
MehrStatistik II für Betriebswirte Vorlesung 2
PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 21. Oktober 2014 Verbundene Stichproben Liegen zwei Stichproben vor, deren Werte einander
Mehr9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz
9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Wenn wir die Standardabweichung σ nicht kennen,
MehrBachelorabschlussseminar Dipl.-Kfm. Daniel Cracau
1 Einführung in die statistische Datenanalyse Bachelorabschlussseminar Dipl.-Kfm. Daniel Cracau 2 Gliederung 1.Grundlagen 2.Nicht-parametrische Tests a. Mann-Whitney-Wilcoxon-U Test b. Wilcoxon-Signed-Rank
Mehr9. StatistischeTests. 9.1 Konzeption
9. StatistischeTests 9.1 Konzeption Statistische Tests dienen zur Überprüfung von Hypothesen über einen Parameter der Grundgesamtheit (bei einem Ein-Stichproben-Test) oder über die Verteilung einer Zufallsvariablen
MehrKlausur Nr. 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.
Klausur Nr. 1 2014-02-06 Wahrscheinlichkeitsrechnung Pflichtteil Keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung,
MehrGrundlagen der Inferenzstatistik
Grundlagen der Inferenzstatistik (Induktive Statistik oder schließende Statistik) Dr. Winfried Zinn 1 Deskriptive Statistik versus Inferenzstatistik Die Deskriptive Statistik stellt Kenngrößen zur Verfügung,
MehrUniversität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip. KLAUSUR Statistik B
Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip Sommersemester 2010 KLAUSUR Statistik B Hinweise zur Bearbeitung: Bei allen Teilaufgaben
MehrProfil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50,7 50 51,5 51,7 48,8
1. Aufgabe: Eine Reifenfirma hat für Winterreifen unterschiedliche Profile entwickelt. Bei jeweils gleicher Geschwindigkeit und auch sonst gleichen Bedingungen wurden die Bremswirkungen gemessen. Die gemessenen
MehrDer Provider möchte möglichst vermeiden, dass die Werbekampagne auf Grund des Testergebnisses irrtümlich unterlassen wird.
Hypothesentest ================================================================== 1. Ein Internetprovider möchte im Fichtelgebirge eine Werbekampagne durchführen, da er vermutet, dass dort höchstens 40%
MehrEine Einführung in R: Statistische Tests
Eine Einführung in R: Statistische Tests Bernd Klaus, Verena Zuber Institut für Medizinische Informatik, Statistik und Epidemiologie (IMISE), Universität Leipzig http://www.uni-leipzig.de/ zuber/teaching/ws12/r-kurs/
MehrMelanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1
7. Hypothesentests Ausgangssituation: Man muss sich zwischen 2 Möglichkeiten (=Hypothesen) entscheiden. Diese Entscheidung soll mit Hilfe von Beobachtungen ( Stichprobe ) getroffen werden. Die Hypothesen
MehrProfessionelle Seminare im Bereich MS-Office
Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion
MehrEin möglicher Unterrichtsgang
Ein möglicher Unterrichtsgang. Wiederholung: Bernoulli Experiment und Binomialverteilung Da der sichere Umgang mit der Binomialverteilung, auch der Umgang mit dem GTR und den Diagrammen, eine notwendige
MehrGibt es einen Geschmacksunterschied zwischen Coca Cola und Cola Zero?
Gibt es einen Geschmacksunterschied zwischen Coca Cola und Cola Zero? Manche sagen: Ja, manche sagen: Nein Wie soll man das objektiv feststellen? Kann man Geschmack objektiv messen? - Geschmack ist subjektiv
Mehr90-minütige Klausur Statistik für Studierende der Kommunikationswissenschaft
Prof. Dr. Helmut Küchenhoff SS08 90-minütige Klausur Statistik für Studierende der Kommunikationswissenschaft am 22.7.2008 Anmerkungen Überprüfen Sie bitte sofort, ob Ihre Angabe vollständig ist. Sie sollte
MehrÜberblick über die Verfahren für Ordinaldaten
Verfahren zur Analyse ordinalskalierten Daten 1 Überblick über die Verfahren für Ordinaldaten Unterschiede bei unabhängigen Stichproben Test U Test nach Mann & Whitney H Test nach Kruskal & Wallis parametrische
MehrTutorial: Homogenitätstest
Tutorial: Homogenitätstest Eine Bank möchte die Kreditwürdigkeit potenzieller Kreditnehmer abschätzen. Einerseits lebt die Bank ja von der Vergabe von Krediten, andererseits verursachen Problemkredite
MehrStatistische Auswertung:
Statistische Auswertung: Die erhobenen Daten mittels der selbst erstellten Tests (Surfaufgaben) Statistics Punkte aus dem Punkte aus Surftheorietest Punkte aus dem dem und dem Surftheorietest max.14p.
MehrDie Optimalität von Randomisationstests
Die Optimalität von Randomisationstests Diplomarbeit Elena Regourd Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Düsseldorf im Dezember 2001 Betreuung: Prof. Dr. A. Janssen Inhaltsverzeichnis
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
MehrVarianzanalyse (ANOVA: analysis of variance)
Varianzanalyse (AOVA: analysis of variance) Einfaktorielle VA Auf der Basis von zwei Stichproben wird bezüglich der Gleichheit der Mittelwerte getestet. Variablen müssen Variablen nur nominalskaliert sein.
MehrAbituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler
MehrFüllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge
2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten
MehrBeurteilung der biometrischen Verhältnisse in einem Bestand. Dr. Richard Herrmann, Köln
Beurteilung der biometrischen Verhältnisse in einem Bestand Dr. Richard Herrmann, Köln Beurteilung der biometrischen Verhältnisse in einem Bestand 1 Fragestellung Methoden.1 Vergleich der Anzahlen. Vergleich
MehrMETHODENLEHRE I WS 2013/14 THOMAS SCHÄFER
METHODENLEHRE I WS 2013/14 THOMAS SCHÄFER DAS THEMA: INFERENZSTATISTIK IV INFERENZSTATISTISCHE AUSSAGEN FÜR ZUSAMMENHÄNGE UND UNTERSCHIEDE Inferenzstatistik für Zusammenhänge Inferenzstatistik für Unterschiede
MehrStochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008
Stochastische Eingangsprüfung, 17.5.8 Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus. Aufgabe 1 ( Punkte) Sei X : Ω [, ) eine integrierbare Zufallsvariable mit XdP = 1. Sei Q : A R, Q(A)
Mehrgeben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen
geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde
MehrQM: Prüfen -1- KN16.08.2010
QM: Prüfen -1- KN16.08.2010 2.4 Prüfen 2.4.1 Begriffe, Definitionen Ein wesentlicher Bestandteil der Qualitätssicherung ist das Prüfen. Sie wird aber nicht wie früher nach der Fertigung durch einen Prüfer,
MehrAbitur 2007 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1
Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 2007 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1 Eine Werbeagentur ermittelte durch eine Umfrage im Auftrag eines Kosmetikunternehmens vor Beginn einer Werbekampagne
Mehr1.3 Die Beurteilung von Testleistungen
1.3 Die Beurteilung von Testleistungen Um das Testergebnis einer Vp zu interpretieren und daraus diagnostische Urteile ableiten zu können, benötigen wir einen Vergleichsmaßstab. Im Falle des klassischen
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
MehrMotivation. Wilcoxon-Rangsummentest oder Mann-Whitney U-Test. Wilcoxon Rangsummen-Test Voraussetzungen. Bemerkungen
Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet 825 Wilcoxon-Rangsummentest oder Mann-Whitney U-Test Motivation In Experimenten ist die Datenmenge oft klein Daten sind nicht normalverteilt Dann
MehrKlausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min
Klausur, Multivariate Verfahren, SS 2006, 6 Kreditpunkte, 90 min 1 Prof. Dr. Fred Böker 08.08.2006 Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min Gesamtpunkte: 39 Aufgabe
MehrV 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,
Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen
MehrÜbungsaufgaben zu Kapitel 5. Aufgabe 101. Inhaltsverzeichnis:
Inhaltsverzeichnis: Übungsaufgaben zu Kapitel 5... 1 Aufgabe 101... 1 Aufgabe 102... 2 Aufgabe 103... 2 Aufgabe 104... 2 Aufgabe 105... 3 Aufgabe 106... 3 Aufgabe 107... 3 Aufgabe 108... 4 Aufgabe 109...
MehrZeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
MehrSTATISTIK. Erinnere dich
Thema Nr.20 STATISTIK Erinnere dich Die Stichprobe Drei Schüler haben folgende Noten geschrieben : Johann : 4 6 18 7 17 12 12 18 Barbara : 13 13 12 10 12 3 14 12 14 15 Julia : 15 9 14 13 10 12 12 11 10
MehrStatistik im Versicherungs- und Finanzwesen
Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler Grimmer Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen Eine anwendungsorientierte Einführung 2014 1. Auflage Übungsaufgaben zu Kapitel
MehrKugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten
Kugel-Fächer-Modell n Kugeln (Rosinen) sollen auf m Fächer (Brötchen) verteilt werden, zunächst 3 Kugeln auf 3 Fächer. 1fach 3fach Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten } 6fach 3! Möglichkeiten Es
Mehri x k k=1 i u i x i v i 1 0,2 24 24 0,08 2 0,4 30 54 0,18 3 0,6 54 108 0,36 4 0,8 72 180 0,60 5 1,0 120 300 1,00 2,22 G = 1 + 1 n 2 n i=1
1. Aufgabe: Der E-Commerce-Umsatz (in Millionen Euro) der fünf größten Online- Shopping-Clubs liegt wie folgt vor: Club Nr. Umsatz 1 120 2 72 3 54 4 30 5 24 a) Bestimmen Sie den Ginikoeffizienten. b) Zeichnen
MehrBerechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien
Wolfram Fischer Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien Oktober 2004 1 Zusammenfassung Zur Berechnung der Durchschnittsprämien wird das gesamte gemeldete Prämienvolumen Zusammenfassung durch die
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen
MehrEinfache Varianzanalyse für abhängige
Einfache Varianzanalyse für abhängige Stichproben Wie beim t-test gibt es auch bei der VA eine Alternative für abhängige Stichproben. Anmerkung: Was man unter abhängigen Stichproben versteht und wie diese
Mehrq = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678
Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [
MehrStatistik für Studenten der Sportwissenschaften SS 2008
Statistik für Studenten der Sportwissenschaften SS 008 Aufgabe 1 Man weiß von Rehabilitanden, die sich einer bestimmten Gymnastik unterziehen, dass sie im Mittel µ=54 Jahre (σ=3 Jahre) alt sind. a) Welcher
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
MehrWillkommen zur Vorlesung Statistik
Willkommen zur Vorlesung Statistik Thema dieser Vorlesung: Varianzanalyse Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften Prof. Dr. Wolfgang
MehrStatistik II Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik Erste Klausur zum Sommersemester 2005 26. Juli 2005
Statistik II Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik Erste Klausur zum Sommersemester 2005 26. Juli 2005 Aufgabe 1: Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung 19 P. Als Manager eines großen
Mehr1 Mathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.
MehrBinäre abhängige Variablen
Binäre abhängige Variablen Thushyanthan Baskaran thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de Alfred Weber Institut Ruprecht Karls Universität Heidelberg Einführung Oft wollen wir qualitative Variablen
MehrBox-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8
. Aufgabe: Für zwei verschiedene Aktien wurde der relative Kurszuwachs (in % beobachtet. Aus den jeweils 20 Quartaldaten ergaben sich die folgenden Box-Plots. Box-and-Whisker Plot Aktie Aktie 2-0,2 0,8,8
Mehr11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen
.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt
MehrBiostatistik, WS 2015/2016 Der zwei-stichproben-t-test
1/29 Biostatistik, WS 2015/2016 Der zwei-stichproben-t-test (t-test für ungepaarte Stichproben) Matthias Birkner http://www.staff.uni-mainz.de/birkner/biostatistik1516/ 11.12.2015 2/29 Inhalt 1 t-test
MehrTeil I Beschreibende Statistik 29
Vorwort zur 2. Auflage 15 Vorwort 15 Kapitel 0 Einführung 19 0.1 Methoden und Aufgaben der Statistik............................. 20 0.2 Ablauf statistischer Untersuchungen..............................
MehrLeseprobe. Wilhelm Kleppmann. Versuchsplanung. Produkte und Prozesse optimieren ISBN: 978-3-446-42033-5. Weitere Informationen oder Bestellungen unter
Leseprobe Wilhelm Kleppmann Versuchsplanung Produkte und Prozesse optimieren ISBN: -3-44-4033-5 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/-3-44-4033-5 sowie im Buchhandel. Carl
MehrDieses erste Kreisdiagramm, bezieht sich auf das gesamte Testergebnis der kompletten 182 getesteten Personen. Ergebnis
Datenanalyse Auswertung Der Kern unseres Projektes liegt ganz klar bei der Fragestellung, ob es möglich ist, Biere von und geschmacklich auseinander halten zu können. Anhand der folgenden Grafiken, sollte
MehrCharakteristikum des Gutachtenstils: Es wird mit einer Frage begonnen, sodann werden die Voraussetzungen Schritt für Schritt aufgezeigt und erörtert.
Der Gutachtenstil: Charakteristikum des Gutachtenstils: Es wird mit einer Frage begonnen, sodann werden die Voraussetzungen Schritt für Schritt aufgezeigt und erörtert. Das Ergebnis steht am Schluß. Charakteristikum
MehrLösungshinweise zur Einsendearbeit 2 SS 2011
Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 zum Kurs 41500, Finanzwirtschaft: Grundlagen, SS2011 1 Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 SS 2011 Finanzwirtschaft: Grundlagen, Kurs 41500 Aufgabe Finanzierungsbeziehungen
MehrBeweisbar sichere Verschlüsselung
Beweisbar sichere Verschlüsselung ITS-Wahlpflichtvorlesung Dr. Bodo Möller Ruhr-Universität Bochum Horst-Görtz-Institut für IT-Sicherheit Lehrstuhl für Kommunikationssicherheit bmoeller@crypto.rub.de 6
MehrWürfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
MehrBeispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen
4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.
MehrInformationsblatt Induktionsbeweis
Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 5
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 07. Mai 2015 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 1 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition
MehrStatistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1
Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen
MehrDer monatliche Tarif für ein Handy wurde als lineare Funktion der Form f(x) = k x + d modelliert (siehe Grafik).
1) Handytarif Der monatliche Tarif für ein Handy wurde als lineare Funktion der Form f(x) = k x + d modelliert (siehe Grafik). Euro Gesprächsminuten Tragen Sie in der folgenden Tabelle ein, welche Bedeutung
MehrKorrelation (II) Korrelation und Kausalität
Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Situation: Seien X, Y zwei metrisch skalierte Merkmale mit Ausprägungen (x 1, x 2,..., x n ) bzw. (y 1, y 2,..., y n ). D.h. für jede i = 1, 2,..., n bezeichnen
MehrONLINE-AKADEMIE. "Diplomierter NLP Anwender für Schule und Unterricht" Ziele
ONLINE-AKADEMIE Ziele Wenn man von Menschen hört, die etwas Großartiges in ihrem Leben geleistet haben, erfahren wir oft, dass diese ihr Ziel über Jahre verfolgt haben oder diesen Wunsch schon bereits
MehrAlso kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.
Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf
MehrStatistik II für Betriebswirte Vorlesung 3
PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3 5. November 2013 Beispiel: Aktiensplit (Aczel & Sounderpandan, Aufg. 14-28) Ein Börsenanalyst
MehrFranz Kronthaler. Statistik angewandt. Datenanalyse ist (k)eine Kunst. Excel Edition. ^ Springer Spektrum
Franz Kronthaler Statistik angewandt Datenanalyse ist (k)eine Kunst Excel Edition ^ Springer Spektrum Inhaltsverzeichnis Teil I Basiswissen und Werkzeuge, um Statistik anzuwenden 1 Statistik ist Spaß 3
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrWillkommen zur Vorlesung Statistik (Master)
Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilungsfreie Verfahren Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften
MehrAuswerten mit Excel. Viele Video-Tutorials auf Youtube z.b. http://www.youtube.com/watch?v=vuuky6xxjro
Auswerten mit Excel Viele Video-Tutorials auf Youtube z.b. http://www.youtube.com/watch?v=vuuky6xxjro 1. Pivot-Tabellen erstellen: In der Datenmaske in eine beliebige Zelle klicken Registerkarte Einfügen
MehrB 2. " Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Leiterplatte akzeptiert wird, 0,93 beträgt. (genauerer Wert: 0,933).!:!!
Das folgende System besteht aus 4 Schraubenfedern. Die Federn A ; B funktionieren unabhängig von einander. Die Ausfallzeit T (in Monaten) der Federn sei eine weibullverteilte Zufallsvariable mit den folgenden
MehrForschungsstatistik I
Prof. Dr. G. Meinhardt. Stock, Nordflügel R. 0-49 (Persike) R. 0- (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 008/009 Fachbereich
MehrEinfache statistische Auswertungen mit dem Programm SPSS
Einfache statistische Auswertungen mit dem Programm SPSS Datensatz: fiktive_daten.sav Dipl. Päd. Anne Haßelkus Dr. Dorothea Dette-Hagenmeyer 11/2011 Überblick 1 Deskriptive Statistiken; Mittelwert berechnen...
MehrRepetitionsaufgaben Wurzelgleichungen
Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen
Mehr4. Erstellen von Klassen
Statistik mit Tabellenkalkulation 4. Erstellen von Klassen Mit einem einfachen Befehl lässt sich eine Liste von Zahlen auf die Häufigkeit der einzelnen Werte untersuchen. Verwenden Sie dazu den Befehl
Mehra n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:
Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend
MehrStatistik II. Statistik II, SS 2001, Seite 1 von 5
Statistik II, SS 2001, Seite 1 von 5 Statistik II Hinweise zur Bearbeitung Hilfsmittel: - Taschenrechner (ohne Datenbank oder die Möglichkeit diesen zu programmieren) - Formelsammlung im Umfang von einer
MehrR. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007 SG15/25D NAME: Lösungen 1. In einer Packung sind Glühbirnen, davon sind zwei
MehrW-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) Mathematikgebäude Raum 715 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) W-Rechnung und Statistik
MehrPrivatinsolvenz anmelden oder vielleicht sogar vermeiden. Tipps und Hinweise für die Anmeldung der Privatinsolvenz
Privatinsolvenz anmelden oder vielleicht sogar vermeiden Tipps und Hinweise für die Anmeldung der Privatinsolvenz Privatinsolvenz anmelden oder vielleicht sogar vermeiden Überschuldet Was nun? Derzeit
MehrFragestellungen der Schließenden Statistik
Fragestellungen der Schließenden Statistik Bisher: Teil I: Beschreibende Statistik Zusammenfassung von an GesamtheitM N {e,,e N } erhobenem Datensatz x,,x N durch Häufigkeitsverteilung und Kennzahlen für
MehrAnleitung: Einrichtung der Fritz!Box 7272 mit VoIP Telefonanschluss
Schließen Sie die AVM Fritz!Box, wie auf dem der Fritz!Box beiliegenden Schaubild beschrieben, an. Starten Sie den Internet Explorer oder einen beliebigen Browser (Mozilla Firefox, Google Chrome, Safari)
MehrName (in Druckbuchstaben): Matrikelnummer: Unterschrift:
20-minütige Klausur zur Vorlesung Lineare Modelle im Sommersemester 20 PD Dr. Christian Heumann Ludwig-Maximilians-Universität München, Institut für Statistik 2. Oktober 20, 4:5 6:5 Uhr Überprüfen Sie
MehrPrüfung eines Datenbestandes
Prüfung eines Datenbestandes auf Abweichungen einzelner Zahlen vom erwarteten mathematisch-statistischen Verhalten, die nicht mit einem Zufall erklärbar sind (Prüfung auf Manipulationen des Datenbestandes)
Mehr11. Rent-Seeking 117
117 Definitionen Gewinnstreben: Vorhandene Ressourcen werden so eingesetzt, dass Einkommen entsteht und die Differenz aus Einkommen und Kosten maximal wird. Rent-Seeking: Vorhandene Ressourcen werden eingesetzt,
MehrStichprobenauslegung. für stetige und binäre Datentypen
Stichprobenauslegung für stetige und binäre Datentypen Roadmap zu Stichproben Hypothese über das interessierende Merkmal aufstellen Stichprobe entnehmen Beobachtete Messwerte abbilden Schluss von der Beobachtung
MehrFachdidaktik der Informatik 18.12.08 Jörg Depner, Kathrin Gaißer
Fachdidaktik der Informatik 18.12.08 Jörg Depner, Kathrin Gaißer Klassendiagramme Ein Klassendiagramm dient in der objektorientierten Softwareentwicklung zur Darstellung von Klassen und den Beziehungen,
MehrLineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3
Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen
Mehra) Bis zu welchem Datum müssen sie spätestens ihre jetzigen Wohnungen gekündigt haben, wenn sie selber keine Nachmieter suchen wollen?
Thema Wohnen 1. Ben und Jennifer sind seit einiger Zeit ein Paar und beschliessen deshalb, eine gemeinsame Wohnung zu mieten. Sie haben Glück und finden eine geeignete Dreizimmer-Wohnung auf den 1.Oktober
MehrDaten sammeln, darstellen, auswerten
Vertiefen 1 Daten sammeln, darstellen, auswerten zu Aufgabe 1 Schulbuch, Seite 22 1 Haustiere zählen In der Tabelle rechts stehen die Haustiere der Kinder aus der Klasse 5b. a) Wie oft wurden die Haustiere
MehrDas Vermögen der privaten Haushalte in Nordrhein-Westfalen ein Überblick auf der Basis der Einkommens- und Verbrauchsstichprobe
Sozialberichterstattung NRW. Kurzanalyse 02/2010 09.07.2010 12.07.2010 Das Vermögen der privaten Haushalte in Nordrhein-Westfalen ein Überblick auf der Basis der Einkommens- und Verbrauchsstichprobe 2008
MehrR ist freie Software und kann von der Website. www.r-project.org
R R ist freie Software und kann von der Website heruntergeladen werden. www.r-project.org Nach dem Herunterladen und der Installation von R kann man R durch Doppelklicken auf das R-Symbol starten. R wird
MehrSOZIALVORSCHRIFTEN IM STRAßENVERKEHR Verordnung (EG) Nr. 561/2006, Richtlinie 2006/22/EG, Verordnung (EU) Nr. 165/2014
LEITLINIE NR. 7 Gegenstand: Die Bedeutung von innerhalb von 24 Stunden Artikel: 8 Absätze 2 und 5 der Verordnung (EG) Nr. 561/2006 Leitlinien: Nach Artikel 8 Absatz 2 der Verordnung muss innerhalb von
Mehr