Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen

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1 Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Vorlesung Algorithmentechnik WS 2009/10 Dorothea Wagner Karlsruher Institut für Technologie

2 Eisenbahnoptimierungsprozess 1 Anforderungserhebung Netzwerkentwurf Linienplanung Fahrplanerstellung periodische Fahrpläne Umlage des Verkehrs Wageneinsatzplanung, Personaleinsatzplanung Rangierprobleme Einsatzkontrolle, Fahrplanauskunft, Fahrpreisgestaltung

3 Periodische Fahrpläne 2 Voraussetzungen Transportnetzwerk Linienplan Fahrplanbedingungen Fahrplan legt die genauen Abfahrts- und Ankunftszeiten der Züge fest. Ein periodischer Fahrplan setzt zeitlich festgelegte Wiederholung der Zugverkehre fest. Periodische Fahrpläne sind besonders relevant für den Nahverkehr.

4 Periodische Fahrpläne 3 Datengrundlage: Bahnnetz, Linienplan bestehend aus Linien und Nebenbedingungen in Form von Zeitfenstern Fahrzeiten von Abfahrtsbahnhof zu nächstem Ankunftsbahnhof, Mindestaufenthaltszeiten an Bahnhöfen Umstiegszeiten der Kunden gewünschte Frequenz/Periodizität Sicherheitsbedingungen: keine Überholung auf derselben Linie, Kollisionsvermeidung bei eingleisigem Verkehr, etc.

5 Periodische Fahrpläne 4 typische Optimierungsziele betreffen Einhaltung der Bedingungen Fahrplanqualität aus Sicht der Kunden Robustheit des Fahrplans Betriebskosten mathematische Modellierung mittels Constraint Graphs oder als Lineares System

6 1. Mathematische Modellierung periodischer Fahrpläne 5 Definition 1 Ein Ereignis i in einem periodischen Fahrplan besteht aus einem Tripel (z, v, a) bzw. (z, v, d), wobei z ein Zug, v ein Knoten im Transportnetz und a bzw. d für Ankunft oder Abfahrt steht. Eine periodische Zeitfensterbedingung gibt ein Zeitfenster an, innerhalb dessen zwei Ereignisse aufeinander folgen sollen.

7 1. Mathematische Modellierung periodischer Fahrpläne 6 Beispiele 1. Bedingung für Umstiegszeit: Zug z 2 soll frühestens 2 Minuten und spätestens 4 Minuten nach Ankunft von Zug z 1 (am Bahnhof A) abfahren. d z2,a a z1,a [2, 4]

8 1. Mathematische Modellierung periodischer Fahrpläne 6 2. Bedingung für Fahrzeit: Ankunft von Zug z 1 (am Bahnhof B) soll frühestens 16 Minuten und spätestens 20 Minuten nach Abfahrt von Zug z 1 (am Bahnhof A) stattfinden. a z1,b d z1,a [16, 20]

9 1. Mathematische Modellierung periodischer Fahrpläne 6 3. Bedingung für Aufenthalt an Bahnhof: Abfahrt von Zug z 1 (am Bahnhof A) soll frühestens 1 Minute und spätestens 3 Minuten nach Ankunft von Zug z 1 (am Bahnhof A) stattfinden. d z1,a a z1,a [1, 3] Zusätzlich muss Periodizität berücksichtigt werden.

10 1. Mathematische Modellierung periodischer Fahrpläne 7 Modellierung benutzt e i, e j Ereignisvariablen zu i, j, die die Zeitpunkte angeben, zu denen i, j stattfinden, T Periodizität, untere und obere Schranken l i,j und u i,j für Ereignispaare i, j, wobei 0 l i,j < T und 0 u i,j l i,j < T

11 1. Mathematische Modellierung periodischer Fahrpläne 8 mathematische Formulierung einer Zeitfensterbedingung bedeutet e j e i + T p ij [l i,j, u i,j ] Ereignis j soll zwischen l i,j und u i,j Minuten später stattfinden als Ereignis i. T p ij drückt periodische Wiederholung aus.

12 1. Mathematische Modellierung periodischer Fahrpläne 9 Beispiel: Periodizität sei T = 60 (Minuten) und [l i,j, u i,j ] = [8, 10]. Bei e j = 5 und e i = 55 ist Zeitfensterbedingung erfüllt, obwohl e j e i = 50. Variable p ij und Bedingung p ij Z für alle Ereignispaare i, j.

13 1. Mathematische Modellierung periodischer Fahrpläne 10 PESP (periodic event scheduling problem) Gegeben Menge von n Ereignissen und A Menge von m Ereignispaaren mit Zeitfensterbedingungen. Finde Lösung (e, p) für e j e i + T p ij [l i,j, u i,j ] für alle (i, j) A, e Z n und e [0, T ) n, p Z m PESP ist N P-schwer.

14 2. Modellierung mit Constraint Graphs 11 Definition 2 Der Constraint Graph G = (V, A, l, u) zu einer Instanz von PESP ist ein gerichteter Graph G = (V, A) bestehend aus einem Knoten i V für jedes Ereignis, und einer gerichteten Kante (i, j) A für jede Zeitfensterbedingung, zusammen mit Kantenintervallen [l i,j, u i,j ] für die Kanten (i, j) A.

15 2. PESP Modellierung mit Constraint Graphs 12 Gegeben ein Constraint Graph G = (V, A, l, u) und Periode T. Finde für i V und (i, j) A ganze Zahlen e i und p ij so dass für jede Kante (i, j) A erfüllt ist, e j e i + T p ij [l i,j, u i,j ] oder gib aus, dass keine solchen Zahlen existieren.

16 2. Modellierung mit Constraint Graphs 13 Bemerkungen: 1. PESP ist polynomial lösbar, wenn fester Vektor p gegeben; Problem ist dann verwandt zur Berechnung kürzester Wege in einem Graphen. 2. Lösbarkeit ist hier nicht abhängig von der Ganzzahligkeitsbedingung an e. 3. Kann im allgemeinen Fall durch Ausnutzung der Beziehung zwischen PESP und Kreisbasen gelöst werden.

17 2. Modellierung mit Constraint Graphs 14 Zu constraint graph G = (V, A, l, u), Periode T und festem Vektor p mit p ij = p ji für alle i, j V definiere Graph G p = (V, A p ) wie folgt: für jede Zeitfensterbedingung (i, j) A gibt es zwei gerichteten Kanten (i, j) und (j, i) in A p,

18 2. Modellierung mit Constraint Graphs 15 für jede Kante (i, j) A p definiere Kantenlänge dist ij (p ij ) abhängig von p als dist ij (p ij ) = u ij T p ij Länge von (i, j) A p zu (i, j) A, dist ji (p ij ) = l ij + T p ij Länge von (j, i) A p zu (i, j) A.

19 2. Modellierung mit Constraint Graphs 16 Satz 3 Gegeben sei ein gerichteter Graph G = (V, A) mit Kantenlängen dist ij (p ij ) für alle Kanten (i, j) A und ein ausgezeichneter Knoten s V. Zu Knoten i N gibt π i genau dann die Länge eines kürzesten Weges von s nach i bezüglich dist ij (p ij ) an, wenn für alle (i, j) A gilt π j π i + dist ij (p ij ). Beweis Teilwege eines kürzesten Weges sind kürzeste Wege.

20 2. Modellierung mit Constraint Graphs 17 Satz 4 PESP mit G = (V, A, l, u), Periode T und festem Vektor p ist äquivalent zur Berechnung kürzester Wege im zugehörigen Graphen G p = (V, A p ) mit Kantenlängen dist ij (p ij ). Beweis Bedingungen π j π i + dist ij (p ij ) auf A p sind äquivalent zu Bedingungen auf A. π j π i + dist ij (p ij ) π i π j + dist ji (p ji )

21 2. Modellierung mit Constraint Graphs 17 Substitution von dist ij (p ij ) und p ij = p ji ergibt für alle (i, j) A und π j π i + u ij T p ij π i π j l ij T p ij. Dies ist äquivalent zu für alle (i, j) A. π j π i + T p ij [l i,j, u i,j ]

22 3. Constraint Graph und Kreise 18 Den Knoten eines Graphen mit Kantenlängen können genau dann zulässige Distanzmarkierungen (π i ) zugeordnet werden, wenn der Graph keine negativen Kreise enthält. Folgerung 5 Eine Instanz von PESP mit G = (V, A, l, u) und Periode T ist genau dann lösbar wenn es einen ganzzahligen Vektor p gibt, sodass G p keine negativen Kreise enthält bezüglich der Kantenlänge dist ij (p ij ).

23 3. Constraint Graph und Kreise 19 Betrachte PESP beschrieben durch G = (V, A, l, u) und Periode T. PESP ist in O(n) lösbar, wenn G ein Baum ist. Sogar Optimierung einer linearen Zielfunktion in O(n) lösbar, wenn G ein Baum ist. Wende einfach Tiefensuche auf G an. Schwierigkeit von PESP liegt in den Kreisen von G.

24 4. Constraint Graph und Kreise 20 Zu Instanz G = (V, A, l, u) mit Periode T sei C ein ungerichteter Kreis. Zu einer beliebigen Richtung in C bezeichne C + Menge der Vorwärtskanten und C Menge der Rückwärtskanten

25 4. Constraint Graph und Kreise 21 Satz 6 Instanz G = (V, A, l, u) mit Periode T von PESP ist genau dann lösbar, wenn es einen ganzzahligen Vektor p gibt, so dass für jeden Kreis C in G gilt a C p ij p ij b C. (i,j) C + (i,j) C

26 4. Constraint Graph und Kreise 21 Dabei sind a C und b C definiert als a C = 1 T ( l ij (i,j) C + (i,j) C u ij ) b C = 1 T ( (i,j) C + u ij (i,j) C l ij )

27 4. Formulierung durch Kreissperiodizität 22 Betrachte Instanz G = (V, A, l, u) mit Periode T von PESP. Dann kann p wie folgt ersetzt werden. Setze zu C Kreis in G q C = p ij p ij. (i,j) C + (i,j) C

28 4. Formulierung durch Kreissperiodizität 23 Betrachte Instanz G = (V, A, l, u) mit Periode T von PESP. Setze für alle (i, j) A x ij = e j e i + T p ij. Dann kann eine Lösung (e, p) mit der zugehörigen Funktion x auf A identifiziert werden.

29 4. Formulierung durch Kreissperiodizität 24 Definition 7 Für einen Kreis C in G = (V, A, l, u) mit Periode T erfüllt eine Menge von Kantenwerten x a, a C die Kreisperiodizitätsbedingung falls es einen ganzzahligen Wert q C gibt, für den gilt (i,j) C + x ij (i,j) C x ij = T q C.

30 4. Formulierung durch Kreissperiodizität 25 Satz 8 Gegeben Instanz G = (V, A, l, u) mit Periode T von PESP. Eine Funktion x : A R korresponiert zu einer Lösung von PESP genau dann, wenn für jeden Kreis C G die Kreisperiodizitätsbedingung erfüllt ist. Beweis Konstruiere zugehörige Lösung.

31 4. Formulierung durch Kreissperiodizität 26 PESP für Instanz G = (V, A, l, u) mit Periode T und Optimierungsfunktion F lässt sich dann formulieren als CPF (Cycle Periodicity Formulation) wobei für alle C G minf (x) und (i,j) C + x ij (i,j) C x ij = T q C

32 4. Formulierung durch Kreissperiodizität 26 l a x a u a für alle a A, a C q C b C für alle C G, x a Z für alle a A, q C Z für alle C G.

33 4. Formulierung durch Kreissperiodizität 27 Gegeben Lösung (x, q) von CPF. Daraus kann wie folgt Lösung (e, p) für PESP konstruiert werden. 1. Konstruiere aufspannenden Baum H in G. 2. Wähle beliebigen Knoten s V und setze e s = Für jedes i V betrachte Weg P si H und setze e i = x ij x ij. (i,j) P + si (i,j) P si 4. Für i, i V setze p ij = (x ij e j + e i ) 1 T.

34 5. CFP und Kreisbasen 28 In einem gerichteten Graph G = (V, A) lässt sich jeder ungerichtete Kreis C durch einen Vektor γ C ausdrücken, der nur Einträge aus { 1, 0, 1} hat. Setze γ Ca = 1 falls a C +, 1 falls a C 0 sonst

35 5. PESP und Kreisbasen 29 Definition 9 Der Kreisraum eines gerichteten Graphen G = (V, A) ist der lineare Vektorraum, der durch die { 1, 0, 1}-Kreisvektoren γ C der Kreise C G aufgespannt wird. Eine Basis B des Kreisraums von G heißt Kreisbasis von G.

36 5. PESP und Kreisbasen 30 Konstruktion einer Kreisbasis Berechne einen (nicht notwendig gerichteten) aufspannenden Baum H in G. Füge iterativ Nichtbaumkanten a A zu H hinzu. Dann sind folgende Eigenschaften leicht zu sehen.

37 5. PESP und Kreisbasen 30 Jede Nichtbaumkante a zusammen mit dem eindeutigen Weg in H zwischen ihren Endknoten bildet einen Kreis. Die Menge aller durch Nichtbaumkanten induzierten Kreise bildet eine Kreisbasis von G. Die Dimension c des Kreisraums von G ist A V + 1.

38 5. PESP und Kreisbasen 31 Was ist eine gute Kreisbasis für die Lösung einer Instanz von CPF? Angenommen wir wollen Instanz von CPF durch Aufzählung aller möglichen Vektoren q lösen. Wie hoch ist der Aufwand? Aufwand hängt von Anzahl möglicher Werte, die q annehmen kann, ab. Dies hängt von der Weite der zugrundeliegenden Kreisbasis ab. Betrachte Kreisbasen mit kleiner Weite.

39 5. PESP und Kreisbasen 32 Sei W C = b C a C die Weite des Kreises C. Eine Variable q C zu CPF kann dann W C + 1 verschiedene Werte annehmen. Für eine Kreisbasis B (der Dimension c) kann der Vektor q = (q 1,..., q c ) dann W (B) = C B(W C + 1) verschiedene Werte annehmen.

40 6. PESP als lineares System 33 Gegeben Instanz von PESP mit G = (V, A, l, u) und Periode T. M ist die n m-knoten-kanten-inzidenzmatrix zu G, d.h. für k V und (i, j) A sei M k,(i,j) := 1 falls i = k, 1 falls j = k 0 sonst.

41 6. PESP als lineares System 34 Äquivalente Formulierung von PESP ist dann: Finde Vektoren e Z n und p Z m mit l M T e + T p u. Satz 10 Instanz G = (V, A, l, u) mit Periode T von PESP ist genau dann lösbar wenn es eine ganzzahlige Lösung gibt. Beweis folgt aus Theorie der Linearen Programmierung.

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