Die Struktur des Unendlichen

Transkript

1 Die Struktur des Unendlichen

2 Mathematik als Fernrohr für den Blick über den gesunden Menschenverstand hinaus.

3 Normale Vorstellungen über unendlich Hallo Thomas Es ist nichts unendlich, da es für alles eine Gößenzuordnung gibt, aber ab einer bestimmten Obergrenze geht es nicht mehr und es ist für die meisten "unendlich... Ich sitze grade im Infomatikunterricht bei Frau Schlemmer und schreibe diese die wie folgt lautet: Erste These: Der Mathematikunterricht überläßtim Wesentlichen die Ausbildung eines Verständnisses von Unendlich dem Schüler selbst. Hallo Thomas Es ist nichts unendlich, da es für alles P.s. Das könnte so unendlich weitergehen.

4 Unendlich = Unvorstellbar?

5 π =

6 π =

7 =

8 Satz:πist normal d.h.: Jede gleichlange 0--Folge kommt mit gleicher Wahrscheinlichkeit in den Nachkommastellen von π vor. Also auch: IHR Passbild, oder IHR Lebensfilm,

9 Unendliches Addieren 0,9 = = 0, , = > = 0,9 + 0,09 + 0, , , =?? 3 = 0, < 9... = 8 = 0, = 0,

10 Unendlich Unvorstellbar Vorsicht bei Behauptungen über Unendlich!

11 Zweite These: Der gesamte schulische Unterricht überläßt die Ausbildung Bsp. Bsp. Theologie: eines Verständnisses von Unendlich dem Schüler selbst. [Eine] [Eine] nicht nicht metaphysisch, sondern subjektivitätstheoretisch konzipierte Eigenschaftslehre macht macht deutlich, dass dass es es sich sich bei bei der der U[nendlichkeit] Gottes Gottes nicht nicht um um den den bloß bloßnegativen Begriff Begriff der der Bsp. Bsp. Geographie: Un-Begrenztheit, sondern um um eine eine qualitative, der der Bedingtheit durch durch anderes entgegengesetzte ein ein klares NEIN: NEIN: Unendlichkeit handeln muß, muß, denn denn Bei Bei uns uns wird wird alles alles eigentlich gemessen, soll soll doch doch unendlich nicht nicht dasjenige in in cm, cm, m, m, km km und und so. so. sein, sein, was was ohne ohne Ende Ende ist, ist, sondern das das dem dem Auf Auf der der Erde Erde ist ist nichts Endlichen, d.h. d.h. dem dem durch durch anderes Mitbestimmten, unendlich. Entgegengesetzte. Liebe Liebe Grüße Grüße..???

12 Ziel des Vortrags Konkretisierung Unendlich Wiederholung klassischer Erkenntnisse Grundlage für Auswahl im Unterricht

13 Der klassische Einstieg Probleme der Griechen Das Paradoxon des Zenon Achilles und die Schildkröte

14 q q 2 q 3 q 4 q 5 q q 2 q 3 q 4 q 5

15 q q 2 q 3 q 4 q 5 q q 2 q 3 q 4 q ist endlich (lang)!!

16 q q 2 q 4 q 5 q = - q -q q q 2 q 3 q 4 q 5 q q 2 q 4 q 5 q ist endlich (lang)!!

17 Spätere Probleme - Analysis =?? = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +. = = = = + (- + ) + ( + ) + ( + ) + = = = = A Euler: göttlich Schöpfung aus dem Nichts = ( = A A = A, also A = 2

18 Ausweg der Analysis zur Vermeidung des Unendlichen Erfolgreich, aber defizitär! Unendlich groß: überschreitet jede endliche Grenze + 5 =?, =?,... Unendlich klein: unterschreitet jede endliche Mit Unendlich kann man nicht Grenze rechnen.

19 Der Alleingang G. Cantors "Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen".

20 Der Sicherheitsgurt Eins ist sicher: Wenn zu -Zuordnung möglich ist, Das ist unser Fernrohr! Es funktioniert sicher! dann hat man gleichviele. Eineindeutige Abbildung, Bijektion Nicht erschrecken, wenn.!

21 Erste Anwendung 2 4 "Es gibt gleichviele - 3gerade ganze 6 Zahlen, wie es natürliche Zahlen überhaupt gibt! gibt! = = 2

22 Paradox? Gesunder Menschenverstand: Mathematik: A B A < B Cantor: Wenn es eine Bijektion zwischen A und einer echten Teilmenge von A gibt, dann sagt man A hat unendlich viele Elemente oder A ist unendlich.

23 Wie geht s weiter? Bisher: = = Was ist mit? Offensichtlich: hat deutlich mehr Zahlen als Das wären dann aber mehr als unendlich viele!

24 Wie groß ist? Cantor sches Diagonalverfahren: = = = = Bisher:

25 Wie groß ist? Seltsame Eigenschaften: = ] a,b[

26 Wie groß ist? Seltsame Eigenschaften: Viel x = 0,x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Mehr (u,v) = (0,u u 2 u 3 u 4 u 5 u 6, 0,v v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 )

27 Wie groß ist? Seltsame Eigenschaften: = = Cantor: Ich sehe es, aber ich glaube es nicht! Gerade Strecke Quadrat Gleichviel : x = 0,x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 (u,v) = (0,u u 2 u 3 u 4 u 5 u 6, v v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 )

28 Wie groß ist? Vermutung: = bzw. = Voraussetzung: Annahme: keine " zu"-zuordnung möglich,dann A B. Wenn A B, dann A < B.

29 Vermutung: = bzw. = Annahme: ist abzählbar: 0, , , , n.. Cantor: Es gibt (mindestens) ein x, das nicht in der Liste steht! 0,z z 2 z 3 z 4 z 5 z 6

30 Vermutung: = bzw. = Annahme: ist abzählbar: F A L S C H! 0, , , , n 0,z z 2 z 3 z 4 z 5 z 6.. x = 0, 2 taucht nicht auf!

31 Ergebnis: und < Es gibt nicht EINE Unendlichkeit, sondern 2 verschieden große. Eine echt größer als die andere! Unendlichkeit ist nicht amorph, sondern hat eine Struktur!

32 Cantor: Wieviel größer ist als? Dazu: Potenzmenge Potenzmenge von A ist die Menge aller Teilmengen von A. A { x,y, z} ( A) { x} { y }{ z} { x,y }{ y,z }{ x,z} { x,y, z}

33 Satz: A < (A) Eine Abbildung f: A (A) ist niemals eine zu -Zuordnung! Es gibt ausgestossene und aufgenommene Elemente von A. Beweis: Sei A eine Menge und (A)die Potenzmenge von A. Beweis aus dem Buch! Annahme: Es gibt eine zu -Zuordnung α T ß T γ T ausgestossen α ß γ Sei X:= { a a T a } Beispiel: A = {α, β, γ, δ, } α T α = {α, β} β T β = {α, β, γ} γ T γ = {β, δ} Beispiel:. α X,. β X, γ X

34 Annahme: Es gibt eine zu -Zuordnung f mit: Dann gilt: X A, also X (A) etwa: X = T { } Sei X:= a a T a ω F A L S C H! f: A (A) a T (die Menge der ausgestoßenen Elemente). FRAGE: ω X? a Annahme: ω X ω T ω ω "ausgestossen" Annahme: ω X ω nicht "ausgestossen" ω T ω ω X ω X ω nicht "ausgestossen" ω "ausgestossen" Widerspruch! Widerspruch!

35 Satz: A < (A) Konsequenz: (A) < ( (A)) und: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) A < (A) < (A) < (A) <... (A) <...

36 Anwendung: Satz: A < (A) Es gibt nicht DAS Unendliche, sondern es gibt unendlich viele verschieden große Unendlichkeiten. Cantor: ( ) < ( ) < ( ) <... < < < ( )... ( ) ( )... < א> א < א < א 0 2 3

37 Cantor: Wieviel größer ist als? < = c Bisher: Zusammenhang? und: < ( ) Cantor: = ( ) bzw: c = ( )

38 Cantor: = ( ) bzw: c = bzw: c = ( ) ( ) Insgesamt: x = 0,x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 aus ]0,[ binär codiert! Beispiel: = = < = ( ) < ( ) <... ( ) ( ) 4243 ℵ ℵ = c ℵ Bijektion zwischen ]0,[ und x = 0, T x = {2, 4, 5,6, 9,, } Gibt es Unendlichkeiten zwischen ℵ und ℵ? 0

39 Cantor: Kontinuumhypothese Es gibt keine Unendlichkeit zwischen ℵ 0 und ℵ! Es gibt eine Mathematik in welcher CH richtig ist, und eine weitere Mathematik, in welcher CH nicht richtig ist. Cantor: kein Beweis Hilbert: 23 Jahrhundertprobleme für 20.Jhdt Es gibt verschiedene Mathematiken! Zermelo/Fraenkel, Gödel und Cohen: Es existiert kein Beweis! CH ist unabhängig!

40 Nachlese - Paradoxa Cantors Mengenbegriff Die Menge aller Mengen ={ } Einerseits: M : A A istmenge Andererseits: M < ( M )

41 Nachlese - Paradoxa Cantors Mengenbegriff Die Menge aller Mengen Lösung: Axiomatisierung der Mengenlehre Russel sches Paradoxon - Das Barbier-Paradoxon { } Sei K : = A AistMenge und A A K K oder K K?

42 Zusammenfassung Unendlich ist sehr groß aber nicht unvorstellbar Unendlich hat eine Struktur Das Fernrohr ist einfach zu bedienen