Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure

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1 Institut für Mathematik Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Ausführliches Inhaltsverzeichnis mit thematischen Links Prof. Dr. Konrad Engel PD Dr. Roger Labahn {konrad.engel, Inhaltsverzeichnis Arithmetik 3. Zahlenmengen Rechenregeln: Vertauschungs-und Klammerregeln Teilbarkeit Eine irrationale Zahl Bruchrechnung Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen Potenzen, Wurzeln und Logarithmen 6. Potenzen Die Eulersche Zahl Wurzeln Logarithmen Trigonometrie 8 3. Die Kreiszahl Strahlensatz und Satz des Pythagoras Sinus und Cosinus Tangens und Kotangens Anwendungen in der Geometrie

2 4 Polynome 0 4. Lineare und quadratische Funktionen Polynome höheren Grades Differentialrechnung 5. Reelle Funktionen Ableitung Extremwertberechnung Integralrechnung (Ergänzung) 4 6. Stammfunktion Flächenberechnung Volumenberechnung von Rotationskörpern Kombinatorik 6 7. Grundformeln Binomialkoeffizienten Wahrscheinlichkeiten Endliche Folgen & Reihen 8 8. Arithmetisch Geometrisch Gleichungssysteme 0 9. Einsetzungsverfahren Additionsverfahren Kegelschnitte 0. Kreis Ellipse Hyperbel Parabel Geometrie 3. Elementar Analytisch

3 Arithmetik Zahlenmengen Rechenregeln: Vertauschungs-und Klammerregeln Teilbarkeit Eine irrationale Zahl Bruchrechnung Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen 3

4 Aufgaben In der Vorlesung werden die meisten Lösungen solcher Beispielaufgaben ausführlich vorgeführt und kommentiert. A. Vereinfachen Sie den Term 4(3a b + (b + 3a + c (c + a 3b))). A. Beweisen Sie die Summenformel für die natürlichen Zahlen n = n (n + ). A.3 Beweisen Sie die Summenformel für die Quadratzahlen n = n(n + )(n + ). 6 A.4 Beweisen Sie die Identitäten (a) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ), (b) a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ). A.5 Beweisen Sie: Die Summe von 3 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer durch 3 teilbar. A.6 Beweisen Sie für beliebige 3-stellige natürliche Zahlen abc: (a) abc ist genau dann durch 9 teilbar, wenn die Quersumme a + b + c durch 9 teilbar ist. (b) abc ist genau dann durch teilbar, wenn die alternierende Quersumme a b + c durch teilbar ist. A.7 Vereinfachen Sie den Bruch uv v u uv. A.8 Beweisen Sie, dass für beliebige positive reelle Zahlen aus der Gleichheit b a = c b die Gleichheit folgt. a + c b + c = a + b a + c A.9 In einem Supermarkt werden Äpfel in Säcken zu je,5 kg für Euro pro Sack angeboten. Wie viel kostet hier kg Äpfel? 4

5 A.0 5 Bauern benötigen insgesamt Tage, um ein Apfelfeld komplett abzuernten. Wie viele Tage benötigen dafür 8 Bauern? A. Bestimmen Sie alle rellen Zahlen x, für die die folgende Ungleichung erfüllt ist: 5x + < 7x 0. A. Beweisen Sie, dass für beliebige positive reelle Zahlen a, b und c die folgenden Ungleichungen gelten: (a) a b + b a, (b) a+b ab, (c) a + b + c ab + ac + bc. A.3 Beweisen Sie, dass für beliebige reelle Zahlen a die folgenden Ungleichungen gelten: (a) a a, (b) a a, (c) a + b a + b (Dreiecksungleichung). A.4 Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x so, dass gilt (a) x 3 = 4, (b) x 3 4. A.5 Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x so, dass gilt (a) x x 4 = 5, (b) x x

6 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. Potenzen Die Eulersche Zahl Wurzeln Logarithmen Aufgaben In der Vorlesung werden die meisten Lösungen solcher Beispielaufgaben ausführlich vorgeführt und kommentiert. A. Vereinfachen Sie den Term n 6 n+ n+. A. Ein Mann ging nach Stötteritz. Da begegneten ihm 9 alte Weiber, jedes trug 9 Säcke, in jedem Sack waren 9 Katzen und jede Katze hatte 9 Junge. Wie viele gingen nach Stötteritz? A.3 Beweisen Sie, dass gilt: n = n+. A.4 Vereinfachen Sie den folgenden Term, wobei vorausgesetzt wird, dass er definiert ist: 5a x+y b 3u+v 7c : 5c 4 8a y x b v u. A.5 Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die gilt: x + 4 = 6. 6

7 A.6 Beweisen Sie, dass für beliebige natürliche Zahlen n die folgende Ungleichung gilt: n + n n. A.7 Vereinfachen Sie die folgende Summe: A.8 Lösen Sie die Gleichung lg(x + 3) = lg(x ) +. A.9 Lösen Sie die Gleichung e x + e x =. A.0 Lösen Sie die folgende Gleichung für beliebige positive reellen Zahlen a : log a (x + 4) log a ( x ) = 0. 7

8 3 Trigonometrie 3. Die Kreiszahl 3. Strahlensatz und Satz des Pythagoras Sinus und Cosinus Tangens und Kotangens Anwendungen in der Geometrie Aufgaben In der Vorlesung werden die meisten Lösungen solcher Beispielaufgaben ausführlich vorgeführt und kommentiert. A 3. Begründen Sie geometrisch die folgende Wertetabelle: π x 0 6 sin x 0 cos x 3 tan x 0 π 4 π 3 π cot x A 3. Beweisen Sie die Identitäten (a) sin α = sin α cos α, (b) cos α = cos α. 8

9 A 3.3 Vereinfachen Sie die Terme (a) cos 4 x sin 4 x, (b) +sin x + sin x. A 3.4 Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die die folgende Gleichung gilt: sin x cos x =. A 3.5 Um den Äquator von etwa km Länge wird ein Band straff gelegt. Jetzt wird das Band um m verlängert und das Band so gelegt, dass es überall den gleichen Abstand zur Erdoberfläche hat. Kann eine normale Katze darunter durchkriechen? 9

10 4 Polynome 4. Lineare und quadratische Funktionen Polynome höheren Grades Aufgaben In der Vorlesung werden die meisten Lösungen solcher Beispielaufgaben ausführlich vorgeführt und kommentiert. A 4. Seien (x, y ) und (x, y ) zwei Punkte in der x-y-ebene mit x x. Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch (x, y ) und (x, y ) verläuft? A 4. Sei (x, y ) ein Punkt in der x-y-ebene, der auf der Geraden g mit der Gleichung y = mx + n, m 0, liegt. Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch (x, y ) verläuft und orthogonal zu g ist? A 4.3 Bestimmen Sie alle linearen Funktionen, für die für alle reellen Zahlen x die Gleichung gilt. A 4.4 Lösen Sie die Gleichungen (a) x x = 0, (b) 4x 4x + = 0. A 4.5 Lösen Sie die biquadratische Gleichung f(x ) = f(x + ) 4 x 4 + 3x 4 = 0. A 4.6 Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die die folgende Gleichung erfüllt ist: 3 + e x 5e x = 0. 0

11 A 4.7 Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die die folgende Ungleichung erfüllt ist: x + x 3 0. A 4.8 Führen Sie die folgenden Polynomdivisionen durch: (a) (x 3 3x + 5) : (x ), (b) (3x + 4x + 9) : (x + 5), (c) (3x 4 + x + x 4) : (x + x + ).

12 5 Differentialrechnung 5. Reelle Funktionen 5. Ableitung Extremwertberechnung Aufgaben In der Vorlesung werden die meisten Lösungen solcher Beispielaufgaben ausführlich vorgeführt und kommentiert. A 5. Beweisen Sie: (a) Sind die Funktionen f und g beide gerade oder beide ungerade, so ist das Produkt fg gerade. (b) Ist die Funktion f gerade und die Funktion g ungerade (oder umgekehrt), so ist das Produkt fg gerade. A 5. Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen: (a) f(x) = x sin x + 3 ln x, (b) f(x) = tan x = sin x cos x, (c) f(x) = e x+, (d) f(x) = e x /. A 5.3 Beweisen Sie: (a) Ist die Funktion f gerade, so gilt f (x) + f ( x) = 0 für alle x. (b) Ist die Funktion f ungerade, so gilt f (x) f ( x) = 0 für alle x. A 5.4 Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks, das durch die Koordinatenachsen und die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x durch die folgenden Punkten P dieser Kurve gebildet wird: (a) P = (, ), (b) P = (t, t ), t beliebig reell.

13 A 5.5 Untersuchen Sie das Verhalten der Kurve, die durch gegeben ist. f(x) = x 3 5x + 36x 5 3

14 6 Integralrechnung (Ergänzung) 6. Stammfunktion 6. Flächenberechnung Volumenberechnung von Rotationskörpern Aufgaben In der Vorlesung werden die meisten Lösungen solcher Beispielaufgaben ausführlich vorgeführt und kommentiert. A 6. Berechnen Sie die unbestimmten Integrale folgender Funktionen: (a) f(x) = x 3 x + 5, (b) f(x) = ln x, (c) f(x) = e x sin x, (d) f(x) = 5x+3. A 6. Beweisen Sie, dass bei vorausgesetzter Differenzierbarkeit gilt: (a) Die Funktion ln f(x) ist eine Stammfunktion von f (x) f(x), d.h. f (x) f(x) dx = ln f(x) + c. (b) Die Funktion n+ (f(x))n+ ist eine Stammfunktion von f (x)(f(x)) n, d.h. f (x)(f(x)) n dx = (f(x)) n+ + c. A 6.3 Berechnen Sie die unbestimmten Integrale folgender Funktionen: (a) f(x) = x+ x +x+, (b) f(x) = sin 4 x cos x. A 6.4 Berechnen Sie die Fläche desjenigen Gebietes, das die Punkte (x, y) der x-y-ebene enthält, für die 0 x π und 0 y sin x gilt. A 6.5 Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Fläche begrenzt vom Graphen der Funktion f(x) = x + und der x-achse zwischen x = und x = um die x-achse rotiert. 4

15 A 6.6 Leiten Sie die Volumenformeln für die folgenden Körper her: (a) Kegel, (b) Kugel. A 6.7 Für jeden Wert t (t R, t > 0) ist die Funktion f t mit f t (x) = 3 x3 tx (x R) gegeben. (a) Alle lokalen Minimumpunkte der Graphen der Funktionen f t liegen auf dem Graphen einer Funktion h. Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion h. (b) Berechnen Sie den Wert t, für den 0 f t(x) dx = 4 gilt. A 6.8 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = e x (x + x ). (a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f. (b) Zeigen Sie, dass die Funktion F mit F (x) = x e x (x R) eine Stammfunktion von f ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion G von f an, für die G() = e gilt. 5