(a) Welche der folgenden Funktionen ist injektiv, surjektiv beziehungsweise bijektiv? x 1 + x

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1 Aufgabe Injektiv und Surjektiv) a) Welche der folgenden Funktionen ist injektiv, surjektiv beziehungsweise bijektiv?. f : Z N; x x f : R R; x x x.. f : R [, ]; x sin x. 4. f : C C; z z 4. b) Zeigen Sie, dass die Abbildung f : R, ); x x + x bijektiv ist, und berechnen Sie die Umkehrfunktion von f. Lösung Aufgabe ), Teil a) Wir geben hier zusätzlich noch Begründungen an, diese sind für eine korrekte Lösung der Aufgabe aber nicht erforderlich.. f : Z N; x x 2 ist weder surjektiv noch injektiv oder bijektiv. Dabei ist f nicht surjektiv da es beispielsweise kein x Z mit x 2 2 gibt, und nicht injektiv da f) 2 ) 2 f ) ist. 2. f : R R; x x x ist surjektiv, injektiv und bijektiv. Dies kann man am einfachsten durch Angabe einer Umkehrfunktion einsehen. Betrachte hier zu die Funktion g : R R; x signx) x { x, x 0, x, x 0. Ist x R mit x 0, so gelten gfx)) gx 2 ) x 2 x und fgx)) f x) x) 2 x, und ist x R mit x 0, so haben wir gfx)) g x 2 ) x 2 x) x

2 und d.h. es gelten fgx)) f x) x) 2 x) x, g f id R und f g id R. Nach Lemma. ist f bijektiv, also insbesondere surjektiv und injektiv.. f : R [, ]; x sin x ist surjektiv aber nicht injektiv oder bijektiv. Dabei ist die Surjektivität klar da die Sinusfunktion alle Werte zwischen und annimmt. Wegen sin0) 0 sinπ) ist f aber nicht injektiv und damit auch nicht bijektiv. 4. f : C C; z z 4 ist surjektiv aber weder injektiv noch bijektiv. Um einzusehen das f surjektiv ist, muss man für jedes w C ein z C mit w fz) z 4 finden. Schreiben wir w in Polarkoordinaten w reφ) mit r 0, φ R, so gilt mit z : 4 reφ/4) die verlangte Gleichung z 4 w. Damit ist f surjektiv. Wegen f) f ) ist f aber nicht injektiv und damit auch nicht bijektiv. Lösung Aufgabe ), Teil b) Zunächst ist für jedes x R stets + x > 0 und x < + x also x + x x + x <, d.h. f ist Überhaupt eine Abbildung zwischen den angegebenen Mengen dieser Teil ist nicht unbedingt nötig, wäre dies nicht so, so läge ein Fehler in der Aufgabenstellung vor). Zum Nachweis der Bijektivität und zur Berechnung der Umkehrfunktion müssen wir für jedes y R mit y < die Gleichung y fx) nach x auflösen. Für jedes x R haben wir y x + x x + x y + x y x y x signx)y). Wegen y < gilt dabei signx)y > 0, also muss signx) signy) sein. Da auch signy)y > 0 gilt, ist y fx) weiter gleichwertig zu y x signy)y) x y ) x y y. 2

3 Damit hat die Gleichung y fx) für jedes y, ) genau eine Lösung x R, d.h. f ist bijektiv und die Umkehrfunktion ist f :, ) R; y y y. Aufgabe 2 Folgengrenzwerte) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: n 2 n + cos n a) n sin n. b) + 2 n) n. c) n n + n). d) Sei q C mit q 0 und q 2n für jedes n N. Berechne dann den q n q n Grenzwert für jeden Wert von q für den diese Folge konvergiert. q n + q n Lösung Aufgabe 2), Teil a) Es ist n 2 n + cos n n sin n + cos n n n sin n n 2 + ) cos n n n sin n n 2 ), da wegen auch ist. sin n n 2 n 0 und cos n 2 n 2 n 0 2 sin n n 2 cos n n 2 0

4 Lösung Aufgabe 2), Teil b) Es ist + 2 n n + 2 n) n ) + n+ n+ + n + n+ ) n n ) n n + n + n ) n n+ n+) + n ) + n+ ) n e 2. Lösung Aufgabe 2), Teil c) Für jedes n N mit n gilt n + n) n + + n) n n + n) n n + + n n n + + n + + n und nach Aufgabe 25) ist auch + n. Mit den Grenzwertsätzen folgt hieraus schließlich n n + n) + + n + + n 2. Lösung Aufgabe 2), Teil d) Für jedes n N gilt q n + q n q n q 2n + ) 0, die betrachtete Folge ist also überhaupt sinnvoll definiert. Wir müssen einige Fälle unterscheiden. Fall : Zunächst nehmen wir q > an. Dann ist q / q < und somit ) n q n 0 also auch q q 2n 0. Es folgt q n q n q 2n q n + q n + q 2n + 4 q 2n q 2n.

5 Fall 2: Nun nehmen wir q < an. Analog zum ersten Fall rechnen wir dann q n q n q 2n q n + q n q 2n + q 2n q2n +. Fall : Diesmal sei q oder q also q 2. Für jedes n N ist dann also ist auch q n q n q n + q q2 ) n n q 2 ) n + 0, q n q n 0. q n + q n Fall 4: Im verbleibenden letzten Fall ist q aber q 2. Wir wollen einsehen, dass die Folge q n q n )/q n + q n )) n N dann divergent ist. Angenommen die Folge wäre konvergent. Für jedes n N haben wir q n q n q n + q n q2 ) n q 2 ) n + 2 q 2 ) n +, also ist auch die Folge /q 2 ) n + )) n N konvergent. Für jedes n N gilt dabei q 2 ) n + q 2 ) n + q 2n + 2 > 0, also ist der Grenzwert von /q 2 ) n + )) n N nicht Null, d.h. auch die Folgen q 2 ) n + ) n N und q 2 ) n ) n N sind konvergent. Dies ist ein Widerspruch da q 2 q 2 und q 2 gilt. Aufgabe Rekursiv definierte Folgen) Wir definieren die Folge a n ) n N rekursiv durch a 0 0 und a n+ 2a n + 4 für jedes n N. a) Beweisen Sie a n+ > a n für jedes n N durch Induktion nach n. b) Beweisen Sie a n < 5 für jedes n N durch Induktion nach n. c) Zeigen Sie, dass die Folge a n ) n N konvergiert und berechnen Sie ihren Grenzwert. 5

6 Lösung Aufgabe ), Teil a) Induktionsanfang: Es ist a 4/ > 0 a 0. Induktionsannahme: Sei n N mit a n+ > a n. Induktionsschluß: Dann gilt auch d.h. es ist a n+)+ > a n+. a n+2 a n+ 2 a n+ a n ) > 0, Lösung Aufgabe ), Teil b) Induktionsanfang: Es ist a 0 0 < 5. Induktionsannahme: Sei n N mit a n < 5. Induktionsschluß: Dann gilt auch a n+ 2a n + 4 < 4 < 5. Lösung Aufgabe ), Teil c) Nach Teil a) ist die Folge a n ) n N streng monoton steigend und nach Teil b) ist sie auch nach oben beschränkt, also insgesamt konvergent. Bezeichne a R ihren Grenzwert. Dann ist ) 2a n a n + 4 a a n+ also a 4, und wir haben a n ) n N 4 eingesehen. 2a + 4, Aufgabe 4 Reihenkonvergenz) Welche der folgenden Reihen konvergiert und welche konvergiert absolut? a) b) c) d) n0 n n n0 ) n n +. n4 + n +. n n. + i) n 2 n. 6

7 Lösung Aufgabe 4), Teil a) Für jedes n N mit n ist n + > n, also auch / n + < /n. Damit ist / n + ) n N eine monoton fallende Nullfolge und nach dem Leibniz Kriterium ist ) n n + n0 konvergent. Für jedes n N mit n gilt n + 2n 2 n, also auch n + 2 n, und da die harmonische Reihe n /n divergiert, ist nach dem Minorantenkriterium, der Kontraposition des Majorantenkriteriums, auch n0 n + divergent, also ist n0 ) n n + nicht absolut konvergent. Lösung Aufgabe 4), Teil b) Für jedes n N mit n ist n4 + n + n 4 n, 2 und wegen n /n2 < ist nach dem Majorantenkriterium auch n n4 + n + absolut konvergent, also insbesondere konvergent. Lösung Aufgabe 4), Teil c) Wir wollen das Quotientenkriterium anwenden, und rechnen für jedes n N mit n n+)! n+) n+ n n n + )! nn n + ) n+ n n n n + ) n n + ) n n + ) n ) n+ n+ n+ 7

8 und wegen ) und ) n+ n + n + e nach Aufgabe 2) liefern die Grenzwertsätze Nach dem Quotientenkriterium ist n+)! n+) n+ e <. n n n n n absolut konvergent, also auch konvergent. Lösung Aufgabe 4), Teil d) Die Reihe + i) n + i 2 n 2 n0 ist eine geometrische Reihe mit q + i)/2, also wegen q + i /2 2/2 < absolut konvergent und insbesondere konvergent. n0 ) n Aufgabe 5 Cauchyprodukte) Aus 5. ist die Reihe e bekannt. n0 a) Berechne das Cauchyprodukt der Reihe mit selbst und das Cauchy- produkt der beiden Reihen n0 und n0 n0 ) n. b) Berechne die Summen n0 2 n und n0 ) n 8

9 Lösung Aufgabe 5), Teil a) Für jedes n N haben wir nach der allgemeinen binomischen Formel und n k0 k! n n k)! k0 k!n k)! n k0 ) n 2n k n ) k k0 k! n n k)! ) k k!n k)! k0 n k0 n k ) ) k {, n 0, 0, n. Das Cauchyprodukt der Reihe n0 mit sich selbst ist also und das Cauchyprodukt von n0 n0 2 n mit ) n n0 ist + n 0. Lösung Aufgabe 5), Teil b) Mit dem Satz über das Cauchyprodukt erhalten wir zunächst n0 2 n ) 2 e 2. n0 Weiter ist auch die Reihe ) n n0 absolut konvergent, also liefert der Satz über das Cauchyprodukt ) ) n ) ) ) n e, n0 n0 n0 d.h. es gilt ) n n0 e. 9

10 Aufgabe 6 Lineare Gleichungssysteme) Gegeben sei das lineare Gleichungssystem x + y u + v 2x y + u 2v y u + 2v b x + y + au v mit Konstanten a, b R. Führen sie das Gaußsche Einationsverfahren durch und bestimmen so die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von a und b. Lösung Aufgabe 6) Wir führen das Gaußsche Einationsverfahren durch b a b a b 0 0 a Jetzt können einige verschiedene Fälle auftreten b a ab 5a+b 2 Fall : Im Hauptfall ist a, also a 0. Dann ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, und wir können von unten nach oben gehend die Lösung 0

11 berechnen. Es sind v + 5a b ab, 2a ) u ab 5a b + 5 ab + 5a b + b 5 + 2v) 2 2a ) 6 2b 2a ) b a, y 5a b + 2ab 0a + 2b 2 5 u + 4v) a ) 2ab 5a b + 2, a ) x y + u v 8a 8 4ab + 0a + 2b b + ab 5a + b 6a ) ab a + b a ) Fall 2: Nun sei a. Dann ist ab 5a + b 2b 6, ist also b, d.h. 2b 6 0, so hat das Gleichungssysteme kein Lösung. Im letzten verbleibenden Fall ist auch b und es gibt wieder Lösungen, die wir wie oben berechnen können Die Lösungsmenge ist also u 2 + 2v) v, 2 y 2 v 5 + u 4v), x y + u v 4 + v. 4 + t 2 t t t R. t

12 Aufgabe 7 Inverse Matrizen) Gegeben seien die folgende reelle Matrix A und die folgenden beiden Vektoren b, b 2 A 2 4 4, b 2, b 2 4. a) Bestimmen Sie die inverse Matrix A zu A. b) Lösen Sie die beiden linearen Gleichungssysteme Ax b und Ax b 2. Lösung Aufgabe 7), Teil a) Wir führen den Algorithmus aus 7.4 durch Die zu A inverse Matrix ist damit A Lösung Aufgabe 7), Teil b) Nach 7.Satz 5 ist die Lösung von Ax b gegeben als x A b und die von Ax b 2 ist x A b