Der (7, 4)-Hamming-Code

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1 Polynomcodes p. 1 Der (7, 4)-Hamming-Code Der 1-Fehler-korrigierende Hamming-Code der Länge 7 besteht aus 16 binären 7-Tupeln: Je zwei verschiedene Codewörter unterscheiden sich an mindestens drei Stellen.

2 Polynomcodes p. 2 Als Kern der Kontrollmatrix Man kann den Hamming-Code verstehen als einen Untervektorraum des Vektorraumes GF(2) 7, gegeben als Kern der Kontrollmatrix H 3 := Der Hamming-Code besteht aus genau denjenigen Vektoren, die mit H 3 multipliziert den Nullvektor ergeben (Rechnung über GF(2)).

3 Polynomcodes p. 3 Als Polynomcode Man kann die Codewörter auch als Koeffiziententupel von Polynomen auffassen. usw X + X X 2 + X 4 + X 5 + X 6 Dadurch wird der Hamming-Code zu einer Teilmenge von GF(2)[X]/p(X), wobei p(x) ein Polynom vom Grad 7 ist. Diese Teilmenge ist abgeschlossen gegen Addition.

4 Polynomcodes p. 4 Zyklischer Code Der Hamming-Code ist zyklisch: Wenn ein Codewort ist, dann auch (c 0,c 1,...,c 5,c 6 ) (c 6,c 0,...,c 4,c 5 ). In der Sprache der Polynomcodes kann man das so formulieren: Wenn zum Code gehört, dann auch c 0 + c 1 X c 5 X 5 + c 6 X 6 c 0 X + c 1 X c 5 X 6 + c 6.

5 Polynomcodes p. 5 Modulo X n 1 Wenn c 0 + c 1 X c 5 X 5 + c 6 X 6 zum Code gehört, dann auch c 0 X + c 1 X c 5 X 6 + c 6 = X (c 0 + c 1 X c 5 X 5 ) + c 6 = X (c 0 + c 1 X c 5 X 5 + c 6 X 6 ) mod X 7 1

6 Polynomcodes p. 6 Zyklische Polynomcodes Abkürzung: K n [X] := GF(q)[X]/X n 1. Eine Teilmenge C K n [X] wird ein zyklischer Code genannt, falls gilt: 1. C ist ein Unterraum von K n [X] (also ein linearer Code), und 2. für alle c(x) C gilt X c(x) C, (d.h. zyklische Vertauschungen führen Codewörter in Codewörter über). Die Zahl n ist dann die Länge des zyklischen Codes C.

7 Polynomcodes p. 7 Multiplikation mit einem Polynom Multipliziert man ein Codewort c(x) eines zyklischen Codes C mit X i, so erhält man X i c(x) = X(X( X c(x) )), also wieder ein Codewort von C. Multipliziert man c(x) mit einem beliebigen Polynom a(x) K n [X], so ergibt sich (a 0 + a 1 X a n 1 X n 1 ) c(x) = a 0 c(x) + a 1 X c(x) + a 2 X 2 c(x) +...a n 1 X n 1 c(x), also ebenfalls wieder ein Codewort.

8 Polynomcodes p. 8 Zyklische Codes sind Ideale in K n [X] Die zyklischen Codes sind also genau die Ideale im Ring K n [X], das heißt, diejenigen nichtleeren Teilmengen C K n [X], die folgende Bedingungen erfüllen: 1. Wenn c(x) C und λ GF(q), dann λc(x) C, 2. wenn c 1 (X),c 2 (X) C, dann c 1 (X) + c 2 (X) C, und 3. wenn c(x) C und a(x) K n [X], dann a(x) c(x) C. Dabei wird mit den Koeffizienten in GF(q) gerechnet. Die Polynommultiplikation versteht sich modulo X n 1.

9 Polynomcodes p. 9 Der ggt zweier Codewörter Zu je zwei Codewörtern c 1 (X),c 2 (X) eines zyklischen Codes C K n [X] können wir in GF(q)[X] den größten gemeinsamen Teiler berechnen. Man hat folgendes: ggt(c 1 (X),c 2 (X)) 1. grad(ggt(c 1 (X),c 2 (X))) min{grad(c 1 (X)), grad(c 2 (X))}, also ist ggt(c 1 (X),c 2 (X)) K n [X], 2. ggt(c 1 (X),c 2 (X)) = a(x) c 1 (X) + b(x) c 2 (X) für geeignete Polynome a(x), b(x), also ist ggt(c 1 (X),c 2 (X)) C.

10 Polynomcodes p. 10 Generatorpolynom Ist C ein nichttrivialer zyklischer Code, dann gilt 1. Unter den von Null verschiedenen normierten Polynomen in C gibt es genau eines vom kleinsten Grad. Es wird mit g(x) bezeichnet. 2. g(x) ist der ggt aller Polynome in C. 3. Jedes Vielfache von g(x) (modulo X n 1) gehört zu C. C besteht also genau aus allen Vielfachen des Generatorpolynoms modulo X n 1!

11 Polynomcodes p. 11 Beispiel: Hamming-Code Generatorpolynom des (7, 4)-Hamming-Codes ist das Polynom g(x) = 1 + X + X 3. Man erhält alle Elemente des (7, 4)-Hamming-Codes, indem man das Generatorpolynom mit allen Polynomen vom Grad 3 in GF(2)[X] multipliziert. Dabei muss gar nicht modulo X 7 1 gerechnet werden, weil die Ergebnisse sämtlich den Grad 6 haben.

12 Polynomcodes p. 12 elche Polynome s. Generatorpolynome? Sei C K n [X] ein zyklischer Code mit dem Generatorpolynom g(x). Zu t(x) := ggt(g(x),x n 1) gibt es Polynome a(x), b(x) mit t(x) = a(x) g(x) + b(x) X n 1, also t(x) = a(x) g(x) mod X n 1. t(x) gehört also zu C und muss deshalb gleich g(x) sein.

13 Polynomcodes p. 13 Teiler von X n 1 Ist g(x) ein Teiler von X n 1 in K[X] und normiert, dann ist g(x) Generatorpolynom eines zyklischen Codes der Länge n. Ist C ein zyklischer Code der Länge n in K n [X], dann ist das Generatorpolynom von C ein Teiler von X n 1 und außerdem normiert. Kurz gesagt: Die zyklischen Codes sind durch die Teiler von X n 1 eindeutig bestimmt.

14 Polynomcodes p. 14 Wie findet man die Teiler von X n 1? Wir studieren zunächst den einfachsten Fall: Unter welcher Bedingung gilt, dass das Polynom X n 1 in GF(q)[X] in Linearfaktoren zerfällt, also, dass es Elemente λ 1,...,λ n GF(q) gibt mit X n 1 = (X λ 1 ) (X λ 2 ) (X λ n )? Jedes solche Element λ i muss eine Nullstelle des Polynoms X n 1 sein, also eine n-te Einheitswurzel in GF(q). Außerdem müssen die λ i paarweise verschieden sein.

15 Polynomcodes p. 15 n muss Teiler von q 1 sein Die n-ten Einheitswurzeln (sofern vorhanden) bilden eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe GF(q) von GF(q). Nach dem Satz vom primitiven Element ist die multiplikative Gruppe GF(q) zyklisch. Sie hat q 1 Elemente, ist also isomorph zu Z q 1. Deshalb hat GF(q) genau eine Untergruppe zu jedem Teiler von q 1. Wenn X n 1 also n verschiedene Nullstellen hat, dann muss n ein Teiler von q 1 sein.

16 Polynomcodes p. 16 Wenn n q 1, dann zerfällt X n 1 GF(q) hat ein primitives Element α, dessen Potenzen α,α 2...α q 1 = 1 alle Elemente 0 durchlaufen. Wenn n ein Teiler von q 1 ist, wenn also q 1 = n t für eine Zahl t gilt, dann gilt für β := α t und beliebiges i folgendes: (β i ) n = ((α t ) i ) n = (α n t ) i = 1 i = 1. Die Potenzen von β sind also allesamt n-te Einheitswurzeln.

17 Polynomcodes p. 17 Zusammenfassung Satz: In GF(q) gibt es genau dann n verschiedene n-te Einheitswurzeln, wenn die Zahl n ein Teiler von q 1 ist. Ist das der Fall, dann gibt es sogar eine primitive n-te Einheitswurzel, also eine, deren Potenzen alle n-ten Einheitswurzeln durchlaufen. Genau in diesem Fall zerfällt auch das Polynom X n 1 in GF(q)[X] in Linearfaktoren.