9 Dynamische Programmierung (Tabellierung)

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "9 Dynamische Programmierung (Tabellierung)"

Maya Franke
vor 8 Jahren
Abrufe

1 9 (Tabellierung) PrinzipºÊ ÙÖ ÓÒ ÒÑ Ø ĐÙ ÖÐ ÔÔ Ò ÒÌ Ð Ù ÒÛ Ö Ò 9.1 Grundlagen Ì ÐÐ ÖÙÒ Ö ÖÄĐÓ ÙÒ Ò Ù Û ÖØ Ø ÙÑÛ Ö ÓÐØ ÆÞ ÒØ Ö ÙÖ Ý Ø Ñ Ø ÙÖ Ð Ù Ò ÖÌ Ð Ù ÒÙÒ Ö ÒÙÒ ÒÞÙÚ ÖÑ Òº Ì ÐÐ Ò ĐÓÒÒ Ò Ø Ø Ø ÖÁÒ Ü Ö Þº º Ð µó Ö ÝÒ Ñ Ð Ø Ò ÖØ µóö Ò ÖØ Òº c B. Möller ß½ß Ö Ö Ø ÐĐÓ Ø ÒÌ Ð Ù Ò ÞÛº ÈÖĐÙ ÙÒ Ó Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ð ØÞØ Ö ÑÎÓÖ Ò Ò ÆÞ ÒØ Ò Ø Ù ÖÙÒ Ì Ð Ù ÓÒ ÐĐÓ ØÛÙÖ º c B. Möller ß¾ß

Ö ÒÙÒ ÒÞÙÚ ÖÑ Òº Ì ÐÐ Ò ĐÓÒÒ Ò Ø Ø Ø ÖÁÒ Ü Ö Þº º Ð µó Ö ÝÒ Ñ Ð Ø Ò ÖØ µóö Ò ÖØ Òº c B.

2 Ö Ò ÖÊ Ò (0) (1) (2)Ù Ûº Beispiel (Die Fibonacci-Folge)ÍÑ (n)þù Ö Ò Ò À Ö ØÛ Ò ÖÊ ÙÖÖ ÒÞ Ù ÒÙÖÞÛ Ï ÖØ ÖÒ Ø Ò ÚÓÐÐ Ì ÐÐ fib[n+1]òđóø Ö ÒÞÛ Î Ö Ð Ò 1) ÒØ ÐØ Òº ÒÐ Ò ÖÚÓÐÐ ÒÌ ÐÐ ÐÓ Ò Òº Ï Ö Ò ÒÚ Ð ¹Ï ÖØ ÒĐÓØ Ø Ó ÒÒ (i 2)ÙÒ (i c B. Möller ß ß Gegeben: Ò ÒØ ÒÑ Ö ÖØ Ö Ö Ô GÑ ØÃÒÓØ ÒÑ Ò 9.2 Alle kürzesten Wege 1] Ö Ø ÐÐØ ÙÖ Þ ÒÞÑ ØÖ ÜA Ð Ó Eµº [0, n Vº A[i][j] = g(i, j), A[i][i] = 0, A[i][j] = ĐÙÖij / Å Øn¹Ñ Ð Ö ÒÛ Ò ÙÒ ØÖ ¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÒÒÑ Ò Gesucht: ÐÐ Ø ÒÞ Òd(i, ) ÖÖ Òº j)ñ Øi, j Ñ Ø Ø Ö Ò ÖÇÖ Ò Ø ÓÒ Ù Û Ò Ú Ö ÙÒ Òº Ø Ù Ö Ø Ö ÒO(n 3

1 (Die Fibonacci-Folge)ÍÑ (n)þù Ö Ò Ò À Ö ØÛ Ò ÖÊ ÙÖÖ ÒÞ Ù ÒÙÖÞÛ Ï ÖØ ÖÒ Ø Ò ÚÓÐÐ Ì ÐÐ fib[n+1]òđóø Ö ÒÞÛ Î Ö Ð Ò 1) ÒØ ÐØ Òº ÒÐ Ò

3 ÚÓÒÃÏ ÒÙÖ ÙÖ ÃÒÓØ Ò Ò ÖÅ Ò OKÐ Ù Òº ØÖ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÒÒØ Ò ÑÁØ Ö Ø ÓÒ Ö ØØ ÄĐ Ò ĐÍ Ö Ö ØÑ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒÒ Ø ÓÒ ÖÒØ ÐÐ ÖØ Ó Ö Đ ÐØÑ Ò ÒAlgorithmus j Ö ÑÁÒÒ Ö Ò º º Ù ÖiÙÒ j Ð Ø ÒÙÖÃÒÓØ Ò Ò [i][j] ÄĐ Ò Ò ÃÏÚÓÒiÒ von 1]Ú ÖÛ Ò Øº Idee ( ):Ì ÐÐ Ö ÒD µº [0, k Ñ Ø ØD 0 = A ÒÒ[0, = k 1] Floydº Ë Ò ÐÐ Ï ÚÓÒiÒ jđù Ö ÒÃÒÓØ ÒkÐĐ Ò Ö Ð ØÖ Ø ÒÙÒ Ò ÒÃÏ ĐÙÖD k+1 [i][j] Ò kùò kò jº ÒÒ ÐØ Ö Ò Ó ÐØD k+1 Ò ÖÒ ÐÐ ØÞØ ÒÃÏĐÙ ÖkÞÙ ÑÑ Ò Ù ÃÏÚÓÒi [i, j] = D k [i][j]º D k+1 [i][j] = D k [i][k] + D k [k][j]

µº [0, k Ñ Ø ØD 0 = A ÒÒ[0, = k 1] Floydº Ë Ò ÐÐ Ï ÚÓÒiÒ jđù Ö ÒÃÒÓØ ÒkÐĐ Ò Ö Ð ØÖ Ø ÒÙÒ Ò ÒÃÏ ĐÙÖD k+1 [i][j] Ò kùò kò

4 ÁÒË Ð Ò ÓÖÑ D[0] = A ;\\ for (k = 0 ; k < n ; k++) for (i = 0 ; i < n ; i++) for (j = 1 ; j < n ; j++) D[k+1][i][j] = min(d[k][i][j], D[k][i][k]+D[k][k][j]) ; kþù ÑÑ ÒÐ Ò Ã ÒÒÑ ÒÌ Ð ÖD lñ Ø Ö ÒĐÙ ÒÞÛ Å ØÖ Þ Ò ĐÙÖ Ú Ö Ò Ò D D¹Î Ö ÓÒ Òº Ò Ù Ö Ò ÐÝ ÐÐ Ï ÞÙÖ Ø ÑÑÙÒ ÚÓÒ k+1 Đ Ò ØÒÙÖÚÓÒD k ÙÒ Ò ØÚÓÒ ÖĐÙ Ö ÒD ÓÒ ØÐĐ ÒØÖ Ú Ð ÖÏ ÞÛº Ö ÒÏ ÚÓÖµº [i][k] Ò Ò ÒØ ÐØ Ò ÒÃÒÓØ ÒkÒ Ø ÑÁÒÒ Ö Ò D k+1 ÙÒ Ð Ó ÐØÛ Ò( ) D k+1 [i][k] = D k [i][k] D l < kº k+1 [k][j] = D k [k][j].

Ò Ò D D¹Î Ö ÓÒ Òº Ò Ù Ö Ò ÐÝ ÐÐ Ï ÞÙÖ Ø ÑÑÙÒ ÚÓÒ k+1 Đ Ò ØÒÙÖÚÓÒD k ÙÒ Ò ØÚÓÒ ÖĐÙ Ö ÒD ÓÒ ØÐĐ ÒØÖ Ú Ð ÖÏ ÞÛº Ö ÒÏ

5 [i][j]û Ö ÒÙÖ Ò ÖËØ ÐÐ ÙÖ Ö ÒÙÒ ÚÓÒD k+1 [i][j] Ö Ù ØÑ Ò Ð ÓD ĐÙ Ö Ò Ø ÑÑ Òº ÖÚÓÖ ÒÁØ Ö Ø ÓÒ ÙÒ D k Ö Ù ØµÙÒ ÞÛ Ï ÖØ ĐÙÖ D Ò Ñ Ò ÒĐÓØ Ø ÓÑ ØÒÙÖ Ò Å ØÖ Ü ĐÙÖDº kùò D k+1 ÑÈÐ ØÞ Ñ Ø ÒÒ ÖĐÍ Ö Ò ÚÓÒD kþùd k [i][j] Ù ÖÅ ØÖ Ü ÒØÖ path[i][j] ØÞÙi,j Ò Ò Û Ò ÒÓØ Ò Implementierung Ù Ò ÑÃÏÚÓÒiÒ j Òº Ì ÐÛ ÚÓÒiÞÙÑ Û Ò ÒÓØ ÒÙÒ ÚÓÒ ÓÖØÒ jº ÖÚÓÐÐ ØĐ Ò Ï Ö Ø ÙÖ Ö ÙÖ Ú Î Ö ÓÐ Ò Ö c B. Möller ß½¼ß

ÚÓÒD kþùd k [i][j] Ù ÖÅ ØÖ Ü ÒØÖ path[i][j] ØÞÙi,j Ò Ò Û Ò ÒÓØ Ò 9.2.

6 c B. Möller ß½½ß for (i = 0 ; i < n ; i++) for (j = 1 ; j < n ; j++) { D[i][j] = A[i][j] ; path[i][j] = -1 ; } for (k = 0 ; k < n ; k++) for (i = 0 ; i < n ; i++) for (j = 1 ; j < n ; j++) if (D[i][k] + D[k][j] < D[i][j]) { D[i][j] = D[i][k] + D[k][j] ; path[i][j] = k ; } Ö Ø Ø Ö Ô Ò ÓÖØ Ù ĐÙÖÒ Ø Ú Ã ÒØ Ò Û Ø Û ÒÒ ÐÓÝ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÖØ Ù ĐÙÖ Ò Ö Ø Ø ÒµÃÖ Ñ ØÒ Ø Ú Ñ ÑØ Û Ø Ü Ø Ö Òº Bemerkung ÚÓÒ Ò Ò ÖÙÒ Đ Ò ÙÒ ĐÓÒÒ ÒÔ Ö ÐÐ Ð Ù ĐÙ ÖØÛ Ö Òº ÐÐ ÙÛ ÙÒ Ò Ò ÐÓÝ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ò Bemerkung c B. Möller ß½¾ß

path[i][j] = k ; } Ö Ø Ø Ö Ô Ò ÓÖØ Ù ĐÙÖÒ Ø Ú Ã ÒØ Ò Û Ø Û ÒÒ 9.2.

7 ÐÐ Ã ÒØ Ò Û Ø Ò Ð º º Ð Ø ÒØÐ Ò Ein Spezialfall ÙÒ Û Ø Ø Ö Ö Ô ÚÓÖº ÙÒ Ø ÒÑ Ø0 Ø ØØÑ Ø Ó ÖØÛ Ö Òº Ø Ò Û Ø ĐÓÒÒ Ò ÒÒÞÙ1ÒÓÖÑ ÖØÙÒ ÒÒ ÒØ Ø Ø Ò ÓÓÐ Å ØÖ Üº Ï ÐĐ Ò Ò Ò Ú ÖÐÓÖ Òº c B. Möller ß½ ß ÃÏ¹ Ù Û Ö ÒÒÞÙ Ò ÖÏ ¹ Ü Ø ÒÞ¹ Ù D[i][j] = 1 i j Ï ÚÓÒiÒ j k] Ü Ø ÖØ Û ÒÒ [0, Ò ÖÒ ÐÐ ÒÏ ÚÓÒiÒ kùò Ò ÖÚÓÒkÒ j Ò 1] Ü Ø ÖØÓ Ö Ò ÓÐ Ö ÓÒ Ò[0, 1] Ü Ø Ö Òº k [0, k Verfahren bei Hinzunahme von kº ÒÏ ÚÓÒiÒ j Ò Ù ÑÑ Ò D Ù 0/1¹Û ÖØ ÒÅ ØÖ Þ Ò k+1[i, j] = D k [i, j] (D[i, k] D[k, j]) D k+1 [i, j] =Ñ Ü(D k [i, j],ñ Ò(D À Ð Ö Ò ÖÖ Ö Ø ÒØ ÔÖ Ø Ö ¹ Ð ÙÒ º ÐÐ Ñ Ò ÖÀ ÒØ Ö ÖÙÒ ÃÐ Ò ¹ Ð Ö Ò ÞÛºÚÓÐÐ ØĐ Ò Î Ö Ö Ò ØAlgorithmus von k [i, k], D k [k, j])) Warshallº

Möller ß½ ß ÃÏ¹ Ù Û Ö ÒÒÞÙ Ò ÖÏ ¹ Ü Ø ÒÞ¹ Ù D[i][j] = 1 i j Ï ÚÓÒiÒ j k] Ü Ø ÖØ Û ÒÒ [0, Ò ÖÒ ÐÐ ÒÏ ÚÓÒiÒ kùò Ò ÖÚÓÒkÒ j Ò 1] Ü Ø ÖØÓ Ö Ò ÓÐ Ö ÓÒ Ò[0, 1] Ü Ø Ö

8 9.3 Multiplikation mehrerer Matrizen s¹å ØÖ Üº r¹å ØÖ ÜÙÒ C Ò Ë A Ò p q¹å ØÖ Ü B Ò q r Ù Ö Ò Ò A Ï Ø ĐÙÒ Ø Ö B C Ð (A B) CÓ ÖA (B C)º 2º ĐÙÖ = 6, q = 10, r = 9, s = r¹å ØÖ Ü ÑÒ Ú Ò Beispiel 9.3.1Ë Òp ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Öp B Ö Ù ØÑ Ò540ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò ÒØ Ø Ø Ò rë Ð ÖÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÒÒĐÓØ º Ð Ó q¹å ØÖ ÜÑ Ø Ò Öq Î Ö Ö Ò Ò p q ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÒºËÙÑÑ 648ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Òº ĐÙÖA C Ò 180ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÒÒĐÓØ º Ö Ø Ò 6 9¹Å ØÖ Üº ĐÙÖ(A C Ö Ù ØÑ ÒÒÓ Ñ Ð 108 ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÒºÁÒ ÑØ Ò ÖÃÐ ÑÑ ÖÙÒ ÒÙÖ ĐÙÖB 300ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÖ ÖÐ º 10 2¹Å ØÖ Ü Ð ÒÚÓÒA C) Ö Ù ØÒÓ Ñ Ð 120 C)Û ÒØÐ ÆÞ ÒØ Öº Ñ Ø Ø ÃÐ ÑÑ ÖÙÒ A (B B) (B

1Ë Òp ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Öp B Ö Ù ØÑ Ò540ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò ÒØ Ø Ø Ò rë Ð ÖÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÒÒĐÓØ º Ð Ó q¹å ØÖ ÜÑ Ø Ò Öq Î Ö Ö Ò Ò p q ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÒºËÙÑÑ

9 Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð ÃÐ ÑÑ ÖÙÒ ÞÙÖ Ö ÒÙÒ ÚÓÒ Aufgabenstellung A 1 Â ÃÐ ÑÑ ÖÙÒ ĐÙ ÖØ Ù Ò ÖÙÔÔ ÖÙÒ nº A 2 A Á Ø ÓÔØ Ñ Ð ÓÑĐÙ Ò Ù ÃÐ ÑÑ ÖÙÒ ÒÚÓÒ (A 1 A i ) (A i+1 A n )Ñ Øi {1, n}º ĐÙÖ ÒÞ Ðk(n) ÖÑĐÓ Ð ÒÃÐ ÑÑ ÖÙÒ Ò ÐØ n Ö ÒÓÔØ Ñ Ð Òº A 1 A 1ÙÒ iùò A i+1 A k(1) = n 1 k(n) = k(i) k(n i). i=1 Ë Û Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÑ Ønº Ð Ó ÓÐÐØ Ñ ÒÒ Ø ÐÐ Ò Ó º Ø Ð Ò Ò Ð Òk(n) ÃÐ ÑÑ ÖÙÒ ÑĐÓ Ð Ø ÒÙÒØ Ö Ù Òº = 1 Ì Ð Ù Ò Ò Ö Ð ÖØ ÒĐ ÑÐ ÃÐ ÑÑ Ö 1) ÓÐ Ì Ð Ù Òº jóôø Ñ Ðº ÈÖÓ Ù Ø Ö ÖØA i A ØÒÙÖn 2 (n n 1( 2n n )º

n )Ñ Øi {1, n}º ĐÙÖ ÒÞ Ðk(n) ÖÑĐÓ Ð ÒÃÐ ÑÑ ÖÙÒ Ò ÐØ n Ö ÒÓÔØ Ñ Ð Òº A 1 A 1ÙÒ iùò A i+1 A k(1) = n 1 k(n) = k(i) k(n i).

10 9.3.2 Detaillierung Gegeben:Å ØÖ Þ ÒA 1 A nñ ØËÔ ÐØ Ò ÒÞ Ð Òc i Û Ð Ñ Ø ÈÖÓ Ù Ø Ð ØÛ Ö Ò ÒÒ ÑĐÙ Ò A 0 Ð Òº Gesucht: Å Ò Ñ ÐÞ ÐMÚÓÒË Ð ÖÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò ĐÙÖ c i 1 Ð Ò Ò(i n ÛĐÓ ÒÐ ÖÅ ØÖ ÜÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº ÈÖÓ Ù ØA 1 A Lösung:Ë M ij Å Ò Ñ ÐÞ Ð ĐÙÖA 1nº ÐØ ÒÒ ØM = M = 2 n)ºa 1 c i 1 A jº ĐÙÖ ÒĐÓØ Ø ÒM¹Ï ÖØ ÐØ k i, j (k + 1) < j i =Ñ Ò M ij (M ik + M (k+1),j + c i 1 c k c j ) i<k<j c nº ij ÓÖ Ò ØÒ Ö Û Ò ÒÒÑ Ò n )Ï ÖØ Ñ Ø Ù Û Ò O(n) Ö Ò Ø 0º 2 1)Ï ÖØ M ÖĐÓ ÚÓÒj iø ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ò Ñ Ø ÒM = Û Ö Ò Ð ÓΘ(n Ø Ù Ò ÄĐÓ ÙÒ ÒO(nÐÓ n) ÐÐ Ö Ò Û Ö Ö )º 2 º º Ö ÑØ Ù Û Ò Ð Ø ÒO(n 3 Ó Ò ÒĐÙ Ö Ø Òº Ù Û Ò ĐÙÖ ÒØÐ Å ØÖ ÜÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒO(n 3 ii ) c B. Möller ß¾¼ß

< j i =Ñ Ò M ij (M ik + M (k+1),j + c i 1 c k c j ) i<k<j c nº ij ÓÖ Ò ØÒ Ö Û Ò ÒÒÑ Ò n )Ï ÖØ Ñ Ø Ù Û Ò O(n) Ö Ò Ø 0º 2 1)Ï ÖØ M ÖĐÓ ÚÓÒj iø ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ò Ñ Ø

11 Ì ÐÐ ÖÙÒ ÒÛ Ö Ò Ò Ö Ô ÖØÓ Ö 9.4 Schlußbemerkungen ÐĐÓ Øº Ï Ø Ö Ô Ð Ñ Ø ÖÌ ÐÐ ÖÙÒ Ø Ò ÙØÐĐÓ Ò Ð Ò Ò È Ð³ Ö ÞÙÖ Ö ÒÙÒ Ö ÒÓÑ Ð Ó ÆÞ ÒØ Ò Ø Ò¹Æ Ú ÐÐ ¹Ë Ñ Ó ¹Ã Ñ ¹ ÓÙÒ Ö¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÞÙÖËÝÒØ Ü ÝÒ ÐÝ ÓÒØ ÜØ Ö Ò Ö ÑÑ Ø Ò ÞÛºËÝÒØ Ü Ö ÑÑ Òº c B. Möller ß¾½ß

Ähnliche Dokumente

Verteilte Systeme/Sicherheit im Internet

ruhr-universität bochum Lehrstuhl für Datenverarbeitung Prof. Dr.-Ing. Dr.E.h. Wolfgang Weber Verteilte Systeme/Sicherheit im Internet Intrusion Detection und Intrusion Response Systeme (IDS & IRS) Seminar