FH Giessen-Friedberg StudiumPlus Dipl.-Ing. (FH) M. Beuler Grundlagen der Elektrotechnik Magnetisches Feld

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1 3 Stationäes magnetisches Feld: Ein stationäes magnetisches Feld liegt dann vo, wenn eine adungsbewegung mit gleiche Intensität vohanden ist: I dq = = const. dt Das magnetische Feld ist ein Wibelfeld. Die Feldlinien haben keinen Anfang- und Endpunkt, sonden sind umlaufend und in sich geschlossen. Die einfachste Fom eines vom Stom ezeugten magnetischen Feldes bildet sich bei einem geadlinigen eite aus, bei dem die Feldlinien in Fom konzentische Keise den eite umschlingen. Rechtsschaubenegel: Die Zuodnung von Feld- und Stomichtung ist duch die sog. Rechtsschaubenegel festgelegt. Deht man eine Rechtsschaube in Richtung des Magnetfeldes, dann bewegt sich diese in Richtung des Stomes (technische Stomichtung). Dabei bedeutet x -Symbolik Stomichtung in die Zeichenebene hinein und. -Symbolik Stomichtung aus de Zeichenebene heaus. 1

2 3.1 Magnetische Fluss und magnetische Flussdichte Jede stomduchflossene eite ezeugt ein Magnetfeld. Es wid analog zum elektischen Feld duch magnetische Feldlinien beschieben, deen Gesamtheit man als magnetischen Fluss Φ bezeichnet. Die magnetische Flussdichte B (magnetische Induktion) ist de Quotient aus dem magnetischen Fluss und de Queschnittsfläche A. Φ B = lim = A 0 A dφ da (3.1) V s Φ = V s ; B = = T (Tesla) m mit: [ ] [ ] 3. Duchflutung und magnetische Feldstäke De elektische Stom ist die Usache des Magnetfeldes. Dieses Feld wid vestäkt, wenn mehee Stöme ode (wie bei eine Spule) de gleiche Stom mehfach die Umgebung beeinflussen. Diese Stomsumme wid als Duchflutung Θ bezeichnet. Zu Kennzeichnung de Intensität des Magnetfeldes entlang de Feldlinien wid die magnetische Feldstäke (Eegung) H eingefüht. Beide Gößen weden übe den Duchflutungssatz miteinande veknüpft: n H ds Ii (3.4) i= 1 Θ = = mit: [ ] ; [ ] Θ = A H = A m

3 3.3 Magnetische Widestand In Analogie zum elektischen Feld wid ein magnetische Widestand R m definiet, de die Aufstellung des Hopkinsonschen Gesetzes (Ohmsches Gesetz fü magnetische Keise) elaubt. Um magnetische Widestände zu beechnen, muss de Begiff de Pemeabilität eingefüht weden. Die absolute Pemeabilität µ ist eine Mateialgöße, die die magnetische Duchlässigkeit eines Stoffes chaakteisiet (vegleichba mit κ ). Sie wid als µ -faches de Pemeabilität µ 0 des Vakuums (Induktionskonstante) aufgefasst: Θ = R m Φ (3.5) R m l = µ A (3.6) µ = µ µ (3.7) 0 Magnetische Widestand eine Spule in uft und mit einem Eisenken: Das Magnetfeld de uftspule besteht aus einem homogenen Anteil mit goße Induktion B innehalb de Spule und einem inhomogenen Anteil mit seh kleine Induktion B außehalb de Spule (letztee wid bei de Beechnung venachlässigt). Bsp. 3.: Magnetische Widestand eine Tooidspule 3

4 3.4 De magnetische Keis Hopkinsonsches Gesetz: Vegleich zwischen magnetischem und elektischem Keis Stomkeis magn. Keis Stom I Spannung U Widestand R = U / I Fluss Φ magn. Spannung V magn. Widestand R m = V / Φ A Φ R m AB V B Θ Reihenschaltung: Rm, ges = =, Φ n R m i (3.11a) i=1 Paallelschaltung: 1 1 R R = n m, ges i= 1 m, i (3.11b) Bsp. 3.3: De skizziete magnetische Keis, de aus Stahlguss aufgebaut ist, soll im linken Schenkel einen Fluss von 3,5 mvs besitzen. Emitteln Sie die Windungszahl n. 4

5 3.5 Enegie des magnetischen Feldes Einfühung de Induktivität eine Spule: N Φ V s = ; [ ] = = H (Heny) (3.1) I A Jede elektische eite weist eine Induktivität auf. Duch konstuktive Maßnahmen (Wicklungen) kann die Induktivität dastisch ehöht weden. Felde sind Enegieäume, so auch das magnetische Feld. Um eine Spule in den magnetischen Zustand zu vesetzen, ist magnetische Enegie efodelich. Um diese Enegieaufnahme bestimmen zu können, setzt man sie in Bezug zu elektischen Enegie. Die Spule fungiet hiebei als Enegieumfome. De Enegieinhalt des magnetischen Feldes eine Spule beechnet sich aus de Induktivität de Spule und dem Quadat des in die Spule fließenden Stoms: Wmagn 1 = I (3.14) Speichebae Enegie in einem bestimmten Kenfomat: W magn 0 1 B = V µ µ (3.15) Die von eine Spule speichebae Enegie hängt also vom Volumen V ab, in dem das Magnetfeld gespeichet wid. Bei eine eisengefüllten Spule wid de übewiegende Enegieanteil im uftspaltvolumen V und die kleinee Restenegie im Eisenvolumen V Fe gespeichet. Gespeichete magnetische Enegie im Eisen: B W = V H db (3.17) magn Fe Fe 0 5

6 Die im Eisenvolumen gespeichete Enegie entspicht de schaffieten Fläche de nachfolgenden Gafik: Beispiel 3.5: Fü eine stomduchflossene Tooidspule mit keisfömigem Queschnitt mit den gegebenen Gößen A=500cm², D=m, N=3000 und I=1,46A soll ein homogene Feldvelauf angenommen weden. a) Die magnetische Enegie de Tooidspule ohne Eisenken ist zu beechnen. b) Es ist die magnetische Enegie zu bestimmen, wenn die Tooidspule einen Eisenken aus Dynamoblech enthält. 6

7 Hysteeseveluste: Fließt duch eine eisengefüllte Spule ein Wechselstom, dann ezwingt das veändeliche magnetische Feld im Eisenken eine fotwähende Umoientieung de Elementamagnete. Diese Veluste weden als sog. Hysteeseveluste bezeichnet. a) schaffiete Fläche entspicht de aufgenommenen Enegie W magn1 b) schaffiete Fläche entspicht de wiede abgegebenen Enegie W magn < W magn1 c) schaffiete Fläche als Diffeenz W = W magn1 W magn stellt die Hysteeseveluste fü die positive Wechselstom-Halbwelle da Anziehungskaft von Magneten: Tennflächen im Magnetfeld sind Genzflächen zwischen Magnetmateialien veschiedene Pemeabilität, z.b. uftspalt in einem Eisenkeis. De Stom I duch die Spule des Magnetkeises in de Gafik hat zu Folge, dass auf den beweglichen Anke eine Kaft wikt. B F = A (3.4) µ 0 7

8 3.6 Kaftwikung auf stomduchflossene eite Efahungsgemäß wid auf stomduchflossene eite im Magnetfeld eine Kaft ausgeübt, deen Entstehung man sich duch Übelageung des vohandenen magnetischen Femdfeldes mit de Flussdichte B und dem magnetischen Eigenfeld des Stomes veanschaulichen kann. Diese Übelageung hat eine Feldvestäkung auf de einen und eine Feldschwächung auf de andeen Seite zu Folge. Die Kaft zeigt in Richtung de Feldschwächung. B I α N l F = I l B ( ) F = Q v B ( ) (3.5) (3.6) S Rechte-Hand-Regel: 8

9 3.7 Kaft auf bewegte Punktladungen Bewegte elektische adungen üben Käfte aufeinande aus, deen Usache nicht im Coulombschen Gesetz liegt. Die magnetische Kaft auf zwei Punktladungen, die sich paallel zueinande mit const. Geschwindigkeit bewegen, soll beechnet weden, wenn sie auf gleiche Höhe sind. Da hie die Bescheibung duch skalae Gößen möglich ist, stellt dies ein Sondefall da. Die Kaft ist popotional dem Podukt de adungen und Geschwindigkeiten sowie umgekeht popotional zum Quadat des Abstandes: ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( F Q v Q v F = k Q v Q v ) µ Vs k = ; [ k ] = (Popotionalitätsfakto) 4π Am : Abstand zwischen den Bewegungslinien µ ( Q1 v1 ) ( Q v ) F = 4π (3.7) F mag v 1 Q 1 Q 1 F el v 1 F el F mag 1 1 F el F mag v Q Q v F mag F el Fall 1 Fall Die Kaftwikung auf die adung Q 1 kann nach Gl. (3.7) aus dem Podukt (Q 1 v 1 ) und de am Ot von Q 1 vohandenen, von de bewegten adung Q hevogeufenen magnetischen Induktion B(Q,v ) beechnet weden. Fü die Kaftwikung auf die adung Q sind die Vehältnisse analog, d.h. es gilt: 9

10 µ Q v F( Q1 ) = Q1 v1 = Q 1 v1 B( Q, v) 4π B( Q, v ) µ Q1 v1 F( Q) = Q v = Q v B( Q1, v1) 4π B( Q, v ) 1 1 F = Q v B sin v, B F = Q v B ( ) ( ) Die magnetische Induktion B lässt sich somit auch aus de Kaft auf bewegte adungen ableiten: µ Q v µ Q B = B = v 3 4π 4π ( ) (3.8) Fü die Gafik auf Folie 9 gilt: v1 x vx ; 0 v = v = ; 1 = 1 y ; = y Komponentendastellung (aus Mathebuch): a x b a b a b x a b = a b = a b a b a a b a b z bz y z z y y y z x x z x y y x Fü die Fälle 1 und egeben sich folgende Richtungen de Käfte: µ Q Q F( Q ) = 4π v v ( ) (3.9) v x v y z v z x y 0 v = v y y = vz x vx z = 0 positive z-achse v x y y x x z v v v z y v1 x 0 0 v1 ( v ) = 0 0 = v1 x vx y negative y-achse 0 v 0 x y 10

11 µ Q Q F( Q ) = 4π v v ( ) (3.30) v x v y z v z x y 0 v1 1 = v1 y 1 y = v1 z 1 x v1 x 1 z = 0 negative z-achse v1 1 1x 1y 1y 1x 1x z v v v z 1y vx 0 0 v ( v1 1) = 0 0 = vx v1 x 1 y positive y-achse 0 v 0 1x 1y Dieses Beispiel soll die Vogehensweise vedeutlichen, wenn die Vektoen nicht senkecht aufeinande stehen und daduch eine Bescheibung mittels skalae Gößen nicht möglich ist. 11

12 3.8 Das Gesetz von Biot-Savat Das Biot-Savatsche Gesetz dient zu Bestimmung de magnetischen Flussdichte bzw. Feldstäke in de Umgebung eines langen stomduchflossenen dahtfömigen eites beliebige Geometie. Die magnetische Flussdichte in einem Messpunkt P üht von allen Teilen des eites he. Das Biot-Savatsche Gesetz gibt an, welchen Beitag ein Stück de änge ds des vom Stom I duchflossenen eites hiezu liefet. I dh = ds d 3 4π I ds dh = sin( α ) 3 4π ( ) (3.31) P α l ds Feldstäke in de Umgebung eines geaden stomduchflossenen eites: I α 1 +ϕ s R ϕ ϕ 1 P α ϕ H I I = sin( ϕ1) + sin( ϕ ) = cos( α1) + cos( α ) 4π R 4π R (3.3) 1

13 Beispiel 3.8: Beechnung de magnetischen Feldstäke auf de Mittel- Punktsachse eines Ringstomes Das Biot-Savatsche Gesetz bescheibt den Anteil de magnetischen Feldstäke dh im Abstand eines stomduchflossenen Keisleites. dh steht dabei senkecht auf ds und. Die gesamte magnetische Feldstäke im Punkt P egibt sich aus de geometischen Summe de Teilfeldstäken de einzelnen eiteelemente ds. Bei de Summenbildung heben sich die zu Achse senkechten Komponenten von je zwei diametal gelegenen eiteelementen auf. Es bleiben nu die Komponenten in Achsenichtung übig. z β dh H P β dh l ds R ds R I R = d y x Fü die Feldstäke auf de Mittelpunktsachse gilt: H I d I R = = 8 + ( R l ) 3 3 (3.34) Fü l >> R: H = I R l 3 I Fü l << R: H = (siehe Bsp. 3.7) R 13

14 Beispiel 3.9: Magnetische Feldstäke auf de Mittelpunktachse im Inneen eine Zylindespule 1. Weg: Heleitung übe Winkelbeziehungen Das Bild zeigt eine Zylindespule mit de änge l und dem Duchmesse d. Übe die änge de Spule sollen w Windungen gleichmäßig angebacht sein, so dass auf das ängenelement dx geade w dx/l Windungen entfallen. Duch die gleichmäßig angebachten Windungen kann de Stom I übe die Spule als stetig veteilt angenommen weden. dx dx d 1 ε 1 ε P ε da a Heleitung siehe Volesung Fü die magnetische Feldstäke auf de Achse de Spule gilt: H I w = + l [ cos( ε ) cos( ε )] 1 (3.35) In de Mitte de Spule gilt: H M I w I w = cos( ε1) = l d + l (3.36) Am linken Rand de Spule betägt die magnetische Feldstäke: H I w I w = cos( ε) = l d + 4 l (3.37) Die magnetische Feldstäke auf de Mittelpunktachse eine langen Zylindespule (l >> d) ist am Rand nu halb so goß wie in de Mitte. 14

15 . Weg: Heleitung ohne Winkelbeziehungen Das Bild zeigt wiede eine Zylindespule mit stetige Stomveteilung. y dξ R 0 z ξ d -/ 0 ξ P +/ z + + I w R0 H = dh = ξ d 3 ( ( z ξ ) + R0 ) Unte Zuhilfenahme eine Fomelsammlung lässt sich dieses Integal geschlossen lösen: H + I w z z = ez ( z + ) + R ( ) + 0 z R 0 (3.38) 1. Sondefall: z = 0 H M I w = ez + d (3.39). Sondefall: z = -/ H I w = ez 4 + d (3.40) 15

16 Beispiel 3.9: Welches Magnetfeld hescht im Inneen eine Zylindespule von 0cm änge mit Radius 1,4cm und 600 Windungen, die von einem Stom de Stäke 4A duchflossen wid? Geben Sie den gafischen Velauf von H im Intevall [-/, /] an. De Feldvelauf lässt sich beispielsweise analytisch übe Gl. (3.38) beechnen und mit MATAB plotten. Mit Gl. (3.38): H + I w z z = ( z + ) + R ( ) + 0 z R 0 Eine weitee und vo allem paxistauglichee Möglichkeit de Beechnung stellt die numeische ösung des Integals mit Hilfe de Simpson-Fomel da (siehe auch ET1, Kapitel ). b a h = n mit: a, b : Integationsgenzen n : geade Anzahl von Teilintevallen h : Schittweite Σ = y + y 0 0 n Σ = y + y + + y n 1 Σ = y + y + + y 4 n b 0 1 a h f ( x) dx ( Σ + 4 Σ + Σ ) 3 Die Simpson-Fomel muss dann auf folgendes Integal angewandt weden, wobei z fü jede Simpson-Beechnung ein Paamete dastellt. H dξ (3.41) I w R = ( ξ z ξ + z + R ) 0 16

17 Nachfolgendes MATAB-m-File beechnet die magnetische Feldstäke sowohl übe die geschlossene ösung nach Gl. (3.38) als auch numeisch übe die Simpson-Fomel. Alle ängenangaben efolgen in Mete. Die Schittweite fü die z-achse im Intevall [-/, /] betägt jeweils (m). % % m-file beechnet den Velauf de magnetischen Feldstäke auf de % Mittelpunktsachse eine Zylindespule analytisch sowie numeisch % (letztee nach de Simpson-Fomel) % % letzte Aendeung: clc close all clea all fomat % Spulenwete = 0.; R0 = 0.014; w = 600; I = 4; % änge de Spule in m % Radius in m % Anzahl de Windungen % Stom delta_z = 0.005; % Schittweite fue z-achse n = 0; % Schittweite fue Simpson-Integation z_achse = -/:delta_z:+/; z = -/; k = /delta_z + 1; fo i = 1:1:k H_analytisch(i) = I*w/(*)*(((z + /) / (sqt((z + /)^ + R0^))) - ((z - /) / (sqt((z - /)^ + R0^)))); [integal_egebnis] = integation_simpson_zylindespule(n,-/,/,z,r0); H_numeisch(i) = I*w*R0^/(*) * integal_egebnis; z = z + delta_z; end; plot(z_achse,h_analytisch); gid; hold; plot(z_achse,h_numeisch,''); % % % % Funktion zu numeischen Integation de magnetischen Feldstäke eine Zylindespule % übegebene Paamete: - n => n+1 Stützstellen % - a : untee Integalgenze % - b : obee Integalgenze % - z : Wet auf de z-achse % - R0: Radius de Spule % zuückgegebene Wet: integal_egebnis function[integal_egebnis] = integation_simpson_zylindespule(n,a,b,z,r0) h = (b-a)/(*n); % Schittweite % Bestimmung de Teilsummen summe_0 = 1/sqt((a^ - *z*a + z^ + R0^)^3) + 1/sqt((b^ - *z*b + z^ + R0^)^3); summe_1 = 0; summe_ = 0; 17

18 i = 1; while i < *n summe_1 = summe_1 + 1/sqt(((a+i*h)^ - *z*(a+i*h) + z^ + R0^)^3); i = i + ; end; i = ; while i < *n-1 summe_ = summe_ + 1/sqt(((a+i*h)^ - *z*(a+i*h) + z^ + R0^)^3); i = i + ; end; integal_egebnis = [summe_0 + 4*summe_1 + *summe_]*h/3; % % In den Plots wid die analytische ösung blau und die numeische ösung ot dagestellt. In de esten Gafik ist n = 1, d.h. fü die Simpson-Integation weden n = 4 Teilintevalle fü jedes z beechnet. Man ekennt, dass übe einen weiten Feldstäkevelauf die numeisch emittelten Wete um die analytischen (Refeenz)-Wete oszillieen. Offensichtlich ist die gewählte Anzahl an Teilintevallen zu geing. H [A/m] / / z [m] blau: analytisch ot: numeisch (Simpson, n = 1) 18

19 In de zweiten Gafik ist n auf 0 gesetzt. Hie kann zwischen de analytischen und de numeischen ösung paktisch kein Unteschied meh festgestellt weden. H [A/m] 14000, 1000, 10000, 8000, 6000, 4000, 000, 0, -/ / -0,1-0,05 0, 0,05 0,1 z [m] blau: analytisch ot: numeisch (Simpson, n = 0) 19

20 3.9 Ablenkung im elektomagnetischen Feld Elektische Ablenkung: Elektonen teten mit eine Geschwindigkeit v 0x in ein homogenes Quefeld E y ein und efahen wähend ihe Duchlaufzeit t eine konstante Auslenkungskaft F und damit eine Geschwindigkeits- Komponente v y in Feldichtung. De Elektonenstahl wid also ausgelenkt. Das Feld kann duch einen Plattenkondensato de Plattenlänge l und dem Plattenabstand d ezeugt weden. Die Bahnkuve des Elektons innehalb de Plattenlänge l entspicht de eines waagechten Wufes: In x-richtung efolgt eine Bewegung mit const. Geschwindigkeit v 0x In y-richtung efolgt eine Bewegung mit const. Beschleunigung Anode l Kathode ' l v 0x d 0 v = a t y y E y v = const. x ϕ x s ya ' b b y p U a s y e Ey s = m e x v0x (3.45b) l t = (3.46) v 0x v 0x e U m = a e (3.47) 1 tan( ϕ) = v = e E = e U l = U l v m v d U y y y y t 0x e 0x d me v0x a e E l p e U l p l p U b = = = m v m d v y y y e 0x e 0x d Ua (3.48) (3.49) 0

21 Magnetische Ablenkung: l a v 0x d F y B z F y y α v x x ' b b c α Radius de Keisbahn: = me v e B z x (3.50) Umlaufzeit in einem Halbkeis: B v B F +q F q v 0 v 1 t u, h π π m v π m v v e B e B e 0 = = = 0 0 z e z (3.58) 1

22 Bsp. 3.10: Die aus de Kathode austetenden Elektonen weden von de positiven Anode angezogen und eeichen duch die Anodenspannung U a =kv das Ablenksystem de änge l=3,5cm mit eine Geschwindigkeit v 1. a) Wie goß ist v 1? b) Mit welchem Ablenkwinkel α velassen die Elektonen das Ablenksystem, wenn die Ablenkung elektisch mit E y =-416V/cm bzw. magnetisch mit Bz=-30, Vs/cm² efolgt? c) Wie goß ist v bei de elektischen bzw. magnetischen Ablenkung? Anode l z x Kathode v 1 E y bzw. B z y α U a v a) Mit Gl. (3.16): 19 e Ua 1,60 10 As 000 V km 1 = = = , s me 9, kg v b) Elektisch: V V V cm m y m E = 416 = bzw. E = y (E-Feld zeigt in negative y-richtung) ( ) ( ) 19 V m y l v e E 1,60 10 As ,035 m tan( α) = = = 0,364 me 9, kg 653, 10 m s α = 0 (Ablenkung efolgt in positive y-richtung)

23 8 4 4 cm m z m Magnetisch: B = 30,5 10 Vs Vs Vs = 30,5 10 bzw. B = 30,5 10 c) z 31 3 me v1 9, kg 653, 10 m s = = = e B 19 4 z 1,60 10 As 30,5 10 Vs m ( ) l 0,035 m α = acsin = acsin = 45,06 0,04945 m (Ablenkung efolgt in negative y-richtung) (B-Feld zeigt in Blattebene hinein) 0,04945 m Elektisch: v v 653, km 1 v = cos( α) v 1 s km = = = 85,4 s cos( α) cos(0 ) Magnetisch: v = v = 653, km 1 s 3

24 3.10 Induktionswikung des magnetischen Feldes Wid ein eite senkecht zum Magnetfeld bewegt, dann entsteht im eite eine elektische Spannung, weil die oentzkaft eine adungstennung innehalb des eites bewikt. De oentzkaft wikt die duch die adungstennung entstehende elektische Kaft ( F el = Q E ) entgegen. () I E U q 1 v U i 1 U i1 E i (1) I F = Q v B mag ( ) Wid die magnetische oentzkaft fomal wie eine Coulombkaft aufgefasst, dann muss eine Feldstäke eingefüht weden, die entgegengesetzt zu de elektischen Feldstäke E geichtet ist (sog. Induziete Feldstäke Ei ) : F = Q v B = Q E E = v B ( ) mag i i (3.64) Das System ist im Gleichgewicht, wenn elektische und magnetische Kaft gleich goß sind: Fel + Fmag = 0 Fel = Fmag Q E = Q ( v B) = Q E E = E i Die mit de adungstennung entstehende Quellspannung U q bzw. induziete Spannung U i lassen sich aus de elektischen Feldstäke E bzw. de angenommenen induzieten Feldstäke Ei beechnen: i siehe Volesung 4

25 Allgemeines Induktionsgesetz: Das Induktionsgesetz fasst zwei Vogänge zusammen, die keinen Bezug zueinande zu haben scheinen: Induktion duch Bewegung Induktion duch Feldändeung Mittels patielle Diffeentiation egibt sich: dφ d da( t) db( t) Ui = = ( A( t) B( t) ) = B( t) A( t) dt dt dt dt (3.67) Das 1. Glied bescheibt den Bewegungsanteil, das. Glied den Feldändeungsanteil an de induzieten Spannung. Odnet man mehee benachbate eiteschleifen an, so wid in jede einzelnen die mit de jeweiligen Flussändeung vebundene Spannung induziet; jede Schleife ist eine individuelle Spannungsquelle. Daaus egibt sich das allgemeine Induktionsgesetz: dφ Ui = N dt (3.68) 5

26 Ezeugung eine sinusfömigen Wechselspannung Die einfachste Möglichkeit de Ezeugung eine sinusfömigen Wechselspannung ist, eine echteckige eiteschleife mit const. Dehzahl n in einem homogenen und zeitlich const. Magnetfeld de Flussdichte B zu dehen (Bewegungsinduktion). Je nach Stellung de eiteschleife duchsetzt de magnetische Fluss eine bestimmte wiksame Fläche: = d α a φ als Funktion de Zeit: Φ ( t) = Φˆ cos( ωt ) a Fü die induziete Spannung ehält man: ( ˆ ) dφ d u ( ) = = Φ cos( ω ) = ω Φˆ i t N N t N sin( ωt) dt dt (3.71) u ( t) = uˆ sin( ωt ) (3.7) i uˆ = N ω Φ ˆ = N ω B l d (3.73) Zwischen den beiden Zeitveläufen u i (t) und φ(t) titt eine zeitliche Veschiebung (Phase) auf. De Fluss eilt de Spannung um π/ voaus. 6

27 3.10. Selbstinduktion de Spule Wid eine Spule von einem zeitlich sich ändenden Stom duchflossen ( di dt 0 ), wid die Spule auch von einem zeitlich sich ändenden Magnetfeld duchsetzt ( dφ dt 0 ). Die Spule eagiet auf das eigene Magnetfeld genauso wie auf ein femdes Magnetfeld und induziet nach dem enzschen Gesetz einen Stom und eine Spannung. Ist dφ dt > 0, wid ein Stom induziet, de dem hinein fließenden Stom entgegenwikt (Bemswikung). Fü die Beechnung de Selbstinduktionsspannung vebindet man den Induktionsvogang mit de Definition de Induktivität. di Selbstinduktionsspannung: u = (3.74) dt Die Spannung u entspicht eine Quellspannung (aktive Zweipol). i i R u R R u R di dt > 0 i i di dt < 0 u u i i 7

28 3.11 Schaltvogänge bei Spulen S i U M R u R S t = 0 M R u R u u a ) b) i Einschaltvogang (Bild a): τ = R (3.75) i u U = 1 e R t = U e τ t τ (3.76) (3.77) i stebt dem Endwet U R entgegen. De Quotient R ist eine Schaltungskonstante und heißt, analog zum Kondensato, Zeitkonstante τ. U ist die Betiebsspannung. Sie ist gleich de Spannung u im Einschaltmoment. Abschaltvogang (Bild b): i t = I e τ (3.78) max t u = U e τ (3.79) Die Richtung des Abschaltstoms i stimmt mit de Richtung des vohe geflossenen Gleichstoms I = U R übeein, da de Induktionsstom gemäß de enzschen Regel jede Flussändeung entgegenwikt. Das Minuszeichen in Gl. (3.79) besagt, dass Abschaltstom und Selbstinduktionsspannung entgegengesetzt geichtet sind (aktive Zweipol). 8

29 Übegangsvehalten des R-Gliedes: 9

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