Mathematische Modellierung des Gaußgewehrs (Coilgun)

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1 Mathematische Modellierung des Gaußgewehrs (Coilgun) Alexios Aivaliotis, Christopher Rieser 30. Juni

2 1 Beschreibung des Projekts In dieser Arbeit beschreiben wir die physikalische und mathematische Prinzipien eines Gaußgewehrs. Ein Gaußgewehr, auch bekannt unter der englischen Bezeichnungen Coilgun oder Gaussrifle, ist ein elektromagnetischer Beschleuniger für Kanonekugeln, bei dem Spulen zur Erzeugung der Magnetfelder verwet werden. Vier Spulen bilden ein four stage Gewehr. Ein Projektil (Eisenkugel) befindet sich im Abstand x 0 vor der Spule. Man schaltet den Strom ein welcher nun durch die erste Spule fließt und somit ein Magnetfeld erzeugt. Das Magnetfeld wirkt auf das Projektil und beschleunigt es. Sobald das Projektil im Mittelpunkt der Spule ankommt, wird der Strom ausgeschalten und somit wird kein Magnetfeld mehr erzeugt. Genau in diesem Zeitpunkt schaltet man die zweite Spule ein und die Kugel wird wieder einer Beschleunigung ausgesetzt. 2 Modellierung Das Magnetfeld das auf der Achse welche durch die Mitte der Spule geht erzeugt wird, ist gegeben durch: B(x) = µ 0IN 2 = µ 0IN 2 α2 α 1 cos αdα { } x + L/2 R2 + (x + L/2) x L/2 2 R2 + (x L/2) 2 (1) wobei wir folge Transformation zur Berechnung des Integrals verwet haben: z ζ = R tan α, ζ = L/2 bis ζ = L/2 L... Länge der Spule. R... Radius der Spule. N... Anzahl der Windungen. µ 0 = 4π Permeabilität des Vakuums. I... Stromstärke Auf ferromagnetische Körper bewirkt das Magnetfeld eine Kraft. Diese hängt von den Materialeigenschaften und dem Volumen des Körpers ab. Die Kraft berechnet sich folgermaßen: F = χ µ 0 V B J B χ = µ r 1... Susceptibilität vom Eisen mit µ r... Permeabilität vom Eisen. 2

3 µ 0 = 4π Permeabilität des Vakuums. V... das Volumen des Projektils. B... das Magnetfeld. J B... die Jakobimatrix des Magnetfeldes Für dieses Projekt wurden die Berechnungen mit einer homogenen Eisenkugel als Projektil gemacht. In Unserem Fall wird angenomen, dass das Projektil sich nur auf der x-achse bewegt und außerhalb dieser verschwindet das Magnetfeld. Somit ergibt sich, da wir nur an der Kraft in x-richtung interessiert sind, für die erste Komponente : ((B 1, B 2, B 3 ) J B ) 1 = (B 1 (x, 0, 0), 0, 0) B x (x, 0, 0) Also ergibt sich für die Kraft in x-richtung F (x, 0, 0) = χ µ 0 V B 1 (x, 0, 0) B 1(x, 0, 0) oder: F (x) = χ µ 0 V B(x) B (x) χ = µ r 1... Susceptibilität vom Eisen mit µ r... Permeabilität vom Eisen. µ 0 = 4π Permeabilität des Vakuums. V... das Volumen des Projektils. B... das Magnetfeld. J B... die Jakobimatrix des Magnetfeldes Mit der Gleichung (1) gilt für die Ableitung von B: B (x) = µ { 0IN R 2 R 2 } 2 (R 2 + (x + L/2) 2 ) 3 2 (R 2 + (x L/2) 2 ) 3 2 und somit: ( ) 2 B(x)B µ0 IN (x) = S(x; R, L) 2 wobei S(x; R, L) eine Funktion ist die von x abhängt; mit gegebenen Parameter R und L. Aus dem Newtonschen Gesetz: Für das Projektil gilt: F = m a a = F m m = ρv 3

4 ρ... Die Dichte der Eisenkugel r... Der Radius der Eisenkugel Somit gilt für die Geschwindigkeit: x (t) = v (t) = F m = 1 ρ ( µr 1 µ 0 ) B(x)B (x) Mit x = v können wir folges System von gewöhnlichen Differentialgleichungen schreiben: ( ) ( ) x ( ) v = 1 v µr 1 ρ µ 0 B(x)B (2) (x) 3 Programmierung 3.1 Annahmen Wir haben folge Annahmen gemacht: Das Projektil bewegt sich entlang eines Rohrs, welches überhaupt nicht magnetisiert wird (z.b. Plastik). Das Experiment findet im Vakuum statt. Die Kraft welche auf die Kugel wirkt findet nur in x-richtung statt. Es treten keine anderen Kräfte wie Reibung im Rohr oder Luftwiderstand auf. Ferner, wurden folge Eigenschaften des Experiments festgelegt: R c = 2cm µ r = µ 0 = 4 3 π10 7 V = 4 3 πr3 Bcm 3 ρ = g cm 3 L = 1cm noc = 4 N = 1100 R c... Radius der Spule. V... Volumen des Projektils. ρ... Dichte vom Eisen. L... Länge der Spule. noc... Anzahl der Spulen. N... Anzahl der Windungen. 4

5 Für die Anzahl der Windungen wurde folge Formel verwet: h = d 2 N L N = hl d 2 h... Wickelhöhe. L... Länge der Spule. d... Durchmesser vom Kupferdraht. In unserem Fall ist L = h = 1cm und d = 0.03cm und somit: N 1100 Windungen 3.2 Code Siehe Abschnitt 6. 4 Optimierung Folge Fragen wurden gestellt und beantwortet: Für gegebene Anzahl von Spulen und gebenen Radius R C von jeder Spule, was ist der optimale Radius R B für die Kugel? Was ist der optimale Abstand d zwischen den vier Spulen? Was ist der optimale Wert für den Strom I? Ziel der Optimierung ist die möglichst höchste Geschwindigkeit für das Projektil zu bekommen. 5 Ergebnisse Wir haben folge (realistische) Schranken für R B,d und I verwet: Die optimale Werte für d,r B,I sind: 1 4 R B 2 1 d 6 1 I 15 R B = 1 2 d = 6 I = 15 5

6 Die maximale Geschwindigkeit ist: v max = 47km/h Die Entwicklung der Geschwindigkeit mit der Zeit ist: Geschwindigkeit v Zeit t x

7 6 Code Der Code zur Berechnung des Systems von Differentialgleichungen (2): function _velocity = Velocity(params) Rb = params(1); %Spherical Bullet Radius d = params(2); %Distance between the coils I = params(3); %Current flowing through the Coils Rc = 2; %Coil Radius mur = 10000; %Permeability of the Material mu0 = 4*pi*10^(-7); %Vacuum Peremeability V = 4/3*pi*Rb^3; %Bullet Volume rho = 7.874; %Density of the Material noc = 4; %Number of coils L = 1; %Coil Length N = 1100; %Number of Windings x0 = -2; %Starting position of the projectile v0 = 0; %Starting velocity of the projectile consts = [Rc,Rb,N,L,mur,mu0,V,rho,I]; M RHS(t,x,consts); M(t,x). ; %This part makes sure that the computation terminates when the bullet %is at the center of the coil function [value,isterminal,direction] = events(t,y) value = y(1); isterminal = 1; direction = 0; options = odeset( RelTol,1e-4, AbsTol,[1e-5 1e-5], t_max = 10; for i = 1:noc if i==1 [t,y]= ode45(n,[0,t_max],[x0,v0],options); else curv = y(length(y),2); v0 = v0 + curv; [t,y]= ode45(n,[0,t_max],[-d,v0],options); _velocity = y(length(y),2); plot(t,y(:,2)) 7

8 xlabel( Zeit t ); ylabel( Geschwindigkeit v ); Die Funktion RHS ist eine Hilfsfunktion die die rechte Seite der Differentialgleichung berechnet: function [B] = RHS(t,x,coeff) %Define the constants Rc = coeff(1); %Coil Radius Rb = coeff(2); %Spherical Bullet Radius N = coeff(3); %Number of Windings L = coeff(4); %Coil Length mur = coeff(5); %Permeability of the Mmaterial mu0 = coeff(6); %Vacuum Peremeability V = coeff(7); %Bullet Volume rho = coeff(8); %Density of the Material I = coeff(9); %Current going through the coil RHS=zeros(2,1); B(1)=x(2); if x(1)<=0 B(2) = -1/rho*(mur-1)*mu0*(I*N/2)^2*(((x(1)+L/2)^2*Rc^2)/((L/2+x(1))^2+... Rc^2)^2 - ((x(1)+l/2)^2*rc^2)/(((x(1)-l/2)^2+rc^2)^(3/2)*(rc^2+(x(1)+... L/2)^2)^(1/2)) - ((x(1)-l/2)^2*rc^2)/(((x(1)+... L/2)^2+Rc^2)^(3/2)*(Rc^2+(x(1)-L/2)^2)^(1/2))+... ((x(1)-l/2)^2*rc^2)/((x(1)-l/2)^2+rc^2)^2); else B(2) = 0; Der Code für die Optimierung ist: function Coilgun f -Velocity([x(1) x(2) x(3)]); %Lower and upper bounds for R_b, d and I lb = [1/4 1 1]; ub = [2 6 15]; [x, fval] = fmincon(f,[1/2 2 10],[],[],[],[],lb,ub); x %Results velocity = *fval %Velocity in km/h 8

9 Literatur [1] W. Demtröder: Experimentalphysik 2 [2] R. Feynman: Feynman Lectures on Physics, Volume 2: Mainly electromagnetism and matter. 9

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