Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II

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1 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Inhalt de Volesung Expeimentalphysik II Teil 1: Elektizitätslehe, Elektodynamik 1. Elektische Ladung und elektische Felde 2. Kapazität 3. Elektische Stom 4. Magnetostatik 5. Elektodynamik 6. Schwingkeise und Wechselstom Teil 2: Optik 7. Elektomagnetische Wellen 8. Optik 157

2 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) 4 Magnetostatik 4.1 Magnetische Kaftwikung Von elektisch ungeladenem Eisen kann eine Kaft auf ein andees Stück Eisen ausgeübt weden. Vesuch: Eisenmagnet und Kompassnadel F 1 F 2 Eisenmagnet Kompassnadel F Von dem Eisen geht ein Magnetfeld aus, in dem sich die Kompassnadel ausichtet. Je nach Ausichtung des Magneten wikt die Kaft anziehend ode abstoßend. F 1 F 2 Abstoßung Anziehung Magnetpole (Nod- und Südpol) lassen sich nicht tennen. Zebicht man einen Stabmagneten, dann egeben sich zwei küzee Magnete mit beiden Polen. 158

3 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Teilung eines Stabmagneten: Dipol Feldlinien eines magnetischen Dipols Im Gegensatz zu elektischen Ladungen, die einzeln ezeugt weden können, sind einzelne Magnetpole (so genannte magnetische Monopole) bishe nicht beobachtet woden. Dahe kann das Magnetfeld auch nicht übe die Kaftwikung von magnetischen Monopolen definiet weden. Feldlinien in de Nähe eines Pols 159

4 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Vesuch: Feldlinien eines stomduchflossenen Leites Hans Chistian Østed entdeckt 182 den Zusammenhang zwischen Stom und Magnetfeld: Leite Plexiglasscheibe Eisenfeilspäne Nach Einschalten des Stomes oientieen sich die Eisenfeilspäne keisfömig um den Leite. Hans Chistian Østed ( ) 16

5 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Ein Ausmessen des Magnetfeldes mit eine Kompassnadel egibt, dass ein stomduchflossene Leite von einem keisfömigen Magnetfeld umgeben ist. Stom I Im Gegensatz zum elektostatischen Feld gibt es geschlossene Magnetfeldlinien. Die Feldlinien geben wiede die Kaftwikung (Richtung und Stäke) des Magnetfeldes an. j B Magnetfeld B Leite 161

6 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Die Richtung de Magnetfeldlinien kann einfach mit de echten Hand demonstiet weden. j Vesuch: Magnetfeld und elektisches Feld geladene Kunststoffkugel Magnet B Das Ein- und Ausschalten des Magneten hat keinen Einfluss auf die geladene Kunststoffkugel. Esetzt man diese duch eine Eisenkugel, dann ist deutlich eine Kaftwikung zusehen. E-Feld B-Feld 162

7 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) 4.2 Magnetfeld eines geaden Leites Wi wollen jetzt das Magnetfeld eines geaden Leites, duch den de Stom I fließt, aus Symmetieübelegungen heleiten. Es gilt also B ( ) = B ( ) e ϕ mit dem Einheitsvekto in Polakoodinaten. e ϕ I B = const. B= B() e ϕ Expeimentell findet man fü den Betag des Magnetfeldes B(): B ( ) Die Popotionalitätskonstante wid mit μ / 2π bezeichnet. Fü das magnetische Feld eines stomduchflossenen Leites ehält man dahe: I Das Feld kann nu vom Abstand vom Leite abhängen. Die Feldlinien sind konzentische Keise (dies egibt sich späte aus de 2. Maxwell-Gleichung). B ( ) = μ I 2π e ϕ 163

8 μ Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Bemekungen: μ (1) ist die magnetische Pemeabilität des Vakuums. Sie wid auch als magnetische Feldkonstante bezeichnet. 7 Vs Ih Wet ist: μ = 4π 1 Am Vs Die Einheit des Magnetfeldes ist damit: [ B ] =1 1T (Tesla) m 2 = (2) In Mateie muss die Fomel fü das Magnetfeld eines Leites abgeändet weden. Mit de Pemeabilität μ des Mediums gilt: μ μ I B ( ) = e d.h. μ muss duch das Podukt μ μ esetzt weden. 2π Beispielsweise ist fü Eisen μ 5 (3) De Leite ist hie als unendlich ausgedehnt angenommen woden. Deswegen fällt das Feld nu mit 1/ ab (wie beim Zylindekondensato) und nicht gemäß 1/ 2 wie im Falle von elektischen Punktladungen. (4) Es ist zu beachten, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Das Magnetfeld lässt sich dahe nicht übe die Kaftwikung auf magnetische Ladungen definieen, sonden nu übe Stöme. 164

9 4.3 Ampèesches Gesetz Das Resultat fü das Magnetfeld eines geaden Leites, duch den de Stom I fließt, lässt sich in allgemeine Fom dastellen. d Das Resultat B I B B = const. = Be ( ) ϕ μ ) = I 2π ( e lässt sich ückwäts umfomen zu: ϕ Expeimentalphysik II (Kip SS 29) B( )2π = μi e B( ) eϕ 2π = μi B( ) d = μi Keis e Hiebei handelt es sich auf de linken Seite um ein Wegintegal übe das Vektofeld B ( ) entlang eines Keises mit dem Radius. Das geschlossene Wegintegal übe das Magnetfeld B ( ), welches den Stom I umfasst, egibt also μ I. Es stellt sich heaus, dass dieses Resultat stak veallgemeinet weden kann. ϕ ϕ 165

10 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Ein (vom Weg d eingeschlossene) Stom I uft ein Magnetfeld B hevo, welches die folgende Gleichung efüllt: Bemekungen: B d = μi Andé Maie Ampèe ( ) Dies ist das sog. Ampèesche Gesetz. Hiebei handelt es sich beeits um den esten Teil de 4. Maxwell-Gleichung (in integale Fom). Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass (stationäe) Stöme (statische) magnetische Felde hevoufen. Statische Magnetfelde weden geneell duch das Fließen von Stömen eklät. Das bedeutet beispielsweise, dass in einem magnetischen Stück Eisen mikoskopische Stöme fließen müssen. Es ist zu beachten, dass das Wegintegal in de obigen Gleichung entlang jede beliebig gefomten geschlossenen Kuve, die den Stom I umschließt, beechnet weden daf. Mit dem Ampèeschen Gesetz können Magnetfelde beechnet weden. 166

11 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) 4.4 Magnetfeld eine langen Spule Beispiel: Magnetisches Feldlinienbild eine langen Spule 167

12 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Feldlinienbild eine Spule B e x l B= Be x Das Magnetfeld im Inneen de Spule de Länge l soll jetzt mit dem Ampèeschen Gesetz und einigen veeinfachenden Annahmen beechnet weden. Wi betachten die folgende Zeichnung: I Näheungsweise gilt: N Windungen B innehalb de Spule: B = B = const. im Außenaum: B 168

13 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Mit dem Ampèeschen Gesetz egibt sich nun: B d = B d + B d auße- halb B innehalb = B le + = μ NI x Feldlinien eines stomduchflossenen Tous Das homogene Magnetfeld im Inneen eine Spule de Länge l mit N Windungen, duch die ein Stom de Stäke I fließt, ist damit also: B = μ NI l Diese Fomel ist fü dicht gewickelte Spulen mit goße Windungszahldichte N/l seh genau. 169

14 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Vesuch: Magnetfeldstäke in eine Spule Wid die Hallsonde ( Magnetfeldmesse ) im Innen de Spule paallel zu Achse bewegt, dann wid ein nahezu konstantes Feld gemessen. Est im Randbeeich nimmt es ab. lange Spule Hallsonde 17

15 Vesuch: Spule mit Eisenken Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Nach dem Einschalten des Stomes wid de Eisenken in die Spule hineingezogen. Fedewaage Eisenken Eisenken Stomvesogung Spule Spule 171

16 Vesuch: Magnetfeld eine Spule ohne und mit Eisenken Expeimentalphysik II (Kip SS 29) ohne Eisenken = schwaches Feld mit Eisenken = stakes Feld Spule Hallsonde Eisenken 172

17 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Eisenken Spule Die Fomel fü das Magnetfeld im Inneen eine langen Spule wa: B NI = μ l I Hallsonde Das an eine Spule mit eine Hallsonde gemessene Magnetfeld ist eheblich göße, wenn ein Eisenken in die Spule geschoben wid. Kene aus z.b. Kupfe ode Aluminium zeigen keinen gößeen Effekt. Dabei wude angenommen, dass sich keine Mateie im Inneen befindet. Mit Mateie gilt (μ μ μ): NI B = μμ l Da fü Eisen μ 5 gilt, egibt sich so die seh goße Vestäkung mit dem Eisenken. Dies kann alledings est späte genaue vestanden weden ( Kapitel 4.11). 173

18 Spule Hallsonde Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Beispiel eines Expeimentiemagneten zu Ezeugung von Magnetfelden bis etwa B max 1 Tesla: Luftspalt Eisenjoch Spulen Noch effektive ist eine Anodnung mit einem geschlossenen Eisenjoch, in dessen Spalt Felde bis ca. 1 Tesla ezeugt weden können. Hie weden die Feldlinien geschlossen im Eisen gefüht (siehe auch Tansfomato in Kapitel 6.9). Eisenjoch 174

19 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Beispiel: Magnetisches Feld de Ede 175

20 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) 4.5 Loentz-Kaft Eine Ladung q bewegt sich mit de Geschwindigkeit v in einem magnetischen Feld B. Expeimentell egibt sich, dass die Ladung dann von eine Kaft abgelenkt wid gemäß: F = qv B Vektopodukt: Rechte-Hand-Regel: F Kaft z y x B Feld Diese spezielle Kaft heißt Loentz-Kaft. Es ist zu beachten, dass auf ein uhendes Teilchen keine Loentz- Kaft wikt. Antoon Loentz ( ) v Bewegung Das Besondee ist, dass diese Kaft von de Geschwindigkeit de Ladung abhängt. Hieauf beuhende Effekte weden in den folgenden Abschnitten diskutiet. 176

21 Duch die Kaftwikung kann die Einheit des Magnetfeldes definiet weden (fü ν B ): F N B = [ B] = 1 = 1T=1Tesla qv Cm s Das Magnetfeld betägt B = 1 Tesla, wenn auf eine Ladung von q = 1 C, die sich mit de Geschwindigkeit v = 1 m/s bewegt, die Kaft F = 1 N wikt. 1 Tesla ist ein elativ goßes Magnetfeld. Wi betachten jetzt die Loentz-Kaft und das 2. Newtonsche Axiom, also: dv F = m = qv B dt Multiplikation mit v egibt: Expeimentalphysik II (Kip SS 29) dv F = m = qv B v dt dv mv = q v ( v B) = dt = Es ist d dv dv dv ( v v) = v+ v = 2v dt dt dt dt 1 d dv m ( v v) = mv = 2 dt dt und damit: d 2 ( v ) = v = const. dt dv dv v = v dt dt Im Magnetfeld bleibt de Betag de Geschwindigkeit von q (und damit die kinetische Enegie) also konstant. 177

22 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Beispiel: Bewegung eine Ladung im homogenen Magnetfeld Die Loentz-Kaft ist: Definition des Koodinatensystems Damit folgt: F = qv B = m && x B B = Bz vx v = vy vx vybz v B= vy = vxbz B z z v y Es egeben sich die 3 Gleichungen: (1) mx && = qv B (2) my && = qvxb (3) mz && = (3) Entspicht z& = v = const. = ode z ( t) = z = const. (1) und (2) egeben das Gleichungssystem: qbz qbz v& = v und v& = v m m x y y x Einheitenbetachtung: z qb z CN 1 kg m = = da N = 2 m Cm s kg s s y z z 178

23 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Es wid die Zykloton-Fequenz definiet: ω = z qb m Das Gleichungssystem kann dann geschieben weden als: v& v& x y =+ ω = ω Ableiten de esten Gleichung und Einsetzen de zweiten egibt eine homogene DGL 2. Odnung fü v x : z z z v v v&& =+ ω v& = ω v 2 x z y z x v&& + ω v = x Dies ist die DGL des hamonischen Oszillatos fü v x. 2 z x y x Als Lösung egibt sich fü eine gewählte Anfangsbedingung v x (t = ) = v : ( ) v () t = v cos ω t x xt = v z ( t) () sin ωz ωz Entspechend kann fü die y-komponente gezeigt weden: ( ) v () t = v sin ω t y v z ( t) () cos ωz ωz yt = v R () t = x () t + y () t = = const. ω z Die Ladung bewegt sich also auf eine Keisbahn mit de Zykloton-Fequenz ω z = qb z /m

24 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Vesuch: Elektonenstahl im homogenen Magnetfeld Die Winkelablenkung eines Elektonenstahls im Magnetfeld ist: Duch zwei sog. Helmholtz-Spulen wid ein nahezu homogenes Magnetfeld ezeugt. Ein Elektonenstahl läuft dann auf eine Keisbahn: Glühkathode Stahl v Magnetfeld α R B l Elektonenstahl Vakuumöhe Wenn l die Bahnlänge im Magnetfeld ist und R de Bahnadius, dann ist de Ablenkwinkel (in Radian) gegeben duch: α = l R 18

25 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) De Bahnadius R kann aus dem Gleichgewicht de Loentz-Kaft und de Zentifugalkaft emittelt weden: v 2 qv B = m R Beispiel: Fensehbildöhe Kathode Anode 1 = R qb m v +U a Dann ist de Ablenkwinkel gegeben duch l α = = R q Bl m v I I Glaskolben Magnetspule Leuchtschim wobei v duch eine feste Beschleunigungsspannung genau eingestellt weden kann. 181

26 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Beispiel: Funktionsweise eines Zyklotons Da sich im magnetischen Feld de Betag de Geschwindigkeit nicht ändet, können Ladungen allein mit Magnetfelden nicht beschleunigt weden. Im Zykloton wid dafü ein elektisches Feld imme wiede duchlaufen. Enest Lawence ( ) 182

27 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Das Isozykloton de Uni Bonn 183

28 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Beispiel: Massenspektomete Beschleunigungsstecke v U b = + Teilchenquelle B q, m 2R R Spektallinie Schim Die geladenen Teilchen weden duch U b beschleunigt und ehalten die Geschwindigkeit: v = 2 qu m b Im Magnetfeld B weden sie auf einem Halbkeis abgelenkt. Das Käftegleichgewicht ist hie: mv R 2 mv = q vb R = q B Quadiet man beide Ausdücke dann folgt: v 2 = 2 qu b m 2U b q 2 R m und q = m 2 2 B v R Daaus egibt sich schließlich: q = m 2 q 2U b B = mr ( ) = 2 2 m R B 2qU 2 2 b B R

29 Die Loentz-Kaft auf eine bewegte Ladung q im Magnetfeld ist: F = qv B Ist auch noch ein elektisches Feld vohanden, dann wikt die Gesamtkaft: F = q E+ v B ( ) Beispiel: Vegleich de Käfte auf ein geladenes Teilchen, welches sich (fast) mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, d.h. es ist v c. Die elektische und magnetische Kaft sind gleich goß, wenn: E = c B Expeimentalphysik II (Kip SS 29) 4.6 Magnetische & elektische Käfte Ein Magnetfeld von B = 1 Tesla ist leicht zu ezeugen. Dem wüde ein elektisches Feld entspechen von E = V m Dies ist nahezu unmöglich zu ezeugen (Poblem: el. Übeschläge). In Teilchenbeschleunigen weden dahe Magnete zu Ablenkung vewendet. 185

30 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Beispiel: Hall-Effekt U H B d a I Daduch entsteht an den Seiten eine Potentialdiffeenz U H die solange ansteigt, bis die ablenkende Wikung des Magnetfeldes duch das entstehende elektische Feld E H an den Leiteseiten kompensiet wid. In diesem Gleichgewichtszustand gilt: F e( = E ) H + v B = E + v B= H Duch einen Leite de Beite a und de Dicke d fließt ein Stom I. Wenn senkecht zum Leite das Magnetfeld B wikt, dann weden die bewegten Ladungen im Leite senkecht zum Magnetfeld und senkecht zu Richtung des Stoms abgelenkt. Wi hatten fü die Geschwindigkeit de Elektonen im Leite beeits den folgenden Zusammenhang gefunden: v = I I U und EH ρa = ρad = a H 186

31 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Da ν B, E ν und E B kann mit den Betägen geechnet weden: Daaus egibt sich die sog. Hall- Spannung: U U H a IB = ρ d = H = IB ρad Die Ladungsdichte ρ wid oft duch die Volumendichte n de Ladungstäge ausgedückt: ρ = ne R H IB d Die Göße R H 1 1 = = ρ ne ist die Hall-Konstante. Sie ist besondes goß, wenn n klein ist. Dies ist speziell fü Halbleite de Fall. Da B U H kann duch Messen de Hall-Spannung das Magnetfeld B bestimmt weden. Vo allem aus kleinen Halbleitesteifen gefetigte Sonden weden häufig zu Magnetfeldmessung vewendet ( Hall-Sonden ). Hall-Konstanten können pinzipiell positiv ode auch negativ sein (entspechend Elektonenleitung ode Löcheleitung in Halbleiten). 187

32 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Vesuch: Hall-Effekt Hall-Sonde Elektomagnet Eine Ehöhung des Stomes (hie: duch ein dünnes Silbeblech) duch den Elektomagneten vegößet popotional dazu auch die Hall-Spannung. 188

33 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) 4.7 Leiteschleife im Magnetfeld I Stom B F l Auf einen stomduchflossenen Leite de Länge l wikt im Magnetfeld eine Kaft F. Dabei findet man expeimentell: F B und F l Hie ist l ein Vekto, de in die Richtung des Stomflusses zeigt. De Betag l von gibt die Länge des Leitestücks an, das vom homogenen Magnetfeld B duchsetzt wid. Fü die Kaft auf das Leitestück egibt sich zunächst qualitativ: F I l B 189

34 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Vesuch: Leiteschaukel im Magnetfeld Stomvesogung Ampèemete Leite Leiteschaukel Magnet De stomduchflossene Leite wid je nach Richtung des Stomflusses in den Magneten hineingezogen ode heausgedückt. 19

35 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Es soll jetzt gezeigt weden, dass diese Kaftwikung zuückgefüht weden kann auf die Loentz-Kaft de im Leite fließenden Elektonen. Wi betachten die folgende Situation in einem Leitestück de Länge : dl ρ dl Die Loentz-Kaft auf die Anzahl N de im Volumen Adl enthaltenen Ladungen ist: df v A = N( e) v B Die Elektonenanzahl ist das Podukt aus Ladungsdichte und Volumen: N = ρadl Damit ehält man also: df = ρeadl v B = ρeav dl B Die Richtung von dl entspicht de von v. Fü den Stom I im Leite lässt sich scheiben I = q t = q v dl = eρav Die Loentz-Kaft auf die bewegte Ladung dq im Volumen Adl lautet dann df = I dl B 191

36 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) 4.8 Magnetisches Moment Eine von einem Stom I duchflossene echteckige Leiteschleife mit den Kantenlängen a und l befindet sich um die x-achse dehba in einem homogenen Magnetfeld B. F a A F l B a z I F ϕ F a y x Die paallel zu x-achse wikenden Käfte F a heben sich gegenseitig auf. Dagegen ezeugen die Käfte F auf die Seiten l ein Dehmoment um die x-achse de Stäke a M = 2 F sinϕ ex = a F sinϕ e 2 Die Kaft auf die Leiteseiten ist F = Il B = IlB e wobei: B = B z Dann wid das Dehmoment: M IalB { sin = z ϕ e = A z x y x 192

37 Es wid wiede eine Flächennomale definiet, deen Betag A = a l betägt. Dann kann das Dehmoment auch in de folgenden Fom geschieben weden: M = IA B Diese Beziehung gilt ganz allgemein fü beliebig gefomte Leiteschleifen. Man odnet eine Leiteschleife, duch die de Stom I fließt und die die Fläche A umschließt, das magnetische Moment m zu, mit: m = I A A Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Damit egibt sich fü das auf eine Leiteschleife wikende Dehmoment: M M = m B Die Analogie zum wikenden Dehmoment auf einen elektischen Dipol ist zu ekennen. Es wa: Dipol = p E Das magnetische Moment ist also die zum elektischen Dipolmoment äquivalente Göße. Eine stomduchflossene Leiteschleife ichtet sich im Magnetfeld imme so aus, dass ihe Flächennomale paallel zum Magnetfeld steht. 193

38 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Wenn die Leiteschleife ausgeichtet ist, dann veschwindet das Dehmoment, und es gibt auch keine esultieenden Käfte auf die Gesamtschleife. Dies gilt sofen das Magnetfeld homogen ist, d.h. B ( ) = B = const. Beispiel: Pinzip des Ampèemetes Fede In einem inhomogenen Magnetfeld wüde abe eine Kaft auf die stomduchflossene Leiteschleife wiken. Dies ist analog zum elektischen Dipol im inhomogenen elektischen Feld (siehe Abschnitt 1.5). dehbae Spule Magnet 194

39 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Vesuch: Spule im homogenen Magnetfeld Ampèemete Spule mit Magneten I Stomquelle I Die stomduchflossene Spule ichtet sich im Magnetfeld imme so aus, dass ih Flächenvekto paallel zu den Feldlinien veläuft. 195

40 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Beispiel: Mechanische Messung von Magnetfelden B ϕ M = m B m Die Kompassnadel mit dem magnetischen Moment m ichtet sich im Magnetfeld in Richtung de Feldlinien aus. Auf sie wikt ein Dehmoment: Im Magnetfeld füht die Kompassnadel Schwingungen aus. Wenn sie um ihe Dehachse das Tägheitsmoment J hat, dann gilt: J && ϕ() t = m B sin ( ϕ() t ) mb && ϕ() t + sin ( ϕ() t ) = J Fü kleine Ausschläge ϕ( t) << 1 gilt: mb && t t J 2 ϕ() + ω ϕ() = mit ω = Dies ist die DGL eines hamonischen Oszillatos mit de Schwingungsfequenz ω. Daduch kann das Magnetfeld gemessen weden. 196

41 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) 4.9 Käfte auf magnetische Momente Wi beechnen jetzt die Kaftwikung auf eine infinitesimale Leiteschleife in einem inhomogenen Magnetfeld. z da z I df y,2 df y,1 dx dy y x Es wid angenommen, dass auf dem Flächenelement dx dy das Magnetfeld senkecht steht, dessen Stäke sich entlang de y-achse veändet. Die Käfte auf die dy-kanten kompensieen sich. Die Käfte auf die dx-kanten sind: df = I dx B ( y) y,1 df = I dx B ( y + dy) y,2 Mit dem Magnetfeld folgt dbz Bz( y+ dy) = Bz( y) + dy dy df = df + df y y,1 y,2 dbz = I dx Bz( y) + I dx Bz( y) + dy dy dbz dbz dbz = Idxdy = IdAz = dmz dy dy dy wobei: z z z dm = I da = I dx dy z 197

42 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Man kann dahe in eine Dimension scheiben: df = d dy ( dm B ) y z z Fü eine endlich goße Leiteschleife mit dem magnetischen Moment m folgt fü die Kaft dann (veallgemeinet auf dei Dimensionen): Beispiel: Sten-Gelach-Vesuch Auch auf Atome mit einem magnetischen Moment wikt eine Kaft, wenn sie duch ein stak inhomogenes Magnetfeld geschickt weden. Magnet Ofen F = ( m B) In einem homogenen Feld veschwindet de Gadient und damit auch die Kaft auf einen magnetischen Dipol. Silbeatome inhomogene Feldbeeich 198

43 B Expeimentalphysik II (Kip SS 29) 4.1 Magnetische Fluss De magnetische Fluss Φ B eines Feldes B ist ein Maß fü die Anzahl de Da es keine magnetischen Monopole Feldlinien, die duch eine Fläche A teten gibt, sind Magnetfeldlinien imme geschlossen. Es gibt keine Quellen de ( Feldliniendichte ). magnetischen Feldlinien: B A Analog zum elektischen Fluß wid de magnetische Fluss Φ B definiet. Wenn die Feldlinien senkecht auf de Fläche A stehen, dann ist de magnetische Fluss duch diese Fläche definiet duch: Φ B = B A = BA 199

44 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) B A B α A Fü eine beliebig gefomte Fläche A gilt im Fall eines inhomogenen Feldes: d A B ( ) De magnetische Fluss Φ B duch die Fläche A ist nun: Φ B = B A = B Acosα Φ = B A B Alle bisheigen Betachtungen gelten nu, wenn das duch die Fläche A tetende Feld konstant ist. Ist dies nicht de Fall, dann muss de Fluss duch Summation bzw. Integation bestimmt weden. A De magnetische Fluss dφ B, de duch die Fläche da titt, ist dann: dφ B = B( ) da 2

45 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) da B() Wie im Fall des elektischen Feldes soll nun wiede de Fluss duch geschlossene Flächen betachtet weden. A 1. Fall: Magnet außehalb de geschlossenen Obefläche De gesamte magnetische Fluss Φ B duch die Fläche A ist dann duch Integation übe alle Einzelflüsse dφ B duch die Flächen da gegeben: Φ = B( ) da B A B O da 21

46 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Befindet sich de Magnet außehalb de geschlossenen Obefläche, dann liegen dieselben Vehältnisse vo, wie beim statischen elektischen Feld. Es gilt dahe: Φ 2. Fall: Magnet innehalb de geschlossenen Obefläche B B = d B A = da O Da die Feldlinien imme geschlossen sind, fließen aus einem Pol genauso viele Feldlinien heaus, wie in den andeen Pol hineinfließen. Dahe gilt hie und ganz allgemein fü statische magnetische Felde: B da = O Dies ist die 2. Maxwell-Gleichung in integale Fom. Dies bedeutet anschaulich, dass es keine Quellen des statischen magnetischen Feldes gibt. Die Feldlinien sind imme geschlossen. Es existieen also auch keine magnetischen Monopole. 22

47 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) 4.11 Magnetisches Feld in Mateie Das Ampèesche Gesetz gilt ganz allgemein fü alle Aten von Stömen bzw. Stomdichten: B d = μ I = μ j = j + j Tans. j da Dabei gibt es zwei pinzipiell unteschiedliche Aten von Stömen, d.h.: Mag. Tanspotstöme Magnetisieungsstöme (Flächenstöme) Tanspotstomdichte (von außen aufgepägt, Spule usw. ) Mikoskopische Stomdichte in Anwesenheit des Magnetfeldes Die mikoskopischen Stöme bestimmen das magnetische Vehalten eines Stoffes. Man definiet das Feld de Magnetisieung z.b. duch: M d = j Mag da 23

48 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Einsetzen in das Ampèesche Gesetz egibt: B d = μ ( jtans + jmag ) da B v M d = jtans da μ Nun wid duch H B = M μ ein neues Feld definiet, dessen Usache allein die makoskopischen Tanspotstöme sind. Ohne mikoskopische Stöme gilt also: B Häufig findet man expeimentell, dass die Magnetisieung popotional zu dem duch die Tanspotstöme ezeugten Feld ist, also: M = μ H = χ H Dabei ist χ m die sog. magnetische Suszeptibilität. Sie ist eine Mateialkonstante und bescheibt das Besteben de magnetischen Dipole, sich im Feld auszuichten. Damit folgt: m B H = χ mh μ B = μ ( 1+ χ ) H = μμ H m 24

49 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) B = μ ( 1+ χ H = μμ H Die Pemeabilität μ eines Mateials hängt also diekt mit de Suszeptibilität χ m übe μ = 1 + χ m zusammen. Expeimentell findet man, dass es Stoffe gibt mit: χ m > χ m < m) : paamagnetische Stoffe (Al, Pt, O 2 ) : diamagnetische Stoffe (H 2 O, Cu, Bi) Die Pemeabilität μ kann also göße ode kleine als Eins sein, im Gegensatz zu Dielektizitätskonstante, fü die (bei statischen Felden) ε > 1 gilt. Mateial χ m 1 6 µ H 2 O Cu Bi Al Pt O 2 (flüssig) diamagnetisch (Lenzsche Regel) paamagnetisch (Dipolmoment) 25

50 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) (i) Diamagnetismus: B B N S N S (ii) Paamagnetismus: N S S N induziete Stom eigenes dominantes magn. Dipolfeld Das Dipolmoment wid duch das äußee Feld induziet (Lenzsche Regel) Diamagnetische Stoffe weden im inhomogenen Feld in den Beeich kleinee Feldstäke gedängt Paamagnetische Stoffe weden in den Beeich höhee Feldstäke gezogen. inhomogenes Feld B S N F N B S F 26

51 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Vesuch: Dia- und Paamagnetismus Paamagnetische Stoffe ichten sich im inhomogenen Magnetfeld in Richtung des Feldes aus, diamagnetische Stoffe dagegen que zu den Feldlinien. Die Pobe hängt leicht dehba an einem dünnen Faden. Pobe Feld aus Al-Stab Al-Stab Magnet Feld ein 27

52 Vesuch: Dia- und Paamagnet im inhomogenen Feld Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Magnetfeld aus: Die paamagnetische Al-Kugel hängt fei am Faden Magnetfeld ein: Die Kugel wid in den Beeich dichtee Feldlinien gezogen. Al-Kugel Magnetpole Bei einem diamagnetischen Stoff (z.b. Glaskugel) wikt die Kaft in entgegengesetzte Richtung, die Kugel wid aus dem Beeich dichtee Feldlinien vedängt. 28

53 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) (i) Feomagnetismus: Bei feomagnetischen Substanzen wie Eisen, Cobalt ode Nickel ist χ m, μ >> 1 (etwa 5 bei Eisen). Außedem ist de Zusammenhang B = μμ H nicht meh linea, d.h. μ ist eine Funktion des äußeen Feldes μ = μ(h ) und zeigt ein Hysteesevehalten: Sättigung 2T Remanenz B H Koezitivfeldstäke Hysteesekuve µ 1 μ ( H ) = 1 μ db dh H Jedes feomagnetische Mateial besteht aus Beeichen mit pemanenten magnetischen Momenten, die man als Weißsche Bezike bezeichnet. Sie sind duch Blochsche Wände getennt. 29

54 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Bloch-Wände und Weißsche Bezike Bloch- Wände H = B = Weiß- Bezike H > B H Duch ein äußees Magnetfeld können die Weißschen Bezike in eine Vozugsichtung gebacht weden. Das geht solange, bis alle Bezike in Richtung des eegenden Feldes zeigen. Dann ist die magnetische Sättigung des Mateials eeicht. H B const. 21

55 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Vesuch: Bakhausen-Effekt Die Usache fü das Hysteesevehalten ist das vezögete Umklappen de Weißschen Bezike, die wie kleine Dipolmagnete wiken. Das Umklappen kann man akustisch höba machen (Bakhausen-Effekt). Lautspeche bewegte Stabmagnet Anodnung des Expeiments zum Bakhauseneffekt: Vestäke U ind db dt feomagnetische Stab Induktionsspule Magnet Induktionsspule Vestäke Lautspeche 211

56 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) 4.12 Biot-Savatsches Gesetz Das elektostatische Feld konnte mit dem Supepositionspinzip fü jede beliebige Ladungsveteilung beechnet weden. Da es keine magnetischen Ladungen gibt, ist es echt schwieig, das statische Magnetfeld fü eine beliebige Stomveteilung zu bestimmen. Wi betachten jetzt ein von einem Stom I duchflossenes Leiteelement dl, dass sich am Ot ' befindet und am Ot das Magnetfeld db ezeugt. Das Biot-Savatsche Gesetz besagt, dass ein vom Stom I duchflossenes Leiteelement dl einen Beitag db zum Magnetfeld leistet: Leite db db = ' ' Idl μ dl I 3 4 π ' ( ') I 212

57 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Das Feld eines stomduchflossenen Leites ist dann gegeben duch: B( ) = μi 4π Leite dl ' ( ') Dabei ist das Integal entlang de Linie des Velaufes des Leites zu beechnen. 3 I B R dϕ dl Beispiel: Magnetisches Feld im Zentum eine keisfömigen Leiteschleife Aus de Abbildung liest man ab: =, ' = R dl ' Mit dem Biot-Savat-Gesetz egibt sich dann am Ot : = B() = μi dl ' 3 4 π ' Leite Aus de Zeichnung egibt sich weite: dl = Rdϕ = R dl = Rdϕ R e 213

58 De Vekto steht hiebei senkecht auf de Leiteschleife. Einsetzen egibt: B() = e 2π μi Rdϕ R e 3 4π R μ 2 I π μi = e dϕ = e 4π R 2R Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Einsetzen egibt B ( ) I dl ' μ = 3 4 π ' Leite μi = e ϕ 4π Leite dz sinα 3 Beispiel: Magnetisches Feld im Abstand von einem unendlich langen stomduchflossenen Daht Aus de Zeichnung egibt sich jetzt: dl = dz sinα z sinα 2 2 = = + = = α z dz = dl I 214

59 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) μ I dz sinα μ I dz B ( ) e e = ϕ = 3 ϕ 3 4π 4π Leite Leite μi dz = e ϕ 3 4π ( + z ) Es ist (Fomelsammlung, z.b. Bonstein): 2 2 ( + z ) dz 3 2 = 2 Dann egibt sich fü das Magnetfeld im Abstand vom Leite wiede: μi B ( ) = 2π e ϕ Definition de Einheit Ampèe 1 m ist die Stecke, die das Licht im Vakuum zuücklegt in 1/ Sekunde (exakt, da so definiet). 1 kg ist die Masse des intenationalen Kilogammtyps (Fehle: Δm/m 1-9 ) 1 s ist das fache de Peiodendaue beim Übegang zwischen den Hypefeinstuktuniveaus des Gundzustandes von 133 Cs (Fehle: Δt/t 1-14 ) 1 A ist die Stäke eines konstanten Stomes, de duch geade, paallele und unendlich lange Leite im Abstand von 1 m fließt und dabei po Mete Leitelänge die Kaft F = N ezeugt (Fehle: ΔI/I 1-6 ) 215

60 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Es soll jetzt die Kaft zwischen zwei paallelen, unendlich langen Leiten beechnet weden. dz y z z Leite 1 I 1 I 2 d db Leite 2 d = = d + z z 2 2 x Heleitung mit Biot-Savatschem Gesetz: Das vom Leite 1 am Leite 2 ezeugte Magnetfeld ist: Es ist: d dl1 = = d dz dz z Damit egibt sich mit: db db = μi1 dl1 3 4π db μ Id = 4π = db y dz 1 y ( d + z ) 216

61 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) De gesamte Leite 1 ezeugt also am Ot des Leites 2 das Feld: B y μ I = d dz μ I = π ( d + z ) 3 4π d Die Kaft auf dl 2 des Leites 2 ist: df = I2dl2 B mit dl2 = dz Einsetzen des Magnetfeldes egibt: df = μ II 2π d dz 1 2 d 2 Ohne Biot-Savatsches Gesetz: Feld eines stomduchflossenen Leites 1: Zahlenwete: I1= I2 = 1A, d = 1m Vs μ = π df dz B = μ 2π 1( ) I1 Kaft auf Leite 2 de Länge z=l im Abstand = d: μ F21( = d) = I1I2 2πd Am 7 2 4π 1 11 Vs A 7 N = = 21 2π 1 Am m m l 217

62 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Damit ist die Definition de Stomstäke gegeben: Die Richtung de Kaft hängt von de Stomichtung ab: Definition de Stomstäke 1 A: Wenn zwei paallele Leite im Abstand von d = 1m von je 1A duchflossen weden, wikt eine Kaft von Newton po Mete Länge. F I 1 I 2 Ältee Definition de Stomstäke 1 A: Po Sekunde wid mg Silbe aus wässige Lösung ausgeschieden, wenn ein Stom von 1A fließt. F I 2 +I 1 218

63 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Vesuch: Kaft zwischen zwei Leiten I I Leite aus Kupfelitze Anziehung F F I F F I Abstoßung 219

64 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Vesuch: Pinch-Effekt ohne Stom nach Einschalten des Stoms Ein aus meheen dünnen paallelen Metallfolien gebildete Leite schnüt sich nach Einschalten des Stoms ein, bis e wegen Übehitzung schmilzt. 22

65 4.14 Maxwell-Gleichungen fü statische Magnetfelde Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Wi hatten bishe die folgenden zwei wichtigen Eigenschaften fü statische Magnetfelde kennen gelent: ( i) ( ii) A S B da B d = = μ I Dies sind beeits die 2. und 4. Maxwell-Gleichung, wobei letztee noch in de Elektodynamik (d.h. fü zeitlich veändeliche Felde) um einen Tem eweitet wid. Jetzt sollen diese Gleichungen wiede in die diffeentielle Scheibweise de Maxwell- Gleichungen übefüht weden. Wie beim elektischen Feld efodet dies ein wenig Mathematik. 221

66 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Es weden wiede die Integalsätze vewendet, die in de Zusatzstunde ausfühliche eläutet weden. Es gilt fü ein beliebiges Vektofeld B sowie fü eine geschlossene Obefläche O, die ein Volumen V umschließt sowie eine Fläche A mit de Randkuve A : Satz von Gauß (Obeflächenintegal Volumenintegal): O B da = BdV V( O) Cal-Fiedich Gauß ( ) Satz von Stokes (Wegintegal Flächenintegal): A B d = B da A ( ) Geoge Gabial Stokes ( ) 222

67 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Die 2. Maxwell-Gleichung lautet: O B da= Mit dem Gaußschen Satz folgt fü die linke Seite de 2. Maxwell-Gleichung: O Es folgt also V( O) B da = BdV V( O) BdV = fü jede beliebige Obefläche O. Dies kann nu gelten, falls de Integand veschwindet: B = Dies ist die 2. Maxwellsche Gleichung in diffeentielle Fom. Die linke Seite des Ampèeschen Gesetzes lässt sich mit dem Satz von Stokes umfomen zu A A B d = B da ( ) wobei die Randkuve de Fläche A, den Integationsweg auf de linken Seite dastellt. 223

68 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Um die echte Seite des Ampèeschen Gesetzes umzufomen, benötigen wi den Begiff de Stomdichte. Die Stomdichte j ist ein Vekto, de in Richtung des Stomflusses zeigt. I ge s j ( ) da A De Gesamtstom I ges, de duch eine Fläche A fließt, lässt sich mit de Stomdichte folgendemaßen ausdücken: A I ges = j da A Damit lässt sich das Ampèesche Gesetz scheiben als: B da = μ j da ( ) Da dies fü jede Fläche A gelten soll, müssen die Integanden auf beiden Seiten übeeinstimmen, also: A B= μ j 224

69 Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Dies ist die 4. Maxwell-Gleichung in diffeentielle Fom, die alledings in de Elektodynamik noch eweitet wid. Das statische magnetische Feld ist also nicht wibelfei. Es gibt dahe kein (skalaes) magnetisches Potential U m mit: B = U m Fü das statische magnetische Feld gilt zusammengefasst: (ii) B da = B = (iv) O A = = B d μ I B μ j 225