Logik für Informatiker

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1 Dr. Christian Săcărea Babeş Bolyai Universität, Cluj-Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Wintersemester 2018/2019 Lösungshinweise zur 1. Übung Logik für Informatiker Gruppenübungen: (G 1)Induktion Behauptung: Wenn sich unter n en ein Elefant befindet, sind alle n e Elefanten. Beweis : Wir wenden die Methode der vollständigen Induktion an. Für den Induktionsanfang betrachten wir den Fall n = 1: Ist in einer Menge von einem ein Elefant enthalten, so sind alle e der Menge Elefanten. Dies ist offensichtlich wahr. Als Induktionsannahme nehmen wir an, dass die Behauptung für alle natürlichen Zahlen kleiner n+1 bereits bewiesen sei. Wir müssen nun zeigen, dass die Aussage dann auch für n+1 zutrifft. Gegeben sei also eine Menge von n+1 en, unter denen sich ein Elefant befindet. Wir stellen die e in einer Reihe auf, so dass der Elefant vorne als erstes in der Reihe steht. Dann nehmen wir das letzte der Reihe beiseite. Es bleiben also n e stehen, von denen eines, nämlich das erste, ein Elefant ist. Da nach Induktionsannahme unsere Behauptung für n e gilt, sind alle diese n e Elefanten. Nun nehmen wir einen dieser n Elefanten beiseite, und stellen stattdessen das wieder dazu, das wir zuerst weggenommen hatten. Wieder stehen nun n e da, von denen, wie wir gerade gezeigt haben, alle bis auf höchstens eines, Elefanten sind. Insbesondere enthält diese Menge von n en einen Elefanten, also sind wiederum nach Induktionsannahme alle e Elefanten, auch das, das zuerst ausgesondert wurde. Ist die Behauptung tatsächlich wahr oder ist an diesem Induktionsbeweis etwas faul? Der Fehler des Beweises steht im Induktionsschluss: Die Argumentation ist nur dann möglich, wenn n 2 gilt. Für n = 1 funktioniert der Schritt auf n + 1 = 2 dagegen nicht. Stellen wir zwei e in einer Reihe auf, sodass der Elefant vorne steht und führen dann das letzte weg, dann bleibt trivialerweise nur ein Elefant stehen. Im zweiten Schritt wird jetzt aber der Elefant weggeführt und es bleibt nur das zweite stehen, von dem wir nicht wissen, ob es ein Elefant ist. Das Problem liegt also darin, dass sich die Menge der ersten n und die Menge der letzten n e für n = 1 nicht überschneiden. Der Induktionsbeweis müsste also mit einem Induktionsbeginn für n = 2 anfangen. Dummerweise ist der Satz aber für n = 2 bereits falsch. (G 2)Das Einsteinrätsel Dieses Rätsel wurde wahrscheinlich von Albert Einstein [ ] entwickelt. Er versah es mit dem Vermerk, dass nur 2% der Bevölkerung in der Lage seien, es zu lösen. Es ist tatsächlich durch reine Logik lösbar. Fünf Häuser stehen nebeneinander. In ihnen wohnen Menschen von fünf unterschiedlichen Nationalitäten, die fünf unterschiedliche e trinken, fünf unterschiedliche marken rauchen und fünf unterschiedliche Haustiere haben.

2 a) Der Brite lebt im roten Haus. b) Der Schwede hält sich einen Hund. c) Der Däne trinkt gern Tee. d) Das grüne Haus steht (direkt) links neben dem weißen Haus. e) Der Besitzer des grünen Hauses trinkt Kaffee. f) Die Person, die Pall Mall raucht, hat einen Vogel. g) Der Mann im mittleren Haus trinkt. h) Der Bewohner des gelben Hauses raucht Dunhill. i) Der Norweger lebt im ersten Haus. j) Der Marlboro-Raucher wohnt neben der Person mit der Katze. k) Der Mann mit dem Pferd lebt neben der Person, die Dunhill raucht. l) Der Winfield-Raucher trinkt gern Bier. m) Der Norweger wohnt neben dem blauen Haus. n) Der Deutsche raucht Rothmanns. o) Der Marlboro-Raucher hat einen Nachbarn, der Wasser trinkt. Wem gehört der Fisch? Wir erstellen zuerst eine Tabelle: Nationalität Jetzt beginnen wir die Informationen, die wir schon haben, in der Tabelle einzutragen. Der Mann im mittleren Haus trinkt. Nationalität Übrig bleiben: gelb; blau; rot; grün; weiß; Norweger; Däne; Brite; Deutscher; Schwede; Wasser; Tee; Kaffee; Bier; Dunhill; Marlboro; Pall Mall; Rothmanns; Winfield; Katze; Pferd; Vogel; Fisch; Hund. Der Norweger lebt im ersten Haus: Nationalität Norweger Der Norweger wohnt neben dem blauen Haus:

3 blau Nationalität Norweger Der Kaffee trinkende, Rothmanns rauchende Deutsche aus dem grünen Haus hält den Fisch! (G 3)Spaß haben, schlauer werden! In der folgenden Unterhaltung sagt jede der drei Damen A, B und C zweimal die Wahrheit und einmal die Unwahrheit: a) A: B ist zwei Jahre älter als ich. b) B: C ist 32 Jahre alt. c) C: A ist älter als ich. d) B: Der Altersunterschied zwischen C und mir beträgt drei Jahre. e) C: A ist 30 Jahre alt. f) A: Ich bin 29 Jahre alt. g) B: Mindestens eine von euch ist jünger als ich. h) A: Ich bin ein Jahr älter als C. i) C: A ist drei Jahre jünger als B. Wie alt sind die drei Damen? A ist 30, B ist 32 und C ist 29 Jahre alt. Hausübungen: (H 1)Kleine Logelei Die Schlümpfe erwarten Besuch in ihrem Dorf und machen dementsprechend viel Radau. Zwirni, Hefti, Schlaubi, Clumsy, Torti, Handy, Toulousy, Harmony und natürlich Schlumpfine treffen sich vor Papa-Schlumpfs Haus und reden alle durcheinander. Es ist von Dodo, Bauchi, Knirps und Schnuffi die Rede. Papa-Schlumpf hört eine Weile zu und findet heraus, dass die erwarteten Gäste eine kleine Fee, ein Zwerg, ein kleiner Junge und ein Häschen sind. Da will Papa-Schlumpf natürlich erfahren, wer was ist. Schlaubi-Schlumpf, als persönlicher Assistent von Papa-Schlumpf, versucht es ihm zu erklären: Wenn Dodo nicht der Zwerg ist und Bauchi nicht die kleine Fee, dann ist Knirps der kleine Junge. Wenn Schnuffi nicht das Häschen ist, dann ist, falls Dodo nicht die kleine Fee ist, Bauchi der kleine Junge. Mindestens eine der folgenden drei Angaben ist richtig: Knirps ist das Häschen, Schnuffi ist der Zwerg, Dodo ist der kleine Junge. Wenn weder Knirps noch Schnuffi die kleine Fee ist, dann ist Bauchi der kleine Junge. Und wenn...

4 Genug Schlaubi, diese Angaben reichen mir schon, unterbrach ihn Papa-Schlumpf. Wie heißen der Zwerg, die kleine Fee, der kleine Junge und das Häschen? Bauchi ist der Junge, Knirps ist das Häschen, Schnuffi die Fee und Dodo der Zwerg. (H 2) Sei n N. Zeigen Sie mit Hilfe eines a) direkten Beweises, b) Beweis durch Kontraposition, c) Beweises durch Widerspruch, dass gilt: Falls n gerade, dann ist auch n 2 gerade. Sie haben keine Ahnung was direkter Beweis, Beweis durch Kontraposition, bzw. Beweis durch Widerspruch bedeutet? If JA, then (Professor fragen) ODER (im Internet suchen) Else Aufgabe lösen a) Wir beweisen direkt, dass n gerade n 2 gerade. Angenommen, n sei gerade, dann existiert ein k N, so dass n = 2k. Durch quadrieren folgt, dass n 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ), also ist n 2 gerade. b) Wir beweisen, dass n 2 ungerade impliziert n ungerade ( B A). Angenommen n 2 sei ungerade. Es ist bekannt (wieso?), dass n ungerade n ungerade. Wir wenden diesen Schluss auf n 2 und erhalten dass auch n ungerade sein muss. c) Angenommen, n 2 sei ungerade und n se gerade. Dann gilt n = 2k und n 2 = 4k. Widerspruch! (H 3)Induktion Eine Folge a 0, a 1,... von natürlichen Zahlen sei wie folgt definiert: a 0, a 1, a 2 = 1,..., a n = 1 2 n 3 + 3a 2 n 2 + 1a 2 n 1 für n 3. Zeigen Sie, dass für alle n N gilt a n = fib(n), wobei fib die Fibonacci Folge beschreibt. Fall 1: n 1. Nach Definition gilt a n = fib(n). Fall 2: n = 2. Es gilt fib(2) = fib(1) + fib(0) = = 1 = a 2. Fall 3: n > 2. Es sei vorausgesetzt, dass für alle m < n gilt a m = fib(m). Es gilt dann (H 4) Sei n N. Zeigen Sie mit Hilfe von Induktion über die natürlichen Zahlen, dass die folgenden Aussagen gelten: a) n 3 + 2n ist durch 3 teilbar b) n 3 n ist durch 6 teilbar c) 3 n 3 ist durch 6 teilbar

5 a) Induktionsanfang: Für n = 1 erhalten wir n 3 + 2n = 3 also durch 3 teilbar. Induktionsschritt: Angenommen die Aussage gilt für n, wir beweisen die Aussage für n+1. P (n + 1) : (n + 1) 3 + 2(n + 1) ist durch 3 teilbar? Es gilt (n + 1) 3 + 2(n + 1) = n 3 + 3n 2 + 3n n + 2 = n 3 + 2n + (3n 2 + 3n + 3) =n 3 + 2n + 3(n 2 + n + 1). Durch Anwendung der Induktionsannahme, wehalten wir die Teilbarkeit durch 3 von (n + 1) 3 + 2(n + 1). b) Für n = 1 ist die Aussage wahr. Angenommen P (n) gilt, wir beweisen P (n + 1). (n + 1) 3 (n + 1) = n 3 + 3n 2 + 3n + 1 n 1 = n 3 + 3n 2 + 2n = n 3 n + 3n 2 + 3n =n 3 n + 3(n 2 + n) = n 3 n + 3n(n + 1). Da n entweder gerade oder ungerade sein kann, folgt dass 3n(n + 1) durch 6 teilbar ist und somit P (n + 1) gilt. c) 3 n 3 = 3(3 n 1 1) für alle n N. Wegen 3 n 1 1 gerade, folgt die Behauptung.