Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf

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1 Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005 Paradigmen im Algorithmenentwurf

2 Problemlösen Problem definieren Algorithmus entwerfen Programm erstellen Lösung überprüfen

3 Algorithmenentwurf Der Entwurf neuer Algorithmen erfordert Kreativität Allgemeine Denk- und Lösungsansätze können dabei oft sehr nützlich sein: Sie liefern uns Muster zur Lösung unterschiedlicher Probleme Sie können systematisch in gängige Kontroll- und Datenstrukturen diverser Programmiersprachen umgesetzt werden. Das Verhalten (Effizienz, Komplexität) der entsprechenden Algorithmen ist bekannt

4 Techniken zum Entwurf von Algorithmen Divide et Impera Backtracking Greedy Dynamische Programmierung

5 Gierige Algorithmen eine Algorithmenmethode, um Optimierungsprobleme zu lösen Bei einem Optimierungsproblem gibt es zu jeder Probleminstanz viele mögliche oder zulässige Lösungen. Lösungen haben Werte gegeben durch eine Zielfunktion. Gesucht ist dann eine möglichst gute zulässige Lösung. Also eine Lösung mit möglichst kleinem oder möglichst großem Wert

6 Python

7 Minimale Spannbäume 1. Probleminstanz gewichteter, ungerichteteter, zusammenhängender Graph 2. Zulässige Lösungen Spannbäume 3. Zielfunktion Gewicht eines Spannbaums 4. Gesucht Spannbaum minimalen Gewichts

8 Idee 1. Gierige Algorithmen bestimmen Lösung durch sukzessives Erweitern von bereits gefundenen Teillösungen. 2. Erweitern geschieht durch lokal optimale Wahlen. 3. Analyse muss dann zeigen, dass lokal optimale Wahlen zu global optimalen Lösungen führt.

9 Kruskal 1. Algorithmus von Kruskal bestimmt minimalen Spannbaum durch sukzessives Hinzufügen von Kanten. 2. Kruskals Algorithmus wählt möglichst leichte Kante, die Zusammenhangskomponenten verbindet. 3. Analyse mit Hilfe von Schnitten zeigte, dass Teilbaum immer in einem minimale Spannbaum enthalten ist.

10 Kruskal

11 Prim 1. Algorithmus von Prim bestimmt minimalen Spannbaum durch sukzessives Hinzufügen von Kanten. 2. Prims Algorithmus wählt möglichst leichte Kante, die isolierten Knoten mit Teilbaum verbindet. 3. Analyse mit Hilfe von Schnitten zeigte, dass Teilbaum immer in einem minimalen Spannbaum enthalten ist.

12 Prim

13 1-Prozessor-Scheduling Gegeben sind n Jobs J 1,...,J n mit Dauer t 1,...,t n Jeder der Jobs muss auf einem einzigen Prozessor abgearbeitet werden. Der Prozessor kann zu jedem Zeitpunkt nur einen Job bearbeiten. Ein einmal begonnener Job darf nicht abgebrochen werden. Gesucht ist eine Reihenfolge, in der die Jobs abgearbeitet werden, so dass die durchschnittliche Bearbeitungszeit der Jobs möglichst gering ist.

14 1-Prozessor-Scheduling Bearbeitungszeit eines Jobs ist der Zeitpunkt, an dem der Job vollständig bearbeitet wurde Werden die Jobs in Reihenfolge j π(1),...,j π(n) ausgeführt, wobei π eine Permutation ist, so ist die Bearbeitungszeit von Job j π(1) genau t π(1), die Bearbeitungszeit von Job j π(2) ist t π(1) + t π(2),usw

15 1-Prozessor-Scheduling Schedule Nr. 1: Durchschnittliche Beendigung: 25 Schedule Nr. 2: Durchschnittliche Beendigung: 17,75

16 1-Prozessor-Scheduling Bei Permutation π ist die durchschnittliche Bearbeitungszeit gegeben durch Eine Permutation π führt genau dann zu einer minimalen durchschnittlichen Bearbeitungszeit, wenn die Folge (t π(1),..., t π(n) ) aufsteigend sortiert ist

17 Mehr-Prozessor-Scheduling Gegeben sind n Jobs J 1,...,J n mit Dauer t 1,...,t n und m identische Prozessoren Jeder der Jobs muss auf einem einzigen Prozessor abgearbeitet werden. Jeder Prozessor kann zu jedem Zeitpunkt nur einen Job bearbeiten. Ein einmal begonnener Job darf nicht abgebrochen werden Gesucht ist eine Aufteilung der Jobs auf die Prozessoren und für jeden Prozessor eine Reihenfolge der ihm zugewiesenen Jobs, so dass durchschnittliche Bearbeitungszeit der Jobs möglichst gering ist

18 Mehr-Prozessor-Scheduling Die Permutation π sei so gewählt, dass die Folge (t π(1),..., t π(n) ) aufsteigend sortiert ist. Weiter werde dann Job j π(i) auf dem Prozessor mit Nummer i mod m ausgeführt. Das so konstruiert Scheduling minimiert dann die durchschnittliche Bearbeitungszeit.

19 Mehr-Prozessor-Scheduling Schedule Nr. 1: Durchschnittliche Beendigung: 18,33 Schedule Nr. 2: Durchschnittliche Beendigung: 18,33

20 Gierig ist nicht immer optimal Betrachten dasselbe Szenario wie vorher mit Jobs und Prozessoren. Wollen aber jetzt den Zeitpunkt minimieren, an dem alle Jobs beendet sind. Schedule Nr. 3: Durchschnittliche Beendigung: 18,55

21 Fraktionales Rucksack-Problem Gegeben sind n Gegenstände g 1,...,g n. Der i-te Gegenstand g i besitzt Wert v i und Gewicht w i. Ausserdem ist eine Gewichtsschranke S gegeben. Zulässige Lösungen sind Zahlen a i [0,1] mit Gesucht ist eine zulässige Lösung a 1,...,a n mit möglichst großem Gesamtwert

22 Algorithmus Sortiere die Verhältnisse v i /W i absteigend. Sei v π(1) /W π(1) >v π(2) /W π(2) >...>v π(n) /W π(n) für Permutation π auf (1,,n). Bestimme maximales k, so dass noch gilt Setze a π(1) =... = a π(k) =1 und setze Alle anderen a i setze auf 0.

23 Dynamische Programmierung dynamisch = sequentiell Programmierung = Optimierung mit Nebenbedingungen Die optimale Lösung für ein Problem der Größe n setzt sich aus optimalen Teillösungen kleinerer Größe zusammen

24 Dynamische Programmierung Kleinere Teilprobleme mit zunehmender Größe definieren Diese Teilprobleme in eine Hierarchie gliedern, so dass die optimale Lösung für ein Problem der Größe n aus den optimalen Lösungen kleinerer Teilprobleme zusammengesetzt werden kann --> Diese Zusammensetzung wird typischerweise beschrieben durch eine Rekursionsgleichung (DP equation)

25 Dynamische Programmierung Ein DP-Algorithmus umfasst folgende Schritte: Teilprobleme bearbeiten Ergebnisse der Teilprobleme in Tabelle eintragen Zusammensetzen der Gesamtlösung

26 Die Fibonacci Folge Eine unendliche Folge von Zahlen Zahl durch Addition ihrer beiden Vorgänger ergibt Rekursive Beschreibung des Problemes: f1 := 1 f2 := 1 fn := fn 1 +fn 2 1,1,2,3,5,8,13,...

27 Die Fibonacci Folge

28 Die Fibonacci Folge

29 Die Fibonacci Folge

30 Die Fibonacci Folge

31 Die Fibonacci Folge Weiterhin Rekursionen Ergebnisse werden zwischengespeichert Zuerst 'lookup' in Tabelle Laufzeit für fib(50) = : Rekursiv: 13 Minuten, 12 Sekunden Rekursiv mit Dynamischer Programmierung: Sekunden

32 Problem des kurzesten Pfades Den kürzesten Pfad zwischen zwei Punkten finden Viele Anwendungen (Navigation, Routing, Spiele) Viele Algorithmen Zeitkritisch

33 Problem des kurzesten Pfades Input Menge V an n Knoten Menge E an Kanten, wobei e ij die Distanz zwischen den Knoten v i und v j beschreibt Startknoten v s, Endknoten v e p(v i,k V)= min p(v s,k)=0 (p(v,k-{v })+e ) vk K k k ik Um den kürzesten Pfad zu berechnen, muss man also p(v k,k-{v k }) ausführen

34 Problem des kurzesten Pfades Große Menge an Rekursionen Redundante Berechnungen Überexponentielle Komplexität! Lösung: Iterative Berechnung der Wege, ausgehend von dem ersten Knoten Zwischenspeichern der bereits besuchten Knoten

35 Djikstra s Algorithmus Setze bei allen Knoten außer dem Startknoten die Distanz auf Nimm den Knoten mit der kürzesten Distanz zum Startknoten Markiere diesen Knoten als besucht Berechne die Distanz aller direkt verbundenen Knoten, die noch nicht besucht wurden zum, Startknoten Speichere für diese Knoten den aktuellen Knoten als vorgehenden Knoten, falls die Distanz kleiner ist als die vorher vorhandene Führe dieses Verfahren so lange durch, bis alle Knoten besucht wurden

36 Eigenschaften Laufzeit O(n2 ) Falls es einen optimalen Weg gibt, wird dieser gefunden Zusätzlich werden die optimalen Wege vom Startknoten zu allen anderen Knoten berechnet

37 Eigenschaften Optimalitätsprinzip: Jeder Teilweg eines optimalen Weges ist selbst wiederum ein optimaler Weg Iterativer Durchgang durch alle Knoten Bereits gefundene Wege werden abgespeichert und bei weiteren Berechnungen wiederverwendet

38 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

39 Rückblick 1. grundlegende Sprachelemente 2. Phasen eines Softwareprojekts 3. Algorithmen 4. Wie funktioniert Python 5. Algorithmenentwurf

40

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