Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungen zum Wiederholungsblatt

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1 TUM, Zetrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 23/4 Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weider Eiführug i die Wahrscheilichkeitstheorie Lösuge zum Wiederholugsblatt Aufgabe W Es gibt zwei Ladstraße zwische A-Stadt ud C-Stadt, ee wir sie L ud L 2. Am Rade der L stehe die Bäume b ud b 2, am Rade der L 2 steht der Baum b 3 (siehe Bild. Bei dem Sturm i der letzte Nacht ist jeder der drei Bäume b, b 2, b 3 mit Wahrscheilichkeit p uabhägig vo de adere Bäume umgefalle ud hat die Ladstraße blockiert. Für i 3 bezeiche B i das Ereigis, dass der Baum b i die Ladstraße icht blockiert. b b 2 A-Stadt C-Stadt b 3 Drücke Sie das Ereigis D = {Midestes eie der beide Ladstraße zwische A- Stadt ud C-Stadt ist icht blockiert} durch die Ereigisse B, B 2 ud B 3 aus ud bereche Sie P(D. Es ist D = (B B 2 B 3. Wir wisse P(B i = P(B c i = ( p = p. Damit ergibt sich mit der Iklusio-Exklusio-Formel: P(D =P((B B 2 B 3 = P(B B 2 + P(B 3 P((B B 2 B 3. Nach Voraussetzug sid die Ereigisse B c, B c 2, B c 3 uabhägig. Damit sid auch die Ereigisse B, B 2, B 3 uabhägig ud es folgt: P(D = P(B P (B 2 + P(B 3 P(B P (B 2 P (B 3 = p 2 + p p 3. Aufgabe W2 Marti besitzt eie vier- ud eie sechsseitige Würfel, der mit de Zahle bis 4 bzw. bis 6 beschriftet ist. Marti wählt sich zufällig gemäß Gleichverteilug eie der beide Würfel aus ud würfelt. (i Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass Marti eie 3 würfelt? (ii Marti hat tatsächlich eie 3 gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass er de vierseitige Würfel ausgewählt hat? (iii Nu wirft Marti beide Würfel ud verrät us, dass eier der beide Würfel eie 3 zeigt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass die Augesumme größer als 6 ist?

2 (i Wir defiiere die Ereigisse A = {Marti würfelt eie 3}, B = {Marti würfelt mit dem vierseitige Würfel}. Mit dem Satz der totale Wahrscheilichkeit erhalte wir P(A = P(A BP(B + P(A B c P(B c = = (ii Mit Aufgabeteil (i ud der Defiitio der bedigte Wahrscheilichkeit folgt P(B A = P(A B P(A = P(B P(A B P(A P(B = P(B P(A P(A B = = 3 5. (iii Wir defiiere die Ereigisse C = {Augesumme größer als 6}, D = {Der vierseitige Würfel zeigt eie 3}, E = {Der sechsseitige Würfel zeigt eie 3}. Da gilt P(C D E = = P(C (D E P(D E = {(3,4,(3,5,(3,6,(4,3} P(C (D E P(D + P(E P(D E = 4 9. Aufgabe W3 Eie Katzefamilie hat 3 kleie Kätzche. Jedes Kätzche ist mit Wahrscheilichkeit 2 weiblich ud mit Wahrscheilichkeit mälich, uabhägig vo alle adere Kätzche. Betrachte Sie die 2 Ereigisse A = {Uter de Katzekider ist höchstes ei Kater}, B = {Die Katzefamilie hat sowohl mäliche als auch weibliche Nachkomme}. Sid die Ereigisse A ud B uabhägig? Begrüde Sie Ihre Atwort. Wir modelliere dies durch folgede Wahrscheilichkeitsraum: Ω = {m, w} 3, wobei m für ei mäliches ud w für ei weibliches Kätzche steht, F = P(Ω, P ({ω} = = 8

3 für alle ω Ω wege der Uabhägigkeitsvoraussetzug. Wir bereche die Wahrscheilichkeite: P (A =P (Uter de Katzekider ist höchstes ei Kater =P ({(w, w, w, (m, w, w, (w, m, w, (w, w, m} = 4 8 = 2, P (B =P (Die Katzefamilie hat sowohl mäliche als auch weibliche Nachkomme = P (B c = P ({(w, w, w, (m, m, m} = 2 8 = 3 4, P (A B =P (Uter de Katzekider ist geau ei Kater =P ({(m, w, w, (w, m, w, (w, w, m} = 3 8. Somit habe wir gezeigt: P (A B = P (AP (B, also sid A ud B uabhägig. Aufgabe W4 I eier Ure befide sich gleich viele Kugel, die mit de Ziffer, 2 ud 3 beschriftet sid. Aus der Ure wird -mal mit Zurücklege gezoge. (i Gebe Sie eie Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P für dieses Zufallsexperimet a ud defiiere Sie formal für i {, 2, 3} die Zufallsvariable X i, welche die Azahl der gezogee Kugel mit der Nummer i agibt. (ii Bestimme Sie die Verteilug vo X, vo X + X 2 sowie vo X + X 2 + X 3. (iii Bereche Sie die Kovariaz Cov(X, X 2. (i Sei Ω = {, 2, 3}, F = P(Ω ud P die Gleichverteilug auf Ω. Wir defiiere für alle ω = (ω,..., ω die Zufallsvariable X i (ω = {ωk =i} für i {, 2, 3}. (ii Für k {,..., } gilt P(X = k = ( k ( 3 k ( 2 3 k ud P(X = k = für k {,..., }. X ist also Biomial(, -verteilt. 3 Aalog gilt P(X + X 2 = k = P(X 3 = k = ( k ( 3 k ( 2 3 k = ( k ( 2 3 k ( 3 k für k {,..., } ud P(X + X 2 = k = für k {,..., }. X + X 2 ist also Biomial(, 2-verteilt. 3 Für X + X 2 + X 3 gilt P(X + X 2 + X 3 = =. (iii Da X, X 2 ud X 3 idetisch verteilt sid, folgt Var(X = Var(X 2 = Var(X 3 ud Cov(X i, X j = Cov(X, X 2 für i, j {, 2, 3}, i j. Somit erhalte wir k= Var(X + X 2 + X 3 = Var(X + Var(X 2 + Var(X 3 + = 3 Var(X + 6 Cov(X, X 2. i,j {,2,3} i j Cov(X i, X j

4 Somit folgt Cov(X, X 2 = 6 Var(X + X 2 + X 3 2 Var(X = 9 = = Aufgabe W5 Sei F : R R defiiert durch für x < F (x = x 3 für x für x >. (i Zeige Sie, dass F eie Verteilugsfuktio ist ud bestimme Sie die zugehörige Wahrscheilichkeitsdichte f. (ii Sei X eie Zufallsvariable mit Verteilugsfuktio F. Bestimme Sie E(X, Var(X sowie E ( X. (i Es gilt F (x = x 3y 2 [,] (y =:f(y dy. f ist eie Wahrscheilichkeitsdichte, da f ud R f(x dx = 3x 2 dx =. Somit ist F eie Verteilugsfuktio mit Wahrscheilichkeitsdichte f. (ii Für de Erwartugswert gilt E(X = Als Variaz erhalte wir Var(X = E(X 2 E(X 2 = Außerdem ist E R R xf(x dx = x 2 f(x dx ( = f(x dx = X R x 3x 3 dx = 3 4. ( 2 3 = 3x 4 dx = = x dx = 3 2.

5 Aufgabe W6 Seie X,..., X uabhägige, idetisch verteilte Zufallsvariable, wobei X Expoetial(λ- verteilt mit λ > ist. Sei Y := mi i X i. Bestimme Sie die Verteilugsfuktio ud Dichte vo Y. Welche Verteilugstyp hat Y? Es ist F Y (x = für x <. Für x gilt ( ( ( F Y (x = P (Y x = P mi X i x = P mi X i > x = P i i = P (X i > x = ( e λx = e λx. i= Im füte Schritt habe wir die Uabhägigkeit der X i verwedet. Als Wahrscheilichkeitsdichte f Y erhalte wir Y ist also Expoetial(λ- verteilt. f Y (x = F (x = λe λx [, (x. i {X i > x} Aufgabe W7 Die Azahl der Kude i eier Eisdiele a eiem bestimmte Tag sei Poisso(λ- verteilt, wobei λ >. Jeder Kude kauft mit Wahrscheilichkeit p ei Eis für Euro ud mit Wahrscheilichkeit p ei Eis für 2 Euro, uabhägig vo alle adere Kude. Ma bestimme die Verteilug der Azahl X der Kude, die ei Eis für Euro kaufe. Mögliche Werte vo X sid,, 2,.... Sei Y die Azahl aller Kude. Für k N gilt: D.h. X Poisso(pλ. P (X = k = P (X = k Y = i i= falls i<k = ( kp i k ( p i k falls i k P (Y = i =e λ λi i! i! = k!(i k! pk ( p i k λ λi e i! i=k λ (pλk = e (( pλi k k! (i k! i=k pλ (pλk = e k! = (( pλ j j= =e j! ( pλ

6 Aufgabe W8 Wir wähle zufällig gemäß der Gleichverteilug eie Pukt (X, Y auf der Eiheitskreisscheibe K = {(x, y R 2 : x 2 + y 2 } aus. (i Gebe Sie die Wahrscheilichkeitsdichte vo (X, Y a. (ii Bestimme Sie die Radverteiluge vo X ud Y. Sid X ud Y uabhägig? (iii Bereche Sie die Erwartugswerte E(X ud E(Y. (i Die Wahrscheilichkeitsdichte vo (X, Y ist f (X,Y : R 2 R, (x, y π K(x, y. (ii Um die Radverteilug zu azugebe, geügt es die Dichte f X vo X zu bestimme. Diese erhält ma durch Itegratio der gemeisame Dichte vo X ud Y ach y. Für x [, ] gilt f X (x = Für x [, ] ist f X (x =. R π K(x, y dy = x 2 x π dy = 2 x2. π 2 Aalog bestimmt ma die Dichte vo Y zu f Y (y = 2 π y2 [,] (y oder ma führt die Symmetrie der Aufgabestellug i x ud y a, um dasselbe Ergebis zu erhalte. Da f(x, y = π K(x, y 4 π 2 ( y2 ( x 2 = f(xf(y z. B. für (x, y = (, sid die Zufallsvariable X ud Y abhägig. (iii Aufgrud der Symmetrie des Systems gilt E(X = E(Y =. Ma ka atürlich auch reche... Aufgabe W9 Seie X, X 2,... uabhägige, idetisch verteilte Zufallsvariable mit E(X = ud σ 2 := Var(X <. Sei Y := 2X X +. (i Bereche Sie de Erwartugswert ud die Variaz vo Y für N. (ii Bereche Sie die Kovariaz Cov(Y i, Y j für i, j N. (iii Zeige Sie, dass lim P( i= Y i ε = für alle ε >. (i Für N gilt E(Y = E(2X X + = 2E(X E(X + = 2E(X 2 =. Im zweite Schritt habe wir verwedet, dass die Zufallsvariable X ud X + uabhägig sid, im vorletzte, dass sie dieselbe Verteilug wie X habe. Aalog bestimme wir die Variaz: Var(Y = E(Y 2 E(Y 2 = E(4X 2 X 2 + = 4E(X 2 E(X 2 + = 4E(X 2 2 = 4 Var(X = 4σ 4

7 (ii Für i, j N ist Cov(Y i, Y j = E ( (Y i E(Y i (Y i E(Y i = E(Y i Y j = 4E(X i X i+ X j X j+. Ohe Eischräkug köe wir aehme, dass i j. Falls i = j, erhalte wir Cov(Y i, Y j = Cov(Y i, Y i = Var(Y i = 4σ 4. Ist i + = j, so gilt wieder aufgrud vo Uabhägigkeit der Zufallsvariable X i, X i+ ud X i+2 Cov(Y i, Y j = 4E(X i X 2 i+x i+2 = 4E(X i E(X 2 i+e(x i+2 =. Falls i + < j, so sid i, i +, j, j + alle verschiede, die zugehörige Zufallsvariable sid uabhägig ud es folgt Cov(Y i, Y j = 4E(X i X i+ X j X j+ = 4E(X i E(X i+ E(X j E(X j+ =. (iii Mithilfe der Markov-Ugleichug ist ( ( 2 ( E 2 i= Y i P Y i > ε = ε 2 2 ε 2 i= = 4 2 ε 2 i= σ 4 = 4σ4 ε 2 i,j= E ( Y i Y j = 2 ε 2 Cov(Y i, Y j Aufgabe W Sei (X i i N eie Folge vo uabhägige, Expoetial(-verteilte Zufallsvariable. (i Zeige Sie, dass i,j= 2 i= X 8 i f.s. (ii Beweise Sie, dass ( P (X i > i= 2 (i Wir zeige zuerst, dass X 8 L 4. Da X Expoetial(-verteilt ist, gilt E ( (X 8 4 = = 2 sup y [, x 32 e x dx = ( y 32 e y 2 <, ( x 32 e x 2 e x 2 dx sup y [, y 32 e y 2 e x 2 dx da y 32 e y 2.

8 Somit ist das starke Gesetz der große Zahle awedbar ud es folgt 2 i= Xi 8 = f.s. Xi 8 i= E(X 8 < f.s. f.s. (ii Da X L 2 ud E(X = Var(X =, erhalte wir mit dem zetrale Grezwertsatz ( ( P (X i > = P (X i i= Außerdem gilt e x2 2 dx = 2 = 2 = 2 i= ( ( e x2 2 dx + e x2 2 dx + e x2 2 dx = 2, e x2 2 dx. e x2 2 dx e x2 2 dx wobei wir im zweite Schritt die Symmetrie des Itegrade verwedet habe. Im dritte Schritt wurde über die Wahrscheilichkeitsdichte eier Normalverteilug itegriert. Isgesamt folgt die Behauptug.