4. Folgen. Folge in R 2 mit Grenzwert (1, 1 2 ).

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1 8 4. Folgen Im Folgenden sei X = K n (oder ein K-Vektorraum) mit der Norm.(Eslangtvöllig,sichden Fall X = R 2 vorzustellen.) Auf R bzw. C verwenden wir als Norm stets den Betrag. 4.. Definition. Eine Folge in einer Menge M ist eine Abbildung a : N M. Statta(k) schreibt man meist a k ;diefolgeschreibtman(a,a 2,...) oder (a k ) k= oder kurz (a k). 3 (b) Sind k <k 2 <k 3 <...Elemente von N, soheißt(a k,a k2,...) Teilfolge von (a k ). (c) Es sei (a k ) eine Folge in X und a X. Wirsagen 0.57 (a k )konvergiertgegena oder (a k )istkonvergentmitgrenzwerta falls zu jedem ε>0 ein n 0 N existiert mit a k a <ε für alle k n 0. k Wir schreiben lim a k = a oder a k a und nennen a den Grenzwert. EineFolge,die keinen Grenzwert hat heißt divergent Folge in R 2 mit Grenzwert (, 2 ) x 4.2. Beispiele. ( ) Die Folge k konvergiert in R gegen 0. (b) Die Folge (i k ) k in C ist divergent. Beweis. Esseiε>0 vorgelegt. Wir müssen ein n 0 finden mit /k 0 <εfür alle k n 0. Dazu wähle n 0 N mit n 0 > /ε(eine solche Zahl gibt es nach.4(f)). Dann gilt für k n 0 : k = k <ε für alle k n 0. n 0 (b) Gäbe es einen Grenzwert z in C, sogäbeeszuε =/4 ein n 0 mit i k z 4 für k n 0 3 Natürlich kann man auch Folgen bei k =0oder einer beliebigen anderen ganzen Zahl starten; k N ist lediglich eine bequeme Wahl.

2 und somit i k i l = i k z + z i l i k z + i l z 2 für k, l n 0. Da jedoch i 4k =ist und i 4k+2 = für beliebiges k N, ist i 4k i 4k+2 =2.Widerspruch Satz. Der Grenzwert ist eindeutig: Konvergiert eine Folge gegen a und a,soista = a. Beweis. Seiε>0. Dannexistierteinn : a k a <ε/2für k n und ein n 2 mit a k a <ε/2 für k n 2.Danngiltfürn 0 max{n 0,n } : a a a a n0 + a n0 a <ε Satz. Es sei (z k ) eine Folge komplexer Zahlen, z k = x k + iy k und z = x + iy C. Dann gilt { xk konvergiert gegen x, und z k konvergiert gegen z y k konvergiert gegen y. Beweis. Zunächstist Re (z k z) z k z und Im (z k z) z k z. AusderKonvergenz z k Z folgt daher, dass x k x und y k y: Istε>0 vorgelegt und n 0 so gewählt, dass z k z <ε,sogiltdiesauchfürreal-undimaginärteil. Umgekehrt gelte x k x und y k y und ε>0 sei vorgelegt. Wähle n mit x k x <ε/2 für n n und n 2 mit y k y <ε/2 für n n 2.Danngiltfürn n 0 =max{n,n 2 }: z z k x k x + y k y <ε. Für den nächsten Satz beobachten wir, dass eine Folge in K n uns n Folgen in K liefert (die sog. Komponentenfolgen), indem wir die Komponenten der n-vektoren betrachten. Unter der Annahme, dass wir schon wissen, dass die p-normen aus Beispiel 3.0 tatsächlich Normen sind, können wir folgenden Satz formulieren: 4.5. Satz. Eine Folge in K n konvergiert genau dann bezüglich einer der p-normen aus 3.0, wenn jede Komponentenfolge in K konvergiert. Es sei (x (k) ) eine Folge in K n mit x (k) =(x (k),...,x(k) n ) und x =(x,...,x n ) R n.danngilt: x (k) k x in K n genau dann, wenn x (k) j x j in K für j =,...,n. Insbesondere sehen wir, dass die Konvergenz tatsächlich vonderwahlvonp unabhängig ist. Beweis. Esistfürl =,...,n: x (k) l x l x (k) x p j= x (k) j x j ; die letzte Ungleichung erhält man, weil für y =(y,...,y n ) y p = (0,...,y j, 0,...0) p (0,...,y j, 0,...0) p = j= Dann analog zum Beweis von Satz 4.4. j= y j Satz: Rechenregeln für Grenzwerte. Es seien (x k ), (y k ) Folgen in X, (c k ) Folge in K,x,y X, c K. Ist die Folge (x k ) konvergent, so ist sie auch beschränkt, d. h. K 0: x k K für alle k N. (b) Aus x k x und y k y folgt x k + y k x + y. j= 9

3 20 (c) Aus x k x und c k c folgt c k x k cx. (d) Gilt c k c und c 0so auch c k c. Wichtig ist in (c) auch der Spezialfall X = K: DasProduktderFolgenreelleroderkomplexer Zahlen konvergiert gegen das Produkt der Grenzwerte (sofern existent). [Für später: Die konvergenten Folgen bilden einen Unterrraum des Vektorraums aller Folgen.] Bemerkung: Die Umkehrung der Aussagen in 4.6(b),(c) gilt nicht! Beweis. (b) Zu ε =existiert ein n 0 mit x k x < für k n 0.Damitist x k = x k x + x x + für k n 0.FürK =max{ x,..., x n0, x +} ergibt sich die Behauptung. Sei ε>0vorgelegt. Dann existieren n,n 2 mit x k x ε/2 für k n und y k y ε/2 für k n 2.Fürk n 0 := max{n,n 2 } folgt (x k + y k ) (x + y) x k x + y k y <ε. (c) Nach existiert ein K>0mit x k K für alle k. Seiε>0. Dannexistierenn,n 2 mit ε c k c < 2 K für k n und ε x k x < k n 2. 2 c + Für k max{n,n 2 } folgt c k x k cx = c k x k cx k + cx k cx < c k x k cx k + cx k cx c k c x k + c x k x ε 2 K K + c ε 2 c + ε. (d) Zu δ = c /2 > 0 existiert ein k 0 mit c k c <δ= c /2 für k k 0.Dannist c k c c k c c /2 für k k 0.Seiε>0 vorgelegt. Nun ist c k c = c (c c k )c k = c c k c c k. Wähle n 0 k 0 so, dass c c k < ε 2 c 2 für k n 0.Dannist c k c < 4.7. Definition. Eine Folge (x k ) heißt Cauchy-Folge, fallsgilt ε >0 n 0 : x k x m <ε k, m n 0. 2 ε c c 2 c 2 ε Satz. Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Beweis. Seiε>0. Wählen 0 so, dass x k x <ε/2 k n 0 ;hieristx der Grenzwert der Folge. Dann ist für k, m n 0 : x k x m x k x + x x m <ε/2+ε/2 =ε Bemerkung und Definition. (b) (c) Nicht jede Cauchy-Folge in jedem normierten Raum ist konvergent. Beispielsweise gibt es Cauchy-Folgen in Q, diekeinengrenzwerthaben. Einen Raum, in dem jede Cauchy-Folge einen Grenzwert hat, nenntmanvollständig. Ein vollständiger normierter K-Vektorraum heißt Banachraum.

4 Einige Besonderheiten reeller Folgen Definition. Eine Folge (x k ) in R heißt monoton wachsend, falls x k+ x k für alle k streng monoton wachsend, falls x k+ >x k für alle k monoton fallend, falls x k+ x k für alle k streng monoton fallend, falls x k+ <x k für alle k. 4.. Satz. Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge reellerzahlenistkonvergent: Gibt es ein K R mit x k x k+ K für alle k, sogiltx k x =sup{x k }. Beweis. Seiε>0 vorgelegt. Nach Definition des Supremums existiert ein n 0 mit Für alle k n 0 gilt also und somit x x k <ε. x n0 >x ε. x ε<x n0 x k x 4.2. Folgerung. Ist die Folge (x k ) monoton fallend und nach unten beschränkt, so ist (x k ) auch konvergent. (Betrachte ( x k )!) 4.3. Satz. Stabilität des Grenzwertes. Esseien(x k ), (y k ) Folgen in R mit x k y k für alle k. Gilt:x k x und y k y, sofolgtx y. Beweis. Annahme:x>y.Setzeε = x y>0. Dannexistierenn,n 2 mit x k x <ε/2 für alle k n, y k y <ε/2 für alle k n 2.Fürk max{n,n 2 } gilt x k >x ε/2 =y + ε/2 >y k. Widerspruch! 4.4. Satz. Schachtelungssatz. Esseien(a k ), (b k ), (x k ) Folgen in R und a k x k b k für alle k N. Gilt a k x und b k x, soistauch(x k ) konvergent, und x k x. Beweis. Seiε>0 vorgelegt. Dann existieren n,n 2 mit a k x <ε/3 für k n, b k x <ε/3 für k n 2.Setzen 0 =max{n,n 2 }.Danngilt x k x x k a k + a k x b k a k + a k x b k x + x a k + a k x <ε Satz. In R ist jede Cauchy-Folge konvergent, d.h. R ist vollständig. Beweis. Essei(x k ) eine Cauchy-Folge. Unsere erste Beobachtung: (x k ) ist beschränkt. Zu ε = existiert ein n 0 mit x k x l < für alle k, l n 0.Damitist x k x k x n0 + x n0 + x n0 für alle k n 0 und somit ist jedes Folgenglied max{ x,..., x n0, x n0 +}. Wir können daher zwei neue Folgen definieren Dann gilt (i) (ii) i k =inf{x j : j k} und s k =sup{x j : j k}. i k x k s k für alle k (i k ) ist monoton wachsend und beschränkt (i k s für alle k), somit konvergent gegen ein i R. 2

5 22 (iii) (iv) (s k ) ist monoton fallend und beschränkt (s k i für alle k), somit konvergent gegen ein s R. Weil (x k ) Cauchy-Folge ist, folgt i = s. Wieso?Istε>0 vorgelegt, wähle n 0 so groß, dass x j x k <ε/5, i i k <ε/5,s k s<ε/5 für j, k n 0.Fernerexistierenj 0,k 0 n 0 mit x j0 >s n0 ε/5 und x k0 <i n0 + ε/5. Dannist s i = s i s s n0 + s n0 x j0 + x j0 x k0 + x k0 i n0 + i n0 i <ε. Mit 4.4 folgt die Behauptung Folgerung. C ist vollständig. Beweis. Sei(z k ) eine Cauchy-Folge in C. Dannsind(Re z k ) und (Im z k ) Cauchy-Folgen in R (siehe Beweis von 4.4). Mit 4.5 folgt, dass (Re z k ) und (Im z k ) Grenzwerte in R haben, und schließlich mit 4.4, dass (z k ) einen Grenzwert in C hat Folgerung. R n und C n sind vollständig. Beweis. Analog Definition und Bemerkung. Man sagt, eine Folge (a k ) reeller Zahlen divergiere bestimmt gegen + und schreibt lim a k =+, fallsgilt: für alle M>0 n 0 : a k >M für alle k n 0. Dies ist äquivalent dazu, dass ab einem festen Index n gilt a k > 0 und lim a k =0.(Wieso?) Ebenso: lim a k =, fallslim( a k )=+, d.h.falls M >0 n 0 : a k < M k n Beispiele. Die Folgen ( k j ), j =, 2, 3,... konvergieren in R gegen 0. (b) Ist z C mit z <, soistdiefolge(z k ) eine Nullfolge. (c) Sei z C, z <,r N. Dannistlim k r z k =0. (d) lim k k =. (e) Es sei a>0. Danngiltlim k a =. (f) lim k k 2 + k +2=. (g) Beweis. ( k k!) divergiert bestimmt gegen +. Wir wissen, dass 0 k j k für k N und j =2, 3,... Also folgt die Behauptung aus 4.2 und dem Schachtelungssatz angewandt auf die Folge (0, 0,...) und die beiden anderen. (b) Sei ε>0vorgelegt. Wir haben zu zeigen, dass ein n 0 existiert mit z k <εfür k n 0 bzw., äquivalent dazu, dass z k > ε für k n 0. Es ist z >. Setzeδ := z. Wählen 0 so groß, dass n 0 δ> ε. Dann gilt für k n 0 nach der Bernoullischen Ungleichung: z k =.0 z k ( ) n0 z n = =(+δ) n Bernoulli 0 +n 0 0 δ> z ε. (c) () Setze b k = k r z k.danngilt: b k+ b k = (k +)r z k+ k r z k = ( + k ) r z.

6 (d) (e) Da lim(+ k )r =(lim(+ k ))r =ist und z < ist, folgt, dass ein 0 C< existiert mit b k+ Cb k für k k 0, k 0 geeignet. Mit vollständiger Induktion folgt 0 b k0 +m C m b k0 0, fürm.alsob k 0. Zeige: Zu ε>0 existiert ein n 0 mit k k <ε: ( ) k ( k Es ist 0 < +ε <. Somitistnach(c)lim k +ε =0.Esfolgtk +ε) < bzw. <k<( + ε) k für k n 0,alsoauch < k k<+ε für k n 0. Für a folgt dies aus dem Schachtelungssatz, weil für alle k a gilt: a k k a k k. Für a< betrachte /a: k a = k a. (f) Schachtelungssatz und Rechenregeln: k k 2 + k +2 k 4k 2 = k 4 k k k k. (g) Zu zeigen: Zu M>0 existiert n 0 mit k k! >M bzw. M k /k! < für alle k n 0.Nunist für k k 0 2M: M k k! = M k 0 k 0! für hinreichend großes k nach (c) Definition und Bemerkung. M k M k }{{} (k k 0 ) Faktoren /2 M k 0 k 0! 2 k 0 k < Ein Element x X heißt Häufungspunkt der Folge (x k ) in X, fallsfürjedesε>0 die Kugel B(x, ε) unendlich viele Folgenglieder enthält. (b) Eine konvergente Folge hat also genau einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert. Die Folge (i k ) in C hat vier Häufungspunkte:,i, und i Lemma. Hat die Folge (x k ) den Häufungswert x, sohatsieeineteilfolge,diegegenx konvergiert. Umgekehrt ist klar: Hat die Folge eine konvergente Teilfolge, so ist deren Grenzwert ein Häufungspunkt. Beweis. Zuε j =/j finden wir schrittweise Folgenglieder x kj mit k <k 2 <...und x kj B(x, ε j ).Dannkonvergiert(x kj ) j gegen x Satz von Bolzano-Weierstraß. In R n und C n hat jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge. Beweis.. Schritt: Folge in R. Auf Grund der Beschränktheit gibt es ein Intervall [a,b ], a <b, in dem alle Folgenglieder liegen. Wir halbieren es und erhalten zwei Teilintervalle [a, a +b 2 ] und [ a +b 2,b ].Ineinemdavon(evtl.inbeiden)liegenunendlichvieleGlieder. Wir nennen es [a 2,b 2 ]. Schrittweise erhalten wir eine ineinander geschachtelte Folge von abgeschlossenen Intervallen I j =[a j,b j ],derenlängeb j a j gegen Null konvergiert. In ihrem Durchschnitt liegt genau ein Punkt x (Übungsaufgabe). Wählt man Folgenglieder x kj I j mit k <k 2 <...so hat man die gesuchte (gegen x) konvergenteteilfolge. 2. Schritt: Folge in R n.konvergenzistäquivalentzurkonvergenzderkomponentenfolgen. Ist die Folge beschränkt, so auch jede Komponentenfolge. Nach Schritt gibt es Indizes k <k 2 <...so dass für diese Teilfolge die Folge der ersten Komponenten konvergiert. Von dieser wiederum gibt es eine Teilfolge, für die (auch) die Folge der zweiten Komponenten konvergiert. In n Schritten erhalten wir ein Teilfolge, die in allen Komponenten konvergiert. 3. Schritt: Folge in C n.ebensomitreal-undimaginärteil. 23

7 Definition. Jede beschränkte Folge reeller Zahlen (x k ) hat also mindestens einen Häufungspunkt. Man nennt den größten davon den limes superior und den kleinsten den limes inferior und schreibt lim sup und lim inf bzw. lim und lim. Ist die Folge nach oben unbeschränkt, so schreiben wir lim sup x k =+. Analogschreibenwir lim inf x k =, fallssienachuntenunbeschränktist. Mehr dazu später. Beispiel: lim inf ( ( ) k k ) =.

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