Bruchrechnen. Bruchteile von Maßeinheiten. Schüler-Lese- und Übungstext. Verwendung von Brüchen und Dezimalzahlen

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1 Bruchrechnen Bruchteile von Maßeinheiten Schüler-Lese- und Übungstext Verwendung von Brüchen und Dezimalzahlen Hinweis: Es gibt einen zweiten Text zu diesem Thema unter der Nummer 2 Stand. November 6 Datei Nr. Friedrich W. Buckel Internetbibliothek für Schulmathematik

2 Bruchteile von Maßeinheiten 2 Vorwort Das Hauptthema dieses Textes ist der Umgang mit Maßzahlen und Einheiten von Größen. Wie kann man die Einheiten der Größe Masse (=Materialmenge), also Gramm, Kilogramm und Tonnen ineinander umrechnen? Oder bei den Angaben von Längen, Flächenmaßen und Rauminhalten? Dazu benötigt man ein minimales Grundwissen über Bruchzahlen und Dezimalzahlen. Daher beginnt der Text mit einer ganz einfachen Einweisung über Brüche, dann folgen elementare Umwandlungen dieser Größenangaben. Schwierig wird es erst, wenn man Bruchteile von Größen berechnen soll, etwa in der Art: Wie viel Gramm sind von 0 g. Der Leser dieses Textes wird sicher nicht den ganzen Inhalt suchen und benötigen. Er ist eben eine Sammlung von Aufgabenstellungen, die dazugehören. Man blättere durch und suche sich die Seiten heraus, die man braucht. Viel Erfolg! Inhalt Brüche und Dezimalzahlen Einfache Erklärung 2 Bruchteile von Einheiten 2. Beispiele zu Masseneinheiten 2.2 Beispiele zu Längeneinheiten 6 2. Beispiele zu Flächeneinheiten 2. Beispiele zu Volumeinheiten 2. Beispiele zu Zeiteinheiten 9 Dreistufige Umwandlungen Verkürzte dreistufige Umwandlungen 6 Aufgabenblatt 6 In Bruchteile einer größeren Einheit umrechnen 2 Lösungen der Aufgaben 22 Anhang: Grundwissen (Einheiten-Umrechnungen) 2

3 Bruchteile von Maßeinheiten Beispiele: Brüche und Dezimalzahlen Ein Bruch ist eine Form der Darstellung einer Divisionsaufgabe. Statt : kann man also auch schreiben. Die Zahl über dem Bruchstrich heißt Zähler, die Zahl darunter heißt Nenner. Das Ergebnis der Division heißt dann der Wert des Bruches. a) : 2 lautet in Bruchform b) 2. Man liest das Zehn Fünftel = 2. Die Bedeutung des Gleichheitszeichens ist: Der Bruch hat den Wert 2 : Diese Division geht nicht auf. Daher lässt man den Bruch als Ergebnis stehen. Dezimalzahlen entstehen beim Dividieren Wenn eine Division nicht aufgeht, entsteht ein Rest. Will man diesen nicht weiter aufteilen, entstehen Dezimalzahlen: c) Umrechnung von in eine Dezimalzahl: Hier rechnet man: : = 0 (bzw, geht in 0-mal.). Dann setzt man ein Komma als Zeichen, dass nun die Zehntel kommen. Man schreibt eine 0 hinter die und rechnet: :=2 Rest. Hinter setzt man die nächste 0 und rechnet; := Rest 0. Die Division ist beendet. Das Ergebnis lautet: 0,2 d) Man soll Pizzen gleichmäßig an Leute verteilen. Wie viel erhält jeder? Diese Division sagt uns, dass jeder Pizza bekommt, und dass als Rest übrig bleiben. Diese verteilen wir nun weiter: Dazu fügt man hinter die und im Ergebnis hinter die das Dezimalkomma, und hinter den Rest schreibt man eine 0 (hier rot), Jetzt dividiert man: 0 : = (rot) und berechnet dazu den Rest 2 (schwarz). Nun fügt man diesem Rest wieder eine Null an (jetzt blau) und rechnet: : = (blau). Weil jetzt kein Rest bleibt (Rest 0), ist die Division beendet.,0 : 0, 2 0,0 :, Ergebnis:,. Also erhält jede Person, Pizzen.

4 Bruchteile von Maßeinheiten So kann man weitere Brüche umrechnen: 0,, 0,0 0, 0,00 00, 0, 2, 0,2, 0,2, 2 0, 0, 0,0 0,0 2 0,02 0 Ein guter Trick für solche Umrechnungen besteht darin, den Bruch so zu erweitern, dass im Nenner eine Zehnerpotenz entsteht, also, 0, 00 usw. Beispiele: a) b) c) d) 2 6, , , , Hier erweitert man Bruch mit 2 (das heißt, man multipliziert Zähler und Nenner mit 2), damit man den Nenner erhält. Nun heißt die Divisionsaufgabe nicht mehr : sondern 6 :. Dazu denkt man sich in 6,0 das Komma um eine Stelle nach links verschoben. Hier wird mit erweitert, damit man den Nenner 0 erhält, Damit geht die Division : 2 über in 6:0. Dazu denkt man sich in 6,0 das Komma um zwei Stellen nach links verschoben. Hier wird mit erweitert, damit man den Nenner 00 erhält, Damit geht die Division : 0 über in 6:00. Dazu denkt man sich in 6,0 das Komma um drei Stellen nach links verschoben. Hier wird mit erweitert, damit man den Nenner 00 erhält, Damit geht die Division : 2 über in 2:00. Dazu denkt man sich in 2,0 das Komma um drei Stellen nach links verschoben. Die meisten Divisionen führen zu periodischen Dezimalzahlen. Näheres dazu kann man in Abschnitt xxx nachlesen.

5 Bruchteile von Maßeinheiten 2 Bruchteile von Einheiten Für die Aufgaben dieses Textes muss man die Umrechnungen der Einheiten beherrschen. Diese werden im Text 0 besprochen. Eine Übersicht findet man auch im Anhang dieses Textes. 2. Beispiele zu Masseneinheiten Beispiele Lösung: Ergebnis: () Wie viel g sind kg? kg sind 00 g : =0 g. kg 0 g (2) Wie viel g sind kg? kg sind 00 g : 0 = g. kg g () Wie viel g sind kg? kg sind 00 g : 00 = g. kg g () Wie viel kg sind t? t sind 00 kg : =0 kg. t 0 kg () Wie viel g sind kg? kg 00 g : g = = (6) () () Ganz nützlich ist auch diese Übersicht: 00 g = 00 mg : = 2 mg t = 00 kg : = 0 kg kg = 00 g : = 0 g kg t 0,00 t g kg 0,00kg mg g 0,00g 0 00 kg t 0,0 t g kg 0,0kg mg g 0,0g 0 0 kg t 0, t 0 g kg 0,kg 0 mg g 0,g Zweistufige Umwandlungen a) Wie viel Gramm sind kg? Mit anderen Worten: Wie viel g sind von 00 g? Man berechnet zuerst von 00 g. Und dann nimmt man davon das Dreifache: von 00 g 00 g : g (. Stufe) von 00 g g 0 g (2. Stufe) Im Kopf rechnet man also dies nacheinander aus: Und so kann man die Rechnung kurz aufschreiben: Es gibt auch noch diese Variante: Oder so: : g g 0 g kg = g = 0 g kg = 00 g = 0 g kg 0, 00 g 0 g = = b) c) = : t? g? d) kg? 00 kg 2 kg 62 kg = : 00 mg 0 mg 00 mg : t = 2 kg = 62 kg g= 0 mg = 00mg 00 g 0 g 0 g kg 0 g 0 g

6 Bruchteile von Maßeinheiten Beispiele zu Längeneinheiten m km 0,00km cm m 0,0m dm m 0,m 00 0 cm m 0,m m km 0,0km 0 m km 0,km mm cm dm m So kann man vorgehen: 0 00 a) km 00 m : 0 m km 00 m : 0 m c) dm cm : 2 cm m 0 cm : 2 cm 2 0 Zweistufige Umwandlungen: e) Wie viel m sind km? d. h. Wie viele m sind von 00 m? Man berechnet zuerst von 00 m. Und dann nimmt man davon das Vierfache: von 00 m 00 m : 0 m (. Stufe) von 00 m 0 m 00 m (2. Stufe) Im Kopf rechnet man also dies nacheinander aus: Und so kann man die Rechnung aufschreiben: Es gibt auch noch diese Variante: Oder so: 00 m 0 m 00 m : km = 0 m = 00 m = km 00 0 m = 00 m km = 0, 00 m = 00 m Beispiele: Pfeildiagramm: Berechnungsgleichung: f) m? g) 9 2 km? h) 2 dm? : 00 mm 2 mm mm 9 :2 m= 2 mm = mm 00 m m 2 m 9 2 km 9 m2m 0mmmm 6mm dm mm 6 m m :2 2

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