Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz

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1 Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli / 29

2 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel Das finite Differenzenverfahren / 29

3 Aufgabenstellung Aufgabenstellung Löse folgendes Minimierungsproblem: min J(y, u) := 1 2 Ω y(x) y d (x) 2 dx + γ 2 u u d 2 U (1) unter den Nebenbedingungen (mit U = R 2 ) L y(x) + a(x)y(x) + y 3 (x) = u i b i (x) x Ω u R L (2) i=1 y(x) = 0 x δω (3) 3 / 29

4 Die zusammengesetzte Trapezregel I Die zusammengesetzte Trapezregel Das finite Differenzenverfahren Näherungsweise Berechnung eines Integrals [a, b] durch Zerlegung in M Teilintervalle: Teile Intervall in a = x 0 < x 1 < < x M 1 < x M = b ein: b a f(t)dt = N i=1 xi x i 1 f(t)dt. Teilintervalle gleiche Größe: x i := a + i b a M (i = 0,..., M) Jeweiliges Teilintervall [x i 1, x i ]: einfache Trapezregel: xi f(t)dt = b a x i 1 M ( f(xi 1 ) + f(x i ) ) + R i [f] 4 / 29

5 Die zusammengesetzte Trapezregel II Die zusammengesetzte Trapezregel Das finite Differenzenverfahren Somit ergibt sich für das Gesamtintervall folgende Quadraturformel: b a f(t)dt = b a M ( M f(a) + i=1 f(x i ) f(b) ) + R[f]. 5 / 29

6 Anwendung auf das Zielfunktional Die zusammengesetzte Trapezregel Das finite Differenzenverfahren Die Zielfunktion J(y, u) = 1 2 Ω y(x) y d (x) 2 dx + γ 2 u u d 2 U (4) lässt sich nun wie folgt diskretisieren und umschreiben: Da das Gebiet Ω = (0, 1) 2 ist, gilt h = 1/M. Sei nun y = (y 1,..., y M 1 ) y j = (y 1,j,..., y M 1,j ) y d = (y 1 d,..., ym 1 d ) y j d = (y d 1,j,..., y dm 1,j ) wobei y(ih, jh) = y ij ist. Das Verfahren lässt sich mit darstellen: Q = h 2 I (M 1) 2(Rand ist null!) J(y, u) = 1 2 (y y d) T Q(y y d ) + γ 2 (u u d) T (u u d ). (5) 6 / 29

7 Das finite Differenzenverfahren Die zusammengesetzte Trapezregel Das finite Differenzenverfahren Ersetze Ableitungen durch symmetrische Differenzen: Approximation der ersten Ableitung: y (t) = y(t + h) y(t h) 2h Approximation der zweiten Ableitung: y (t) = 1 h 2 ( y(t h) 2y(t) + y(t + h) ) + O(h 2 ). Der Laplaceoperator lässt sich dann wie folgt approximieren: ( y) ij 1 h 2 ( y i 1,j y i+1,j + 4y ij y i,j 1 y i,j+1 ). (6) Dabei sei y ij = y(ih, jh). 7 / 29

8 Die zusammengesetzte Trapezregel Das finite Differenzenverfahren Haben also Matrizen : B C C B C C B A laplace := R ( M 1) 2 (M B C C B C C B mit B = h und C = 1 h 2 I R M 1 M 8 / 29

9 Die zusammengesetzte Trapezregel Das finite Differenzenverfahren der Nebenbedingungen min J(y, u) = 1 (y,u) 2 (y y d) T Q(y y d ) + γ 2 (u u d) T (u u d ) (7a) unter der Nebenbedingung e(y, u) := Ay + H(y) Bu = 0 (7b) Dabei ist H : R (M 1)2 R (M 1)2 ; y y 3 und B = (b 1 (x),..., b L (x)) eine Gebietsteuerung auf den Teilgebieten Ω i mit b i (x) = χ Ωi ausgewertet an den Stützstellen und A = A laplace + a(x) mit a(x) aus der Nebenbedingung ebenfalls ausgewertet an den Stützstellen (Diagonalmatrix). 9 / 29

10 Lagrangefunktion des Systems Lagrangefunktion +p T (Ay + H(y) Bu), L(y, u, p) = 1 2 (y y d) T Q(y y d ) + γ 2 (u u d) T (u u d ) oder mit z := (y, u) R (M 1)2 R L und p R (M 1)2 kurz L(z, p) = J(z) + p T e(z). wobei J(z) = (y y d ) T Q(y y d ) + γ 2 (u u d) T (u u d ). Schreibe im Folgenden n := (M 1) 2 und m := L. 10 / 29

11 KKT-Bedingungen Die Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen L(z, p) = 0 führen zu folgendem Gleichungssystem: Q(y y d ) + (A + H (y)) T p = 0 γ(u u d ) B T = 0 (8) Ay + H(y) Bu = 0 beziehungsweise kompakt mit der Notation e (z) = (e y (z), e u (z)) R n (n+m) ( J(z) + e F (z, p) = L(z, p) = (z) T ) p! = 0. (9) e(z) wobei gilt e y (z) = A + H (y) und e u (z) = B. 11 / 29

12 Newton-Verfahren Newton-Verfahren Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens x k+1 := x k ((F (x k )) 1 F (x k ) Bei der praktischen Durchführung löst man das lineare System F (x k )d k = F (x k ) und setzt x k+1 = x k +d k, (k = 0, 1, 2,...). 12 / 29

13 Anwendung des Newton Verfahrens auf das KKT-System I Wende nun das Newton-Verfahren an, um das KKT-System (9) zu lösen. Die Jacobi-Matrix von F ist ( F (z, p) = 2 Lzz (z, p) e L(z, p) = (z) T ) e, (z) 0 wobei L zz (z, p) = ( ) ( Lyy (z, p) 0 Q + H = (y) T ) p 0. 0 L uu (z, p) 0 γ I R m 13 / 29

14 Es gilt also in jedem Newton-Schritt folgendes System zu lösen: ( ) 2 L(z k, p k z k ) p k = L(z k, p k ) (10a) mit dem Update ( ) ( ) ( ) z k+1 z k z k p k+1 = p k + p k (10b) 14 / 29

15 Umformulierung des KKT-Systems Multipliziere den Schritt des Newton-Systems aus: L zz (z k, p k ) z k + wird duch Kürzung zu e (z k ) T p k } {{ } =e (z k ) T (p k+1 p k ) e (z k ) z k = e(z k ) L zz (z k, p k ) z k + e (z k ) T p k+1 = J(z k ) e (z k ) z k = e(z k ) = J(z k ) e (z k ) T p k Setze nun µ k = p k+1 : ( Lzz (z k, p k ) e (z k ) T ) ( ) ( z k J e (z k ) 0 µ k = (z k ) ) e(z k. (11) ) 15 / 29

16 Definiere eine neue Lagrange-Funktion (diese hat quadratische From): L(z k, µ k ) := 1 2 ( zk ) T L zz (z k, p k ) z k + J(z k ) z k + µ k (e (z k ) z k + e(z k )), habe in (11) gerade die notwendige Bedingung erster Ordnung L(z k, µ k ) = 0 (12a) folgenden quadratischen Teilproblems darstellt: 1 min z k 2 ( zk ) T L zz (z k, p k ) z k + J(z k ) z k (12b) unter der Nebenbedingung e (z k ) z k + e(z k ) = 0, (12c) 16 / 29

17 In jedem Schritt werden quadratische Subprobleme gelöst Annahmen für die Lösbarkeit Die Jacobi-Matrix e (z k ) hat vollen Zeilenrang Die Matrix L zz (z k, p k ) ist positiv definit auf dem Kern von e (z k ),das heißt d T L zz (z k, p k )d > 0 für alle d 0 mit e (z k )d = / 29

18 SQP-Algorithmus Lokales SQP-Verfahren 1 Wähle geeignete Startwerte z 0 R n+m, p 0 R n, k 0 = 0 sowie k max N. 2 while (k k max ) berechne J k = J(z k ), J k = J(z k ), L k zz = L zz (z k, p k ), e k = e(z k ) e k = e(z k ); löse (12) für ( z k, µ k ) setze z k+1 = z k + z k sowie p k+1 = µ k. überprüfe, ob weitere Abbruchkriterien erfüllt sind. end 18 / 29

19 Lösung mit der Nullraum-Methode KKT-System Das zu lösende KKT-System aus (11) sieht folgendermaßen aus: ( Lzz (z k, p k ) e (z k ) T ) ( ) ( z J(z e (z k = k ) ) ) 0 p e(z k, ) wobei e (z k ) = (e y (z k ), e u (z k )) R n (n+m) und z = ( y, u) R n R m. 19 / 29

20 Lösung mit der Nullraum-Methode Suche eine Matrix Z kern(e (z)) mit Z T QZ 0 und Y so, dass [Y Z] regulär ist. Zerlege z = T z T + Z z z : Definiere ( ey (z) T (z) := 1 ) R (m+n) n (13) 0 und ( ey (z) Z(z) := 1 ) e u (z) I R m (14) 20 / 29

21 Es gelten folgende Eigenschaften: e (z)z(z) = 0 R n+m also ist Bild(Z) Kern(e (z)) e (z)t (z) = I R n Zerlegung von z: z = Z(z k ) u T (z k )e(z k ), löst zweite Gleichung im System. 21 / 29

22 Einsetzen in die erste Gleichung des Systems: L zz (z k, p k ) z + e (z k ) T p = J(z k ) führt mit Multiplikation mit Z(z k ) T von links zu Z(z k ) T L zz (z k, p k )Z(z k ) u + (e (z k )Z(z k )) T ( p = ) Z(z k ) T J(z k ) + L zz (z k, p k )T (z k )e(z k ) 22 / 29

23 Löse KKT-System mit der Nullraum-Methode: (i) Berechne u ( ) H k u = Z(z k ) T J(z k ) + L zz (z k, p k )T (z k )e(z k ) mit H k = Z(z k ) T L zz (z k, p k )Z(z k ) (ii) Setze für y x = Z(x k ) u T (z k )e(z k ) (iii) berechne p e (z k ) T p = J(z k ) L zz (z k, p k ) z 23 / 29

24 CG-Verfahren Es gilt Ax = b zu lösen mit A symmetrisch und positiv definit Gegeben: tol, x 0 Conjugated-gradient Verfahren initialisiere r 0 = b Ax 0, k = 0 und p 0 = r 0 while ( r tol) a k = (pk ) T r k (p k ) T Ap k x k+1 = x k + a k p k r k+1 = r k a k Ap k β k = (Apk ) T r k+1 (Ap k ) T p k p k+1 = r k+1 β k p k end 24 / 29

25 Anhang: Bilder Hier noch ein paar Bilder für verschiedende Funktionen y d und verschiedene Startwerte. Bei dem y d mit Störung sei erwähnt, dass die Anzahl der Iterationen natürlich von der zufälligen Störung abhängt, die jedes mal anders sein kann. 25 / 29

26 Hier ein sieht man ein y d mit einer Störung von 10 Prozent, welches ganz gut geglättet wird für entsprechende γ. 26 / 29

27 Hier sieht man schön das unterschiedliche Verhalten der Lösung mit unterschiedlichen γ für das y d mit Störung, besonders im Hinblick auf die Anzahl der Iterationen und die Lösung. 27 / 29

28 Wählt man y d als eine Art Treppenfunktion,so sieht man schön, wie der Laplace-Operator der PDGL das ganze glättet und rund macht. Ebenfalls erkennt man gut den Einfluss der Steuerung. Jedoch ist hier die Größenordung der Lösung stark abhängig von γ. 28 / 29

29 Danke für die Aufmerksamkeit! 29 / 29

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