Kapitel 8 Das magnetische Feld und die Induktivität

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1 1/42 Kapitel 8 Das magnetische Feld und die Induktivität 8.1 Strom und magnetisches Feld Magnetische Erscheinungen Zwischen Permanentmagneten wirken sogenannte magnetische Kräfte, wobei sich die Magnete je nach gegenseitiger Orientierung anziehen oder abstossen können. Diese Kräfte wirken offenbar entlang bestimmten Linien, Feldlinien genannt, wie mittels einer, gegenüber einem Permanentmagneten, kleinen Kompassnadel gezeigt werden kann (Die Kompassnadel ist selber ein Permanentmagnet 1 ). Mit einer Kompassnadel "sichtbar" gemachte Feldlinien eines Permanentmagneten: S N N Nordpol Sudpol Die Ausrichtung der Kompassnadel im Magnetfeld der Erde (magnetisch verhält sich die Erde offenbar wie ein Permanentmagnet) ermöglicht es den Feldlinien eine Richtung zu geben. Man nennt das Ende der Kompassnadel das nach Norden zeigt, Nordpol der Kompassnadel, das andere Ende, Südpol. Die positive Richtung einer magnetischen Feldlinie wird per Konvention (willkürliche Festlegung) durch den Nordpol der Kompassnadel angezeigt. Man stellt fest, dass sich Nordpol und Südpol von Permanentmagneten anziehen und, dass sich zwei gleiche Pole abstossen. Kräfte entstehen auch zwischen Permanentmagneten und weiteren Stoffen. Besonders gross sind sie bei den sogenannt ferromagnetischen Stoffen wie Eisen (Fe), Nickel (Ni) und Kobalt (Co). Weitere magnetische Kräfte wirken zwischen Permanentmagneten und stromführenden Leitern: Beispiel 1: Kraftwirkung eines Permanentmagneten auf einen stromführenden Leiter F F F I N S I N S I S N 1 Anstelle von Kompassnadeln könnten zur Veranschaulichung der Feldlinien des Magnetfelds auch Eisenspähne verwendet werden, da diese durch das Magnetfeld des Permanentmagneten selber zu kleinen Magneten gemacht werden (Magnetisierung).

2 2/42 Erkenntnisse: Die Kraft wirkt senkrecht zur Stromrichtung und zur Feldlinie die den Draht schneidet. Die Kraft ändert ihre Richtung mit der Stromrichtung oder mit der Orientierung der Feldlinien (Drehung des Magneten). Die Kraft ist proportional zur Stromstärke. Insbesondere wirkt sie nur wenn ein Strom fliesst. Die Kraft kommt auch bei Leitermaterialien zustande die nicht mit einem Magneten angezogen werden können (nicht magnetisch). > Das Material des Leiters spielt insofern keine Rolle. Man kann zeigen, dass die Kraft unmittelbar auf die Ladungsträger im Leiter, und somit nur indirekt auf den Leiter selbst, wirkt. Beispiel 2: Kraftwirkung eines Permanentmagneten auf einen Elektronenstrahl v B S N F v v Der Elektronenstrahl erfährt eine Kraft die ihn ablenkt. Die Ablenkungsrichtung entspricht den Erkenntnissen aus dem vorangehenden Beispiel (Die Elektronen fliegen dabei der Stromrichtung entgegengesetzt). Der Kraftvektor steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor und den Feldlinien des magnetischen Felds. Der Betrag der Geschwindigkeit wird dadurch nicht verändert. Die Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit der Elektronen (entspricht der Stromstärke). Die Kraft wirkt auf die einzelnen Elektronen Die magnetische Flussdichte und die Lorentz-Kraft In den erwähnten Beispielen, ist ein Permanentmagnet Ursprung des magnetischen Felds. Dieses Feld existiert analog zum elektrischen Feld im ganzen Raum, ist also ein Vektorfeld dessen Feldlinien mit einer Kompassnadel "sichtbar" gemacht werden können. Jedem Punkt des Raums kann also ein Vektor zugewiesen werden, der die Richtung und die Stärke des magnetischen Felds beschreibt. Dieses Feld (bzw. diese Vektoren) wird symbolisch mit B beschrieben, die sogenannte magnetische Flussdichte (induction) oder Induktion oder kurz Magnetfeld 2. Ladungsträger die sich in einem Magnetfeld befinden, erfahren eine Kraft wenn sie sich (gegenüber dem Feld) bewegen. Diese Kraft wird Lorentz-Kraft genannt. Sie wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung und zu den Feldlinien des Magnetfelds. Die Kraft auf die einzelnen Ladungsträger kann sich auf Leiter übertragen. Ihr Betrag und ihre Richtung lässt sich durch folgenden Zusammenhang beschreiben: F = q ( v B ) mit F = q v B sin(α) für den Betrag von F 2 Diese Bezeichnung darf nicht verwechselt werden mit magnetischer Feldstärke.

3 3/42 dabei sind q Ladung des Ladungsträgers (vorzeichenbehaftet) v Geschwindigkeitsvektor des Ladungsträgers B magnetische Flussdichte (Vektor) v B Vektorprodukt 3 α: Winkel zwischen v und B Bemerkungen: Diese Gleichung kann als Definitionsgleichung der magnetischen Flussdichte B betrachtet werden. Damit kann B durch eine Geschwindigkeits- und eine Kraftmessung bestimmt werden. Ist q > 0, sind die Vektoren v B und F gleichgerichtet (parallel), ist q < 0, sind sie entgegengerichtet (antiparallel). Die Kraft F steht senkrecht auf v und auf B. Die Ladungsträger können also durch die Lorentz-Kraft nicht in Längsrichtung beschleunigt werden, sondern nur quer zu ihrer Bahn (Trajektorie). Ihre kinetische Energie bleibt im magnetischen Feld unverändert. Die Kraft ist Null, wenn v parallel zu B liegt und maximal, wenn v rechtwinklig auf B steht. Die Einheit von B ist somit (SI): in e.s.u.: [B] = N A -1 m -1 = J A -1 m -2 = V s m -2 = T (Tesla) [B] = dyn/statcoulomb = Gauss Grössenordnungen der magnetischen Flussdichte in Tesla: Magnetfeld der Erde 10-5 Stabmagnet 10-2 Elektromagnet mit Eisenkern 1 Supraleitende Spule bis 15 Resistive Elektromagnete max. 40 Superposition der elektrischen und magnetischen Kräften Sind gleichzeitig ein elektrisches und ein magnetisches Feld vorhanden, so ist die resultierende Kraft die Überlagerung einer elektrischen und einer magnetischen Kraft 4 : F = q (E + (v B)) Die Felder E und v B besitzen nicht nur dieselbe Einheit, sondern können aus der Sicht des bewegten Ladungsträgers nicht auseinander gehalten werden. In diesem Fall muss von einem elektro-magnetischen Feld gesprochen werden. 3 Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt bildet zwei Vektoren a und b in einen Vektor c ab. Letzterer steht senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren derart, dass die drei Vektoren a, b, c ein Rechtssystem bilden. in kartesischen Koordinaten: c = a b = ( a y b z a z b y a z b x a x b z a x b y a y b x ) Der Betrag von c ist gleich dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms: c = a b sin(α) 4 Mit Lorentz-Kraft bezeichnet man üblicherweise die Überlagerung der beiden Kräfte. Der Ausdruck ist relativistisch korrekt (gilt für Geschwindigkeiten v bis zur Lichtgeschwindigkeit)

4 4/42 Bemerkungen: Wie das magnetische Feld zustande kommt, wird hier (noch) nicht betrachtet. Zur Information sei festgehalten, dass magnetische Felder durch Ströme erzeugt werden. Der Nachweis und die Ausmessung eines magnetischen Feldes kann theoretisch durch Messung der Kraft auf einen stromführenden Leiter erfolgen; praktisch, durch Messung des Drehmoments auf eine Leiterschleife. Das magnetische Feld braucht keinen materiellen Träger. Es existiert auch im Vakuum. Für die Feldlinien gelten dieselben Eigenschaften wie für die der elektrischen Felder.

5 5/ Strom als Erzeuger der magnetischen Flussdichte Beispiel 3: Kraftwirkung einer stromdurchflossenen Wicklung (Spule) auf einen stromführenden Leiter B F I Die Wirkung einer stromdurchflossenen Wicklung auf den Leiter ist qualitativ dieselbe wie diejenige eines Permanentmagneten. An der Wirkung alleine kann nicht auf die Natur der Ursache geschlossen werden. Die magnetische Flussdichte lässt sich durch magnetisierte Materie, sowie durch elektrischen Strom erzeugen. Die Erfahrung zeigt, dass magnetische Felder durch Ströme erzeugt werden, auch bei Permanentmagneten. In letzterem Fall sind die Ströme auf atomarer Ebene 5 zu finden. Superpositionsprinzip für die magnetische Flussdichte Für die magnetische Flussdichte gilt das Superpositionsprinzip (Überlagerungsprinzip): Das resultierende Feld kann durch vektorielle Addition von Teilfeldern (z.b. erzeugt durch einzelne Permanentmagnete oder stromführenden Leitern) ermittelt werden. 5 Man kann sich die Ströme, die das Magnetfeld erzeugen, als Drehung der Elektronen um sich selbst (Spin) und als Bewegung um die Atomkerne vorstellen.

6 8.1.4 Das magnetische Feld eines geraden, stromführenden Leiters 6/42 Beispiel 4: Kraftwirkung zwischen zwei stromdurchflossenen, geraden, parallelen, unendlich langen, dünnen Leitern F F F F I1 I2 I1 I2 Fliessen die Ströme entgegengesetzt, so stossen sich die Leiter ab, sonst ziehen sie sich an. Die Kraft ist proportional zu den Stromstärken I 1 und I 2. Die Kraft ist umgekehrt proportional zum Abstand r der Drähte. Die Kraft ist proportional zur gemeinsamen Länge l der Drähte. Der formelmässige Zusammenhang zwischen der resultierenden Kraft pro Leiterlänge (Kraftbelag), den Strömen und der Geometrie lautet (siehe Definition der Stromstärkeneinheit): F l = µ 0 2π I I 1 2 r Der Proportionalitätsfaktor µ 0 /2π wurde bei der Definition des Ampères willkürlich festgelegt. magnetische Feldkonstante: µ 0 = 4 π 10-7 N A -2 = Vs/Am Beachte: Die Leiter sind dabei nicht geladen: Beim Leitungsprozess gelingt keine Ladung in den Leiter ohne dass eine gleiche Ladung den Leiter (am anderen Ende) wieder verlässt. Es gibt keine Coulombsche Kraft. (Dies ist nicht so beim Elektronenstrahl aus Beispiel 2, dort entsteht eine Raumladung) Das Experiment, z.b. mit Magnetnadeln, zeigt, dass die B-Feldlinien eines geraden Leiters konzentrische Kreise senkrecht zur Leiterachse bilden. Ihr Umlaufsinn, in Richtung der technischen Stromrichtung betrachtet, entspricht einer Rechtsschraube. Aus Symmetriegründen kann der Betrag von B nur vom Abstand r von der Leiterachse abhängen. Man findet für Punkte ausserhalb des Leiters: B B I r B B ~ I/r (B proportional zu I und zu r -1 ) B Durch Vergleich mit der Formel für die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern, kann der Proportionalitätsfaktor in obiger Beziehung gefunden werden. Dieser Proportionalitätsfaktor ist nämlich durch die Definition des Ampères bereits festgelegt.

7 Die Wechselwirkung zwischen zwei stromdurflossenen Leitern, kann wie folgt betrachtet werden: Der Strom I 1 im ersten Leiter erzeugt ein B-Feld im Abstand r des zweiten Leiters. Diese Feldstärke erzeugt eine Lorentz-Kraft auf die Ladungsträger des Stroms I 2 im zweiten Leiter. Mit dem Leiterquerschnitt A und der Ladungsträgerdichte n lässt sich die Driftgeschwindigkeit v im zweiten Leiter berechnen, und daraus die Kraft auf ein einzelnes Elektron: 7/42 v = j 2 e n = I 2 e n A > F e = e v B sin(90 ) = I 2 n A B Unter der Annahme, dass die Kraft auf den einzelnen freien Elektronen sich auf den Leiter überträgt, ergibt sich für die gesamte Kraft auf ein Leiterstück der Länge l (Kraft auf N = n A l Ladungsträger): F = N F e = n A l F e = l I 2 B(r) Durch Vergleich mit der Gleichung F = µ 0 2π l I I 1 2 r ergibt sich für B(r) B(r) = µ 0 2π I 1 r Analog kann man zeigen, dass auch die umgekehrte Betrachtung (Feld des zweiten Leiters am Ort des ersten Leiters) zum selben Ergebnis führt (actio = reactio). Magnetische Kraft auf stromführendes, gerades Leiterstück (Biot-Savart-Kraft) Die oben gefundene Beziehung für die Kraft, die auf ein gerades, stromführendes Leiterstück in einem homogenen, magnetischen Feld wirkt, lässt sich verallgemeinern. a) Für einen beliebigen Winkel α zwischen den Richtungen der Feldlinien und des Leiters Die Strombezugsrichtung und die Länge des geraden Leiterstücks können mit dem Vektor l beschrieben werden. Die Richtung von l soll dabei mit der Bezugsrichtung des Stromes I übereinstimmen. Damit ergibt sich: F = I (l B) und für den Betrag der Kraft F=I l B sin(α) b) Für den allgemeinen Fall eines beliebig geformten Leiters und eines nichthomogenen Magnetfelds kann die Kraft df auf ein infinitesimales Leiterstücks der Länge dl berechnet werden. I df dl B df = I (dl B) Die gesamte Kraft die auf einen "steifen" Leiter wirkt, kann durch (vektorielle) Addition (Integration) der infinitesimalen Kraftbeiträge berechet werden: F = Leiter df

8 8.1.5 Gesetz von Laplace oder Biot-Savart EL-2 Kapitel 8 8/42 Um die magnetische Flussdichte db eines stromführenden infinitesimalen Leiterstücks der Länge und Orientierung 6 dl in einem Punkt P zu bestimmen, lässt sich aus der Quellenfreiheit der magnetischen Flussdichte und dem Durchflutungsgesetz vom Ampère folgende Formel herleiten: db = µ I 0 dl r 4πr 2 r I ist dabei die Stromstärke und der Punkt P ist im Abstand r von dl. Der Winkel zwischen den Richtungen von r und dl sei α. Der Vektor db steht gemäss der Formel senkrecht zu den Vektoren dl und r. P r L db dl I Mit dieser Formel kann die resultierende magnetische Flussdichte B die ein stromführender Leiter erzeugt, berechnet werden. Dafür werden die Beiträge db aller Elemente dl des Leiters L im Punkt P durch Integration summiert: B = L db Dieses Integral lässt sich in den wenigsten Fällen analytisch lösen. Für den Sonderfall, wo der Leiter gerade ist (siehe Figur), ergibt sich für den Betrag des magnetischen Feldvektors: B = B = L µ 0 I 4πr 2 dl r r = µ 0 I 4π 1 2 dl sin(α) r L α2 I a dl α r P α1 mit dl sin(α) = r dα und 1/r = sin(α)/a wird (a ist dabei der Abstand des Punkts P vom Leiter): B = µ 0 I 4πa α 2 α 1 sin(α) dα = µ I 0 ( 4πa cos(α ) cos(α )) Die Orientierung soll sich mit der Bezugsrichtung des Stromes decken.

9 8.1.6 Hall-Effekt EL-2 Kapitel 8 9/42 Betrachten wir ein metallisches Leiterstück mit rechteckigem Querschnitt der Fläche A = l y d, das sich in einem homogenen Magnetfeld B z befindet (siehe Figur). Das B-Feld und die Stromdichte j = e n v im Leiter seien homogen 7. (z) B z l y (U y ) (x) j x d: Plättchendicke v B z (y) e F L = n 1 j x B z I v Auf die einzelnen Elektronen mit der Ladung e wirkt die Lorentzkraft F L. F L = e v B z = e 1 e n (j x B z ) = 1 n (j x B z ) Bemerkung: Die Richtung der Lorentzkraft hängt von der Richtung der Stromdichte und nicht von der Art der Ladungsträger ab. Die im Leitungsprozess beteiligten Ladungsträger werden unabhängig von ihrer Ladung alle auf die gleiche Leiterseite gedrängt! Im betrachteten metallischen Leiter sammeln sich Elekronen auf der rechten Leiterseite und somit entsteht ein Elektronendefizit auf der anderen Seite. An den Seitenwänden des Leiters entstehen homogene Flächenladungen, so dass zwischen diesen Wänden ein elektrisches Feld E y entsteht, ähnlich wie in einem Plattenkondensator ( > Hall-Effekt, Edwin H. Hall, 1879). Dieses E-Feld erzeugt eine der Lorentzkraft F L entgegengesetzte Coulombkraft Ladungsträger. Im Gleichgewichtszustand müssen sich diese Kräfte gerade aufheben: F C = ee y auf die F L + F C = e v B z ee y = 0 E y = v B z = 1 en j B Die durch das Hall-Feld erzeugte elektrische Spannung U y ( > Hall-Spannung) zwischen den Leiterflächen lässt sich für den betrachteten Leiter (für die eingetragenen Bezugsrichtungen und mit B z senkrecht auf j x ) berechnen: U H = E y ds = E y l y = 1 en j B l = j B l x z y x z y e n Leiterbreite = I B l z y Ae n = I B z e n d = R I B z H d Die materialabhängige Grösse R H heisst Hall-Koeffizient. Bei Metallen ist dieser bei dem hier gewählten Koordinatensystem negativ: R H = E y = 1 j x B z e n = b n γ (b n : Beweglichkeit der Elektronen, γ: Leitfähigkeit des Metalls) Das Vorzeichen der Hall-Spannung hängt vom Vorzeichen der Ladung der Ladungsträger ab. Der Betrag der Hall-Spannung ist umgekehrt proportional zur Ladungsträgerdichte. Ist nur eine Art von Ladungs- 7 Für die Stromdichte ist diese Annahme für längere Leiterstücke gerechtfertigt.

10 10/42 trägern am Leitungsprozess beteiligt, so können durch Messung der Hall-Spannung die Konzentration n und das Vorzeichen der Ladung der Ladungsträger bestimmt werden. Der Hall-Effekt ermöglicht es auch die magnetische Flussdichte betrags- und richtungsmässig zu bestimmen ( > Hall-Sonden). Die Hall-Spannung ist jedoch bei Metallen sehr klein (Grössenordnung µv) da die Ladungsträgerdichte n der freien Elektronen sehr gross ist. Technisch brauchbare Hall-Sonden bestehen daher aus Halbleitermaterial, da deren Ladungsträgerkonzentration durch entsprechende Dotierung um einige Grössenordnungen tiefer gewählt werden kann. Für Halbleiter mit n und b n Ladungsträgerdichte und Beweglichkeit der Elektronen, sowie p und b p die entsprechenden Grössen für die Löcher, ergibt sich die allgemeingültige Formel 8 : R H = E y j x B z = pb 2 2 p nb n ( ) e pb p + nb n R H in m 3 A 1 s 1 b in m 2 V 1 s 1 n in m 3 Kupfer (Cu) Silizium (Si) 208 b n = 1350, b p = 450 n n = n p = siehe z. B.:

11 11/ Materialverhalten Materie im Magnetfeld Analog zum elektrischen Feld, durchdringt auch das magnetische Feld 9 die Materie. Die Materie reagiert dabei auf dieses äussere Feld. Dabei lassen sich drei verschiedene Arten von Reaktionen beobachten: Das resultierende Feld in der Materie ist leicht schwächer als das ursprüngliche Feld > Diamagnetismus leicht stärker als das ursprüngliche Feld > Paramagnetismus massiv stärker als das ursprüngliche Feld > Ferromagnetismus Der diamagnetische Effekt ist universell vorhanden. Dort wo diese Eigenschaft nicht beobachtet werden kann, überwiegen para- oder ferromagnetische Effekte. Insbesondere zeigen die Mehrzahl der anorganischen, sowie fast alle organischen Verbindungen diamagnetische Eigenschaften. Ferromagnetische Effekte werden bei Eisen, Nickel, Kobalt, sowie bei verschiedenen Legierungen festgestellt. Messtechnisch können dia- und paramagnetische Effekte durch Eintauchen einer Stoffprobe in ein starkes, nichthomogenes Magnetfeld sichtbar gemacht werden. Diamagnetische Stoffe werden in Richtung schwächer werdendes Magnetfeld geschoben, paramagnetische in Richtung dichter werdendes Feld. Das Verständnis für die Mechanismen dieser Vorgänge verlangt Einsicht in den Materien- bzw. Atomaufbau ( > Festkörperphysik). Dafür muss die Quantenmechanik herangezogen werden. Grob gesagt, erzeugen "atomare Kreisströme" ("Spinströme 10 " und "Bahnumlaufströme" der Elektronen) ein Magnetfeld das sich sogar ausserhalb der Materie makroskopisch bemerkbar machen kann. Diese Ströme können durch ein äusseres Magnetfeld umorientiert werden. Bei Eisen (ferromagnetisch) z.b., erzeugt beim Magnetisieren diese Umorientierung zusätzlich eine makroskopisch beobachtbare Änderung des Drehimpulses des Eisenstücks ( > Einstein-de-Haas-Effekt). In einem Magnetisierungs- oder Ummagnetisierungsprozess wird in jedem Fall Energie umgesetzt. Vom rein phänomenologischen Standpunkt aus, ist es gleichgültig wie diese Ströme und das Feld zwischen den Atomen verlaufen. Wesentlich ist dabei die pauschale Auswirkung aller atomaren Ströme gegen aussen. Man kann einem Volumenelement (das immer noch sehr viele Atome enthalten soll) einen Ersatzstrom zuschreiben, der dieselbe magnetische Wirkung hat wie die Gesamtheit der atomaren Kreisströme. 9 Das magnetische Feld wird durch die "magnetische Flussdichte" oder "Induktion" B beschrieben. 10 In der Quantenmechanik versteht man unter Spin den Eigendrehimpuls eines Partikels.

12 8.2.2 Molekularstom und Magnetisierung bei ferromagnetischen Materialien 12/42 Phänomenologisch, kann man sich den Einfluss der atomaren Kreisströme wie folgt vorstellen: a) Atomare Kreisströme in allen Richtungen, keine ausgezeichnete Orientierung (in der Figur nur 2- dimensional dargestellt) > keine resultierende magnetische Wirkung im Material. b) Bei ferromagnetischen Materialien werden bei der sogenannten Magnetisierung die atomaren Kreisströme durch ein äusseres Feld B err (Erregung) zum einem Teil ausgerichtet (Teilmagnetisierung) oder alle ausgerichtet ( > Sättigung). Molekularstrom Bmag Im Material entsteht ein zusätzliches magnetisches Feld B mag, das, phänomenologisch, für ein homogen magnetisiertes Gebiet durch einen Ersatzstrom 11 auf der Oberfläche erzeugt werden kann ( > Molekularstrom). Die Magnetisierung bleibt so lange erhalten, wie das erregende Feld auch vorhanden ist. Wird letzteres abgestellt, so verschwindet die Magnetisierung bei ferromagnetischen Materialien nicht ganz, sondern es bleibt eine Restmagnetisierung (Remanenzflussdichte) zurück. Dieser Effekt ist bei Dauermagneten besonders ausgeprägt. Tendenziell werden die thermischen Bewegungen der Materie die Orientierung der "Atomströme" wieder durcheinanderbringen. Magnetisierte ferromagnetische Stoffe behalten jedoch ihre Restmagnetisierung in erstaunlich stabiler Weise. Interessant ist, dass diese Remanenz bei einer bestimmten, materialabhängigen Temperatur ( > Curie-Temperatur) praktisch schlagartig verschwindet. Die Remanenzflussdichte kann somit durch eine Wärmebehandlung oder aber auch durch Hinzufügen von anderen Energieformen zum Verschwinden gebracht werden: z.b. Entmagnetisierung eines Eisenstücks durch ein elektrisches Wechselfeld oder, etwas grobschlächtiger, durch mechanische Schocks (Hammerschläge). 11 Oberflächenstrom mit Einheit A/m. Bei nichthomognener Magnetisierung, kann ein Körper in kleine Quader aufgeteilt werden in denen homogene Verhältnisse herrschen. Die Molekularströme werden dann zu Molekularstromdichten j mol.

13 13/ Permeabilitätszahl, Permeabilität Das bei der Magnetisierung im Innern eines Stoffs resultierende B-Feld B res kann als Superposition des erregenden, "äusseren" Feldes B err und eines durch die Magnetisierung des Materials hervorgerufenen Feldes B mag betrachtet werden: B res = B err + B mag Bei diamagnetischen Materialien sind B err und B mag antiparallel, bei para- und ferromagnetischen Materialien, parallel gerichtet. B mag ist im allgemeinen sehr klein, ausgenommen bei den ferromagnetischen Materialien, wo B mag wesentlich grösser werden kann als B err. Das Verhältnis der Beträge der Feldstärken B res zu B err wird Permeabilitätszahl (relative permeability) genannt 12 : µ r := B res /B err oder vektormässig: B res = µ r B err Eigenschaften: Die Permeabilitätszahl ist einheitsfrei. µ r sagt aus, wieviel mal die Stärke des Feldes B res grösser ist als die erregende Feldstärke B err. Für das Vakuum beträgt µ r = 1, in diamagnetischen Materialien ist µ r < 1, in paramagnetischen Materialien ist µ r > 1, in ferromagnetischen Materialien ist µ r» 1. µ r ist im allgemeinen keine Konstante, sondern abhängig von der Feldstärke B res. Insbesondere bei ferromagnetischen Stoffen wird eine Sättigung erreicht, wenn alle Molekularströme des Materials ausgerichtet sind. µ r ist im allgemeinen abhängig von der Frequenz. Die Ummagnetisierung kann z. B. der erregenden Feldstärke nicht mehr ganz oder nur verzögert folgen. Beachten Sie den Unterschied in der Definition der Permeabilitätszahl zu der der Permittivitätszahl: ε r := E err /E res 12 Die Beziehung zwischen dem erregenden Feld und der Reaktion des Materials (Magnetisierung) kann mit der sogenannten magnetischen Suszeptibilität χ (griechischer Buchstabe Kappa) beschrieben werden: B mag = χ B err Aufgrund dieser Definition ergibt sich folgender Zusammenhang zur Permeabilitätszahl: χ = B mag /B err = (B res - B err )/B err = µ r - 1

14 8.2.4 Magnetische Feldstärke und Magnetisierung 14/42 Der erregende Anteil B err des magnetischen Felds 13 B wird mit einer weiteren Feldgrösse beschrieben. Diese Grösse wird magnetische Feldstärke (magnetic field strength) oder magnetische Erregung genannt und mit H bezeichnet. Per Definition: H = B err µ 0 d.h. B = µ r B err und somit B = µ r µ 0 H = µ H dabei sind µ µ = µ r µ 0, Permeabilität (permeability) µ 0 magnetische Feldkonstante (absolute permeability) µ 0 = 4π 10 7 Vs Am Die Einheit von H ist: [H] = A/m. = Vs H ist ein Vektorfeld wie B. H hat die selbe physikalische Bedeutung wie das erregende Feld B err, hat aber aus historischen Gründen leider nicht die selbe Einheit. Letzteres hat aber keine tiefere physikalische Bedeutung. In Vakuum hat H die selbe Bedeutung wie B. In isotropen Medien ist der Feldlinienverlauf von H mit dem von B deckungsgleich 14. Da H der Anteil des Magnetfeldes der Ursache für die Magnetisierung der Materie ist, gilt: Am Die magnetische Feldstärke H hängt nicht vom Material ab 15! Das H-Feld beschreibt nicht das magnetische Feld im Material. Es hat dort keine physikalische Realität, da beim resultierenden Feld nicht zwischen erregendem und beeinflusstem Feldanteil unterschieden werden kann. H ist insofern eine mathematische Rechengrösse. Für die Beschreibung der Materialreaktion wird üblicherweise anstelle der Grösse B mag die sogenannte Magnetisierung 16 M verwendet. M = B mag µ 0 damit ergibt sich für das resultierende Feld folgende Beziehung 17 : B = µ 0 (H + M) 13 Im folgenden wird mit B immer das resultierende magnetische Feld B res gemeint. 14 In anisotropen Materialien sind die Feldlinien nicht deckungsgleich. In diesem Fall ist die Permeabilität µ kein Skalar (Zahl) sondern ein sogenannter Tensor. 15 Diese Aussage bezieht sich auf das Material innerhalb dessen H betrachtet wird. 16 Die Magnetisierung kann als spezifisches magnetisches Moment betrachtet werden. Das magnetische Moment eines Kreisstromes der Stärke I wird definiert mit: µ := I A A ist dabei der Flächenvektor der Fläche die der Kreisstrom umspannt. Die Stromumlaufrichtung bildet dabei mit der Orientierung von A eine Rechtsschraube. 17 Damit gilt M = χ H, wobei χ die magnetische Suszeptibilität ist.

15 8.2.5 Magnetisierungskurven und Hystereseschleifen ferromagnetischer Stoffe 15/42 In ferromagnetischen Materialien ist das resultierende magnetische Feld B viel stärker als das erregende µ 0 H. Der Zusammenhang wird wegen seiner starken Nichtlinearität graphisch dargestellt, wobei im Allgemeinen die magnetische Flussdichte in Funktion der magnetischen Feldstärke aufgetragen wird: Magnetisierungskurve (magnetization curve). Magnetisierungskurve kaltgewalztes Elektroblech V A (isoptrop) 1.6 magnetische Flussdichte in T magnetische Feldstärke in ka/m Bemerkungen zur Figur Die Abflachung der Kurve im oberen Bereich (hier oberhalb 500 A/m) ist auf die Sättigung (saturation) zurückzuführen: nach und nach wird das gesamte Material magnetisiert. Bei Feldstärken oberhalb der Sättigung, beträgt die Steigung der Magnetisierungskurve noch µ 0 ( B/ H=µ 0 ). Die Permeabilität µ = B/H ist selber eine nichtlineare Funktion von H. Die Steigung der Kurve bei H=0 heisst Anfangspermeabilität (initial permeability) µ a. Die Permeabilität hat einen maximalen Wert µ max dort, wo eine Gerade durch den Nullpunkt die Magnetisierungskurve tangiert. Ferromangnetische Stoffe zeigen die Erscheinung der Hysterese (hysteresis). Wird die Feldstärke H bis zur Sättigung erhöht und anschliessend wieder auf Null gebracht, so bleibt eine Restmagnetisierung übrig die durch die Remanenzflussdichte (remanence flux density) B r beschrieben werden kann (siehe nachfolgende Figur). Um die Remanenzflussdichte zum Verschwinden zu bringen, ist ein Gegenfeld, die sogenannte Koerzitivfeldstärke (coercivity) H c notwendig 18. Verschwindet allerdings die Koerzitivfeldstärke, so erscheint wiederun eine Restmagnetisierung die aber nicht mehr den vorangehenden Wert einnimmt. Zum Entmagnetisieren eines ferromagnetischen Stoffs ist Energie notwendig. Diese kann durch Erwärmen, Erschütterungen oder durch ein in seiner Stärke abnehmendes magnetisches Wechselfeld aufgebracht werden. 18 Im zweiten Quadranten der Hysterese ist das Vorzeichen der magnetischen Feldstärke H negativ. -H c ist daher eine negative Grösse, da die Grössen H c und B r als vorzeichenlose (positive) Grössen angegeben werden.

16 16/ Magnetisierungskurve (Kommutierungskurve) und Hystereseschleife magnetische Flussdichte Remanenzflussdichte Koerzitivfeldstärke magnetische Feldstärke Man unterscheidet zwischen magnetisch weichen und magnetisch harten Stoffen. Magnetisch weiche Stoffe haben im Allgemeinen eine hohe Remanenzflussdichte und eine kleine Koerzitivfeldstärke (Grössenordnung 10 A/m). Sie werden z.b. für Transformatoren und Elektroantriebe verwendet. Magnetisch harte Stoffe dagegen haben etwas kleinere Remanenzflussdichten aber sehr grosse B in T Hysterese AlNiCo 700 (--) vs. Magnetisierungskurve Elektroblech H in ka/m Koerzitivfeldstärken (bis zu 10 5 A/m). Sie werden vorwiegend für Permanentmagnete verwendet. Figur Vergleich der Hystereseschleifen eines magnetisch harten mit einem magnetisch weichen Stoff. Beim Massstab für H (ka/m!) ist die Hysterese von Elektroblech nicht auszumachen.

17 17/ Magnetische Gesetze (konstitutive Gesetze) Quellenfreiheit des magnetischen Feldes Wie das Beispiel des geraden, stromführenden Leiters illustriert, ist der Strom Ursache des magnetischen Felds aber dessen Feldlinien entspringen nicht im Strom, sondern bilden um den Strom herum geschlossene Linien. Dies gilt für alle magnetischen Feldlinien 19. Die Feldlinien des magnetischen Felds (der magnetischen Flussdichte) sind geschlossen: Sie haben weder Quellen (Anfang) noch Senken (Ende). Die Quellenfreiheit lässt sich, in Analogie zum elektrostatischen Feld, mit dem Flächenintegral der magnetischen Flussdichte durch eine beliebige Hüllfläche (geschlossene Fläche) darstellen, wobei der Fluss immer Null ist 20 : B da = 0 Hüllfläche Der Fluss der Stromdichte durch eine beliebige Hüllfläche ist immer Null (Analogie zum Knotensatz). Der entsprechende Fluss des elektrostatischen Felds ist nur dann Null, wenn keine Ladungen in der Fläche eingeschlossen sind. Bemerkung: Wie am Beispiel des Verlaufs der magnetischen Feldstärke über eine Materialgrenze hinweg gezeigt werden kann, gilt: Die magnetische Feldstärke H ist im Gegensatz zur Flussdichte B nicht quellenfrei! 19 Auch im Fall von Permanentmagneten: durch Zerlegen in noch so kleine Teile, werden keine "Magnetfeldquellen" oder magnetische Pole gefunden. 20 In Differentialform schreibt man für die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes (dies ist eine der Maxwellschen Gleichungen): div(b) = 0 Dabei ist div (Divergenz) ein Operator (eine Funktion), der einen Vektor in einen Skalar (Zahl) abbildet. In kartesischen Koordinaten z.b., wird der Vektor B = (B x, B y, B z ) durch div nach folgender Vorschrift abgebildet: div (B) = B x x + B y y + B z z Beachte: Die entsprechende Gleichung für das elektrostatische Feld (Satz von Gauß) lautet in Differentialform: div (E) = ρ ε 0 (ρ ist dabei die Raumladungsdichte)

18 18/ Durchflutungsgesetz (Ampèresches Durchflutungsgesetz) Das Linienintegral E ds zwischen zwei Punkten ist im elektrostatischen Feld unabhängig vom Weg. Das Linienintegral entlang eines geschlossenen Weges (Zirkulation) ist in diesem Fall daher immer Null. Was ergibt das Integral B ds entlang eines geschlossenen Weges? Für das Beispiel des linearen, stromdurchflossenen Leiters ergibt sich entlang einer B-Feldlinie 21 im Abstand r vom Leiter Kreis B ds = µ I 0 ds 2πr = µ 0 I 2πr 2πr = µ 0 I Dabei wurde die Wegumlaufrichtung so gewählt, dass sie mit der Strombezugsrichtung eine Rechtsschraube bildet. Dieses Integral ist nicht Null! Sein Wert ist proportional zum Strom im Leiter. Das Ergebnis hängt nicht vom Abstand der Feldlinie zum Leiter ab. Das Vorzeichen des Umlaufintegrals hängt vom Umlaufsinn des Wegs ab. Wegstücke ds die senkrecht zu B sind tragen nicht zum Integral bei. Allgemein gilt: Das Zirkulationsintegral liefert denselben Wert für alle möglichen Wege die den Leiter umschliessen. inbesondere (ohne Herleitung): Das Zirkulationsintegral liefert denselben Wert auch wenn der Leiter nicht gerade ist. Der Weg um den Leiter kann dabei beliebig sein. Das Zirkulationsintegral liefert den Wert Null, falls der Weg den Leiter nicht umschliesst. Wenn der Integrationsweg mehrere Leiter umschliesst, ist das Zirkulationsintegral proportional zur Summe aller Stomstärken die durch den Weg umrandete Fläche fliessen. Die Summe aller Ströme durch die Fläche wird Durchflutung genannt und üblicherweise mit dem Symbol Θ (Theta) bezeichnet. Stromstärken deren Bezugsrichtung mit dem Wegumlaufsinn eine Rechtschraube bilden, werden zur Durchflutung addiert, die anderen davon abgezogen. B ds = µ 0 I k W k = µ 0 Θ Wenn der Integrationsweg den gleichen stromführenden Leiter N mal umschliesst, so ist die Durchflutung N mal die Stromstärke dieses Leiters. 21 Die Feldlinien bilden konzentrische Kreise um den Leiter.

19 19/42 Bei Vorhandensein einer Stromdichte j, muss die entsprechende Stromstärke durch die Fläche A W als Fluss berechnet werden: E I = j da = j L + ε 0 t A w A w + j P + j Mol da Für die Stromdichte j müssen alle Arten von Stromdichten berücksichtigt werden: j L E j D = ε 0 t + j P j Mol Leitungs- oder Konvektionsstromdichte (freie Ladungen) Verschiebungsstrom, d.h. E-Feldänderung und Polarisationsstromdichte Molekularstromdichte (verantwortlich für die Magnetisierung) Der Umlaufsinn des Wegs ist dabei so zu wählen, dass er mit der achsialen Richtung des Flächenausrichtungsvektors (Orientierung der Fläche) eine Rechtsschraube bildet. Damit ergibt sich 22 B ds = µ 0 j da W A W Das Durchflutungsgesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen Strom und Magnetfeld: der Strom als Ursache des Magnetfelds. Da im Vakuum keine Leitungs- und Polarisationsströme fliessen können, reduziert sich das Durchflutungsgesetz auf folgende Formel (c ist die Lichtgeschwindigkeit): W B ds = µ 0 ε 0 A W E t da = 1 c 2 t A W E da 22 In Differentialform lautet das Ampèresche Durchflutungsgesetz (dies ist eine der Maxwellschen Gleichungen): E rot(b) = µ 0 j = µ 0 j L + ε 0 t + P t + j Mol Für das Vakuum reduziert sich die Beziehung auf: rot(b) = 1 c 2 E t Dabei ist rot (Rotation, im Englischen curl) eine Funktion, die einen 3-dimensionalen Vektor in einen anderen abbildet. In kartesischen Koordinaten z.b., wird der Vektor B = (B x, B y, B z ) durch rot nach folgender Vorschrift abgebildet: rot(b) = B z y B y z, B x z B z x, B y x B x y

20 20/42 Wird anstelle der magnetischen Flussdichte B die magnetische Feldstärke H und die Magnetisierung M in das Durchflutungsgesetz eingesetzt, so ergibt sich B ds = µ 0 ( H + M) ds = µ 0 j L + j D W A W (( ) + j Mol ) da Da offensichtlich die Magnetisierung M vom Fluss der Molekularstromdichte j Mol erzeugt wird, ergibt sich H ds = ( j L + j D ) da W A W In vielen technischen Anwendungen, sind nur Leitungsströme vorhanden, so dass sich die Beziehung weiter vereinfacht: H ds = I k W A W = Θ Θ Durchflutung in A durch die Fläche A W Mit dieser Formel kann in vielen Fällen aus der Durchflutung die magnetische Feldstärke bestimmt werden. Das resultierende magnetische Feld B bei bekanntem erregenden Feld H, kann mit der Beziehung B = µ H erhalten werden. Bemerkungen: Dieses Vorgehen bietet für die Berechnung der Magnetfelder in Anwesenheit von Material so bestechende Vorteile, dass dabei manchmal vergessen wird, dass das Magnetfeld durch B und nicht durch H beschrieben wird. Ausserdem wird offiziell (aus historischen Gründen) die Grösse H irreführend als "magnetische Feldstärke" bezeichnet 23. Treffender ist natürlich die Bezeichnung "magnetische Erregung". 23 In diesem Zusammenhang sei explizit darauf hingewiesen, dass der Begriff "magnetisches Feld" in diesem Text nichts gemeinsam hat mit dem Begriff "magnetische Feldstärke".

21 Beispiele EL-2 Kapitel 8 21/42 Beispiel 1 Ringspule um ferromagnetischen Kern Die Spule besteht aus einem einlagig um einen Torus aus ferromagnetischem Material (Spulenkern) regelmässig gewickelten Draht. Die Querschnittfläche des Kerns entspreche der Querschnittfläche einer Windungsschleife. Der Durchmesser des Kerns sei klein gegenüber der Länge der Ringspule. Das Kernmaterial sei ausserdem magnetisch homogen und isotrop 24. Unter diesem Annahmen verlaufen die Feldlinien praktisch alle im Kernmaterial, d.h. das Streufeld kann vernachlässigt werden. Ausserdem kann angenommen werden, dass das Magnetfeld im Spulenkern mehr oder weniger homogen ist. gegeben: l Fe mittlere "Eisenlänge" (Spulenlänge, Länge des Kerns) A Fe "Eisenquerschnittfläche" (Querschnittfläche des Kerns) N Windungszahl, Anzahl Windungen der Wicklung I Strom in der Wicklung Ferner sei die Magnetisierungskurve des ferromagnetischen Kernmaterials bekannt. gesucht: B H mittlere magnetische Flussdichte (magnetisches Feld) im Kernmaterial mittlere magnetische Feldstärke ("Erregung") im Kernmaterial Aus Symmetriegründen ist B (resp. H) entlang einer Feldlinie konstant. Daher kann für das Durchflutungsgesetz das Linienintegral einfach berechnet werden: H ds H N I l Fe = H ds H l Fe = N I = Θ, damit ergibt sich für H Mit H kann der Betrag der Induktion B aus der Magnetisierungskurve herausgelesen werden ( > Arbeitspunkt). Bemerkungen: Der ermittelte Wert von H ist unabhängig vom Kernmaterial! Die Permeabilität bzw. die Permeabilitätszahl kann mit µ = B/H bzw. µ r = B/µ 0 H bestimmt werden. Dieser Wert hängt stark von den Arbeitspunktwerten von B und H ab. 24 isotrop: im Verhalten richtungsunabhängig

22 Beispiel 2 Ringspule um ferromagnetischen Kern mit Luftspalt 22/42 Die Spule sei identisch mit der von Beispiel 1, ausser dem, dass der Kern einen sogenannten Luftspalt aufweist. Der Luftspalt sei ein dünner Schnitt durch das Kernmaterial senkrecht zur Spulenachse. Seine Breite sei schmal verglichen zum Kerndurchmesser. Unter der Annahme eines schmalen Luftspalts, überbrücken die Feldlinien des Magnetfeldes den Luftspalt gebündelt wie im Kernmaterial, d.h. ohne wesentlich auseinander zu gehen. Da die B-Feldlinien quellenfrei sind, ist die Induktion im Luftspalt gleich gross wie im Kern. gegeben: l Fe mittlere "Eisenlänge" (Spulenlänge, Länge des Kerns) A Fe "Eisenquerschnittfläche" (Querschnittfläche des Kerns) l L Luftspaltbreite A L Luftspaltquerschnittfläche (A Fe = A L =A) N Windungszahl, Anzahl Windungen der Wicklung I Strom in der Wicklung Ferner sei die Magnetisierungskurve des ferromagnetischen Kernmaterials bekannt. gesucht: B H H L magnetische Flussdichte (magnetisches Feld) im Kernmaterial und im Luftspalt magnetische Feldstärke ("Erregung") im Kernmaterial magnetische Feldstärke im Luftspalt Im Luftspalt kann wegen seiner schmalen Breite das B-Feld als homogen betrachtet werden. Der Fluss der Induktion muss wegen seiner Quellenfreiheit gleich gross durch den Kern- wie durch den Luftspaltquerschnitt sein: B da= B Fe A Fe + B L A L = 0 und damit A Fe = A L = A B Fe = B L = B Aus Symmetriegründen ist B (resp. H) entlang einer Feldlinie im Kernmaterial konstant. Im Luftspalt ist die magnetische Feldstärke (H L = B/µ 0» H) viel grösser als im Kern (sprungartige Änderung an der Materialgrenze: Quelle!) Die Erregung im Kernmaterial ist durch das Feld der Wicklung gegeben (H=B err /µ 0 ), im Luftspaltraum jedoch, zusätzlich durch das magnetisierte Kernmaterial ( H L =(B err +B mag )/µ 0 ). Damit kann das Durchflutungsgesetz wie folgt formuliert werden: H ds H l Fe + H L l L = H l Fe + B µ 0 l L = N I = Θ Diese Gleichung lässt sich nicht ohne weiteres lösen, da die Grössen H und B unbekannt sind. Das Durchflutungsgesetz fordert also eine Beziehung zwischen den Grössen B und H: N I H l B = µ Fe 0 = µ 0 N I µ l 0 Fe H l L l L l L Die Funktion B = f B (H) (bzw. ihre Inverse H = f H (B)) ist eine Gerade mit den Achsenabschnitten NI B 0 = f B ( H = 0) = µ 0 und H l 0 = f H ( B = 0) = NI L l Fe und der Steigung µ 0 l Fe l L Letztere hängt nicht von der Durchflutung ab, sondern nur von der Spulengeometrie!

23 23/ B 0 = µ 0 NI B in T l L Arbeitspunkt Durchflutungsgesetz (Luftspaltgerade) Magnetisierungskurve Die gesuchte Lösung für B und H muss gleichzeitig auf der Geraden und der Magnetisierungskurve B = f mag (H) des Kernmaterials liegen ( > Arbeitspunkt). Bemerkungen: H 0 = NI l Fe H in A/m Bei Änderung der Durchflutung Θ = NI wird die Gerade parallel (gleichbleibende Steigung) verschoben. Bei der Durchflutung Null verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung. Mit zunehmender Luftspaltbreite l L verkleinert sich der Achsenabschnitt B 0 so, dass die Gerade um den festen Punkt H 0 in Richtung der Abszisse kippt. Bei verschwindender Luftspaltbreite (l L = 0) verläuft die Gerade parallel zur Ordinate (Fall gemäss Beispiel 1).

24 24/42 Beispiel 3 Ringspule mit ferromagnetischem Kern mit verschiedenen Querschnittflächen Falls der magnetische Kern keinen konstanten Querschnitt aufweist, sind die Verfahren der Beispiele 1 und 2 nicht mehr ohne weiteres anwendbar. Berechnet werden sollen die magnetische Flussdichte und Feldstärke im Kern bei gegebener Durchflutung. I A1 l1 N l2 A2 A2 A1 F Annahmen und Vereinfachungen: Alle Feldlinien verlaufen im Eisen (kein Streufeld ausserhalb des Eisens) mittlere "Eisenlängen" l 1 und l 2 mit entsprechenden konstanten Querschnittflächen A 1 und A 2 ; keine Berücksichtigung der Übergangsgebiete B-Feld konstant und homogen in den entsprechenden Abschnitten (B 1 und B 2 mittlere Werte) gegeben: l 1 mittlere "Eisenlänge" mit Querschnitt A 1 l 2 mittlere "Eisenlänge" mit Querschnitt A 2 Aus der Quellenfreiheit der magnetischen Flussdichte lässt sich herleiten, dass der magnetische Fluss Φ entlang des Eisens konstant ist: B da = B 1 da+ B 2 da F A 1 B 1 A 1 = B 2 A 2 = Φ = B 1 A 1 B 2 A 2 = 0 A 2 Offensichtlich ist B (und damit auch H) in den beiden Eisenabschnitten nicht gleich gross. Die Feldlinien sind im Eisenteil mit kleinerer Querschnittfläche gedrängter! Das Durchflutungsgesetz ergibt weiter (mit µ = µ 0 µ r ): H ds = H 1 ds + H 2 ds = H 1 l 1 + H 2 l 2 = B 1 l l 2 µ 1 + B 2 l 1 µ 2 = Θ 2 l 1 Mit B i = Φ / A i ergibt sich demzufolge: B 1 µ 1 l 1 + B 2 µ 2 l 2 = Φ µ 1 A 1 l 1 + Φ µ 2 A 2 l 2 = l 1 + l 2 Φ = Θ µ 1 A 1 µ 2 A 2 Diese Gleichung ist analog zur Formulierung des Maschensatzes bei einem Netzwerk mit zwei in Serie geschalteten Widerständen und einer Quelle: (R 1 + R 2 ) I = U q

25 25/42 Der eingeprägten Spannung U q entspricht die Durchflutung Θ. Dem Strom I entspricht der magnetische Fluss Φ. Die Ausdrucke l i /µ i A i können als magnetische Widerstandswerte (reluctance) betrachtet werden. Analog zur elektrischen Spannung, kann die magnetische Spannung U m := H ds definiert werden. Ist der Integrationsweg geschlossen, so nennt man das Linienintegral magnetische Umlaufspannung. Letztere ergibt gemäss Durchflutungsgesetz gerade die Durchflutung. Das Inverse des magnetischen Widerstandes, der magnetische Leitwert Λ (permeance), lässt sich aus einem rein materialabhängigen Term und der "Leitergeometrie" berechnen: Λ = µ A l mit [Λ] = Vs/A, in Analogie zum elektrischen Leitwert G = γ A l Die zum Knotensatz analoge Beziehung lässt sich durch Zusammenzählen der magnetischen Flüsse an Verzweigungspunkten (Knoten) aufstellen. Die Summe der Flüsse durch eine geschlossene Fläche (Hüllfläche) ist Null. elektrisch magnetisch eingeprägte Spannung (Quelle) U q Durchflutung (magnetomotance) Θ Spannung U 12 magnetische Spannung U m12 Stromstärke I magnetischer Fluss Φ elektrischer Widerstand R magnetischer Widerstand (reluctance) R m elektrischer Leitwert G magnetischer Leitwert Λ (permeance) Λ elektrische Feldstärke E magnetische Feldstärke H Stromdichte j magnetische Flussdichte B Leitfähigkeit γ Permeabilität µ Maschensatz Knotensatz Durchflutungsgesetz Flusserhaltung (Quellenfreiheit) Tabelle Übersicht: Analogie zwischen stationären elektrischen und magnetischen Feldern Bemerkungen: Die magnetischen Widerstände (Leitwerte) sind, mit Ausnahme des Luftspaltwiderstands, feldstärkenabhängig (µ ist nicht konstant). Entsprechend sind in der Analogie für die elektrischen Widerstände nicht konstante (Ohmsche) Werte, sondern statische Widerstandswerte zu verwenden, wie sie bei nichtlinearen Zweipolen definiert sind. Diese Analogie ist rein mathematischer Natur und wiedergibt keine physikalische Verwanschaft. Sie ermöglicht die Berechnung von magnetischen Kreisen mit den für stationäre, nichtlineare, elektrische Netzwerke bekannten graphischen Methoden. Für die magnetischen Spannungen und Flüsse können, wie für Spannungen und Ströme, die Bezugsrichtungen willkürlich gewählt werden. Es darf allerdings nicht vergessen werden, dass der magnetische Fluss im Gegensatz zum elektrischen Strom nicht entlang eines "Leiters" gezwungen werden kann ( > Streuflüsse)! Streuflüsse können nur durch eine sorgfältige Auslegung des magnetischen Kreises klein gehalten werden.

26 Magnetische Kreise mit Dauermagnete EL-2 Kapitel 8 26/42 Verwendung Funktion Drehspulinstrumente, Lautsprecher, el. Kleinmotoren Sollen ohne Verwendung eines Erregerstromes ein (konstantes) magnetisches Feld erzeugen. Fragestellung Welche ferromagnetischen Materialeigenschaften sind für Dauermagnete von Bedeutung? Wie wird ein magnetischer Kreis mit Dauermagnet dimensioniert? Beispiel 1 Einfacher magnetischer Kreis mit Dauermagnet und Luftspalt Annahmen und Vereinfachungen: konstante Querschnittflächen A M = A L = A keine Streuflüsse, homogene Felder schmaler Luftspalt l L 2 «A L, l L «l M > B A M = B L A L = Φ (Quellenfreiheit) > B L = B ferromagnetisches Material des Dauermagneten einmal in Sättigung magnetisiert 1.5 oberer Ast der Hysterese von AlNiCo 700 (anisotrop) Br B in T Br: Remanenzflussdichte Hc: Koerzitivfeldstärke 0 -Hc H in ka/m

27 Problemstellung EL-2 Kapitel 8 27/42 Das Luftspaltfeld soll eine bestimmte magnetische Flussdichte B aufweisen. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen B und den frei wählbaren Parametern l M, l L, A und den ferromagnetischen Eigenschaften des Materials? Das Durchflutungsgesetz (wobei die Durchflutung Null ist) H ds = H l M + H L l L = H l M + B l µ L = 0 0 ergibt für den Zusammenhang zwischen B und H: B = l M l L µ 0 H 1) Das Durchflutungsgesetz verlangt Proportionalität zwischen B und H. Der Proportionalitätsfaktor ist unabhängig vom Material ( > Luftspaltgerade) 2) Der Zusammenhang zwischen B und H ist aber materialabhängig (Hystereseschleife)! Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt werden: > Arbeitspunkt: Schnittpunkt der Hysterese mit Luftspaltgerade 1.5 Hysterese und Luftspaltgerade, Arbeitspunkt Br B in T 1 Luftspaltgerade Hc Interpretation H in ka/m Es stellt sich im Luftspalt und im Material eine magnetische Flussdichte B ein, die ohne Luftspalt nur mittels einer negativen magnetischen Feldstärke H (Erregung von aussen) erhalten würde. Die resultierende magnetische Flussdichte B ist kleiner als die Remanenzflussdichte B r. Mit schmaler werdendem Luftspalt wird die Luftspaltgerade steiler und die Arbeitspunktflussdichte nimmt zu. Bei einer Verkürzung des Luftspalts würde der Arbeitspunkt den Ast der Hysterese für einen tiefer liegenden verlassen.

28 28/42 Anforderungen an das Material Für eine bestimmte, minimale magnetische Flussdichte im Luftspalt B min bei gegebener Geometrie (l M, l L, A M, A L ) folgt aus der Beziehung der Luftspaltgeraden: H min = 1 µ 0 l L l M B min 800' 000 Am Vs l L l M B min > B r > B min und H c > H min Am besten erfüllen diese Eigenschaft Stoffe mit grosser Koerzitivfeldstärke und einem "eckigen" Verlauf der Hysterese (siehe Figur) > hartmagnetische Materialien. 1.5 Hysterese und Luftspaltgerade, Arbeitspunkt Br B in T Bmin 0 -Hc -Hmin H in ka/m Bei hartmagnetischen Materialien sind die Koerzitivfeldstärken 1000 bis mal höher als für weichmagnetische Materialien.

29 Beispiel 2 Magnetischer Kreis mit Dauermagnet und Weicheisenjoch 29/42 lfe/afe µfe=µrfe µ0 lm/am ll/al Annahmen und Vereinfachungen: keine Streuflüsse, homogene Felder, sowie schmaler Luftspalt l L 2 «A L, l L «l M > B A M = B Fe A Fe = B L A L = Φ = konstant (Quellenfreiheit) Koerzitivfeldstärke des Weicheisenteils viel kleiner als jene des Permanentmagneten (H cfe «H c ); Remanenzflussdichte dagegen grösser (B rfe > B r ) > Der Einfluss des Weicheisenteils kann vernachlässigt werden, da seine magnetische Leitfähigkeit viel grösser ist als jene des Permanentmagneten oder des Luftspaltes (siehe Figur aus 8.2.5) ferromagnetisches Material des Dauermagneten nach Einbau einmal in Sättigung magnetisiert Das Durchflutungsgesetz liefert H dl = H l M + H Fe l Fe + H L l L H l M + H L l L = 0 Die magnetische Spannung über dem Weicheisen kann vernachlässigt werden, da µ rfe sehr gross ist. Daher wird H l M = H L l L Multiplizieren dieser Beziehung mit dem Fluss Φ = B A M = B L A L liefert (links und rechts): H B l M A M = H L B L l L A L > H B Vol M = H L B L Vol L Interpretation Die Einheit des Produkts H B ist [H B] = Vs m 2 A m = J m 3 > Das Produkt H B ist eine Energiedichte (Energie pro Volumen) In der Tat, in einem linearen 25 Medium, beträgt die Energiedichte des magnetischen Felds (ohne Herleitung): w mag = 1 2 H B = B2 2µ 0 Bei Vernachlässigung der magnetischen Energie im Weicheisenteil, bedeutet der weiter oben hergeleitete Zusammenhang, dass die magnetische Feldenergie im Luftspalt proportional zum Produkt H B der Feldgrössen im Dauermagnet ist. 25 Wo Proportionalität zwischen H und B herrscht; dies ist für alle nichtferromagnetische Stoffe, sowie für das Vakuum gegeben.

30 30/42 Im zweiten (bzw. vierten) Quadranten der Hysterese eines ferromagnetischen Stoffs nimmt das Produkt - H B für die Werte -H opt und B opt einen maximalen Wert an 26 (siehe Figur). Der Wert 1 / 2 H opt B opt gibt an welche maximale Energiedichte (Energie pro Volumen) vom Dauermagneten dem Luftspalt zur Verfügung gestellt werden kann. 1.5 Hysterese AlNiCo 700 Br Verlauf der Energiedichte B in Vs/m^ Bopt 0 -Hc -Hopt BH max > H in ka/m > BH in kj/m^3 Um die bestmögliche Nutzung des Dauermagneten zu erreichen, muss daher die Luftspaltgerade so gelegt werden, dass der Arbeitspunkt sich im Punkt (-H opt, B opt ) befindet. Im Allgemeinen sind die Grössen l L, A L (Luftspaltvolumen) und B L (Luftspaltflussdichte ) vorgegeben. Daraus lassen sich die optimalen Werte für l M und A M berechnen: A Mopt = B L B opt A L l Mopt = B L µ 0 H opt l L Diese Werte führen ausserdem auf das kleinste Magnetvolumen mit dem eine bestimmte Feldenergie im Luftspalt erzeugt werden kann ( > Preisaspekt). Magnetisierung Der Dauermagnet muss, damit er optimal ausgenutzt werden kann, nach dem Einbau in den Magnetkreis in die Sättigung magnetisiert werden. Ist das nicht der Fall, so liegt der Arbeitspunkt nicht auf dem äussersten Ast der Hystereseschleife. 26 Im zweiten Quadranten der Hysterese ist das Vorzeichen der magnetischen Feldstärke H negativ. Das Produkt -H B ist daher eine positive Grösse. Im vierten Quadranten wäre H positiv, dafür aber B negativ. Die Grössen H opt und B opt werden als vorzeichenlose (positive) Grösse angegeben.