)=(2 1 ( 2) 2) ( ) = 12 (Blockmatrix-Regel) Jede Zeile passend mit 1. Zeile addieren. Zeilentausch, 2. Zeile

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1 Lineare Algebra Prof. Dr. R. Dahlhaus Dr. S. Richter, N. Phandoidaen Wintersemester 28/29 3. Präsenzblatt Lösungen Aufgabe P49 (erechnung von Determinanten). Sei n 2 N, n 2. Gegeben seien folgende Matrizen über Q: 2 3 A :=, A 2 A, A 3 2 A, s... A 4 := A, A 5 := A, A s 6 A, s wobei A 6 2 M(n n, Q). (a) erechnen Sie die Determinanten det(a i ), i =,...,6. Hinweis für A 6 : Addieren Sie zuerst alle Spalten (außer der ersten) einmal auf die erste Spalte. (b) erechnen Sie unter Nutzung der Ergebnisse aus (a) die Ausdrücke det(a 4 A t 5), det(a 2 + A 2 ), det(a 2 + A 3 ), det(2a 3 4) (c) Vervollständigen Sie die gegebenen Matrizen so, dass die Gleichungen stimmen: (i) det( )=3, (ii) det( )=, (iii) det( (a) det(a )= ( ) = 2 (Regel für 2 2-Matrizen) )=4. det(a 2 )= = (Regel von Sarrus. Alternativ: Die 3. Zeile ist Summe der ersten beiden Zeilen. Die Zeilen sind also linear abhängig und daher det(a 2 )=.) det(a 3 )=( 2) ( 4)+ ( ) ( ) 2 3 ( ) ( ) ( 2) ( 4) 2 =4 (Regel von Sarrus) det(a 4 )=det( 2 2) det( )=(2 ( 2) 2) (3 2 4 ) = 2 (lockmatrix-regel) 22 Jede Zeile passend mit. Zeile addieren det(a 5 ) det Zeilentausch, 2. Zeile = auf untere Zeilen addieren lockmatrix-regel 2 det( 74 42) = ( ( ) 2)( )) = 2

2 det(a 6 ) s +(n ) s +(n ) s +(n )... s A s +(n )... s s = (s +(n )) s A... s... s.... = (s +(n )) s A... s Jede Spalte auf. Spalte addieren Von jeder Zeile. Zeile abziehen obere Dreiecksmatrix = (s +(n )) (s ) n. (b) det(a 4 A t 5)=det(A 4 )det(a t 5)= det(a 4 ) det(a 5)= 6 det(a 3 + A 3 )=det(2a 3 )=2 3 det(a 3 )=2 3 4= det(a 2 + A 3 )=det =( ) 2 ( 3) ( ) ( 3) 2 2=6 (Regel von Sarrus) det(2a 3 4)=2 4 det(a 4 ) 3 = (c) Für dielösung dieser Aufgabe gibt es viele verschiedene Möglichkeiten. Wir präsentieren hier jeweils nur eine Möglichkeit. (i) Diese Matrix kann zu einer oberen Dreiecksmatrix ergänzt werden. Dann ist die Determinante das Produkt der Diagonalelemente. Wähle also das mittlere, noch zu füllende Diagonalelement x so, dass 2 3 x =3() x = 5) und der Rest Nullen (so dass obere Dreiecksmatrix): det( )=3. (ii) Da die Determinante sein soll, muss die Matrix einen Rang 3 besitzen (d.h. die Zeilen oder Spalten müssen linear abhängig sein). Ergänze die dritte Zeile so, dass sie ein Vielfaches der zweiten Zeile ist: det( )=. (iii) Wir können die Matrix nicht einfach mit Nullen au üllen (und dann die Regel für obere Dreiecksmatrizen verwenden), weil das Produkt der Diagonalelemente nicht 2

3 den angegebenen Determinantenwert 4 ergibt. Ausweg: Verwende die lockmatrix- Regel, d.h. fülle den 2 2-lock unten links in der Matrix mit Nullen auf. Dann gilt: 4 =det(! )=det det Wähle nun zum eispiel die fehlenden Stellen... so, dass das Produkt 4 = 4 entsteht (hier gibt es aber unendlich viele Möglichkeiten). Dies erreichen wir mit... = 2 in der ersten Matrix und... = 5 in der zweiten Matrix. Die Ausgangsmatrix lautet also: det( Aufgabe P5 (Determinante als Hilfsmittel). Für 2 Q definieren wir 3 2 v A, v A, v 3 A, := A 2 M(4 4, Q) (a) erechnen Sie det(a), wobei A := (v,v 2,v 3 )dievektorenv,v 2,v 3 als Spalten hat. =4. (b) Für welche 2 Q bilden (v,v 2,v 3 )eineasisdesq-vektorraums Q 3? (c) erechnen Sie det(). (d) Für welche 2 Q ist invertierbar? (a) Es ist A 2 +2 A Damit: det(a) = ( 3) 2 +2 A Z$Z3 = ( 3) 2 +2 A ( )Z+Z2!Z2, ( )Z+Z3!Z3 = ( 3) +2 A Sarrus = ( 3)( +2)( +). Alternativ kann man auch an jeder beliebigen Stelle obiger Umformungen die Regel von Sarrus oder andere Methoden (lockmatrixregel, Laplace-Entwicklung) nutzen. Der Vorteil der Erzeugung von Nullen mit elementaren Zeilen/Spaltenumformungen liegt darin, dass die Regel von Sarrus dann weniger Summanden ungleich ergibt und man oft bereits automatisch eine Faktorisierung des Ergebnisses im unbekannten Parameter, hier, erhält. 3

4 (b) Es gilt: det(a) 6= () Rang(A) =3 v,v 2,v 3 2Q 3 () (v,v 2,v 3 )asis Fall : 2{3, 2, }: Dannistdet(A) =,d.h.(v,v 2,v 3 )bildenkeineasisvonq 3. Fall 2: 2 Q\{3, 2, }: Dannistdet(A) 6=,d.h.(v,v 2,v 3 )bildenasisvonq 3. (c) Es gilt det() A A A A A 5 S4$S Zeile geeignet auf Zeilen darunter add. Z2$Z3 ( 2)Z2+Z3!Z3 Z3+Z4!Z4 Obere Dreiecksmatrix = ( 2) ( 3) ( 5) = 6( 5). (d) Es gilt det() 6= () invertierbar. Daher: Fall =5: nicht invertierbar. Fall 2 Q\{5}: invertierbar. Aufgabe P5 (Anwendung des Laplace schen Entwicklungssatzes). Entwicklungssatz von Laplace: Sei A =(a ij ) 2 M(n n, K) eine Matrix über einem Körper K. Dann gilt für i, j 2{,...,n}: det(a) = = nx ( ) i+j a ij det(a ij) j= nx ( ) i+j a ij det(a ij) i= Entwicklung nach i-ter Zeile Entwicklung nach j-ter Spalte, wobei A ij die (n ) (n )-Matrix ist, welche durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte aus A hervorgeht. 4

5 Für s 2 Q und n 2 N,n 3 definieren wir die Matrizen s A := 2 2 s 4 A 2 M(4 4, Q), n := M(n n, Q). 2 A s (a) erechnen Sie det(a) in Abhängigkeit von s 2 Q. (b) Für welche s 2 Q besitzt das LGS A x = keine, nur eine oder unendlich viele Lösungen? (c) Zeigen Sie, dass n folgende Rekursionsgleichung für n det( n )=x det( n )+. 4erfüllt: Hinweis: Nutzen Sie den Laplace schen Entwicklungssatz angewandt auf die erste Spalte. (d) Leiten Sie mittels (c) eine explizite Formel für det( n ), n diese mit vollständiger Induktion. 3herundbeweisenSie (a) Es gilt: det(a). Zeile passend = auf jede weitere Zeile addieren Entw.. Spalte ( s 2 2 det( s 5 s 3 2 s 2 2 s 7 s 3 ) Entw. 3. Zeile = (s 3) det( 2 s 2 s ) = (s 3)(2 (s )( s 2)) = (s 3)(s )(s +2) ) (b) Fall : s 2 Q \ { 2,, 3}. Danngiltdet(A) 6=. =) Rang(A) =4 =) dim Q Lös(A, ) = 4 Rang(A) = =) dim Q Lös(A, ) = {}, d.h.a x = hat nur die triviale Lösung. Fall 2: s 2 { 2,, 3}. =) det(a) = =) Rang(A) < 4 =) dim Q Lös(A, ) = 4 Rang(A) > =) dim Q Lös(A, ) hat unendlich viele Elemente (da Grundkörper Q unendlich viele Elemente hat), d.h. A x =hatunendlichvielelösungen. (Es gibt keinen Fall, indem das LGS keine Lösungen hat). (c) det( n ) s = s det ( ) n+ A. A... s s 2M((n ) (n ),Q) = n 2M((n ) (n ),Q) Laplace. Spalte obere Dreiecksmatrix = s det( n )+( ) n+ ( ) n = s det( n )+. 5

6 (d) Wir berechnen zunächst det( 3 )(darüber gibt die Rekursionsformel aus (c)) keine Auskunft): det( 3 ) Sarrus = s 3 +s. ( ) Vermutung für allgemeine Formel: Xn 2 det( n )=s n + s k. k= (immer das Monom mit dem zweithöchsten Grad fehlt). eweis mit vollständiger Induktion: Induktionsanfang n =3:Siehe(*). Induktionsschritt: Die Aussage gelte für n (IV). Wir zeigen die Aussage für n: det( n ) (c) Xn 3 = s det( n )+ IV = s s n + s k + Xn 3 = s n + k= s k+ = P n 2 k= sk + {z} =s = P n 2 k= sk k= n 2 X = s n + s k. k= Aufgabe P52 (Determinanten von linearen Abbildungen). Für einen Vektorraum V über einem Körper K mit dim K (V ) < und asis definiert man für f 2 End K (V ): det(f) :=det(m (f)). Dies ist unabhängig von der Wahl der asis. Sei P 2 wie aus Aufgabe A4. Definiere folgende lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen über R: f : P 2! P 2, p 7! [x 7! p(2x +2) 2 p(x)], 2 g : M(2 2, R)! M(2 2, R), A 7! A, 3 4 x h : R 4! R 4, x = 7! (a) erechnen Sie die Determinanten det(f), det(g) unddet(h). x 2 x 3 x 4 x 2 2x +8x 2 +x 3 x 4 3x 2 +x 4 x +4x 2 +2x 3 +3x 4 (b) Entscheiden Sie jeweils auf asis von (a), ob f,g,h Isomorphismen sind. Hinweis: Sie dürfen den Laplace schen Entwicklungssatz aus P5 verwenden. (a) Wir bestimmen die Darstellungsmatrizen der jeweiligen linearen Abbildungen bzgl. der Standardbasis. (i) Wir bestimmen zuerst die ilder der asis P := (p,p,p 2 )unterf und stellen sie in der asis P dar. (f(p ))(x) = 2 = =) f(p )= p (f(p ))(x) = 2x +2 2 x =2 =) f(p )=2p (f(p 2 ))(x) = (2x +2) 2 2x 2 =2x 2 +8x +4 =) f(p 2 )=4p +8p +2p 2 6.

7 =) MP P 24 (f) = 8 2 Die 2. und 3. Zeile sind linear abhängig. Daher folgt sofort det(f) (M P P (f)) =. (ii) Wir bestimmen zuerst die ilder der asis E := (E,E 2,E 2,E 22 )unterg und stellen sie in der asis E dar. g(e ) = E ( 2 34)=E +2E 2 g(e 2 ) = E 2 ( 2 34)=3E +4E 2 g(e 2 ) = E 2 ( 2 34)=E 2 +2E 22 g(e 22 ) = E 22 ( 2 34)=3E 2 +4E 22 =) ME E (g) = Damit erhalten wir zwei Matrizenblöcke und berechnen det(g) =det(m E E (g)) (( 3 24)) det(( 3 24)) = ( 4 2 3) 2 =4. (iii) Direktes Ablesen liefert M S S (h) = Wir entwickeln nach der. Zeile und bekommen det(h) (M S S (h)) = ( Entwicklung nach der 2. Zeile liefert ) +2 det det(h) =( ) 2+3 ( ) det (( 2 2)) = (2 2 ) = (b) Für alle 3 Aufgaben nutzen wir folgende Argumentation für f : V! V mit dim(v )=n und M (f) 2 M(n n, R): det(m P44 (f)) 6= () Rang(f) =Rang(M (f)) = {z} n =dim(ild(f)) UVR =dim(v ) ild(f) V () ild(f) =V () f surjektiv f:v!v linear () f bijektiv. Das bedeutet: det(f) 6= () f Isomorphismus (i) det(f) = ) f kein Isomorphismus (ii) det(g) 6= ) f Isomorphismus (iii) det(h) 6= ) f Isomorphismus Dieses latt ist nicht abzugeben und wird in den Übungsgruppen besprochen. Homepage der Vorlesung: 7