Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

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1 Institut für Stochastik Prof. r. N. Bäuerle ipl.-math. S. Urban Lösungsvorschlag 3. Übungsblatt zur Vorlesung Finanzmathematik I Aufgabe as endnutzenoptimale Aktienportfolio bei Exp-Nutzen Wir betrachten einen Markt mit d N risikobehafteten Anlagemöglichkeiten. ie Rendite ist multivariat normalverteilt mit R N m, Σ. Wir suchen das Portfolio π, das für einen Investor mit exponentieller Nutzenfunktion ux exp γx, γ > fest, das erwartete Endvermögen maximiert, und fordern als Nebenbedingung die Zulässigkeit π T. Bezeichne mit R π : π T R die Rendite des Portfolios π. ann gilt nach Voraussetzung R π N π T m, π T Σπ. Wir kennen die erzeugende Funktion der multivariaten Normalverteilung und finden damit die Zielfunktion fπ : E [ exp γr π ] exp γπ T m + γ π T Σπ. Es gilt f zu maximieren, also minimieren wir den Exponenten bzw. noch einfacher und wegen γ > gleichbedeutend den durch γ dividierten Exponenten. Unter Berücksichtigung der Nebenbedingung führt das zum Lagrange-Ansatz Lπ, λ : π T m + γπt Σπ + λ π T. λ R ist hier der Lagrange-Multiplikator. ifferenziere nach π d.h. bilde den Gradienten in allen Komponenten von π: Einsetzen in die Nebenbedingung ergibt π Lπ, λ m + γσπ λ π T T π π γ Σ m + λ. γ T Σ m + λ also haben wir die Lösung λ π γ Σ m + γ T T Σ Σ m, γ T T Σ Σ m. Weil wir normalverteilte Renditen haben und die Nutzenfunktion wachsend und konkav ist, überträgt sich die stochastische Anordnung zweier Portfolios. Wir finden daher als Lösung dasjenige Portfolio, welches für gegebenen bestmöglichen erwarteten Nutzen des Returns auch die kleinste Varianz

2 hat. Also sollte unser π mit der Lösung des entsprechenden Markowitz-Problems übereinstimmen: Verarbeite die Nebenbedingung der Zulässigkeit durch Normierung in T π γ T Σ m! x : direkt in x. ann fällt der Lagrange-Multiplikator λ weg. Setze noch m p : E[R π ] m T π γ mt Σ m, d.h. fordere mindestens den optimalen Return. ann erhält man vgl. Vorlesung das Minimum- Varianz-Portfolio π p aus Cm p A π p Cm p A Σ m + B Am p Σ, T Σ γ mt Σ m m T Σ m T Σ m T Σ m T Σ T Σ m T Σ m T Σ m T Σ m m T Σ m T Σ m T Σ m T Σ T Σ m γ, B Am p mt Σ m m T Σ γ mt Σ m mt Σ m m T Σ m, also π π p. Aufgabe as endnutzenoptimale Portfolio bei Exp-Nutzen mit Bond Im Vergleich zu Aufgabe ist ein Bond B mit Einschrittrendite R dazugekommen. a der Bond deterministisch ist und jede der d risikobehafteten Anleihen entsprechend mit B die Covarianz CovB, S i besitzt, i,..., d, enthält die um den Bond erweiterte Covarianzmatrix Σ eine Nullzeile und eine Nullspalte. Sie ist also nicht invertierbar und wir können nicht wie in Aufgabe vorgehen. Wir setzen hier anders an. Trenne die Investition in den Anteil α, der auf die risikobehafteten Anlagen verteilt wird, und den Restbetrag α, der im Bond festgelegt wird. ie Zulässigkeit des Portfolios liest sich nun π T α und wir optimieren E [ u απ T ] R + αr exp γαπ T m γ αr + γ α π T α,π Σπ max. abei haben wir wieder die charakteristische Funktion der Normalverteilung eingesetzt. Wie in Aufgabe ist es gleichbedeutend, den vorher durch γ > dividierten Exponenten zu minimieren, was zum Lagrange-Ansatz führt. er Gradient bezüglich π ist Lα, π, λ απ T m αr + γα π T Σπ + λ α π T π Lα, π, λ αm + γα Σπ λ π m αγ Σ + λα.

3 Aus der Nebenbedingung ergibt sich direkt Wir benötigen noch α T π. α Lα, π, λ πt m + R + γαπ T Σπ + λ λ π T m R γαπ T Σπ. 3 Einsetzen des optimalen Lagrange-Parameter λ aus 3 in ergibt eine Gleichung für π, die nur noch den Parameter α enthält; für diesen setzen wir α aus ein und sind fertig. Aufgabe 3 Ein Zahlenbeispiel zur Varianzminimierung Gegeben sind zwei unkorrelierte Wertpapiere S und S, die in einem einperiodigen Markt mit Standardabweichung 3 bzw. die erwarteten Renditen r 4 bzw. r 3 erwirtschaften. Bezeichne mit R bzw. R die zufällige Rendite der Papiere. as heißt für ein Portfolio p, das den Anteil π des Vermögens in das erste Papier steckt und den Rest π in das zweite Papier, ergibt sich die Rendite R p πr + πr, E[R p ] πr + πr, VarR p π VarR + π πcovr, R + π VarR. a Wir bestimmen das varianzminimale Portfolio mvp aus S und S sowie dessen Erwartungswert und Standardabweichung. a die Renditen unkorreliert sind, gilt wie vorbemerkt Also haben wir das mvp, 9. VarR p π + π 9 π + π π 5 π +, π VarR p 5 π 5 π. b Wir stellen die erwartete Rendite r p eines Portfolios p als Funktion der Varianz p des selben Portfolios dar. Aus Teil a wissen wir p VarR p π 5 π + π 5 π + p π / ± p 9. Hier gilt weiter r p E[R p ] πr r + r, also r p, / ± p 9 r r + r. 3

4 c em Investor steht nun als weitere Anlagemöglichkeit eine risikolose Anlage mit Verzinsung r % zur Verfügung. as ist das in der Vorlesung besprochene Modell von Tobin. ie optimalen Portfolios liegen auf der Kapitalmarktgeraden m p R + Tobin π T m R π T Σπ. abei bezeichnet R r die Einschrittverzinsung der risikolosen Anlage, Σ ist die Covarianzmatrix der risikobehafteten Anlagen aus Teil a, m der Vektor der zugehörigen erwarteten Renditen und π m T b b mit b : Σ R ist das Tangentialportfolio. m p bezeichnet den erwarteten Return des hier optimalen Portfolios in Abhängigkeit der gewählten Varianz Tobin. Wir bestimmen ein Portfolio mit einer erwarteten Rendite von 6% sowie dessen Standardabweichung. azu berechnen wir zunächst die Teilterme:,9 Σ, Σ,9,,,,5 R,, m, b Σ m,5 R π,5 T b b,75 5/3, 5 ie Struktur des Tangentialportfolios ist also, ein Viertel des riskant investierten Kapitals im ersten Papier anzulegen und die restlichen drei Viertel im zweiten Papier. Zu klären bleibt, welcher Anteil des Vermögens überhaupt in riskante Anlagen fließen soll. Bezeichne das Tobin-Portfolio Anteile in risikolos / risikobehaftet mit p. ann muss bei Investition gemäß dem Tangentialportfolio gelten:,6! E [R p ] E [α R ] + αr p α R + α π r + π r, α + α 7 4 α Investiere also ein Fünftel des Kapitals in die risikolose Anlage, vier Fünftel in das Tangentialportfolio. ie Standardabweichung erhält hieraus und mit Teil a zu VarR p α VarR p , R p Aufgabe 4 Stochastische ominanz bei lognormalverteilten Zufallsvariablen Sei Ω, F, P Wahrscheinlichkeitsraum und Y : Ω R. Y heißt lognormalverteilt, falls es Zahlen α R und gibt, sodass Y exp α + X, X N,. 4

5 Man schreibt in diesem Fall Y log N α,. a Sei Y exp α + X log N α,, also insbesondere X N,. Wir bestimmen alle p-ten Momente von Y. Ist, ist Y nicht zufällig, sei also >. Stelle zunächst fest, dass für alle y, PY y P exp α + X y P X logy α logy α Φ gilt. Es folgt für die ichte f Y y : y Φy y φ logy α Substituiere im Folgenden u logy α, y expu + α, du y dy, u y +, u y. Wir können das p-te Moment direkt bestimmen: E [Y p ] y p f Y ydy y p logy α y φ. dy exppu + pαφudu E [exppx + pα] exp pα + p, wobei hier wieder X N,. Im letzten Schritt haben wir die charakteristische Funktion benutzt. Erwartungswert und Varianz haben wir natürlich auch schon gesehen: E[Y ] E [ Y ], VarY E [ Y ] E[Y ]. b Wir zeigen, dass für µ log N α, und ν log N β, ρ gilt: µ uni ν α + β + ρ, ρ. : Sei dazu zunächst µ uni ν und ux : xγ γ der Power-Nutzen für ein γ, \ {}. Wir wissen aus der Vorlesung, dass für Nutzenfunktionen γα γ exp + γ a γ xγ µdx VL γ xγ νdx a γ exp γβ + ρ γ gilt. Je nach Vorzeichen von γ bedeutet das: Ist γ >, haben wir äquivalent γα + γ γβ + ρ γ, also insbesondere im Grenzfall γ + die Bedingung α + β + ρ. Ist γ <, muss entsprechend γα + γ γβ + ρ γ α + γ β + ρ γ γ ρ β α richtig sein. ie rechte Seite ist eine konstante reelle Zahl. amit die linke Seite auch für γ noch größer oder gleich der rechten ist, muss notwendig ρ gelten. 5

6 ie Aussage muss für alle Werte von γ richtig sein, also gelten notwendig beide Bedingungen gleichzeitig und das war zu zeigen. : Sei α + β + ρ und ρ. ie Aussage wird nachher folgen, indem wir die ominanz unter beliebigen Nutzenfunktionen zeigen. azu benötigen wir eine Hilfsrechnung: Sei für diesen Teil zunächst α und β ρ. Wir kennen aus Teil a die Verteilungsfunktion logx α F µ x Φ von µ. Mit Blick auf Satz 3. der Vorlesung definiere für c > die Funktion logx α f c : Φ dx f c wächst in, denn mit der Substitution u logx +, x expu, du x dx und der Abkürzung d : logc + gilt f c d logx α φ logx dx logx α φ logx φu exp u u du exp u du π d U N, E [U U d ] X N, E [X X d ] >. Aus der Anordnung von und ρ schließen wir also c logx + Φ dx f c f c ρ u Φ x x dx logx + ρ dx 4 ρ und das ist nach Satz 3. gleichbedeutend mit µ uni ν für diese speziellen µ und ν. Seien α und β nun wieder so allgemein wie in der Aufgabestellung angegeben und weiter u eine beliebige Nutzenfunktion. Ähnlich wie oben werden wir gleich y exp α x, x exp α + y, dy exp α dx, y exp β ρ z, z exp β + ρ y, dy exp β ρ dz 6

7 substituieren. Wir finden hiermit uxdµx uxd log N α, x a a 4 a a logx α uxφ x dx α + φ β + ρ φ β + ρ d log N β + ρ β + ρ φ logz β u z φ ρ uzd log N β, ρz uzdνz. logy + logy +, y dy y dy y d log N ρ, ρ y logy + ρ ρ ρy dy ρz dz as ist gleichbedeutend mit µ uni ν und wir sind fertig. 7

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