Ableitungen von skalaren Feldern Der Gradient

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1 Ableitungen von skalaren Feldern Der Gradient In der letzten Vorlesung haben wir das zu einem konservativen Kraftfeld zugehörige Potential V ( r) = F ( s) d s + V ( r0 ) kennengelernt und als potentielle Energie eines Teilchens identifiziert haben, das sich am Ort r befindet Das Potential ändert sich von Ort zu Ort, so dass ein Teilchen, das sich entlang einer Bahn s bewegt, an verschiedenen Orten eine unterschiedliche potentielle Energie besitzt Der Potentialunterschied an zwei verschiednen Orten der Bahn beträgt δv = V ( r + r V ( r) = + r r F d s, wenn sich die Ortsvektoren um r = r 2 r 1 unterscheiden Beachte: Für konservative Kräfte hängt diese Potentialdifferenz nicht davon ab, auf welcher Bahn sich das Teilchen von r 1 nach r 2 bewegt hat Für infinitesimal benachbarte Orte gilt dann dv ( r) = V ( r + d r) V ( r) = F ( r) d r In der Mathematik bezeichnet man die Differenz df ( r) = f ( r + d r) f ( r) als das totale Differential des skalaren Feldes f ( r) Gibt es in der Umgebung des Punktes r eine Darstellung des totalen Differentials in der Form df ( r) = A( r) d r für beliebige infinitesimale Verrückungen d r, so bezeichnet man A( r) als den Gradienten des Skalarfeldes f am Punkt r und schreibt A( r) = gradf ( r) = f ( r) Vergleichen wir dies mit der Beziehung, die wir für das Potential erhalten haben, dv ( r) = V ( r + d r) V ( r) = F ( r) d r,

2 so lesen wir ab F = V ( r), dh die Kraft F ist der negative Gradient des Potentials V ( r) Wir können bereits an dieser Stelle einen Zusammenhang zwischen dem Gradienten und dem Wegintegral ablesen: Ist F ein Gradientenfeld mit F = V ( r), so ist das Wegintegral wegunabhängig und es gilt F d s F d s = V ( r) V ( r0 ) Dieses Gradiententheorem ist die Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Integral- und Differentialrechnung auf Funktionen mehrerer Veränderlicher Beweisskizze: F d s = V ( r) d s = V ( r) V ( ) dv = V ( r) V ( ) Die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals zeigt sich durch die erlaubte Substitution von d r durch dv Wir wollen nun versuchen, etwas über die Richtung des Gradienten herauszubekommen: Betrachten wir zunächst die Äquipotentialflächen von V, dh die Flächen im Raum, auf denen das Potential konstant ist Wenn wir uns auf diesen Flächen bewegen, ist dv = V ( r + d r) V ( r) = 0 = V d r Wenn d r nicht null ist, so wird das Skalarprodukt zwischen dem Gradienten von V und d r nur dann null, wenn beide Vektoren senkrecht aufeinander stehen, dh V d r

3 Der Gradient steht also immer senkrecht auf den Äquipotentialflächen von V In welche Richtung zeigt der Gradient aber an einem beliebigen Ort? Wir wissen, dass die Änderung des Potentials an der Stelle r durch dv = V d r gegeben ist Bezeichnen wir mit ϕ den Winkel zwischen dem Gradienten von V und d r, so gilt Der Differentialquotient dv = V dr cos(ϕ) dv dr = V cos(ϕ) gibt die Steigung von V in Richtung d r an Diese ist maximal, wenn cos(ϕ) = 1, dh d r parallel zum Gradienten von V ist Dem zu Folge zeigt der Gradient immer in die Richtung steilsten Anstiegs (oder steilsten Abfalls) am Ort r

4 Beispiele für Gradientenfelder a) schiefe Ebene b) Potential des harmonischen Oszillators c) Gravitationspotential (aus Brandt, Dahmen: Mechanik) Nachdem wir nun bereits die wichtigsten Eigenschaften des Gradienten kennengelernt haben, wollen wir ihn natürlich auch berechnen Wir wollen dies zunächst in kartesischen Koordinaten tun Dazu schaun wir uns noch einmal die Definition des Gradienten an: V ( r + d r) V ( r) = V d r In kartesischen Koordinaten hat V die Komponentendarstellung V = ( V ) x ê x + ( V ) y ê y + ( V ) z ê z, so dass sich das Skalarprodukt mit d r zu ergibt dv = ( V ) x dx + ( V ) y dy + ( V ) z dz Wie ändert sich nun das Potential, wenn ich mich infinitesimal vom Ort r wegbewege? Betrachten wir zunächst ein nur zweidimensionales Problem:

5 f(x 0 + x,y 0 + y) f y f(x 0,y 0 ) (x 0,y 0 ) f x (x 0,y 0 + y) f(x 0 + x,y 0) (x 0 + x,y 0) (x 0 + x,y 0 + y) Der Wert der Funktion f am Ort (x 0 + dx, y 0 + dy ergibt sich aus ihrem Wert am Ort (x 0, y 0 ) durch f (x 0 + x, y 0 + y) = f (x 0, y 0 ) + f x + f y Gemäß der obigen Skizze ist und f x = f (x 0 + x, y 0 ) f (x 0, y 0 ) f y = f (x 0 + x, y 0 + y) f (x 0 + x, y 0 ) Wir haben die Änderung von f hier so aufgeteilt, dass wir zunächst die Änderung von f bei Änderung von x, aber konstantem y, betrachtet haben und anschließend die Änderung von f bei Änderung von y, aber nun konstantem x Wir bezeichnen als partielle Ableitung oder Richtungsableitung in x-richtung den Ausdruck f (x, y, z) = x lim x 0 f (x + x, y, z) f (x, y, z) x Analog sind die partiellen Ableitungen nach y bzw z definiert durch f (x, y, z) = y lim y 0 f (x, y, z) = lim z z 0 f (x, y + y, z) f (x, y, z) y f (x, y, z + z) f (x, y, z) z Für infinitesimale Verrückungen können wir die Änderungen der obigen zweidimensionalen Funktion f damit schreiben als f x = f x x y=y0

6 und f y = f y x=x0 + x y = f y y x=x0 Im letzten Schritt haben wir uns zunutze gemacht, dass die Näherung von f (x, y) im Intervall [x 0, x 0 + x 0 ] [y 0, y 0 + y] durch ein ebenes Flächenstück verlangt, dass die Steigungen in Richtung x an den Stellen (x 0, y 0 ) und (x 0 + x, y 0 ) gleich sind Insgesamt ergibt sich damit für die Änderung von f df = f (x + dx, y + dy) f (x, y) = f f dx + x y dy, bzw allgemein für ein Skalarfeld in drei Dimensionen df = f f f dx + dy + x y z dz Vergleichen wir dies mit der Definitionsgleichung des Gradienten in kartesischen Koordinaten, df = ( f ) x dx + ( f ) y dy + ( f ) z dz, so erhalten wir die kartesische Koordinatendarstellung des Gradienten von f, f = f x f y f z Hieraus ergibt sich die häufig verwendete Darstellung des Nabla-Operators = ê x x + ê y y + ê z z = i ê i x i Die Steigung eines Skalarfeldes f entlang einer beliebigen Richtung d s kann also folgendermaßen berechnet werden: f ( r + d s) = f ( r) + f ( ) d s = f ( r) + f êds ds Dann ist die Steigung in dieser Richtung gegeben durch df ds = ê ds f ( = ê ds ) f

7 Beispiel: r 2 = (x 2 + y 2 + z 2 ) = ê x x 2 + y 2 + z 2 x = 2xê x + 2yê y + 2zê z = 2 r + ê y x 2 + y 2 + z 2 y + ê z x 2 + y 2 + z 2 z ( r ) = x 2 + y 2 + z 2 = [ ê x x + ê y y + ê z ] r 2 z = ê x 1 2 r 2 x r 2 + ê y 1 2 r 2 y r 2 + ê z 1 2 r 2 z r 2 = 1 2 r 2 (r 2 ) = 2 r 2 r = ê r Allgemein gilt für eine Funktion, die nur vom Betrag von r abhängt: f ( r ) = i ê i f (r) = x i i ê i f r r x i = f r ( r ) = f r êr