Solvency II und die Standardformel

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1 Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften Institut für Mathematische Stochastik Solvency II und die Standardformel Festkolloquium 20 Jahre (neue) Versicherungsmathematik an der TU Dresden Sebastian Fuchs Dresden,

2 Solvency II und Standardformel Risikomaße Value at Risk Tail Value at Risk Expected Shortfall Berechnung der Solvenzkapitalanforderung SCR Elliptische und Sphärische Verteilung Elliptische Verteilung TU Dresden Folie 2 von 27

3 Solvency II und Standardformel TU Dresden Folie 3 von 27

4 Solvency II Solvency II ist ein Projekt der EU Kommission Entwicklung eines Solvabilitätssystems, welches die vorhandenen Risiken eines Versicherungsunternehmens realistisch abbildet (risikoorientiert) Drei Säulen Modell Verabschiedung: April/November 2009 Umsetzung: 2013 Solvenzkapitalbedarf wird mit Hilfe der Größe Solvenzkapitalanforderung (SCR) ermittelt Die Solvenzkapitalanforderung sollte anrechnungsfähige Eigenmittel in einer Höhe widerspiegeln, die den Versicherungs- und Rückversicherungsunternehmen die Möglichkeit gibt, signifikante Verluste auszugleichen, und den Versicherungsnehmern und Begünstigten hinreichende Gewähr dafür bietet, dass Zahlungen bei Fälligkeit geleistet werden. TU Dresden Folie 4 von 27

5 Standardformel Die Standardformel zur Berechnung der Basissolvenzkapitalanforderung (BSCR) ist für die Risikomodule X 1,..., X n gegeben durch 1/2 n n BSCR := ρ ij SCR VaR0,995 [X i ] SCR VaR0,995 [X j ] i=1 j=1 wobei ρ den Korrelationskoeffizienten bezeichnet. TU Dresden Folie 5 von 27

6 Risikomaße TU Dresden Folie 6 von 27

7 Risikomaße Sei L 0 = L 0 (Ω, F, P) die Menge aller F messbaren reell wertigen Zufallsvariablen (Risiken). Definition Ein Risikomaß R ist eine Abbildung R : L R L 0 R welche folgende Eigenschaft erfüllt P X = P Y R[X] = R[Y ] TU Dresden Folie 7 von 27

8 Definition Ein Risikomaß R : L R L 0 R heißt positiv homogen wenn für alle X L R und alle c R + mit cx L R gilt R[cX] = cr[x] translativ wenn für alle X L R und alle c R mit X + c L R gilt R[X + c] = R[X] + c TU Dresden Folie 8 von 27

9 Value at Risk Definition Sei α (0, 1). Die Abbildung VaR α : L 0 R gegeben durch heißt Value at Risk bezüglich α. VaR α[x] := inf{x R P[X x] α} Lemma Value at Risk ist ein positiv homogenes und translatives Risikomaß. TU Dresden Folie 9 von 27

10 Tail Value at Risk Definition Sei α (0, 1). Die Abbildung TVaR α : L 1 R gegeben durch heißt Tail Value at Risk bezüglich α. TVaR α[x] := E [ X X VaRα[X] ] Lemma Tail Value at Risk ist ein positiv homogenes und translatives Risikomaß. TU Dresden Folie 10 von 27

11 Expected Shortfall Definition Sei α (0, 1). Die Abbildung ES α : L 1 R gegeben durch heißt Expected Shortfall bezüglich α. ES α[x] := 1 VaR β [X]dλ(β) 1 α (α,1) Lemma Expected Shortfall ist ein positiv homogenes und translatives Risikomaß. TU Dresden Folie 11 von 27

12 Berechnung der Solvenzkapitalanforderung SCR TU Dresden Folie 12 von 27

13 Solvenzkapitalanforderung SCR Definition Sei R ein Risikomaß. Die Abbildung SCR R : L R L 1 R gegeben durch SCR R [X] := R[X] E[X] heißt Solvenzkapitalanforderung bezüglich R. TU Dresden Folie 13 von 27

14 Sei im Folgenden X ein Zufallsvektor mit Koordinaten X i L 2 derart dass var[x i ] 0 für alle i {1,..., d} und var[1 X] 0. Definiere zunächst cov[x i, X j ] ρ ij := var[xi ] var[x j ] Bezeichne des Weiteren Z i die Standardisierung der Koordinaten bzw. Z die Standardisierung der Summe der Koordinaten von X, d.h. Z i := e i X E[e i X] und Z := 1 X E[1 X] var[e i X] var[1 X] für alle i {1,..., d}. TU Dresden Folie 14 von 27

15 Definition Sei R ein Risikomaß und X ein Zufallsvektor mit Koordinaten X i L R L 2 derart dass var[x i ] 0 für alle i {1,..., d}. Setze (Standardformel) 1/2 d d ŜCR R [1 X] := ρ ij SCR R [X i ]SCR R [X j ] i=1 j=1 Problemstellung Unter welchen Bedingungen erhält man ŜCR R [1 X] = SCR R [1 X] TU Dresden Folie 15 von 27

16 Lemma Sei R ein positiv homogenes und translatives Risikomaß, X ein Zufallsvektor mit Koordinaten X i L R L 2 derart dass var[x i ] 0 für alle i {1,..., d} und var[1 X] 0. Ist P Zi = P Z für alle i {1,..., d}, dann gilt ŜCR R [1 X] = SCR R [1 X] TU Dresden Folie 16 von 27

17 Elliptische und Sphärische Verteilung TU Dresden Folie 17 von 27

18 Elliptische Verteilung Die Familie der elliptischen Verteilung bildet eine Verallgemeinerung der multivariaten Normalverteilung. Definition Eine Verteilung Q : B(R d ) [0, 1] heißt elliptische Verteilung, falls ihre charakteristische Funktion der Form φ Q (t) = e it µ ϑ(t Σt) genügt, wobei µ R d einen Vektor, Σ R d d eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix und ϑ : R + R eine messbare Funktion bezeichnet. Elliptische Verteilungen werden mit Q = E d (ϑ, µ, Σ) bezeichnet. TU Dresden Folie 18 von 27

19 Bivariate Dichten bekannter elliptischer Verteilungen: TU Dresden Folie 19 von 27

20 Lemma (Affine Transformation) Bezeichne X ein Zufallsvektor mit P X = E d (ϑ, µ, Σ). Dann gilt: jede affine Transformation von X ist elliptisch verteilt; jede Koordinate von X ist elliptisch verteilt; die Summe 1 X der Koordinaten von X ist elliptisch verteilt. Lemma (Momente) Bezeichne X ein Zufallsvektor mit P X = E d (ϑ, µ, Σ). Ist X integrierbar, dann gilt E[X] = µ Ist X quadratisch integrierbar, dann gilt var[x] = 2ϑ (0) Σ TU Dresden Folie 20 von 27

21 Beispiel Sei X ein Zufallsvektor mit P X = N d (µ, Σ). Die zugehörige charakteristische Funktion besitzt die Gestalt φ PX (t) = e it µ exp( 1 2 t Σt) Somit ist P X eine elliptische Verteilung mit charakteristischem Generator ϑ(z) = exp( 1 2 z). Zusätzlich gilt: (i) E[X] = µ (ii) Mit ϑ (z) = 1 2 exp( 1 z) erhält man 2 var[x] = 2ϑ (0) Σ = Σ TU Dresden Folie 21 von 27

22 Lemma (Lebesgue Dichte) Sei Q eine Verteilung mit Lebesgue Dichte f Q, µ R d ein Vektor und sei Σ R d d eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix mit rank(σ) = d. Dann sind äquivalent: (i) Es existiert eine messbare Funktion ϑ : R + R derart dass Q = E d (ϑ, µ, Σ) (ii) Es existiert eine messbare Funktion g : R + R + f Q (x) = g ( (x µ) Σ 1 (x µ) ) derart dass λ d -f.ü. TU Dresden Folie 22 von 27

23 Lemma Sei X ein Zufallsvektor, µ R d ein Vektor und sei Σ R d d eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix mit rank(σ) = k. Dann sind äquivalent: (i) Es existiert eine messbare Funktion ϑ : R + R derart dass P X = E d (ϑ, µ, Σ) (ii) Es existiert eine positive Zufallsvariable R, ein k dimensionaler uniform auf der Einheitssphäre verteilter Zufallsvektor U, welcher unabhängig von R ist, und eine Matrix A R d k mit AA = Σ derart dass P X = P µ+rau TU Dresden Folie 23 von 27

24 Einige Familien von elliptischen Verteilungen mit zugehörigem Dichtegenerator: Kotz Typ g(z) z m 1 exp( rz s ) r, s (0, ), m > 1 d/2 Normal g(z) exp( 1 2 z) Pearson Typ VII g(z) (1 + z s ) k s (0, ), k > d/2 Student t g(z) ( 1 + z m ) (d+m)/2 m N Pearson Typ II g(z) (1 z) m m > 0 Laplace g(z) exp( z) TU Dresden Folie 24 von 27

25 Lemma Sei X ein Zufallsvektor mit P X = E d (ϑ, µ, Σ) und Koordinaten X i L 2 dass var[x i ] 0 für alle i {1,..., d} und var[1 X] 0. Dann gilt P Zi = P Z derart für alle i {1,..., d}. TU Dresden Folie 25 von 27

26 Satz Sei R ein positiv homogenes und translatives Risikomaß, X ein Zufallsvektor mit P X = E d (ϑ, µ, Σ) und Koordinaten X i L R L 2 derart dass var[x i ] 0 für alle i {1,..., d} und var[1 X] 0. Dann gilt ŜCR R [1 X] = SCR R [1 X] TU Dresden Folie 26 von 27

27 Literatur Europäische Kommission (2009). Directive of the European Parliament and of the Council on the taking-up and pursuit of the business of insurance and reinsurance (Solvency II). DIRECTIVE 2009/138/EC Fang, K.T., Kotz, S., Ng, K.W. (1987). Symmetric Multivariate and Related Distributions. London: Chapman & Hall. Fang, K.T., Zhang, Y.T. (1990). Generalized multivariate analysis. Berlin Heidelberg New York: Springer. TU Dresden Folie 27 von 27

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