D. Plappert Die Strukturgleichheit verschiedener physikalischer Gebiete gezeigt am Beispiel Hydraulik-Elektrizitätslehre

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "D. Plappert Die Strukturgleichheit verschiedener physikalischer Gebiete gezeigt am Beispiel Hydraulik-Elektrizitätslehre"

Transkript

1 D. Plappert De Strukturglechhet verschedeer physkalscher Gebete gezegt am Bespel Hydraulk-Elektrztätslehre Erschee Kozepte ees zetgemäße Physkuterrchts, Heft 3, Schroedel Verlag 979. Eletug De megeartge Größe bem Aufbau der Physk ee fudametale Rolle zuzuschrebe, rechtfertgt sch aus zwe Grüde: Efachhet ud physkalsche Tragfähgket deser Größe als fudametale Begrffe. De Efachhet wurde dem m drtte Aufsatz vorgestellte Physkkurs für Afäger deutlch. Das Zel der letzte Aufsätze deses Heftes st es vor allem, de Tragfähgket zu demostrere. De de Rolle vo Eergeträger spelede megeartge Größe behalte cht ur für Fortgeschrttee hre Bedeutug, soder sd auch weterführede Physkkurse vo ddaktschem Vortel. De ächste ver Aufsätze beschräke sch darauf zu zege, dass ud we sch ege Gebete der Physk de dyamsche Aufbau efüge, ämlch de Hydraulk, de Mechak rotereder starrer Körper, de Wärmelehre ud de Newtosche Axome mt hre Folgeruge. Vo besoderem ddaktsche Gewcht st dabe, dass de dyamsche Beschrebug vo Vorgäge alle Gebete deselbe st, da de Grudregel uabhägg sd vo der Art der betrachtete Vorgäge. De Elektrztätslehre spelt de Aufsätze ee bevorzugte Rolle. Das legt dara, dass se tradtoell das ezge Gebet der Physk st, dem vo Afag a ee megeartge Größe ud hr Strom m Vordergrud stehe. Ihre gewohte Darstellug uterschedet sch daher kaum vo der her vorgeschlagee dyamsche Aufbauwese. Außerdem st de elektrsche Ladug e Bespel dafür, dass ee abstrakte Größe für de Schüler sehr schell ee klare Aschaulchket gewe ka. Als erstes Bespel betrachte wr de Aaloge zwsche Elektrztätslehre ud Hydraulk. De vo Eergetrasporte mt Hlfe kompressbler Flüssgkete hadelde Hydraulk hat de letzte Jahrzehte erheblch a techscher Bedeutug gewoe. Baumasche, ladwrtschaftlche Masche, Lokomotve, hydraulsche Kuppluge ud Getrebe mache vo hydraulsche Vorgäge Gebrauch. De Hydraulk sollte deshalb eem modere Physkkurs cht fehle. Normalerwese werde zwar Wasserströme behadelt, aber ur, um de Begrffe elektrsche Stromstärke ud elektrsche Spaug zu veraschaulche. We der Wasserstromkres dabe als e verefachtes Modell des elektrsche Stromkreses erschet, wrd dem Schüler mest cht klar, ob es sch um ee erstzuehmede Aaloge zwsche elektrschem Strom ud Wasserstrom hadelt oder um ee Zufällgket. Wohl de selteste Fälle wrd er gewahr, dass es dabe um ee wetrechede physkalsche Gemesamket aller Ströme geht.. Aaloge zwsche physkalsche Systeme Vo eer Aaloge zwsche physkalsche Systeme sprcht ma da, we sch de physkalsche Größe ees Systems auf de ees adere Systems so abblde lasse, dass charakterstsche Bezehuge der Größe erhalte blebe. Der efachste Fall eer solche Aaloge st der zwsche Systeme, de de gleche Azahl uabhägger Eergeträger habe, sch aber eer ezge Träger-Größe uterschede. Das erste System habe de Größe X das zwete de davo verschedee Größe X, währed X, X 3,... bede Systeme deselbe Größe see. De bede Systeme heße da aalog, we be der Ersetzug vo X durch X, jede Bezehug zwsche X ud de dyamsche Größe des erste Systems ee rchtge Bezehug des zwete Systems übergeht. Es st klar, dass ud we deser Typ vo Aaloge auf Systeme fortgesetzt werde ka, de sch mehr als eem Eergeträger uterschede. Darauf äher ezugehe, erübrgt sch. 3. De Aaloge zwsche elektrscher Ladug ud Mege De Aaloge zwsche Elektrztätslehre ud Hydraulk beruht darauf, dass de elektrsche Ladug auf de Mege abgebldet wrd. Im Afägeru- 59

2 terrcht habe wr de Flüssgket selbst als Eergeträger bezechet, cht ee megeartge physkalsche Größe. Das war jedoch ur e Zugestäds a de Afäger. Flüssgkete sd we alle Stoffe Systeme, das heßt gaze Büdel mege-artger Größe. Strömedes Wasser stellt ee Impulsstrom, ee Massestrom, ee Mege-strom, ee Etropestrom dar. Jeder deser Ströme trägt Eerge ach Maßgabe sees Beladugsfaktors. Der gesamte vom Wasser getragee Eergestrom st also de Summe der durch de ezele Träger getragee Eergeströme. Im allgemee wrd es u so se, dass uter de Eergeströme eer oder zwe domere. Im Fall der Hydraulk st der domerede Eergestrom derjege, der vom Megestrom getrage wrd, also der Eergestrom µ I. Um zu zege, dass de Mege der domerede Eergeträger für de Hydraulk st, betrachte wr ee typsche Eergequelle der Hydraulk, ämlch de Wasserpumpe. Der für de Eergetrasport etschedede Eergeträger st derjege, desse Beladugsfaktor bem Durchgag durch de Pumpe de größte Äderug erfährt. De Temperatur T des Wassers, der Beladugsfaktor des Etropestroms, ädert sch bem Durchströme der Pumpe cht. Dasselbe glt für de Geschwdgket v des Wassers, de Beladugsfaktor des Impulses. Etrope ud Impuls komme daher als Eergeträger cht Betracht. Auch de Masse m des Wassers schedet als Eergeträger aus, da Pumpe auch horzotal betrebe werde köe, so dass der Beladugsfaktor der Masse, das Gravtatospotezal a Aus- ud Egag der Pumpe deselbe Wert hat. Übrg blebt der Beladugsfaktor des Megestroms, das chemsche Potezal µ des Wassers. Tatsächlch ädert sch der Wert des chemsche Potezals bem Durchgag durch de Pumpe. Das st a der Äderug des Drucks erkebar. Chemsches Potezal ud Druck häge be kostater Temperatur für kompressble Flüssgkete ämlch folgedermaße zusamme µ = p. ˆ () Ädert sch be eer kompressble Flüssgket der Druck um p, währed de Temperatur T kostat blebt, so ädert sch das chemsche Potezal um p, wobe ˆ = de Megedchte st. Für de Leser, dem dese Bezehug ˆ V cht vertraut st, se hgewese auf de Artkel vo W. Stößel ud F. Herrma Heft der Rehe Kozepte ees zetgemäße Physkuterrchts. De Abbldug der elektrsche Ladug auf de Mege hat de Abbldug des elektrsche Potezals φ auf das chemsche Potezal µ zur Folge, so dass für de Aaloge zwsche Elektrztätslehre ud Hydraulk glt:, φ µ. Im Gegesatz zur elektrsche Ladug glt zwar für de Mege ke allgemeer Erhaltugssatz, be de der Hydraulk betrachtete Megeströme st de Mege jedoch ee Erhaltugsgröße. I der Hydraulk glt also ee Kotutätsglechug ud folgedesse we der Elektrztätslehre der. Krchhoffsche Satz: De Summe der Ströme, de eem Kote ees elektrsche bzw. hydraulsche Netzes zusammefleße, hat de Wert Null. Da sch elektrsches ud chemsches Potezal etspreche, glt auch der. Krchhoffsche Satz: De Summe der elektrsche Spauge bzw. der Dffereze des chemsche Potezals jeder Masche ees elektrsche bzw. hydraulsche Netzes, hat de Wert Null. I der Pumpe wrd also der de Pumpe durchfleßede Megestrom I mt Eerge belade, gemäß I E = µ I. Dabe st µ de Dfferez des chemsche Potezals des Wassers zwsche Eud Ausgag der Pumpe. Dese Glechug st aalog der Bezehug für de elektrsche Eergestrom I E = φ I = U I. Se gbt a, we vel Eerge auf de elektrsche Strom I gelade wrd, der ee elektrsche Eergequelle durchfleßt, oder we vel Eerge der Strom ablädt, we er ee Eergeempfäger durchfleßt. De Dfferez des elektrsche Potezals φ st de Dfferez der Beladugsfaktors des elektrsche Stroms vo E- ud Ausgag. Für Elektrztätslehre ud Hydraulk gelte also de aaloge Bezehuge I E = φ I I E = µ I () We Gl. () zegt, bedeute Druckäderuge Äderuge des chemsche Potezals. Setzt ma Gl. () Gl. () e, so läßt sch der vom Strom eer kompressble Flüssgket getragee Eergestrom schrebe Da I ṋ I E = p ˆ I de Dmeso der Größe Volume (3) pro Zet" hat, sprcht ma herkömmlch velfach ger vo Volumestrom". Dese Sprechwese st jedoch mehr verwrred als hlfrech, da es zum Volume kee Strom gbt (vgl. de Aufsatz vo G. Falk).

3 4. Stromschemata.Mt de m physkalsche Afägeruterrcht egerührte Schemata für Eergeumlader ud Eergespecher wolle wr m folgede kapper Form ege typsche aaloge Systeme darstelle. Eergeumlader Abb. l zegt de Schemata der Eergeumlader Dyamo ud Pumpe. Bede lade Eerge ab vom Drehmpuls. E weteres Bespel für aaloge Eergeumlader sd Elektromotor ud Turbe. Bede lade Eerge a u f de Drehmpuls. 5. Wderstad I der Elektrztätslehre st der Wderstad R ees Systems defert durch R = U/I. Dabe st I de Stärke des Stroms, der durch das System fleßt, ud U = φ de Dfferez des elektrsche Potezals zwsche E- ud Ausgag des Systems. Etspreched wrd der Wderstad R der Hydraulk defert durch R = µ/i, wobe I der durch das System fleßede Megestrom ud µ de Dfferez des chemsche Potezals zwsche dem das System hefleßede ud aus dem System herausfleßede Megestrom st. Es besteht also de Aaloge R = U I R = µ I (4) Setzt ma Gl. (4) Gl. () e. so erhält ma I E =R I I E =R I (5) Abb. Schemata der Eergeumlader Dyamo ud Pumpe. Bede lade Eerge ab vom Drehmpuls. Abb. Schemata der Eergespecher Akkumulator ud Wasserturm Eergespecher Abb. zegt de Schemata der Eergespecher Akkumulator ud Wasserturm. Es se darauf hgewese, dass cht we vele Schulbücher dargestellt, der Akku das Aalogo der Wasserpumpe st, soder dass a u f der ee Sete de Eergeumlader Dyamo ud Pumpe, a u f der adere de Eergespecher Akku ud Wasserturm eader etspreche. I Abschtt 8 wrd e Wasserakku" vorgestellt, der dem elektrsche Akku bs vele Detals ähelt Ist der Wderstad ees Systems uabhägg vo der Stromstärke, also U proportoal zu I bzw. µ proportoal zu I, so sprcht ma vo eem Ohmsche Wderstad. Bespele für Systeme mt Ohmschem Wderstad sd der Elektrztätslehre Metalldrähte, der Hydraulk Rohre, dee de Flüssgket lamar strömt. Für se glt das Hage- Poseullesche Gesetz: 8πη l µ = ˆ A I l = (6) A ρ Dabe sd η de Zähgket, ˆ de Megedch- te der Flüssgket, l de Läge ud A der uerschtt des Rohres. Für de Wderstad vo Metalldrähte bzw. Rohre glt l l R = ρ R = ρ (7) A A Dese Ausdrücke habe ee ählche Gestalt. Bede Wderstäde sd proportoal der Läge l. De verschedee Abhäggket vo der uerschttsfläche A ka folgedermaße verstade werde: Der etropeerzeugede Effekt bem Fleße des elektrsche Stromes durch de Metalldraht st über de gaze uerschtt des Drahtes glechmäßg vertelt. De Wasserströmug hgege erfährt Rebug hauptsächlch der Umgebug der Rohrwadug. Würde das Wasserrohr mt Sad gefüllt, so würde der Rebugseffekt glechmäßg auf de gaze uerschttsfläche 6

4 des Rohres vertelt, der Wderstad des Rohres wäre da, we m elektrsche Fall, umgekehrt proportoal der uerschttsfläche A. De spezfsche Wderstäde ρ ud ρ äder sch mt der Temperatur. Der spezfsche Wderstad ρ wächst mt stegeder Temperatur, der spezfsche Wderstad ρ mmt dagege ab, da de Zähgket der meste Flüssgkete be stegeder Temperatur skt. Der Wderstad der meste Systeme st cht uabhägg vo der Stromstärke. Für solche Systeme ka der Zusammehag zwsche Dfferez des Beladugsfaktors ud Stromstärke cht durch ee ezge Zahl beschrebe werde. Er wrd üblcherwese durch U-I - bzw. µ-i -Kele dargestellt. Abb. 3 zegt stellvertreted je e Bespel eer solche Kele. soder auf dem mt dem elektrsche Strom verküpfte Magetfeld, dem Eerge gespechert st. Wrd de Stärke des elektrsche Stroms vergrößert, muss se Magetfeld ud damt desse Eerge vergrößert werde. Dese Eerge lefert der elektrsche Strom. Währed er zummt, spürt er deshalb ee zusätzlche Wderstad. Umgekehrt spürt der Strom bem Verrger der Stromstärke ee zusätzlche Atreb. Aaloges glt für Stoffströme: E Flüssgketsstrom besteht aus eem Megestrom ud eem Impulsstrom, der glech (Impuls pro Mege) x Megestrom st. Wrd de Stärke des Megestroms, der durch e Rohr fleßt, dadurch vergrößert, dass de Geschwdgket der Flüssgket vergrößert wrd, so ädert sch de ketsche Eerge der Flüssgket. Der Megestrom spürt deshalb bem Vergrößer seer Stromstärke ee zusätzlche Wderstad. Umgekehrt muss bem Verkleer der Stärke des Megestroms de der Flüssgket gespecherte Eerge verkleert werde, der Megestrom spürt deshalb ee zusätzlche Atreb. De magetsche Eerge eer elektrsche Letug st also aalog der ketsche Eerge der Flüssgket eer hydraulsche Letug. Formelmäßg lässt sch de Träghet beder Ströme durch folgede Glechuge ausdrücke: U=-L I µ=-l I (8) Abb.: Kele eer Dode (a) ud ees hydraulsche Sperrvetls (b) 6. Idukto Das Phäome der Idukto ees Stromkreses gbt es sowohl der Elektrztätslehre als auch der Hydraulk: Wasserstrom ud elektrscher Strom bestze ee gewsse Träghet gegeüber Äderuge hrer Stromstärke. De sch als Träghet äußerde elektrsche Idukto beruht cht auf der mechasche Träghet der Ladugsträger, 6 Wrd a eer elektrsche Letug de elektrsche Spaug U bzw. a eer hydraulsche Letug de chemsche Potezaldfferez µ agelegt, so wächst der durch de Letug fleßede Strom um so scheller a, je kleer de Iduktvtät L der Letug st. Der (8) behauptete Zusammehag zwsche µ ud I läßt sch, we wr her cht ausführe wolle, aus der Eulersche Glechug für kompressble Flüssgkete herlete. Bem Uterbreche des Stromkreses verhalte sch elektrscher Strom ud Wasserstrom aalog. Wrd der Stromkres uterbroche, so trebt de m elektromagetsche Feld, bzw. de der Flüssgket gespecherte Eerge de Strom a. A der Uterbrechugsstelle köe dadurch so hohe Werte der elektrsche Spaug bzw. des chemsche Potezals ud damt des Drucks etstehe, dass Fuke übersprge bzw. de Rohre platze. Um bem Abschalte großer Ströme zu große Werte der elektrsche Spaug bzw. zu große Werte des Drucks zu vermede, werde bede Fälle de Schalter Kodesatore parallel geschaltet. Abb. 4 zegt e Bespel aus der Hydraulk.

5 Abb. 4 Um bem Abschalte ees Wasserkraftwerks mt lager Zuletug zu große Druckstoße zu vermede, wrd vor der Fallstrecke e hydraulscher Kodesator, das sogeate Wasserschloss egebaut. Das st das hydraulsche Aaloge der Etstörug elektrscher Uterbrecherkotakte mt Hlfe vo Kodesatore 7. Kodesator ud Spule Kodesator ud Spule blde erhalb der Elektrztätslehre aaloge Systeme. Das seht ma am efachste e, we ma Spaug ud Strom aufeader abbldet. De eem Kodesator ud eer Spule gespecherte Eerge hägt ämlch mt der elektrsche Spaug U bzw. der elektrsche Stromstärke I zusamme gemäß E E (9) = Specher CU Specher = L I Dabe sd C de Kapaztät ud U de Spaug des Kodesators, L de Iduktvtät ud I de Stärke des elektrsche Stroms durch de Spule. De Gl. (9) gelte ur für Systeme, dere Kapazt ä t C cht vo der Spaug U bzw. dere Iduktvtät L cht vo der Stromstärke I abhäge. Vertauscht ma Spaug U ud elektrsche Stromstärke I sowe Kapaztät ud Iduktvtät, wrd aus dem Kodesator ee Spule, aus der Spule e Kodesator. E aus Kodesator ud Spule besteheder Schwgkres geht be der Aaloge somt sch über. Da Kodesator ud Spule Aaloga der Hydraulk habe, besteht de Korrespodez (9) auch zwsche de hydraulsche Aaloga vo Kodesator ud Spule: E =. (0) ESpecher = C µ Specher L I Dabe bedeute C, de Kapaztät ees hydraulsche Kodesators, µ de chemsche Potezaldfferez zwsche see Platte". Etspreched st L de Iduktvtät eer hydraulsche Spule" ud I der Megestrom, der se durchfleßt. De Gl. (0) gelte we (9) für alle Systeme, dere Kapaztät C cht vo der chemsche Potezaldfferez ud dere Iduktvtät L cht vo der Stärke des Megestroms I abhäge. E vertrautes Bespel ees hydraulsche Kodesators st das Pumpspecherwerk. See bede Platte" werde vom obere ud utere Wasserreservor gebldet. Ee hydraulsche Spule" st jeder Wasserschlauch. See Iduktvtät L erhält ma gemäß Gl. (0) aus der ketsche Eerge der Flüssgket, de sch m Schlauch befdet: ml ˆ L = () A ˆ Dabe sd mˆ, ˆ Massedchte ud Mege- dchte der Flüssgket, l de Läge ud A 0 de uerschttsfläche des Schlauchs. We Gl. () zegt, hägt de Iduktvtät ees hydraulsche Leters, m Gegesatz, zur Iduktvtät ees elektrsche Leters, cht davo ab, ob der Leter räumlch gestreckt oder zu eer Spule gewckelt st. Der Grud herfür st. dass de Eerge bem elektrsche Leter m magetsche Feld gespechert st, bem hydraulsche Leter dagege der Flüssgket. Hydraulscher Kodesator ud hydraulsche Spule köe, we m elektrsche Fall, ee Schwgkres blde. E Bespel st e mt Wasser gefülltes U-Rohr: De bede wassergefüllte Schekel stelle ee hydraulsche Kodesator dar, glechzetg aber auch ee hydraulsche Spule, da das wassergefüllte Rohr, we jeder hydraulsche Leter, ee Iduktvtät hat. Für das Parallel- ud Htereaderschalte vo Kodesatore gelte der Elektrztätslehre we der Hydraulk deselbe Regel: Htereaderschalte: =, L gesamt = L.() C gesamt C Parallelschalte: C gesamt = C, = L gesamt L (3) De Kodesatore der Elektrztätslehre we der Hydraulk habe ee uedlch große Wderstad für Glechstrom. Ihr Wechselstromwderstad dagege beträgt für ee Wechselstrom der Frequez ω: R = R =. ω C ω C 0,

6 Auch de Wechselstromwderstade für elektrsche ud hydraulsche Spule sd aalog: R = ω L R = ω L (5) Elektrsche ud hydraulsche Kodesatore we Spule verhalte sch aalog, we se über ee Ohmsche Wderstad etlade werde. Spaug we Stromstärke ehme dabe expoetell ab. De charakterstsche Abklgzete betrage: Für Kodesatore τ = R C τ = R C für Spule L = R τ τ = L R Hydraulsche Letuge habe we elektrsche Letuge ee gewsse Kapaztät ud Iduktvtät. De Kapaztät eer hydraulsche Letug wrd bestmmt durch de Elastztät des Rohres ud der Kompressbltät der Flüssgket, hre Iduktvtät durch de molare Masse der Flüssgket, dem uerschtt ud der Läge des Rohres. 8. Akkumulator Für vele Aweduge st es wüscheswert. Eergespecher zu habe, dere Beladugsfaktore uabhägg sd vo der m Specher ethaltee Eerge. Abb.5 Der Zusammehag zwsche der Leerlaufspaug U ud der elektrsche Ladugsmege, vo der Eerge eem Akkumulator abgelade wurde We Abb. 5 zegt, st der Akkumulator e Eergespecher, desse Leerlaufspaug wetgehed uabhägg st vo der hm gespecherte Eerge. De Kostaz der Leerlaufspaug beruht auf eem chemsche Glechgewcht m Akku. Zumdest Gedake läßt sch e Wasserakku" kostruere, desse chemsches Potezal ebefalls 64 (6) (7) durch e chemsches Glechgewcht kostat gehalte wrd. Abb. 6 zegt de schematsche Aufbau ees solche Akkus. Abb. 6 Wasserakku": Es besteht ee chemsche Potezaldfferez des Wassers zwsche dem Gefäß, dem sch rees Wasser befdet, ud dem Gefäß, dem Zucker m Wasser gelöst st. Mt deser chemsche Potezaldfferez lässt sch ee Turbe betrebe. Der Wasserakku ähelt eer Pfeffersche Osmosezelle. I Gefäß l befdet sch rees Wasser, ee gesättgte Zuckerlösug mt festem Zucker als Bodekörper. Gefäß wrd durch ee sempermeable Membra vo Gefäß l getret, de ur Wasser, cht aber Zucker passere lässt. Das chemsche Potezal des ree Wassers st größer als das des Wassers, dem Zucker gelöst st. Ifolgedesse besteht zwsche de Gefäße l ud e Utersched des chemsche Potezals des Wassers. Dese Dfferez der chemsche Potezale führt zu eem Wasserstrom vo l ach, we de bede Gefäße durch e Rohr verbude werde. Um de Zuckerkozetrato auch be zuströmedem Wasser kostat zu halte, befdet sch als Bodekörper fester Zucker. Verrgert sch ämlch de Zuckerkozetrato der Zuckerlösug, so geht so lage Zucker Lösug, bs de Sättgugskozetrato des Zuckers wederhergestellt st. Das Glechgewcht zwsche festem ud gelöstem Zucker sorgt also dafür, dass de Dfferez µ des chemsche Potezals des Wassers zwsche l ud kostat gehalte wrd. Ist der gesamte Bodesatz gelöst,..brcht" de Potezaldfferez µ des Wassers zusamme, der Akku st leer. Mt desem Wasserakku köte ee Turbe betrebe werde. Ist er leer, köte er dadurch gelade werde, dass de Turbe als Pumpe betrebe wrd, de Wasser vo ach l pumpt. Da strömt rees Wasser vo ach l, währed der Zucker vo der Membra zurückgehalte wrd. De Zuckerkozetrato blebt dabe kostat, es fällt Zucker fester Form aus. Deser Wasserakku st ur e Gedakemodell, de de

7 hm ee wchtge Rolle spelede Dffusosvorgäge laufe für reale Expermete vel zu lagsam ab. 9. Trasformatore Für elektrsche Strom ud Wasserstrom gbt es Systeme, de Beladugsfaktor ud Eergeträgerstromstärke so äder. dass hr Produkt kostat, der Eergestrom also uverädert blebt. I der Elektrztätslehre heße solche Systeme Trasformatore oder Umformer, der Hydraulk Getrebe. Abb. 7 zegt verschedee Trasformatore der Elektrztätslehre. Abb. 8 solche der Hydraulk. Abb.8 Hydraulsche Trasformatore. Obe: Mt Turbe des Prmarkreses wrd de Kreselpumpe des Sekudarkreses agetrebe. Ute: Zwe Kolbe mt verschedee uerschttsfläche Prmär- ud Sekudärkreslauf sd starr mteader verbude. Her mag och e Bespel zege, dass de Aaloge zwsche Elektrztätslehre ud Hydraulk auch zum Verstäds praktscher Frage ützlch st. Abb. 7 Elektrsche Trasformatore: (a) zegt ee Trasformator für Glechstrom, ee sogeate Umformer, der aus eem Motor ud eem Dyamo besteht, (b) zegt ee magetsche Trasformator ud (c) ee Trasformator, der aus ver Kodesatorplatte besteht. De Kodesatorplatte des Sekudärkreses befde sch zwsche dee des Prmärkreses. Wr betrachte dazu das Problem, elektrsche we auch hydraulsche Übertraguge vo Eerge m Hblck auf Verluste zu optmere. Um de Strömugsverluste" möglchst gerg zu halte, legt es gemäß Gl. (5) ahe, de Trägerstrom möglchst kle zu mache, demgemäss de Spaug bzw. de chemsche Potezaldfferez ud damt de Druck möglchst hoch. Damt trtt jedoch be zuehmeder Spaug bzw. zuehmedem Druck der Udchtgket" der Übertragugsletug ee adere Verlustquelle Kokurrez mt de Strömugsverluste. Im elektrsche Fall äußert se sch als Sprühetladug bzw. Überschlag, der Hydraulk dagege wörtlch als Udchtgket oder Afällgket der Letug gege Brüche. Ma wrd also de Spaug bzw. de Druck gerade so wähle, dass de Summe der bede Verlustquelle möglchst kle st. 65

Sitzplatzreservierungsproblem

Sitzplatzreservierungsproblem tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche

Mehr

Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik

Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik Prof. Dr. Ig. Post Grudlage der Eergetechk Eergewrtschaft Kosterechug EEG. Vorlesug EEG Grudlage der Eergetechk De elektrsche Eergetechk st e sogeates klasssches Fach. Folglch st deses Fach vele detallert

Mehr

Ordnungsstatistiken und Quantile

Ordnungsstatistiken und Quantile KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der

Mehr

Im Wöhlerdiagramm wird die Lebensdauer (Lastwechsel oder Laufzeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von der Belastung dargestellt.

Im Wöhlerdiagramm wird die Lebensdauer (Lastwechsel oder Laufzeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von der Belastung dargestellt. Webull & Wöhler 0 CRGRAPH Wöhlerdagramm Im Wöhlerdagramm wrd de Lebesdauer ( oder Laufzet) ees Bautels Abhägget vo der Belastug dargestellt. Kurzetfestget Beaspruchug Zetfestget auerfestget 0 5 3 4 6 0

Mehr

Leitfaden zu den Indexkennzahlen der Deutschen Börse

Leitfaden zu den Indexkennzahlen der Deutschen Börse Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Verso.5 Deutsche Börse AG Verso.5 Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Page Allgemee Iformato Um de hohe Qualtät der vo der Deutsche Börse AG berechete

Mehr

Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung

Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung Formelsmmlug zur Zuverlässgetsberechug zusmmegestellt vo Tt Lge Fchhochschule Merseburg Fchberech Eletrotech Ihlt:. Zuverlässget vo Betrchtugsehete.... Zuverlässget elemetrer, chtreprerbrer ysteme... 3.

Mehr

Unter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung

Unter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung 8 Aweduge aus der Fazmathematk Perodsche Zahluge: Rete ud Leasg Uter eer Rete versteht ma ee regelmässge ud kostate Zahlug Bespele: moatlche Krakekassepräme, moatlche Altersrete, perodsches Spare, verteljährlcher

Mehr

Grundgesetze der BOOLEschen Algebra und Rechenregeln

Grundgesetze der BOOLEschen Algebra und Rechenregeln 5... Grudgesetze der BOOLEsche Algebra ud Recheregel Auf de mathematsch korrekte Eführug der BOOLEsche Algebra ka ch verzchte, da das Ihrer Mathematkausbldug ausführlch behadelt wrd. Ich stelle Ihe zuächst

Mehr

Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Bedgte Wahrschelchket

Mehr

Eigenwerteinschließungen I

Eigenwerteinschließungen I auptsemar: Numersche Lösuge für Egewertaufgabe Egewerteschleßuge I Referet: Wolfgag Wesselsky Glederug Eletug Kodto vo Egewerte 3 Eschleßugssätze Bauer-Fke, Gershgor, Wlkso, Bedxo 4 Zusatz: Courat / Weyl

Mehr

Wenn man mehrere Verbraucher in Reihe schaltet, so werden alle vom gleichen Strom durchflossen, siehe auch Abschnitt und Formel ( ).

Wenn man mehrere Verbraucher in Reihe schaltet, so werden alle vom gleichen Strom durchflossen, siehe auch Abschnitt und Formel ( ). - rudlage der Elektrotechk - 60 22..04 4 Der komplzertere elektrsche lechstromkres 4. Kombato vo Verbraucher 4.. Sere- oder eheschaltug vo Wderstäde We ma mehrere Verbraucher ehe schaltet, so werde alle

Mehr

(Markowitz-Portfoliotheorie)

(Markowitz-Portfoliotheorie) Thema : ortfolo-selekto ud m-s-rzp (Markowtz-ortfolotheore) Beurtelugskrtere be quadratscher Nutzefukto: Beroull-rzp + quadratsche Nutzefukto Thema Höhekompoete: Erwartugswert µ Rskokompoete: Stadardabwechug

Mehr

Konzentrationsanalyse

Konzentrationsanalyse Kaptel V Kozetratosaalyse B. 5.. Im Allgemee wrd aus statstscher Scht zwsche - absoluter ud - relatver Kozetrato uterschede Der absolute ud relatve Aspekt wrd och emal utertelt - statscher ud - dyamscher

Mehr

Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes

Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes. Redudaz. Eführug. Defto der Redudaz. allgemee Redudazredukto. redudazsparede Codes. Coderug ach Shao. Coderug ach Fao. Coderug ach Huffma.4 Coderug

Mehr

Stoffwerte von Flüssigkeiten. Oberflächenspannung (PHYWE)

Stoffwerte von Flüssigkeiten. Oberflächenspannung (PHYWE) Stoffwerte vo Flüssgkete Oberflächespaug (PHYWE) Zel des Versuches st, de Platzbedarf ees Ethaol-Moleküls der Grezfläche zwsche Dapfphase ud Lösug aus der Kozetratosabhäggket der Oberflächespaug be wässrge

Mehr

Einführung Fehlerrechnung

Einführung Fehlerrechnung IV Eführug Fehlerrechug Fehlerrechuge werde durchgeführt, um de Vertraueswürdgket vo Meßergebsse beurtele zu köe. Uter dem Fehler eer Messug versteht ma de Abwechug ees Meßergebsses vom (grudsätzlch ubekate

Mehr

Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.

Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung. Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 06.0.008 Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche,

Mehr

14. Folgen und Reihen, Grenzwerte

14. Folgen und Reihen, Grenzwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Ee Folge defere Defere de Folge (a ) Õ mt a =+: Eplzte Defto *+ a() Doe 3, falls = Rekursve Defto Defere de Folge (b ) Õ, b = : b + sost whe(=,

Mehr

2.2 Rangkorrelation nach Spearman

2.2 Rangkorrelation nach Spearman . Ragkorrelato ach Spearma Wr wolle desem Kaptel de Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma bereche. De erste Daterehe besteht aus Realseruge x, x,..., x der uabhägg ud detsch stetg vertelte Zufallsvarable

Mehr

die Schadenhöhe ( = Risikoergebnis) des i-ten Versicherungsnehmers i 1,, n).

die Schadenhöhe ( = Risikoergebnis) des i-ten Versicherungsnehmers i 1,, n). Aufgabe Wr betrachte ee Reteverscherug der Retebezugszet mt jährlch vorschüssger Retezahlug solage der Verscherte lebt. a) Bezeche V bzw. V de rechugsmäßge Deckugsrückstellug am Afag bzw. am Ede des Verscherugsjahres.

Mehr

Entladung Wanderung Entladung Wanderung H + --- Q -t - F OH - - F. Q --- +t - F

Entladung Wanderung Entladung Wanderung H + --- Q -t - F OH - - F. Q --- +t - F B - - Überführgszahle d Wadergsgeschwdgke fgabe: Besmmg der orfsche Überführgszahle vo - d O - -oe 0N O oder vo 2 - d SO 4 -oe 0N 2SO 4 d Berechg hrer oeäqvalelefähgkee 2 Besmmg der Wadergsgeschwdgkee

Mehr

Die Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Schadenversicherung

Die Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Schadenversicherung De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg Für da Modell eer Schadevercherg e gegebe: = Schade ee Verchergehmer, we der Schadefall etrtt w = Wahrchelchket dafür, da der Schadefall etrtt

Mehr

2. Die Elementarereignisse sind die Kombinationsmöglichkeiten von: Wappen = W und:

2. Die Elementarereignisse sind die Kombinationsmöglichkeiten von: Wappen = W und: 1 L - Hausaufgabe Nr. 55 Sotag, 1. Ju 2003 Ee Müze werde dremal geworfe. Was st das Zufallsexpermet, das Elemetareregs, das zusammegesetzte Eregs, der Eregsraum ud de Wahrschelchket? Lösugs kte.: 1 De

Mehr

Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft

Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft Quattatve BWL. el: Fazwtschaft Mag. oáš Sedlačk Lehstuhl fü Fazdestlestuge Uvestät We Quattatve BWL: Fazwtschaft Ogasatosches Isgesat wd es 6 ee gebe (5 Ehete + Klausu Klausu fdet a D 7. Jaua 009 statt

Mehr

4. Marshallsche Nachfragefunktionen Frage: Wie hängt die Nachfrage nach Gütern

4. Marshallsche Nachfragefunktionen Frage: Wie hängt die Nachfrage nach Gütern Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 4. Marshallsche Nachfragefuktoe Frage:

Mehr

2 Regression, Korrelation und Kontingenz

2 Regression, Korrelation und Kontingenz Regresso, Korrelato ud Kotgez I desem Kaptel lerst du de Zusammehag zwsche verschedee Merkmale durch Grafke zu beschrebe, Maßzahle ür de Stärke des Zusammehags zu bereche ud dese zu terpretere, das Wsse

Mehr

Zahlensysteme. Dezimalsystem. Binär- oder Dualsystem. Hexadezimal- oder Sedezimalzahlen

Zahlensysteme. Dezimalsystem. Binär- oder Dualsystem. Hexadezimal- oder Sedezimalzahlen IT Zahlesysteme Zahledarstellug eem Stellewertcode (jede Stelle hat ee bestmmte Wert) Def. Code: Edeutge Abbldugsvorschrft für de Abbldug ees Zeche-Vorrates eem adere Zechevorrat. Dezmalsystem De Bass

Mehr

1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen. 1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen

1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen. 1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen .. Jährlche Retezahluge... Vorschüssge Retezahluge Ausgagspukt: Über ee edlche Zetraum wrd aus eem Kaptal (Retebarwert v, ), das zseszslch agelegt st, jewels zu Beg ees Jahres ee bestmmte Reterate ř gezahlt

Mehr

Aufgaben. 1. Gegeben seien folgende Daten einer statistischen Erhebung, bereits nach Größe sortiert (Rangliste):

Aufgaben. 1. Gegeben seien folgende Daten einer statistischen Erhebung, bereits nach Größe sortiert (Rangliste): Aufgabe. Gegebe see folgede Date eer statstsche Erhebug, berets ach Größe sortert (Raglste): 0 3 4 4 5 6 7 7 8 8 8 9 9 0 0 0 0 0 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 30 Erstelle Se ee Tabelle, der de Merkmalsauspräguge

Mehr

BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS

BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS Name: Vorame: Matrkel-Nr.: BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS Itegrerter Studegag Wrtshaftswsseshaft Klausuraufgabe zur Hauptprüfug Prüfugsgebet: BWW 2.8

Mehr

Physikalische Chemie T Fos

Physikalische Chemie T Fos Physkalsche Cheme T Fos ISCHPHSEN.... ZUSENSETZUNG VO ISCHPHSEN.... EXTENSIVE - UND INTENSIVE GRÖßEN... 4.. Partelles olvolume V m... 7.3 DS ROULTSCHE GESETZ... 0.4 KOLLIGTIVE EIGENSCHFTEN....4. De Sedeuktserhöhug...

Mehr

Lösungen zu Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen, Bedingte Wkt, Unabhängigkeit, Satz von Bayes

Lösungen zu Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen, Bedingte Wkt, Unabhängigkeit, Satz von Bayes Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows De folgede ufgabe löse wr uter Verwedug der bede ombatorsche

Mehr

( ) ( ) ) ( ) 1/ ( ) Beispiel: U = y1. 3. Ergänzungen zur Haushaltstheorie, insbesondere Dualität und Anwendungen

( ) ( ) ) ( ) 1/ ( ) Beispiel: U = y1. 3. Ergänzungen zur Haushaltstheorie, insbesondere Dualität und Anwendungen Prof. Dr. Fredel Bolle 3. rgäzuge zur Haushaltstheore, sbesodere Dualtät ud Aweduge (Btte wederhole Se zuächst emal de Haushaltstheore aus Mkro I!!!) komme gegebe errechbare Idfferezkurve festgelegt Güterprese

Mehr

Geometrisches Mittel und durchschnittliche Wachstumsraten

Geometrisches Mittel und durchschnittliche Wachstumsraten Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme der deskrptve Statstk Geometrsches Mttel ud durchschttlche Wachstumsrate Modellaufgabe Übuge Lösuge www.f-lere.de Geometrsches

Mehr

Der Approximationssatz von Weierstraß

Der Approximationssatz von Weierstraß Der Approxmatossatz vo Weerstraß Ja Köster 22. Oktober 2007 1 Eführug Aus der Aalyss wsse wr, dass sch aalytsche Fuktoe durch Potezrehe der Form f(x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... darstelle lasse. Dabe kovergert

Mehr

Multiple Regression (1) - Einführung I -

Multiple Regression (1) - Einführung I - Multple Regreo Eführug I Mt eem Korrelatokoeffzete ud der efache leare Regreo köe ur varate Zuammehäge zwche zwe Varale uterucht werde. Beutzt ma tatt dee mehrere Varale zur Vorherage, egt ma ch auf da

Mehr

Eine einfache Formel für den Flächeninhalt von Polygonen

Eine einfache Formel für den Flächeninhalt von Polygonen Ee efache Formel für de Flächehalt vo Polygoe Peter Beder Set ege Jahre hat der Mathematkddaktk de sogeate emprsche Uterrchtsforschug mt quattatve ud qualtatve Methode Kojuktur, währed stoffddaktsche Arbete

Mehr

Investmentfonds. Kennzahlenberechnung. Performance Risiko- und Ertragsanalyse, Risikokennzahlen

Investmentfonds. Kennzahlenberechnung. Performance Risiko- und Ertragsanalyse, Risikokennzahlen Ivestmetfods Kezahleberechug erformace Rsko- ud Ertragsaalyse, Rskokezahle Gültg ab 01.01.2007 Ihalt 1 erformace 4 1.1 Berechug der erformace über de gesamte Beobachtugzetraum (absolut)... 4 1.2 Aualserug

Mehr

Fernstudium. Technische Thermodynamik Teil: Energielehre

Fernstudium. Technische Thermodynamik Teil: Energielehre Fakultät Maschewese Isttut für Eergetechk, Professur für Techsche Therodyak Ferstudu Techsche Therodyak Tel: Eergelehre Prof. Dr. C. Bretkopf Wterseester 2012/13 Adstratves Techsche Therodyak Eergelehre

Mehr

Entwicklung einer Dispatcherfunktion zur Überprüfung von Nominierungsmengen in der Betriebsführung von Erdgasspeichern

Entwicklung einer Dispatcherfunktion zur Überprüfung von Nominierungsmengen in der Betriebsführung von Erdgasspeichern AMMO Berchte aus Forschug ud Techologetrasfer Etwcklug eer Dsatcherfukto zur Überrüfug vo Nomerugsmege der Betrebsführug vo Erdgassecher Prof. Dr. sc. tech. Dr. rer. at. R. Ueckerdt Dr.Ig. H.W. Schmdt

Mehr

Methoden der computergestützten Produktion und Logistik

Methoden der computergestützten Produktion und Logistik Methode der comutergestützte Produkto ud Logstk 9. Bedesysteme ud Warteschlage Prof. Dr.-Ig. habl. Wlhelm Dagelmaer Modul W 336 SS 06 Bedesysteme ud Warteschlage Besel: Fahrradfabrk Presse Puffer Lackerere

Mehr

Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen.

Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen. Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 0.0.008 Lagemaße der beschrebede Statstk. Zur Iterpretato eer Beobachtugsrehe ka ma ebe der grafsche Darstellug wetere charakterstsche Größe herazehe. Mttelwert ud

Mehr

AG Konstruktion KONSTRUKTION 2. Planetengetriebe (Umlaufgetriebe) Skript. TU Berlin, AG Konstruktion

AG Konstruktion KONSTRUKTION 2. Planetengetriebe (Umlaufgetriebe) Skript. TU Berlin, AG Konstruktion AG Kstrut KONTRUKTION Plaetegetrebe (Umlaufgetrebe) rpt TU Berl, AG Kstrut Plaetegetrebe Vrtele Plaetegetrebe: e Achsversatz z.t. sehr grße Über-/Utersetzuge möglch grße Tragraft guter Wrugsgrad Rhlff

Mehr

Teil IV Musterklausuren (Univ. Essen) mit Lösungen

Teil IV Musterklausuren (Univ. Essen) mit Lösungen Tel IV Musterklausure (Uv. Esse) mt Lösuge Hauptklausur WS 9/9 Aufgabe : a) Revolverheld R stzt m Saloo ud pokert. De Wahrschelchket, daß er dabe ee seer Mtspeler bem Falschspel erwscht (Eregs F), bezffert

Mehr

Strittige Auffassungen zu Anforderungsprofil und Betriebsart bei der Neufassung der IEC 61508-3 und -7

Strittige Auffassungen zu Anforderungsprofil und Betriebsart bei der Neufassung der IEC 61508-3 und -7 Strtte Auffassue zu Aforderusrofl ud Betrebsart be der Neufassu der IEC 6508-3 ud -7 Vortra a der TU Brauschwe m November 205 vo Wolfa Ehreberer, Hochschule Fulda 7..205 Ehreberer, IEC 6508, Strtte Auffassue...

Mehr

Maße zur Kennzeichnung der Form einer Verteilung (1)

Maße zur Kennzeichnung der Form einer Verteilung (1) Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug (1) - Schefe (skewess): Defto I - Ee Vertelug vo Messwerte wrd als schef bezechet, we se der Wese asymmetrsch st, dass lks oder rechts des Durchschtts ee Häufug

Mehr

Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schliessenden Statistik

Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schliessenden Statistik Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Aufgabe ud Lösuge vo Peter M Schulze, Verea Dexhemer. Auflage Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Schulze / Dexhemer schell ud portofre

Mehr

Allgemeine Prinzipien

Allgemeine Prinzipien Allgemee Przpe Es estere sebe Grudehete der Physk; alle adere physkalsche Größe ka ma darauf zurückführe. Dese Grudehete sd: Läge [m] Masse [kg] Zet [s] Elektrsche Stromstärke [A] Temperatur [K], Stoffmege

Mehr

19. Amortisierte Analyse

19. Amortisierte Analyse 9. Amortserte Aalyse Amortserte Aalyse wrd egesetzt zur Aalyse der Laufzet vo Operatoe Datestrukture. Allerdgs wrd cht mehr Laufzet ezeler Operatoe aalysert, soder de Gesamtlaufzet eer Folge vo Operatoe.

Mehr

Ermittlung der Höhe der Förderung für Einnahmen schaffende Projekte, deren Gesamtkosten 1 Million EUR übersteigen, die Nettoeinnahmen erzeugen

Ermittlung der Höhe der Förderung für Einnahmen schaffende Projekte, deren Gesamtkosten 1 Million EUR übersteigen, die Nettoeinnahmen erzeugen Ermttlug der Höhe der Förderug für Eahme schaffede Projekte, dere Gesamtkoste 1 Mllo EUR überstege, de Nettoeahme erzeuge 1. Erklärug des Verfahres Auf Grudlage der Ermttlug des sog. Fazerugsdefzt ud der

Mehr

Festverzinsliche Wertpapiere. Kurse und Renditen bei ganzzahligen Restlaufzeiten

Festverzinsliche Wertpapiere. Kurse und Renditen bei ganzzahligen Restlaufzeiten Festverzslche Wertaere Kurse ud Redte be gazzahlge Restlaufzete Glederug. Rückblck: Grudlage der Kursrechug ud Redteermttlug 2. Ausgagsstuato 3. Herletug der Formel 4. Abhäggket vom Marktzsveau 5. Übugsaufgabe

Mehr

WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 1 Allgeme Geometrsche Rehe: q t = 1 q1 t=0 1 q Mtterachtsformel: ax 2 bxc=0 x 1/ 2 = b±b2 4ac 2a Bomsche Formel: 1. ab 2 =a 2 2abb 2 2. a b 2 =a 2 2abb 2 3. ab a b=a 2 b 2 Wurzel: ugerade 1 Ergebs gerade

Mehr

Deskriptive Statistik - Aufgabe 3

Deskriptive Statistik - Aufgabe 3 Desrptve Statst - Aufgabe 3 De Überachtugszahle der Fremdeverehrsgemede "Bachstadt" für de Moate ud zege auf de erste Blc scho deutlche Uterschede de ezele Ortschafte. We seht e etsprecheder Verglech der

Mehr

Ergebnis- und Ereignisräume

Ergebnis- und Ereignisräume I Ergebs- ud Eregsräume Zufallsexpermete Defto: E Expermet, welches belebg oft uter gleche Bedguge wederholbar st ud desse Ergebs cht mt Bestmmthet vorhergesagt werde ka (d.h. es gbt md. 2 Mgk.), heßt

Mehr

Ralf Korn. Elementare Finanzmathematik

Ralf Korn. Elementare Finanzmathematik Ralf Kor Elemetare Fazmathematk Ihaltsverzechs. Eletug Exkurs : Akte Begrffe, Grudlage ud Geschchte. We modellert ma Aktekurse? 4. Edlche E-Perode-Modelle 6. Edlche Mehr-Perode-Modelle 3.3 Das Black-Scholes-Modell

Mehr

( ) := 1 N. μ 1 : Mittelwert. 2.2 Statistik und Polydispersität. Definition des k-ten Moments: Definition des k-ten zentralen Moments: 1 N

( ) := 1 N. μ 1 : Mittelwert. 2.2 Statistik und Polydispersität. Definition des k-ten Moments: Definition des k-ten zentralen Moments: 1 N . Charakterserug vo Polymere. moodsperse polydsperse cytochrom c Ege Bopolymere (Ezyme) habe ur ee ehetlche olekülgröße. moodsperse mometa st kee Polymersatosmethode verfügbar, de Polymere mt eer ehetlche

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Allgemeine Messtechnik

Inhaltsverzeichnis. 1 Allgemeine Messtechnik Ihaltsverzechs I Allgemee Messtechk. Grudsätzlches. Grudbegrffe des Messes.. Iteratoales Ehetesystem (SI), Begrffe des Normes, Eche, Justere, Kalbrere.. Das Meßgerät als System, der Begrff der Übertragug.3

Mehr

Zum Problem unterjähriger Zinsen und Zahlungen in der Zinseszinsrechnung

Zum Problem unterjähriger Zinsen und Zahlungen in der Zinseszinsrechnung Zu Proble urjährger Zse ud Zahluge der Zsessrechug Gewöhlch geht a der Zsessrechug davo aus, dass de Zse ach ee Jahr de Kapl ugeschlage werde ud da weder Zse trage. Der Zssat, t de das Kapl ultplert wrd,

Mehr

8. Mehrdimensionale Funktionen

8. Mehrdimensionale Funktionen Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS05.05.05 8. Mehrdmesoale Fuktoe Wer Greze überschretet, versucht, ee eue Dmeso vorzustoße. [Dael Mühlema, (*959), Übersetzer ud Aphorstker] Ege Leute sollte cht dü werde,

Mehr

Grundzüge der Preistheorie

Grundzüge der Preistheorie - - Grudzüge der Prestheore Elemetare Gedake der uterehmersche Prespoltk Verso 3. Harr Zgel 999-3, EMal: HZgel@aol.com, Iteret: http://www.zgel.de Nur für Zwecke der Aus- ud Fortbldug Ihaltsüberscht. Grudgedake.....

Mehr

Skript Teil 7: Polygonzug

Skript Teil 7: Polygonzug Prof. Dr. tech. Alfred Mschke Vorlesug zur Verastaltug Vermessugskude Skrpt Tel 7: Polgozug Der Begrff Polgo letet sch aus Pol = vel ud Go = Wkel ab ud bedeutet uregelmäßges Veleck. Das Polgoere det zum

Mehr

Einführung in Statistik

Einführung in Statistik Eführug Statstk 4. Semester Begletedes Skrptum zur Vorlesug m Fachhochschul-Studegag Iformatostechologe ud Telekommukato vo Güther Kargl FH Campus We 2009 Ihaltsverzechs Eführug Statstk Eletug. Deskrptve

Mehr

Innovative Information Retrieval Verfahren

Innovative Information Retrieval Verfahren Thomas Madl Iovatve Iformato Retreval Verfahre Hauptsemar Wtersemester 004/005 Überblc Formales Vortrag Ausarbetug Scheerwerb Termplaug Kurzvorstellug Theme Themevergabe Wederholug Grudlage Gewchtug ud

Mehr

BANK ONLINE Zentraler Bankdaten-Transfer

BANK ONLINE Zentraler Bankdaten-Transfer BANK ONLINE Zetraler Bakdate-Trasfer Ihaltsverzechs 1 Lestugsbeschrebug... 3 2 Itegrato das Ageda-System... 4 3 Hghlghts... 5 3.1 Efachste Aktverug... 5 3.2 Abruf vo Kotoauszüge... 6 3.3 Bakeübergrefede

Mehr

= k. , mit k als Anzahl der Hypothesen A i und den Daten B. Bestimmtheitsmaß:!Determinationskoeffizient

= k. , mit k als Anzahl der Hypothesen A i und den Daten B. Bestimmtheitsmaß:!Determinationskoeffizient Ablehugsberech:!Sgfkazveau abhägge Gruppe: Gruppe vo Versuchspersoe, dee jede ezele Versuchsperso aus Gruppe A eer äquvalete Versuchsperso aus Gruppe B etsprcht (oder tatsächlch de gleche Versuchsperso

Mehr

REGRESSION. Marcus Hudec Christian Neumann. Eine anwendungsorientierte Einführung. Unterstützt von Institut für Statistik der Universität Wien

REGRESSION. Marcus Hudec Christian Neumann. Eine anwendungsorientierte Einführung. Unterstützt von Institut für Statistik der Universität Wien REGRESSION Ee awedugsoreterte Eführug Marcus Hudec Chrsta Neuma Uterstützt vo Isttut für Statstk der Uverstät We Eletug De Regresso st e velfältg esetzbares Werkzeug zur Beschrebug ees fuktoale Zusammehags

Mehr

Analyse und praktische Umsetzung unterschiedlicher Methoden des Randomized Branch Sampling

Analyse und praktische Umsetzung unterschiedlicher Methoden des Randomized Branch Sampling Aalse ud praktsche Umsetzug uterschedlcher Methode des Radomzed Brach Samplg Dssertato zur Erlagug des Doktorgrades der Fakultät für Forstwsseschafte ud Waldökologe der GeorgAugustUverstät Göttge vorgelegt

Mehr

Statistik für Ingenieure (IAM) Version 3.0/21.07.2004

Statistik für Ingenieure (IAM) Version 3.0/21.07.2004 Stattk fü Igeeue (IAM) Veo 74 Vaazaalye Mt de efache Vaazaalye (ANOVA Aaly of Vaace) wd de Hypothee gepüft, ob de Mttelwete zwee ode mehee Stchpobe detch d, de au omaletelte Gudgeamthete gezoge wede, de

Mehr

Induktion am Beispiel des Pascalschen Dreiecks

Induktion am Beispiel des Pascalschen Dreiecks Iduto am Bespel des Pascalsche Dreecs Alexader Rehold Coldtz 0.02.2005 Eletug vollstädge Iduto De vollstädge Iduto st ebe dem drete ud drete Bewesverfahre ees der wchtgste der Mathemat. Eher bespelhaft

Mehr

Marketing- und Innovationsmanagement Herbstsemester 2013 - Übungsaufgaben Lesender: Prof. Dr. Andreas Fürst

Marketing- und Innovationsmanagement Herbstsemester 2013 - Übungsaufgaben Lesender: Prof. Dr. Andreas Fürst Marketg- ud Iovatosmaagemet Herbstsemester 2013 - Übugsaufgabe Leseder: Prof. Dr. Adreas Fürst Isttut für Marketg ud Uterehmesführug Abtelug Marketg Uverstät Ber Ihaltsverzechs 1 Eletug Allgemee Grudlage

Mehr

Institut für Physik Universität Augsburg Praktikum für Fortgeschrittene (FP) Versuchsanleitung (Version: 01/2015) RAMANEFFEKT

Institut für Physik Universität Augsburg Praktikum für Fortgeschrittene (FP) Versuchsanleitung (Version: 01/2015) RAMANEFFEKT FP-Versuch Ramaeffekt Isttut für Physk Uerstät Augsburg Praktkum für Fortgeschrttee (FP) Versuchsaletug (Verso: /5) RAMANFFKT I. letug II. Theore des Ramaeffekts III. Grudlage der Gruppetheore IV. Versuchsaufbau

Mehr

EINLEITUNG, FEHLERRECHNUNG

EINLEITUNG, FEHLERRECHNUNG Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug 04.05.006 Blatt 1 EINLEITUNG, FEHLERRECHNUNG Aufgabe des physkalsche Praktkums st es, dem Studerede de Physk durch das Expermet äher zu brge, h mt der Methode

Mehr

Investitionsentscheidungen im Multi-Channel-Customer-Relationship Management 1

Investitionsentscheidungen im Multi-Channel-Customer-Relationship Management 1 Ivesttosetscheduge m Mult-Chael-Customer-Relatoshp Maagemet Has Ulrch Buhl, Na Kreyer, Na Schroeder Lehrstuhl für Betrebswrtschaftslehre, Wrtschaftsformatk & Facal Egeerg Kerkompetezzetrum Iformatostechologe

Mehr

Messfehler, Fehlerberechnung und Fehlerabschätzung

Messfehler, Fehlerberechnung und Fehlerabschätzung Apparatves Praktkum Physkalsche Cheme der TU Brauschweg SS1, Dr. C. Maul, T.Dammeyer Messfehler, Fehlerberechug ud Fehlerabschätug 1. Systematsche Fehler Systematsche Fehler et ma solche Fehleratele, welche

Mehr

F 6-2 π. Seitenumbruch

F 6-2 π. Seitenumbruch 6 trebsauslegug Für dese ckelprozess üsse de otore so ausgelegt werde, dass dese Fahrbetreb cht überlastet werde. Herfür üsse de ezele asseträghetsoete [7] der Bautele (otor, etrebe, ckler ud Ulekrolle)

Mehr

Korrelations- und Assoziationsmaße

Korrelations- und Assoziationsmaße k m χ : j l r +. Zusammehagsmaße ( o e ) jl jl e jl Korrelatos- ud Assozatosmaße e jl 5 Merkmal Y Summe X b b m a H (a,b) H (a,b). a H (a,b) H (a,b). Summe.. Zusammehagsmaße Eführug Sche- ud Noses-Korrelato

Mehr

III. Die persönliche Einkommensteuer

III. Die persönliche Einkommensteuer Kp. -d Verso vom 3.0.05 III. De persölche Ekommesteuer Steuer küpfe ber cht ur - we de Verbruch- oder Verkehrsteuer - der Verwedug des Ekommes, soder uch desse Etstehug. De Steuerzhlug bemsst sch d cht

Mehr

Verteilungen und Schätzungen

Verteilungen und Schätzungen Verteluge ud Schätzuge Zufallseperet Grudbegrffe Vorgag ach eer bestte Vorschrft ausgeführt ( Przp) belebg oft wederholbar se Ergebs st zufallsabhägg be ehralge Durchführug des Eperets beeflusse de Ergebsse

Mehr

1.4 Wellenlängenbestimmung mit dem Prismenspektrometer

1.4 Wellenlängenbestimmung mit dem Prismenspektrometer F Lorbeer ud Ardt Quer 5.0.006 Physkalsches Praktkum für Afäger Tel Gruppe Optk.4 Wellelägebestmmug mt dem Prsmespektrometer I. Vorbemerkug E Prsmespektrometer st e optsches Spektrometer, welches das efallede

Mehr

1 Elementare Finanzmathematik

1 Elementare Finanzmathematik Elemetare Fazmathemat 4 Elemetare Fazmathemat Zel: Bewertug ud Verglech atueller ud zuüftger Geldströme. Determstsche Zahlugsströme Defto: E determstscher Zahlugsstrom st ee Futo Z: N R, de jedem Zetput

Mehr

1 k. 2.5 Logistischer Trend, Sättigungsmodelle Nichtlineare Regressionsanalyse, Bestimmtheitsmaß als Prüfmaß

1 k. 2.5 Logistischer Trend, Sättigungsmodelle Nichtlineare Regressionsanalyse, Bestimmtheitsmaß als Prüfmaß Thema Zetrehe Statstk - Neff INHALT. Zetreheaalyse, Tred Leare Regressosaalyse mt eem Eflussfaktor X = "Zet" De tredberegte Sasoschwakuge e = s = y ŷ De mttlere Sasoschwakuge s j k k = = s De rreguläre

Mehr

2. Zusammenhangsanalysen: Korrelation und Regression

2. Zusammenhangsanalysen: Korrelation und Regression 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso Dowloads zur Vorlesug 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 2 Grudbegrffe zwedmesoale Stchprobe De Gewug vo mehrere Merkmale vo eer Beobachtugsehet führt

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium. Kurt Bräuer Institut für Theoretische Physik Universität Tübingen

Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium. Kurt Bräuer Institut für Theoretische Physik Universität Tübingen Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Kurt Bräuer Isttut für Theoretsche Physk Uverstät Tübge Letztes Update: Oktober Ihalt. Zahlebereche.... Koordate ud Vektore... 5 3. Grezwerte, Folge ud

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lesetraining in der Weihnachtszeit - Wir werden Leseprofi

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lesetraining in der Weihnachtszeit - Wir werden Leseprofi Uterrchtsmaterale dgtaler ud gedruckter Form Auszug aus: Lesetrag der Wehachtszet - Wr werde Leseprof Das komplette Materal fde Se her: School-Scout.de 1.-4. Schuljahr U. Stolz & L.-S. Kohl Wr werde Leseprof!

Mehr

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung Methoden der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung In der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung werden de Gemenosten der Hlfsostenstellen auf de Hauptostenstellen übertragen. Grundlage dafür snd de von den

Mehr

Statistik. (Inferenzstatistik)

Statistik. (Inferenzstatistik) Statstk Mathematsche Hlfswsseschaft mt der Aufgabe, Methode für de Sammlug, Aufberetug, Aalyse ud Iterpretato vo umersche Date beretzustelle, um de Struktur vo Masseerscheuge zu erkee. Deskrptve (beschrebede)

Mehr

Verdichtete Informationen

Verdichtete Informationen Verdchtete Iormatoe Maßzahle Statstke be Stchprobe Parameter be Grudgesamthete Maßzahle zur Beschrebug uvarater Verteluge Maßzahle der zetrale Tedez (Mttelwerte) Maßzahle der Varabltät (Streuugswerte)

Mehr

Hochschule Furtwangen University Sommersemester Prof. Dr. Thomas Schneider Medien und Informatik 2. Übungsblatt 5. dar.

Hochschule Furtwangen University Sommersemester Prof. Dr. Thomas Schneider Medien und Informatik 2. Übungsblatt 5. dar. Hochschle Frtwage Uversty Sommersemester 0 Fakltät Dgtale Mede Mathematk Prof. Dr. Thomas Scheder Mede d Iformatk Übgsblatt. Elemetares Reche mt komplexe Zahle Es se w= +. a) Blde Se de komplex Kojgerte

Mehr

Einführungsskripte Numerische Berechnungsverfahren in der Geotechnik

Einführungsskripte Numerische Berechnungsverfahren in der Geotechnik Eführugsskrpte Numersche Berechugsverfahre der Geotechk Tel I: Überscht ud Lteraturhwese Freberg: 4/ Prof. Dr.-Ig. habl. Hez Koetzky Dr. rer. at. Lothar te Kamp TU Bergakademe Freberg ITASCA Cosultats

Mehr

2. Arbeitsgemeinschaft (11.11.2002)

2. Arbeitsgemeinschaft (11.11.2002) Mat T. Kocbk G Fazeugs- & Ivesttostheoe Veastaltug m WS / Studet d. Wtschatswsseschat. betsgemeschat (..). Fshe-Sepaato Das Fshe-Sepaatostheoem sagt aus, daß ute bestmmte ahme heutge ud mogge Kosum substtueba

Mehr

2. Mittelwerte (Lageparameter)

2. Mittelwerte (Lageparameter) 2. Mttelwerte (Lageparameter) Bespele aus dem täglche Lebe Pro Hemspel hatte Borussa Dortmud der letzte Saso durchschttlch 7.2 Zuschauer. De deutsche Akte sd m Durchschtt um 0 Zähler gefalle. I Ide wurde

Mehr

d da B A Die gesamte Erscheinung der magnetischen Feldlinien bezeichnet man als magnetischen Fluss. = 1 V s = 1 Wb

d da B A Die gesamte Erscheinung der magnetischen Feldlinien bezeichnet man als magnetischen Fluss. = 1 V s = 1 Wb S N De amte Erschenng der magnetschen Feldlnen bezechnet man als magnetschen Flss. = V s = Wb Kraftflssdchte oder magnetsche ndkton B. B d da B = Wb/m = T Für homogene Magnetfelder, we se m nneren von

Mehr

6. Zusammenhangsmaße (Kovarianz und Korrelation)

6. Zusammenhangsmaße (Kovarianz und Korrelation) 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato Problemtellug: Bher: Ee Varable pro Merkmalträger, Stchprobe x,, x Geucht: Maße für Durchchtt, Streuug, uw. Jetzt: Zwe metrche! Varable pro Merkmalträger, Stchprobe

Mehr

Wirkungsweise und Eigenschaften hochdynamischer Gleichstrom- Kleinstmotoren

Wirkungsweise und Eigenschaften hochdynamischer Gleichstrom- Kleinstmotoren Wrkugswese ud Egeschafte hchdyamscher Glechstrm- Klestmtre Dr. Ott Stemme Peter Wlf max mtr ag CH-607 Sachsel / Schwez Ausgabe Nvember 994 Vrwrt Set der Eführug der max DC mtre m Jahre 970 dauerte es ur

Mehr

Preisindex. und. Mengenindex

Preisindex. und. Mengenindex Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme der deskrptve Statstk resdex ud Megedex Übuge Aufgabe ösuge www.f-lere.de resdex 1 De Etwcklug der rese wrd der Öffetlchket

Mehr

(i) Wie kann man für eine Police mit Einmalbeitrag E = 20000 eine kongruente Deckung des Gewinnversprechens darstellen?

(i) Wie kann man für eine Police mit Einmalbeitrag E = 20000 eine kongruente Deckung des Gewinnversprechens darstellen? Aufgabe 1 (60 Pukte) De Gesellschaft XYZ betet als prvate Reteverscherug ee Idepolce gege Emalbetrag a mt eer Aufschubfrst vo zwe Jahre. Ivestert wrd e so geates IdeZertfkat, das be Retebeg das folgede

Mehr

Prof. Dr. B.Grabowski. Die Behauptung I folgt aus der Multiplikationsformel: )

Prof. Dr. B.Grabowski. Die Behauptung I folgt aus der Multiplikationsformel: ) Höhere Mathemat KI Master rof. Dr..Grabows E-ost: grabows@htw-saarlad.de Satz vo ayes ud totale Wahrschelchet Zu ufgabe anachwes der Formel I ud II: eh.: I. Formel der totale Wahrschelchet: ewes: Es glt:...

Mehr

Vorlesung Multivariate Statistik. Sommersemester 2009

Vorlesung Multivariate Statistik. Sommersemester 2009 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009 Free Uverstät Berl Charté Uverstätsmedz Berl Bachelor Studegag Boformatk Vorlesug Multvarate Statstk Sommersemester 009 Prof. Dr. rer. at. Peter Martus Isttut für

Mehr

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich Drtter Hauptsatz der Thermodynamk Rückblck auf vorherge Vorlesung Methoden zur Erzeugung tefer Temperaturen: - umgekehrt laufende WKM (Wärmepumpe) - Joule-Thomson Effekt bs 4 K - Verdampfen von flüssgem

Mehr

Schiefe- und Konzentrationsmaße

Schiefe- und Konzentrationsmaße Statst für SozologIe Schefe- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Mermal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgetstabelle berchtet: Klasse m Gruppe

Mehr