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1 Lineare Algebra I 1. Name: Bleeck, Christian 4. Übungsblatt Matrikelnr.: Abgabe: Uhr (Kasten D1 320) Übungsgruppe: 03 Patrick Schützdeller 2. Name: Niemann, Philipp Matrikelnr.: Übungsgruppe: 02 Patrick Schützdeller Aufgabe 13.) Im R 4 definieren wir fünf Vektoren v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 durch: v 1 := 1 v 2 := -2 v 3 := -1 v 4 := 2 v 5 := Seien U < v 1, v 2,v 3 > und V < v 4,v 5 >. Berechnen Sie die Dimensionen von U,V,U V, U + V, und bestimmen Sie für jeden dieser Vektorräume eine Basis. Seien a,b,c,d,e R Aus Platz- und Zeitgründen sind die Rechnungen im einzelnen nicht aufgelistet. Wir haben aber das Gauss-Verfahren zum berechnen der Geichungssysteme angewendet und unsere Ergebnisse mit dem Programm Derive am PC überprüft. U Die drei Vektoren v1,v2,v3 sind linear abhängig weil sie sie eine nichttriviale Lösung für av1+bv2+cv3=0 besitzen mit a,b,c 0. Lässt man einen Vektor wegfallen, ist durch die Technik des scharfen Hinsehens erkennbar, dass sich kein übriggebliebener Vektor als Vielfaches des anderen übriggebliebenen Vektors darstellen lässt und das somit die beiden verbliebenen Vektoren linear unabhängig sind. Somit ist dim(u) = U -1= 2 v1 v2,v1 v3,v2 v3 sind jeweils ein minimales ES vom R² und damit eine Basis vom R². V Die zwei Vektoren sind schon durch scharfes Hinsehen als linear unabhängig zu erkennen. Da v4 v5 linear unabhängig, dim(v) = V = 2 v4 v5 ist minimales ES vom R² und damit eine Basis vom R². U V U V wird durch av1+bv2+cv3 = dv4+ev5 berechnet. Da wir schon wissen das dim(u)=dim(v)=2 ist wissen wir, dass wir es hier mit zwei Ebenen im R 4 zu tun haben und dann muss der Schnitt zwangsläufig eine Gerade sein wenn die Ebenen nicht komplanar(als nicht parallel) sind, was sich durch die Rechnung der Gleichung bestätigt. Die Schnittgerade ist berechenbar und damit ist dim(u V) = U V = 1 Schnittgerade ist minimales ES von R und damit eine Basis von R. U+V

2 U+V wird durch av1+bv2+cv3+dv4+ev5 = 0 berechnet. Sofort sehen wir dass wir lineare Abhängigkeit bei fünf Vektoren haben. Durch verzicht auf einen Vektor aus U berechnen wir erneut a(v1 v2 v3)+b(v1 v2 v3)+cv4+dv5 = 0 [mit ausschließendem ODER!]. Nun erhalten wir erneut lineare Abhängigkeit, da a,b,c,d 0 sind. Erst wenn wir noch einen Vektor weglassen, bekommen wir nur die triviale Lösung a=b=c=0 und damit lineare Unabhängigkeit, beispielsweise für a(v1 v2 v3)+bv4+cv5 = 0 [mit ausschließendem ODER!]. Da in diesem Fall dim(u+v) = U+V -2 = 3 v1,v4,v5 ist minimales ES vom R³ und damit eine Basis vom R³. Überpfüfung meiner Berechnungen mit Hilfe der Dimensionsformel: dim(u) + dim(v) = dim(u+v) + dim(u V) = Aufgabe 14.) Welche der folgenden Abbildungen f : K³ K² sind linear? i) K = Q y 4 + z z y Seien,y,z ε Q³, λ ε Q und v := (,y,z) Zu zeigen : f : Q³ Q² mit f (,y,z) = (4+z, y) ist linear. f(+,y+y,z+z ) = [4(+ )+z+z,y+y ] = [4+z,y] + [4 +z, y ] = f(,y,z) + f(,y,z ) und f(λ,λy,λz) = [(λ(4+z),(λy)] = λ*(4+z,y) = λ*f(,y,z) Damit ist i) als linear gezeigt. //

3 ii) K = Q y ² + z z y Seien,y,z ε Q³, λ ε Q und v := (,y,z) Zu zeigen : f : Q³ Q² mit f (,y,z) = (²+z, y) ist linear. f(+,y+y,z+z ) = [(+ )²+z+z,y+y ] [²+z,y] + [² +z,y ] wgn 2 f(,y,z) + f(,y,z ) Damit ist ii) als nicht linear gezeigt. (Widerspruch bei der Addition) // iii) K = F 2 y ² + y z z³ Seien,y,z ε F 2 ³, λ ε F 2 und v := (,y,z) Zu zeigen : f : (F 2 )³ (F 2 )² mit f (,y,z) = (²+y,z³) ist linear. f(+,y+y,z+z ) = [(+ )²+y+y,(z+z )³] = [(²+2 + ²)+y+y,(z³+3z²z +3zz ²+z ³)] Wichtig: 2 ist entweder 0 und fällt weg oder ist nicht definiert im F 2 2*1*1=2, wird also auch null! Selbiges gilt analog für 3z²z und 3zz ²! = [²+y,z³] + [ ²+y,z ³] = f(,y,z) + f(,y,z ) und f(λ,λy,λz) = [(λ(²+y),(λz³)] = λ*(²+y,z³) = λ*f(,y,z) Damit ist iii) als linear gezeigt. //

4 Aufgabe 15.) Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U,W zwei Unterverktorräume von V. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: i)u ist Komplementärraum zu W. ii)dim(u + W) = dim(v) = dim(u) + dim(w). iii) Jeder Vektor v ε V lässt sich in genau einer Weise in der Form v = u + w mit u ε U und w ε W Es gibt hier mehrere Möglichkeiten die Äquivalenz der Aussagen i) ii) iii) nachzuweisen. Wir entscheiden uns für i) ii), ii) iii), iii) i) da ich mit dieser Zusammenstellung eine Möglichkeiten gewählt habe wo ich nur 3 Implikationen als gültig zeigen muss und alles damit gezeigt ist. Implikation 1: i) ii) Wenn U,W V Unterräume und gleichzeitig gelte U Komplementärraum zu W, d.h. U W=V. Aus der Kommutativität ergibt sich dass auch W U=V sein muss, also ist auch W ein Komplementärraum zu U. Für Komplementärräume gilt außerdem nach Definition(3.14) U W={0} Nach Definition der Aufgabenstellung gilt außerdem die Dimensionsformel(3.17), und diese geht auf in der soeben wiederholten Definition von einem Komplementärraum, nämlich: dim(v) + 0 = dim(u+w) + dim (U W) = dim(u) + dim(w). Somit gilt: i) impliziert ii). Implikation 2: ii) iii) Wir nutzen im Folgenden aus, dass wir in der Vorlesung gezeigt haben, das sich U W zu einer Basis von U+W ergänzen lässt, also für V. Weil der Schnitt zwangsläufig {0} ist, ergibt sich die ganze Basis von V. Somit lässt sich Basis(V) als Basis(U)+Basis(W) = Basis(U+W)+Basis(U W) darstellen und somit bleibt U+W=V. Die Eigenschaften maimale lineare Abhängigkeit und minimales ES sind auf die Elemente (also in diesem Fall die Vektoren) aus V,U,W übertragbar und darum kann jeder Vektor v V nur aus genau einer Linearkombination der Elemente u U und w W dargestellt werden, und dies lässt sich als v = u + w schreiben. Somit gilt auch : ii) impliziert iii). Implikation 3: iii) i) Wenn jeder Vektor v V sich in genau einer Weise in der Form v=u+w mit u U und w W schreiben lässt, also als Summe der Elemente seiner zwei Komplementärräume, dann gilt auch nach Definition U+W=V. U W={0} gilt ebenfalls da V-W=U und V-U=W ist. Somit sind die Eigenschaften für einen Komplementärraum erfüllt. Daraus folgt das U ein Komplementärraum zu W ist. Es gilt: iii) impliziert i). Damit ist alles gezeigt, da wir alles folgern können (Ringstruktur). //

5 Aufgabe 16.) Seien X,Y,Z drei Mengen und f : X Y, g : Y Z zwei Abbildungen. Zeigen Sie die folgenden Aussagen: Für Surjektivität von f gilt: y Y X mit f ()=y Für Injektivität von f : 1, 2 X gilt: Ist 1 2, so ist auch f ( 1 ) f ( 2 ) i) ( f und g sind injektiv) (g f ist injektiv) Wenn für f 1, 2 X gilt: Ist 1 2, so ist auch f ( 1 ) f ( 2 ) f: X Y und für g y 1,y 2 Y gilt: Ist y 1 y 2, so ist auch g (y 1 ) g (y 2 ) gilt, g: Y Z dann gilt auch 1, 2 X gilt: Ist 1 2, so ist auch g (f ( 1 )) g (f ( 2 )) g f : X Z ii) ( f und g sind surjektiv) (g f ist surjektiv) Wenn für f gilt y Y X mit f () = y f: X Y und wenn für g gilt z Z y Ymit g (y ) = z g: Y Z dann gilt auch z Z X mit g (f ())=z g f : X Z iii) (g f ist injektiv) ( f ist injektiv) Wenn für g f gilt X z Z mit g( f ()) = z g f : X Z und wenn für f gilt X y Ymit f () = y f : X Y dann muss für g gelten y Y z Z mit g(y)=z g : Y Z iv) (g f ist surjektiv) ( g ist surjektiv) Wenn für g f gilt z Z X mit g( f ()) = z g f : X Z und wenn für g gilt z Z y Y mit g(y)=z. g : Y Z dann muss für f gelten y Y X mit f () = y f : X Y v) ( f ist sujektiv und g ist nicht injektiv) (g f ist nicht injektiv) Wenn für f gilt y Y X mit f () = y f : X Y und wenn für g gilt z Z y Y mit g(y)=z. mit y z g : Y > Z dann muss für g f gelten z Z X mit g( f ()) = z mit z g f : X > Z //

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