Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Aufgabe erreichbare Punkte erreichte Punkte Punkte aus Übungsmitarbeit Gesamtpunktanzahl

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1 Universität des Saarlandes, Lehrstuhl für Systemtheorie und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG aus SYSTEMTHEORIE UND REGELUNGSTECHNIK I am Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe 3 4 erreichbare Punkte erreichte Punkte Punkte aus Übungsmitarbeit Gesamtpunktanzahl Bearbeitungshinweise:. Namen, Vornamen und Matrikelnummer auf dem Deckblatt eintragen.. Für jede Aufgabe ein neues Blatt beginnen. 3. Auf jedem Blatt den Namen und die Matrikelnummer angeben. 4. Begründen Sie ausführlich Ihre Antworten. Viel Erfolg!

2 . Betrachten Sie das in Abb. dargestellte Stab-Kugel-System bestehend aus einem um den Winkel ϕ (t) rotierenden Stab mit Trägheitsmoment J und einer darauf reibungsfrei verschiebbaren Punktmasse m im Schwerefeld g. Die Position p(t) der Kugel soll über das Antriebsmoment u(t) geregelt werden. p(t) u(t) ϕ(t) m J Abbildung : Stab-Kugel-System. (a) Geben Sie das mathematische Modell des Stab-Kugel-Systems nach Abb. in der Form ẋ = f(x,u), p = h(x,u) mit der Kugelposition p als Ausgangsgröße an. Wählen Sie hierzu geeignete Zustandsgrößen x. Verwenden Sie zur Bestimmung des mathematischen Modells den Lagrange-Formalismus! (b) Bestimmen Sie alle Ruhelagen x R des Systems für ein Antriebsmoment u = u R = 0. Linearisieren Sie das mathematische Modell um eine Ruhelage x R Ihrer Wahl und geben Sie es in der Form Δẋ = AΔx + bu, Δy = c T Δx an. Ist die gewählte Ruhelage x R stabil? Begründen Sie Ihre Antwort. (c) Für den Fall, dass die Kugel fixiert wird vereinfacht sich das mathematische Modell unter der Annahme kleiner Auslenkungen ϕ und kann in die Form [ ] [ ] 0 0 ẋ = x + u, x(0) = x α 0 0 mit α>0 überführt werden. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung x(t) für eine beliebige Eingangsgröße u(t). Geben Sie hierzu mithilfe der Laplace-Transformation die Transitionsmatrix Φ(t) explizit an. Welche Lösung ergibt sich speziell für u(t) =σ(t) und x 0 = 0?

3 . Gegeben ist die folgende Übertragungsfunktion G(s) = (s +) 3 5 (s + s)+0. (a) Entwerfen Sie einen Regler für die Strecke G(s) mithilfe der Polvorgabe mit einem Freiheitsgrad. Legen Sie dabei alle Pole der Führungsübertragungsfunktion T r,y (s) auf. 3 (b) Berechnen Sie die Führungsübertragungsfunktion T r,y (s) des geschlossenen Kreises aus (a). Bestimmen Sie einen Vorfaktor k zur Gewichtung der Eingangsgröße so, dass im geschlossenen Kreis lim t y(t) =für r(t) =σ(t) gilt. (c) Überprüfen Sie die Realisierbarkeit der folgenden Übertragungsfunktionen. G (s) = s +s +3 3s +5s +, G (s) = s + 0s Geben Sie für die realisierbare(n) Übertragungsfunktion(en) die Zustandsrealisierung(en) in Steuerbarkeitsnormalform an.

4 3. Bearbeiten Sie folgende Aufgaben: (a) Gegeben ist das folgende Strukturschaltbild. G 4 u G G G 3 y G 5 Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G u,y (s). (b) Wann nennt man einen Regelkreis intern stabil? (c) Betrachten Sie den folgenden Regelkreis mit der Strecke G(s) und dem Regler R(s). r R u G y Ist der Regelkreis für die beiden Kombinationen aus Strecke und Regler i. G(s) = s +3 s und R(s) +4s 5 =s s +7 ii. G(s) = 5 und R(s) =s s + s + intern stabil? Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich! (d) Gegeben ist die Übertragungsfunktion G(s) = y(s) u(s) = s 5 s +s +5. Berechnen Sie die eingeschwungene Lösung y(t) für das Eingangssignal u(t) = ( cos 3t π ) + σ(t)+exp( 3t). 8

5 4. Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben: (a) Gegeben sind zwei Regelkreise mit einem Freiheitsgrad mit den Übertragungsfunktionen des offenen Kreises (s +3)(s 4) L (s) = (s +)(s ) (s 5) L (s) = s (3s +s +) In Abb. sind die Ortskurven von +L (s) und +L (s) dargestellt. Markieren Sie in diesen Ortskurven jeweils die Punkte ±0 bzw.± und zeichnen Sie den Umlaufsinn ein. Geben Sie weiterhin die stetige Winkeländerung an und beurteilen Sie die Stabilität der geschlossenen Regelkreise mithilfe des Stabilitätskriteriums nach Nyquist. Beachten Sie, dass in Abb. die Ortskurven von +L(s) dargestellt sind! (b) Welche Eigenschaften muss die Übertragungsfunktion L (s) des offenen Kreises in einem Regelkreises mit einem Freiheitsgrad aufweisen, damit Sie die Stabilität des geschlossenen Regelkreises mithilfe des vereinfachten Schnittpunktkriteriums beurteilen können? Welche der beiden Strecken L (s) und L (s) erfüllt diese Anforderungen? Begründen Sie Ihre Aussagen ausführlich! (c) Unter welchen drei Bedingungen ist ein System der Form ẋ = f(x, u,t) y = h(x, u,t) linear? Wann nennt man ein lineares System zeitinvariant? (d) Zeichnen Sie den Verlauf der Lösungstrajektorie x(t) inder(x,x )-Ebene für die Systeme und ẋ = x, x (0) = 0 ẋ = x, x (0) = ẋ = πx, x (0) = ẋ = πx, x (0) =. Verwenden Sie dazu die beiliegende Vorlage!

6 Im{+ L ( I )} Re{+ L ( I )} 4 Im{+ L ( I )} Re{+ L( I )} Abbildung : Ortskurven von + L (s) bzw.+l (s).

7 x x(0) x - - x x(0) x - -