Materialien zur Vorlesung Capital Asset Pricing Model (CAPM)

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1 Materialien zur Vorlesung Capital Asset Pricing Model (CAPM) Burkhard Erke Quellen: Schmidt/Terberger, Kap. 9; Brealey/Myers, Kap.8/9 April 2003

2 Lernziele Grundidee des CAPM als Gleichgewichtsmodell auf vollkommenem Kapitalmarkt Messung des Risikos einzelner Aktien (Investitionsprojekte) mittels Beta CAPM als pragmatische Lösung des Problems der Investitionsentscheidung unter Unsicherheit Beta und Verschuldungsgrad

3 1 Vorbemerkungen Drei Fragen werden nun diskutiert: Wie können unsichere Investitionsprojekte miteinander verglichen werden? Insbesondere: Wie wird das Risiko von Investitionsprojekten gemessen? Welche Bedeutung hat die Einbindung von Unternehmen in einen Kapitalmarkt für die Möglichkeit Investitionsprojekte und Finanzierungsvorhaben isoliert zu beurteilen? Antwort ergibt sich aus der Weiterentwicklung der Portfolio-Selektion zu einer Gleichgewichtstheorie des Kapitalmarktes: Richtige Erfassung des Risikos Risikoangepaßter Kalkulationszinsfuß Irrelevanztheoreme von MM gelten Separierbarkeit von Investitions- und Finanzierungsentscheidungen Kapitalmarkttheorie ist eine positive Theorie: Aussagen über Sachverhalte und Regelmäßigkeiten in der Realität Vorgehen: Annahmen darüber, wie sich Marktteilnehmer verhalten Entscheidungstheorie und Theorie der Portefeuillebildung: Risikoscheue Anleger teilen Vermögen auf Aktienportefeuille (Punkt D) und risikolose Anlagemöglichkeit auf; suchen also einen Punkt auf der Geraden, die durch den Punkt D geht. Welche Preise und Renditen stellen sich auf dem Kapitalmarkt ein, wenn sich die Marktteilnehme so entscheiden, und wenn der Kapitalmarkt im Gleichgewicht ist?

4 2 Kapitalmarkttheorie: Gleichgewicht am Kapitalmarkt Annahmen: Lernziel Grundidee des CAPM als Gleichgewichtsmodell auf vollkommenem Kapitalmarkt 1. alle Anleger sind risikoscheu und beurteilen Portfolios anhand von Erwartungswert und Standardabweichung der Rendite 2. der Planungshorizont beträgt eine Periode 3. risikolose Geldanlage- und Verschuldungsmöglichkeit zum Zinssatz i f 4. m verschiedene riskante Wertpapiere; die Anzahl je Sorte ist vorgegeben, 5. beliebige Teilbarkeit 6. vollkommener Kapitalmarkt (keine Transaktionskosten, kein Einfluß auf Preise) und 7. homogene Erwartungen. Konsequenzen der Annahmen: Alle Anleger erwarten dieselbe Efficient Frontier Gültigkeit der Tobin-Separation (Two-Fund-Separation) Individuelle Risikoeinstellung bestimmt die Aufteilung auf Marktportfolio und risikolose Anlage

5 Erwartete Portfoliorendite CAPM 0.22 Effiziente Portfolios D a>1 A a<1 E 0.1 B 0.08 if Standardabweichung Portfolio Das Marktportfolio: Alle Anleger halten riskante Wertpapiere in der Zusammensetzung, die dem optimalen (Tangential-)Portfolio entspricht. Gleichgewicht setzt aber voraus, dass alle riskanten Wertpapiere von irgend jemandem gehalten werden. Das Tangential-Portfolio (D) muss das Marktportfolio sein, das alle existierenden Wertpapiere enthält. Das Gewicht der verschiedenen Wertpapiere entspricht dem Verhältnis ihres Marktwertes zum Gesamtmarktwert aller riskanten Wertpapiere. Mechanismus, der Identität von Marktportfolio und Tangentialportfolio (D) erzwingt: Preisbildung auf dem Aktienmarkt! Wie kann man sich das Marktportfolio und die risikofreie Anlage vorstellen? Marktportfolio= breit diversifizierter Aktienindex, Risikofreie Anlage = Staatsanleihen, deren Laufzeit dem Planungshorizont entspricht.

6 Erwartete Rendite des Marktportfolios: mx E (er m )= x i µ i ; i=1 mx x i =1 i=1 Varianz der Rendite des Marktportfolios: Var(er m )= mx i=1 mx x i x k σ i,k = Es gilt allgemein: Cov [ey 1 ;(bey 2 + cey 3 )] = bcov (ey 1, ey 2 )+ccov (ey 1, ey 3 ) Also:Var(er m )= m P x i i=1 k=1 k=1 mp P x k σ i,k = m P x i Cov (er i, er m )= m x i σ i,m i=1 i=1 Also: Die Varianz der Rendite des Marktportfolios ist die mit den Portfolioanteilen gewichtete durchschnittliche Kovarianz der Renditen der einzelnen Wertpapiere mit der Rendite des Marktportfolios. Beispiel: Coca Cola und Reebok Corr (er i, er j )=0, 2 E (er i ) Std(er i ) x i Coca Cola 10% 31,5% 0,65 Reebok 20% 58,5% 0,35 Portfoliorisiko allgemein: Coca Cola Reebok Coca Cola x 2 1Var(er 1 ) x 1 x 2 Cov (er 1, er 2 ) Reebok x 1 x 2 Cov (er 1, er 2 ) x 2 2Var(er 2 ) mx i=1 x i m X k=1 x k σ i,k

7 Beispiel: Coca Cola und Reebok (Fortsetzung) Portfoliorisiko: Coca Cola Reebok Coca Cola x 2 1Var(er 1 )= (0, 65) 2 (31, 5) 2 x 1 x 2 Cov (er 1, er 2 )= (0, 65) (0, 35) 0, 2 (31, 5) (58, 5) Reebok x 1 x 2 Cov (er 1, er 2 )= (0, 65) (0, 35) 0, 2 (31, 5) (58, 5) x 2 2Var(er 2 )= (0, 35) 2 (58, 5) 2 Beiträge der einzelnen Wertpapiere zum Portfoliorisiko ergeben sich durch Aufaddieren der Zeilen: Beitrag zum Portfoliorisiko Coca Cola x 1 {[x 1 Var(er 1 )] + [x 2 Cov (er 1, er 2 )]} Reebok x 2 {[x 1 Cov (er 1, er 2 )] + [x 2 Var(er 1 )]} Weil gilt: Var(er 1 ) Cov (er 1, er 1 ) Beitrag zum Portfoliorisiko Coca Cola x 1 {[x 1 Cov (er 1, er 1 )] + [x 2 Cov (er 1, er 2 )]} Reebok x 2 {[x 1 Cov (er 1, er 2 )] + [x 2 Cov (er 2, er 2 )]} Weil gilt: Cov (ey 1, (bey 2 + cey 3 )) = bcov (ey 1, ey 2 )+ccov (ey 1, ey 3 )folgt: Beitrag zum Portfoliorisiko Coca Cola x 1 {Cov (er Coca Cola, er p )} Reebok x 2 {Cov (er Re ebok, er p )}

8 Beispiel: Coca Cola und Reebok (Fortsetzung) Damit kann für das Porfoliorisiko geschrieben werden: Ergebnis: Var(er p ) = x 1 {Cov (er Coca Cola, er p )} + x 2 {Cov (er Re ebok, er p )} 2X = x i Cov (er i, er p ) Beitrag zum Portfoliorisiko Coca Cola 0, 65 0, 65 (31, 5) 2 +[0, 35 0, 2 31, 5 58, 5] ª =0, , 0 Reebok 0, 35 [0, 65 0, 2 31, 5 58, 5] + 0, 35 (58, 5) 2 ª =0, , 3 Gesamtes Portfolio 1.006, 1 i=1 Der Beitrag einer Aktie zum Risiko des Marktportfolios ist die Kovarianz der Aktienrendite mit der Rendite des Marktportfolios! Dieser Beitrag kann für einzelne Aktien isoliert angegeben werden! In einem breit diversifizierten Portfolio: Kovarianzrisiko bleibt erhalten,......während das restliche Risiko durch Diversifikation verschwindet. Risikodefinition: Kovarianzrisiko: Systematisches Risiko einer Aktie. Dieses Risiko ist linear. Portfoliorisiko = gewichteter Durchschnitt der Einzelrisiken. Mißt den Grad an Gleichläufigkeit mit der Rendite des Marktportfolios Diversifizierbarer Teil des Risikos: Unsystematisches Risiko.

9 Im Gleichgewicht wird für die Übernahme systematischen Risikos wird eine Prämie gezahlt, für die Übernahme unsystematischen Risikos dagegen nicht (warum eigentlich?) Beispiele für unsystematisches Risiko Technischer Direktor stirbt nach Autounfall Agressiver Wettbewerber mit Kostenvorteilen tritt in Markt ein Belegschaft tritt in wilden Streik Öl wird auf Firmengelände gefunden Beispiele für systematisches Risiko Ölembargo der OPEC Steuererhöhungen Zinserhöhungen der EZB Aufwertung der EURO Kapitalmarktgleichgewicht: Die Risikoprämie µ i i f σ i,m bestimmt die Attraktivität einer Aktie für den Investor. Im Gleichgewicht müssen die Risikoprämie aller Aktien gleich sein. Insbesondere muß auch die Risikoprämien einer jeden Aktie gleich der Risikoprämie des Marktportfolios sein: (µ m i f) σ 2 m µ i i f σ i,m = µ m i f σ 2 m µ i = i f +σ i,m (µ m i f ) σ 2 m : Sharpe-Verhältnis =Risikoprämie pro Einheit Marktrisiko (1)

10 Gleichung (1) ist eine Version des CAPM. Prognose: Je höher die Kovarianz der Rendite einer Aktie mit der Rendite des Marktportfolios, desto höher die erwartete (verlangte) Rendite. Alternativ kann das CAPM folgendermaßen geschrieben werden: Definition β i = σ i,m einsetzen in (1) σ 2 m Es folgt die berühmte Bewertungsgleichung des CAPM: µ i = i f +β i (µ m i f ) (2) Prognose: Je höher das Beta einer Aktie, desto höher die erwartete (verlangte) Rendite. Intuitive Erläuterung zum Verständnis des CAPM in den Versionen (1) und (2): Das Portfolio-Risiko kann nicht diversifiziert werden. Anleger verlangen nur eine Risikoprämie für das Eingehen dieses nicht diversifizierbaren Risikos Alle Anleger halten dasselbe Portfolio - das Marktportfolio Der Beitrag einer Aktie zum Risiko des Marktportfolios ist die Kovarianz der Aktienrendite mit der Rendite des Marktportfolios (1), bzw. das Beta (2) Der Preis des Risikos ist das Sharpe-Verhältnis (1) Aktienrendite = Risikofreier Zins + Kovarianz [Sharpe Verhältnis] die Risikoprämie (2) Aktienrendite = Risikofreier Zins + Beta [Risikoprämie]

11 3 Beta als Risikomaß Lernziel Messung des Risikos einzelner Aktien (Investitionsprojekte) mittels Beta Interpretation von Gleichung (2) : Die erwartete Rendite einer jeden Aktie entspricht im Gleichgewicht der Summe aus risikofreier Verzinsung und einem Risikozuschlag. Der Risikozuschlag ist das Produkt aus der Menge des systematischen Risikos, β i und der Prämie pro Einheit des Risikos, (µ m i f ). Was ist Beta? Beta einer Aktie mißt das (normierte) systematische Risiko der Aktie Beta ist die einzige unternehmensindividuelle Größe in der Bewertungsgleichung. Beta ist für eine Aktie isoliert angebbar BetadesMarktportfoliosist1 Beta einer Aktie kann negativ sein Beta eines Portfolios ist der gewichtete Durchschnitt der Betas der einzelnen Aktien: β P = mx x i β i ; i=1 mx x i =1 i=1

12 K apitalm arktlinie W ertpapierm arktlinie µ µ Bewertung von Portfolios Bewertung Aktien u. Portfolios µ m µ m i f i f Erwartete Risikoprämie 0 σ m σ β =0 β m =1 β Kapitalmarktlinie: Bewertung effizienter Portfolios möglich Wertpapiermarktlinie: Bewertung sämtlicher Aktien und Portfolios (sowie einzelner Investitionsprojekte).

13 Rendite Disney Corp ) CAPM Empirische Bestimmung des Betafaktors mit der Regressionsanalyse: Theorie: E (er i ) = µ i = i f +β i (µ m i f ) = i f (1 β i )+β i µ m Schätzung mit (realisierten) Renditezeitreihen von Aktie i und Aktienindex m: Hypothese: OLS-Schätzer von β ist r i = α + β r m + α = i f (1 β i ); und β = β i bβ = σ i,m σ 2 m Regressionsgerade br i = bα + b β r m wird als Characteristic Line bezeichnet. Siehe Graphik. Das CAPM am Beispiel der Aktie der Disney Corp Beta(Disney)= Anstieg der Regressionsgeraden; Rendite S&P

14 4 Empirische Tests des CAPM Zu testen: Steigt die erwartete Rendite von Aktien nur mit dem Betafaktor? Problem: erwartete Renditen unbeobachtbar realisierte Renditen als Schätzer Der klassische Test von Black, Jensen und Scholes ( 1972): Aus den Aktien der NYSE werden 10 Portfolios mit unterschiedlichen historischen Betas werden gebildet. Risikoprämie der 10 Portfolios wird für den Zeitraum mittels Beta erklärt (Regression der Risikoprämie auf die Betas). Quelle: Jagannathan/McGrattan (1995) Anstieg der Regressionsgerade: 1,08 (statt 1,42 wie vom CAPM prognostiziert). Schnittpunkt mit der Y-Achse 0,519 (statt 0 wie vom CAPM prognostiziert). Daten zeigen: Erwartete Rendite einer Aktie steigt mit dem Beta.

15 Die Studie von Banz (1981): Zwei Portfolios werden gebildet. Beide haben identische Betas. Porfolio aus small stocks und large-firm portfolio. Im Zeitraum von war die Rendite eine Porfolios aus small stocks im Durchschnitt 1,48% höher als die Rendite eines large-firm portfolios. Statistisch signifikant! Quelle: Cochrane (2000) In der Graphik ist die Beta-Durchschnittsrendite-Kombination des small-cap portfolio ganz oben rechts zu sehen! Überwältigend sind die Indizien gegen das CAPM noch nicht! Cochrane: Would all failed economic theories worked that well!

16 Fama/French (1992): Sortierung aktiennortierter Unternehmen in 100 Portfolios. Kriterien: 10 Unternehmensgrößenklassen und 10 Betaklassen (=100 Portfolios). Ergebnis: Keine Beziehung zwischen durchschnittlicher Portfoliorendite und Portfoliobeta. Graphik: 25 Portfolios. Sortiert nach Unternehmensgröße und Book-to-Market Ratio (Buchwert des Eigenkapitals/Marktwert des Eigenkapitals). Quelle: Cochrane (1999) Value-size puzzle. Einige Portfolio haben eine 3 x so hohe Durchschnittsrenditen wie andere. Hat nichts mit dem Beta zu tun.

17 Wieso stimmt das CAPM nicht mehr? Quelle: Jagannathan/McGrattan (1995) InderkurzenFriststimmendieDatenmitdenPrognosendesCAPMnichtüberein. Zusammenhang Beta und Durchschnittsrendite zu flach.

18 Was folgt hieraus für das Finanzmanagement des Unternehmens? CAPM hat 2 Probleme: In der kurzen Frist wird die Beziehung zwischen Beta und Rendite immer flacher! Die Prognose des CAPM ist anders. Andere erklärende Variablen als das Beta erklären die durchschnittlichen Aktienrenditen besser: Unternehmensgröße und Book-to-Market Ratio. Die Prognose des CAPM ist: Nur Beta erklärt Durchschnittsrenditen. Im Portfolio-Management (Publikumsfonds) ist das CAPM out. Aber: Es gibt keinen Beleg, dass das CAPM langfristig falsch ist. Siehe Graphik. Das CAPM wird in der Investitionsrechnung benötigt, um die EK-Kosten zu ermitteln (Siehe weiter unten). Das sind langfristige Entscheidungen. Hier kann das CAPM durchaus zur Ableitung der EK-Kosten dienen: Quelle: Jagannathan/McGrattan (1995) Kernproblem für die Unternehmenspraxis: Es gibt (noch) keine Alternative zum CAPM

19 5 CAPM in der Investitionsrechnung Das CAPM hilft dem Management Investitionsentscheidungen durchzuführen. Hintergrund: Manager soll im Interesse der Anteilseigner investieren. Entscheidungskriterium: Kapitalwert (Was war das noch?) Denn: Positiver Kapitalwert = Vermögensmehrung = Marktwertzuwachs = Zuwachs an Konsummöglichkeiten. Anwendung des Kapitalwertverfahren verlangt drei Schritte: 1. Schätzung und Prognose der zusätzlichen Nettoeinzahlungen, die auf die Investition zurückzuführen sind. 2. Ermittlung des risikoadjustierten Alternativertragssatz (Diskontierungssatz der Börse). 3. Ermittlung des Kapitalwertes durch Diskontierung aller zukünftigen Zahlungen mit dem risikoadjustierten Alternativertragssatz. Nach dem CAPM ist der risikoadjustierte Alternativertragssatz: µ Pr ojekt = i f +β Pr ojekt (µ m i f ) (3) Das Beta des Projektes ist das Maß für das Risiko seines cash flows. Das Beta muß geschätzt werden (Siehe oben). Die durchschnittliche (erwartete) Risikoprämie und der risikofreie Zins können ebenfalls geschätzt werden. Einsetzen in die Gleichung (3) ergibt den gesuchten Diskontierungssatz.

20 Daten für ein Beispiel: Mircrosoft plant die Expansion einer Betriebsstätte: Expansion kostet $ 1Mio. Erwarteter cash flow: $25 Mio. für die nächsten 20 Jahre Beta: 1,2 Risikoprämie: 8,6% Risikofreier Zins: 5% Lösung: µ Pr ojekt =0, , 2(0, 086) = 0, 153 = 15, 5% Kapitalwert: 20X t=1 $25 t 100 = $53, 92Mio (1, 153) Achtung: Man muß zwischen dem Risiko des Unternehmens und dem Risiko des Investitionsprojektes unterscheiden. Das Investitionsprojekt hat nur sehr selten dasselbe Beta wie das Unternehmen als Ganzes (warum eigentlich?)

21 6 Beta und Verschuldungsgrad Musterbilanz 1 Assets 100 EK 100 Lernziel Beta und Verschuldungsgrad Gewinn = EK = A und r U EK = EK EK β U EK = cov(r EK,r m ) σ 2 m Musterbilanz 2 Assets 100 EK 20 FK 80 = cov(r A,r m ) σ 2 m = β A = r A r v EK = EK EK β v EK = cov( A = A = A A = A r EK A EK EK A EK r A,r m ) σ 2 m = A cov(r A,r m ) = A β EK σ 2 m EK A Die Verschuldung verändert den Betafaktor (des Eigenkapitals) β v EK = A β EK A = 1+ FK EK β U EK β U 1 EK = (1+ EK) FK βv EK Beispiel: Leverage = 0,5 und soll auf 2 gesteigert werden, aktueller Betafaktor = 1,5 1. Schritt: Transformiere empirisches Beta in Beta des unverschuldeten Unternehmens : Unverschuldetes Beta = 1 1, 5=1 (1+0,5) 2. Schritt: Multipliziere Beta des unverschuldeten Unternehmens mit dem aktuellen Verschuldungsgrad: Neues Beta=(1 + 2) 1 = 3

22 7 Zusammenfassung Anleger agieren auf der Wertpapiermarktlinie. Im Kapitalmarktgleichgewicht wird nur für das systematische Risiko eine Prämie gezahlt. Das systematische Risiko einer Aktie ist ihr Risikobeitrag zum Risiko des Marktportfolios. Gemessen als Beta. Im Kapitalmarktgleichgewicht müssen die Risikoprämien pro Risikoeinheit aller Aktien gleich sein. Die erwartete Rendite einer Aktie steigt mit ihrem Risiko, dem Beta. Das Beta kann mit Hilfe einer linearen Regression aus dem Anstieg der charakteristic line ermittelt werden. Empirisch gibt es starke Zweifel an der Gültigkeit des CAPM. Aber: Langfristig stimmt der Zusammenhang zwischen Beta und Durchschnittsrendite. Ausserdem gibt es keine Alternative. Das CAPM kann zur Ableitung des risikoadjustierten Diskontierungssatz eines Investitionsprojektes verwendet werden. In der Praxis wird das so gemacht. Je höher der Verschuldungsgrad, desto höher das Beta des EK eines verschuldeten Unternehmens.

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