Kapitel 4. Kapitel 4 Restklassen (die modulo-rechnung)

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1 Restklassen (die modulo-rechnung) Inhalt Was Was sind sind Restklassen? [0], [0],[1], [1],...,...,[n 1] Addition von von Restklassen [5] [5] + [7] [7] = [3] [3] Multiplikation von von Restklassen [5] [5] [7] [7] = [8] [8] Inverse Elemente [5] [5] [2] [2] = [1] [1] Anhang: Zahlbereichserweiterungen N Z Q R Seite 2

2 4.1 Was sind Restklassen? Restklassen treten in in vielen Situationen auf: auf: überall dort, dort, wo wo immer wiederkehrende ( periodische ) Vorgänge eine eine Rolle spielen. Beispiele. (a) (a) Die Die Uhr Uhr (mit (mit Zifferblatt). Es Es ist ist Uhr. Uhr. In In 4 Stunden ist ist 3 Uhr. Uhr. Wir Wir rechnen also also = Es Es ist ist 4 Uhr. Uhr. Vor Vor Stunden war war es es 6 Uhr. Uhr. Wir Wir rechnen = (b) (b) Die Die Woche. Es Es ist ist Freitag. In In 3 Tagen ist ist Montag. Mit Mit Mo Mo = 1, 1, Di Di = 2, 2,...,..., Fr Fr = 5, 5, Sa Sa = 6, 6, So So = 7 rechnen wir wir = (c) (c) Das Das Jahr. Jahr. Wir Wir numerieren die die Monate mit mit 1, 1, 2, 2,...,..., Es Es ist ist Mai, Mai, in in 8 Monaten ist ist Januar. Wir Wir rechnen = Wir Wir rechnen nicht nicht mit mit einem bestimmten Montag, sondern mit mit der der Menge aller aller Montage, Das Das ist ist die die Idee Ideeder der Nebenklassen. Seite 3 Wiederholung: Division mit Rest Sei Sei a eine eine ganze Zahl Zahl und und n eine eine natürliche Zahl Zahl mit mit n Dann gibt gibt es es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und und r r mit mit a = q n q n + r r und und 0 r r < n. n. Wir Wir interessieren uns uns hauptsächlich für für den den Rest Rest r. r. Da Da dieser eindeutig bestimmt ist, ist, hängt er er nur nur von von a und und n ab. ab. Wir Wir bezeichnen diese Zahl Zahl auch auch mit mit a mod mod n (gesprochen: a a modulo n ) n ) Das Das heißt: a mod mod n ist ist eine eine natürliche Zahl, Zahl, und und zwar zwar der der kleinste nichtnegative Rest, der der bei bei Division von von a durch n entsteht. Beispiele: 7 mod mod 5 = 2, 2, mod mod 3 = 0, 0, 6 6 mod mod 8 = 2, 2, 0 mod mod = Seite 4

3 Definition einer Restklasse Definition. Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl mit mit n Sei Sei a irgendeine ganze Zahl. Zahl. Die Die Restklasse [a] [a] von von a (modulo n) n) besteht aus aus allen allen ganzen Zahlen, die die bei bei Division durch n den den gleichen Rest Rest ergeben wie wie a. a. Mit Mit anderen Worten: [a] [a]:=:={b {b Z b mod mod n = a mod mod n}. n}. Manchmal spricht man man statt statt von von einer einer Restklasse auch auch von von einer einer Nebenklasse. Man Man nennt die die Zahl Zahl a einen Repräsentanten der der Restklasse [a]. [a]. Die Die Zahl Zahl n heißt heißt manchmal der der Modul. Seite 5 Beispiel: n = 3 Die Die Restklasse [0] [0] besteht aus aus allen allen ganzen Zahlen, die die bei bei Division durch 3 denselben Rest Rest ergeben wie wie 0, 0, also also aus aus genau den den Zahlen, die die durch 3 teilbar sind: sind: [0] [0] = {b {b Z b ist ist ein ein Vielfaches von von 3} 3} = {3z {3z z Z} Z} = {..., {..., 6, 6, 3, 3, 0, 0, 3, 3, 6, 6,...}....}. Die Die Restklasse [1] [1] besteht aus aus allen allen ganzen Zahlen, die die bei bei Division durch 3 den den Rest Rest 1 ergeben; Entsprechendes gilt gilt für für [2]: [2]: [1] [1] = {3z+1 z Z} Z} = {..., {..., 5, 5, 2, 2, 1, 1, 4, 4, 7, 7,...},...}, [2] [2] = {3z+2 z Z} Z} = {..., {..., 4, 4, 1, 1, 2, 2, 5, 5, 8, 8,...}....}. Seite 6

4 Fortsetzung des Beispiels Was Was ist ist [5] [5]? Das Das ist ist die die Menge aller aller ganzen Zahlen, die die bei bei Division durch 3 den den gleichen Rest Rest ergeben wie wie 5, 5, also also den den Rest Rest 2: 2: [5] [5] = {b {b Z b mod mod 3 = 5 mod mod 3} 3} = {b {b Z b mod mod 3 = 2}; 2}; dies dies ist ist aber aber genau die die Restklasse [2]. [2]. Es Es gilt gilt also also [5] [5] = [2]. [2]. Wir Wir sehen in in diesem Beispiel: [0], [0],[1] [1] und und [2] [2] umfassen alle alle ganzen Zahlen. Jede Jede ganze Zahl Zahl ist ist in in genau einer einer dieser Restklassen enthalten. Jede Jede mögliche Restklasse ist ist gleich einer einer der der Restklassen [0], [0],[1] [1] oder oder [2]; [2]; zum zum Beispiel ist ist [1001] = [2] [2] und und [ 23] [ 23] = [1]. [1]. Seite 7 Eigenschaften von Restklassen Satz. Sei Sei n 1 eine eine natürliche Zahl. Zahl. Dann gelten folgende Eigenschaften der der Restklassen modulo n: n: (a) (a) Wenn eine eine ganze Zahl Zahl b in in der der Restklasse [a] [a] enthalten ist, ist, so so gilt gilt [b] [b] = [a]. [a]. (b) (b) Je Je zwei zwei Restklassen sind sind gleich oder oder disjunkt. (c) (c) Jede Jede ganze Zahl Zahl ist ist in in genau einer einer Restklasse modulo n enthalten. (d) (d) Die Die Vereinigung der der Restklassen [0], [0],[1], [1],...,...,[n 1] ist ist ganz ganz Z. Z. (e) (e) Es Es gibt gibt genau n verschiedene Restklassen modulo n, n, nämlich [0], [0],[1], [1],...,...,[n 1]. Seite 8

5 Beweis (a), (b) Beweis. (a) (a) Da Da b in in [a] [a] enthalten ist, ist, hat hat b bei bei Division durch n den den gleichen Rest Rest wie wie a (Definition von von [a]). [a]). M.a.W.: b mod mod n = a mod mod n. n. Das Das bedeutet: [a] [a] = {z {z Z z mod mod n = a mod mod n} n} (nach Definition von von [a]) [a]) = {{ z Z z mod mod n = b mod mod n} n} (da (da a mod mod n = b mod mod n) n) = [b] [b] (nach Definition von von [b]). [b]). (b) (b) Seien [a] [a] und und [b] [b] zwei zwei Restklassen modulo n. n. Wenn diese disjunkt sind, sind, so so gilt gilt die die Behauptung. Daher möge es es eine eine ganze Zahl Zahl c geben, die die sowohl in in [a] [a] als als auch auch in in [b] [b] liegt. liegt. Nach (a) (a) gilt gilt also also sowohl [c] [c] = [a] [a] als als auch auch [c] [c] = [b], [b], also also [a] [a] = [b]. [b]. Seite 9 Beweis (c), (d),(e) (c) (c) Jede Jede ganze Zahl Zahl z liegt liegt in in mindestens einer einer Restklasse modulo n, n, nämlich in in [z]. [z]. Da Da nach nach (b) (b) verschiedene Restklassen disjunkt sind, sind, gibt gibt es es keine zweite Restklasse modulo n, n, die die z enthält. Also Also gibt gibt es es genau eine eine Restklasse modulo n, n, die die z enthält. (d) (d) Jede Jede ganze Zahl Zahl z liegt liegt in in einer einer der der Restklassen [0], [0],[1],..., [n 1], da da z bei bei Division durch n einen der der Reste 0, 0, 1, 1,...,..., n 1 n 1 liefert. (e) (e) Nach (d) (d) gibt gibt es es höchstens n verschiedene Restklassen. Da Da aber aber die die Restklassen [0], [0],[1], [1],...,...,[n 1] verschieden sind sind (denn die die Zahlen 0, 0, 1, 1,...,..., n 1 n 1 sind sind verschiedene Reste modulo n), n), gibt gibt es es auch auch mindestens n verschiedene Restklassen. Seite 10

6 Z n Definition. Z n = n Menge der der Restklassen modulo n Bemerkung: Z n ist n ist eine eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. sind. Wir Wir betrachten aber aber oft oft die die Elemente von von Z n einfach n als als Elemente. Analogie aus aus dem dem täglichen Leben: Es Es gibt gibt Tage Tage (entsprechen den den Zahlen). Diese sind sind in in Wochentage zusammengefasst (entspricht den den Restklassen: Jeder Tag Tag gehört zu zu genau einem Wochentag). Man Man spricht von von Wochentag, ohne ohne von von den den einzelnen Tagen sprechen zu zu müssen: 5 Tage Tage nach nach Freitag ist ist Mittwoch, Die Die Einführung von von Z n ist n ist ein ein Wechsel des des Blickwinkels: Wir Wir betrachten alle alle Restklassen modulo n und und untersuchen die die Eigenschaften dieser Menge. Seite Addition von Restklassen Ziel: Ziel: Wir Wir betrachten nicht nicht nur nur die die Menge der der Restklassen, sondern wir wir wollen mit mit den den Elementen dieser Menge auch auch rechnen: Wir Wir wollen sie sie addieren und und multiplizieren können. Problem: Jede Jede Restklasse ist ist eine eine Menge von von Zahlen. Wie Wie soll soll man man zwei zwei solche Mengen von von Zahlen addieren so so dass dass wieder eine eine Restklasse herauskommt? Konkret: Was Was ist ist [5] [5] + [7] [7](für n = 9)? 9)? Seite 12

7 Der entscheidende Hilfssatz zur Addition Hilfssatz. Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl mit mit n Ferner seien a und und a', a', b und und b' b' ganze Zahlen. Dann gilt: gilt: Für Für alle alle a' a' [a] [a] und und alle alle b' b' [b] [b] gilt gilt a'+b' a'+b' [a+b], also also [a'+b'] = [a+b]. Beispiel. Sei Sei n = Dann folgt folgt aus aus a' a' [6] [6] und und b' b' [4], [4], dass dass a'+b' a'+b' [10] [10] = [0] [0] ist, ist, also also also also a'+b' a'+b' durch teilbar ist. ist. Beweis. Sei Sei a mod mod n = r; r; dann dann ist ist auch auch a' a' mod mod n = r. r. Sei Sei b mod mod n = s; s; dann dann ist ist auch auch b' b' mod mod n = s. s. Also Also liefern sowohl a+b a+b als als auch auch a'+b' a'+b' bei bei Division durch n den den Rest Rest r+s r+s (oder den den Rest Rest r+s n, falls falls r+s r+s > n ist). ist). Also: Also: a+b a+b [r+s] [r+s] und und a'+b' a'+b' [r+s]. D.h. D.h. [a+b] [a+b] = [r+s] [r+s] = [a'+b']. Seite 13 Definition der Addition Definition: Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl mit mit n Wir Wir definieren die die Summe der der Restklassen [a] [a] und und [b] [b] wie wie folgt: folgt: [a] [a] + [b] [b]:=:=[a+b]. In In Worten: Man Man erhält die die Summe [a] [a] + [b] [b] der der Restklassen [a] [a] und und [b], [b], indem man man Repräsentanten a und und b wählt, ihre ihre Summe a+b a+b (in (in Z) Z) bildet und und zur zur zugehörige Restklasse [a+b] [a+b] übergeht. Beispiel: Die Die Summe der der Restklassen [5] [5] und und [7] [7] modulo 9 ist ist [5+7] [5+7] = [12] [12] = [3]. [3]. Der Der Hilfssatz sagt, sagt, dass dass sich sich als als Summe immer die die gleiche Restklasse ergibt, unabhängig davon, welche Repräsentanten der der Nebenklassen gewählt werden ( die ( die Addition ist ist wohldefiniert ). Seite 14

8 Additionstafel von Z 6 + [0] [0] [1] [1] [2] [2] [3] [3] [4] [4] [5] [5] [0] [0] [0] [0] [1] [1] [2] [2] [3] [3] [4] [4] [5] [5] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [3] [3] [4] [4] [5] [5] [0] [0] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [4] [4] [5] [5] [0] [0] [1] [1] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [5] [5] [0] [0] [1] [1] [2] [2] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [0] [0] [1] [1] [2] [2] [3] [3] [5] [5] [5] [5] [0] [0] [1] [1] [2] [2] [3] [3] [4] [4] Seite 15 Eigenschaften der Addition in in Z n Satz. Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl mit mit n Dann gilt gilt für für alle alle Restklassen [a], [a],[b] [b] und und [c] [c] modulo n: n: (a) (a) Kommutativität: [a] [a] + [b] [b] = [b] [b] + [a]. [a]. (b) (b) Assoziativität: ([a] ([a] + [b]) [b]) + [c] [c] = [a] [a] + ([b] ([b] + [c]). [c]). (c) (c) Existenz eines neutralen Elements: [0] [0] ist ist ein ein neutrales Element; das das heißt: Für Für alle alle [a] [a] gilt gilt [a] [a] + [0] [0] = [a]. [a]. (d) (d) Existenz inverser Elemente: Zu Zu jedem [a] [a] Z n ist n ist [ a] [ a] = [n a] [n a] Z n das n das inverse (in (in diesem Fall Fall auch auch negativ genannte) Element; das das heißt heißt [a] [a] + [ a] [ a] = [0]. [0]. Seite 16

9 Beweis (a), (b) Beweis. Idee: Idee: Wir Wir führen alle alle Eigenschaften von von Restklassen auf auf die die entsprechenden Eigenschaften der der ganzen Zahlen zurück. (a) (a) Es Es gilt: gilt: [a] [a] + [b] [b] = [a+b] [a+b] (Def. (Def. der der Addition von von Restklassen) = [b+a] [b+a] (Kommutativität der der Addition in in Z) Z) = [b] [b] + [a] [a] (Def. (Def. der der Addition von von Restklassen) (b) (b)([a] ([a] + [b]) [b]) + [c] [c] = [a+b] [a+b] + [c] [c] = [(a+b) + c] c] (Def. (Def. der der Addition von von Restklassen) = [a [a + (b+c)] (Assoziativität der der Addition in in Z) Z) = [a] [a] + [b+c] [b+c] = [a] [a] + ([b] ([b] + [c]) [c]) (Def. (Def. der der Addition von von Restklassen) Seite 17 Beweis (c), (d) (c) (c) Es Es wird wird immer einfacher: [a] [a] + [0] [0] = [a+0] [a+0] (Def. (Def. der der Addition von von Restklassen) = [a] [a] (0 (0 ist ist neutrales Element bzgl. bzgl. + in in Z) Z) (d) (d) Auch Auch diese Aussage ergibt sich sich auf auf die die gleiche Weise: [a] [a] + [ a] [ a] = [a [a + a] a] (De. (De. der der Addition von von Restklassen) = [0] [0] ( a ( a ist ist das das neg. neg. Element von von a in in Z). Z). Damit ist ist alles alles bewiesen. Seite 18

10 4.3 Multiplikation von Restklassen Hilfssatz. Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl mit mit n Ferner seien a und und a', a', b und und b' b' ganze Zahlen. Dann gilt: gilt: Für Für alle alle a' a' [a] [a] und und alle alle b' b' [b] [b] gilt gilt a' b' a' b' [a b], [a b], also also [a' b']= [a b]. [a b]. Beispiel. Sei Sei n = Dann folgt folgt aus aus a' a' [6] [6] und und b' b' [5], [5], dass dass a' b' a' b' [30] [30] = [0] [0] ist, ist, dass dass also also a' b' a' b' durch teilbar ist. ist. Beweis. Sei Sei a mod mod n = r; r; dann dann ist ist auch auch a' a' mod mod n = r. r. Sei Sei b mod mod n = s; s; dann dann ist ist auch auch b' b' mod mod n = s. s. Dann liefert sowohl a b a b als als auch auch a' b' a' b' bei bei Division durch n den den Rest Rest r s r s (oder den den Rest Rest r s n, r s 2n,...,..., falls falls r s r s > n ist). ist). Also: Also: a b [r [r s] s] und und a' a' b' b' [r [r s]. s]. D.h. D.h. [a [a b] b] = [r [r s] s] = [a' [a' b']. b']. Seite 19 Definition der Multiplikation Definition: Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl mit mit n Wir Wir definieren das das Produkt der der Restklassen [a] [a] und und [b] [b] wie wie folgt: folgt: [a] [a] [b] [b] = [a b]. [a b]. In In Worten: Man Man erhält das das Produkt [a] [a] [b] [b] der der Restklassen [a] [a] und und [b], [b], indem man man Repräsentanten a und und b wählt, ihr ihr Produkt a b a b (in (in Z) Z) bildet und und zur zur zugehörige Restklasse [a b] [a b] übergeht. Zum Zum Beispiel erhält man man das das Produkt der der Restklassen [5] [5] und und [7] [7] modulo 9 als als [5 7] [5 7] = [35] [35] = [8]. [8]. Bemerkung: Als Als Produkt erhält man man immer die die gleiche Restklasse, unabhängig davon, welche Repräsentanten der der Nebenklassen man man wählt ( die ( die Multiplikation ist ist wohldefiniert ). (Hilfssatz.) Seite 20

11 Multiplikationstafel von Z 6 [0] [0] [1] [1] [2] [2] [3] [3] [4] [4] [5] [5] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [1] [0] [0] [1] [1] [2] [2] [3] [3] [4] [4] [5] [5] [2] [2] [0] [0] [2] [2] [4] [4] [0] [0] [2] [2] [4] [4] [3] [3] [0] [0] [3] [3] [0] [0] [3] [3] [0] [0] [3] [3] [4] [4] [0] [0] [4] [4] [2] [2] [0] [0] [4] [4] [2] [2] [5] [5] [0] [0] [5] [5] [4] [4] [3] [3] [2] [2] [1] [1] Seite 21 Eigenschaften der Multiplikation in in Z n Satz. Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl mit mit n Dann gilt gilt für für alle alle Restklassen [a], [a],[b] [b] und und [c] [c] modulo n: n: (a) (a) Kommutativität: [a] [a] [b] [b] = [b] [b] [a]. [a]. (b) (b) Assoziativität: ([a] ([a] [b]) [b]) [c] [c] = [a] [a] ([b] ([b] [c]). [c]). (c) (c) Existenz eines neutralen Elements: [1] [1] ist ist ein ein neutrales Element bezüglich der der Multiplikation; das das heißt: Für Für alle alle [a] [a] gilt gilt [a] [a] [1] [1] = [a]. [a]. Beweis. (a) (a) Es Es folgt: folgt: [a] [a] [b] [b] = [a [a b] b] (Def. (Def. der der Multiplikation von von Restklassen) = [b [b a] a] (Kommutativität der der Multiplikation in in Z) Z) = [b] [b] [a] [a] (Def. (Def. der der Multiplikation von von Restklassen) Seite 22

12 Beweis (Fortsetzung) (b) (b) Ganz entsprechend ergibt sich sich ([a] ([a] [b]) [b]) [c] [c] = [(a [(a b) b) c] c] (Def. (Def. der der Multiplikation von von Restklassen) = [a [a (b (b c)] c)] (Assoziativität der der Multiplikation in in Z) Z) = [a] [a] ([b] ([b] [c]) [c]) (Def. (Def. der der Multiplikation von von Restklassen) (c) (c) Es Es wird wird immer einfacher: [a] [a] [1] [1] = [a [a 1] 1] (Def. (Def. der der Multiplikation von von Restklassen) = [a] [a] (1 (1 ist ist neutrales Element bezüglich in in Z) Z) Damit ist ist alles alles bewiesen. Seite Inverse Elemente Definition. Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl mit mit n Eine Eine Restklasse [a] [a] Z n hat n hat ein ein multiplikativ inverses Element [a'] [a'] (ist (ist multiplikativ invertierbar), falls falls [a] [ [a] [ a'] a'] = [1] [1] gilt. gilt. In In der der Sprache der der ganzen Zahlen ausgedrückt heisst dies: dies: Eine Eine Zahl Zahl a ist ist genau dann dann multiplikativ invertierbar, wenn es es eine eine ganze Zahl Zahl a a gibt gibt mit mit a a a mod mod n = Beispiele. (a) (a) Die Die Restklasse [0] [0] hat hat kein kein multiplikatives Inverses, denn denn jedes Produkt, in in dem dem diese Restklasse vorkommt, ist ist [0], [0], also also kann kann man man nie nie [1] [1] erhalten. (b) (b) In In Z 6 sind 6 sind (nur) (nur) die die Restklassen [1] [1] und und [5] [5] invertierbar. Seite 24

13 Wie erkennt man, ob ob [a] [a] invertierbar ist? Möglichkeit: Man Man multipliziert [a] [a] mit mit allen allen Elementen von von Z n. n. Wenn sich sich als als Ergebnis einmal [1] [1] ergibt, dann dann ist ist [a] [a] invertierbar (und (und man man hat hat ein ein inverses Element gefunden), sonst nicht. Nachteil: Riesiger Aufwand! Möglichkeit: Mit Mit einer einer Multiplikationstafel: Man Man sucht in in der derzeile von von [a] [a] das das neutrale Element. Wenn man man es es findet, ist ist [a] [a] invertierbar. Nachteil: Riesiger Aufwand zur zur Berechnung der der Multiplikationstafel Möglichkeit: Ein Ein Traum! Man Man sieht sieht auf auf einen Blick, ob ob [a] [a] invertierbar ist, ist, indem man man die die Zahlen a und und n betrachtet. Seite 25 Das Kriterium für Invertierbarkeit Satz. Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl mit mit n Dann gilt: gilt: Eine Eine Restklasse [a] [a] ist ist genau dann dann ein ein invertierbares Element von von Z n, n, wenn die die Zahlen a und und n teilerfremd sind. sind. Beispiel: (a) (a) In In Z 9 sind 9 sind genau die die Elemente [1], [1],[2], [2],[4], [4],[5], [5],[7] [7] und und [8] [8] invertierbar sind. sind. (b) (b) In In Z 24 sind 24 sind folgende Elemente invertierbar: [1], [1],[5], [5],[7], [7],[11], [11],[13], [13], [17], [17],[19], [19],[23]. [23]. (c) (c) In In Z 23 sind 23 sind alle alle Elemente außer [0] [0] invertierbar. Beweis. Wir Wir zeigen zunächst nur nur eine eine Richtung, nämlich wenn invertierbar, dann dann teilerfremd und und weisen dann dann konstruktiv nach, dass dass die die andere Richtung auch auch richtig ist. ist. Seite 26

14 Beweis Richtung Voraussetzung: [a] [a] Z n hat n hat ein ein multiplikatives Inverses [a']. [a']. Das Das bedeutet [a] [a'] = [1]. [1]. Zu Zu zeigen: a und und n sind sind teilerfremd Nach Definition gilt: gilt: [a] [a'] = [a [a a']. a']. Also Also ist ist [a [a a'] a'] = [1]. [1]. Also Also ergeben sowohl a a' a' als als auch auch 1 bei bei Division durch n den den gleichen Rest, also also Rest Rest Somit gibt gibt es es eine eine ganze Zahl Zahl q mit mit a a' a a' = q n q n + 1 oder oder a a' a a' q n q n = Behauptung: ggt(a, n) n) = 1: 1: Sei Sei t t ein ein beliebige natürliche Zahl, Zahl, die die sowohl a als als auch auch n teilt. teilt. Dann teilt teilt t t auch auch a a' a a' und und q n, q n, also also auch auch (Hilfssatz 2.1.2(a)) die die Zahl Zahl a a' a a' q n q n = Also Also ist ist t t = Somit sind sind a und und n teilerfremd. Seite 27 Beweis Richtung Voraussetzung: ggt(a, n) n) = Zu Zu zeigen: [a] [a] hat hat Inverses. Beispiel: n = und und a = Erster Schritt: Berechnung des des ggt: ggt: = = = = = Also Also ist ist (wie (wie wir wir schon wissen) ggt(101, 35) 35) = Seite 28

15 Beispiel (Fortsetzung) Zweiter Schritt: Wir Wir lösen die die Gleichungen von von unten nach nach oben auf: auf: 1 = = = 4 1 (31 1 (31 7 4) 7 4) = = = 8 (35 8 ( ) 1 31) = = ( ) = Also: Also: = Das Das heißt: ergibt bei bei Division durch den den Rest Rest M.a.W.: [26 [26 35] 35] = [1], [1], also also [26] [35] = [1], [1], also also ist ist [26] [26] das das Inverse von von [35]. [35]. Hurra! Seite 29 Vielfachsummendarstellung Satz. Seien a und und b teilerfremde ganze Zahlen. Dann gibt gibt es es ganze Zahlen u und und v, v, so so dass dass gilt: gilt: 1 = ua ua + vb. vb. Man Man nennt die die Darstellung ua ua + vb vb eine eine Vielfachsummendarstellung des des ggt ggt von von a und und b. b. Beispiel: Sei Sei a = 18, 18, b = Dann ist ist 1 = ( 7) 41. Seite 30

16 Drei Sprachebenen Bei Bei der der Behandlung von von Restklassen kann kann man man drei drei mathematische Sprachebenen erkennen: Ebene der der Restklassen [a] [a] [b] [b] = [1] [1] Ebene der der modulo-rechnung: a b mod mod n = 1 Ebene der der ganzen Zahlen: a b = qn qn Bemerkungen: (a) (a) Man Man kann kann jede jede Aussage auf auf jeder jeder Ebene ausdrücken. (b) (b) Jede Jede Ebene hat hat Vorteile. (c) (c) In In jedem Fall Fall sollten Sie Sie die die Übersetzung von von einer einer Ebene zu zu einer einer anderen üben. Seite 31 Anhang: Zahlbereichserweiterungen Man Man nennt die die Mengen N, N, Z, Z, Q, Q, R zusammen mit mit ihren ihren Operationen (+, (+,,,,,.).) Zahlbereiche. Es Es handelt sich sich um um Erweiterungen in in dem dem Sinne, dass dass --die die Mengen ineinander enthalten sind sind (N (N Z Q R), R), --die die Operationen sich sich fortsetzen, und und --jeweils neue neue Operationen hinzukommen. Seite 32

17 NN Auf Auf der der Menge N der der natürlichen Zahlen kann kann man man unbeschränkt addieren und und multiplizieren (das (das bedeutet, dass dass die die Summe und und das das Produkt von von je je zwei zwei natürlichen zahlen wieder eine eine natürliche Za Zahl hl ist). ist). Man Man sagt sagt dafür dafür auch: Die Die Addition und und die die Multiplikation sind sind auf auf N abgeschlossen. Ferner besitzt N ein ein neutrales Element bezüglich der der Addition (die (die Zahl Zahl 0) 0) und und ein ein neutrales Element bezüglich der der Multiplikation (die (die Zahl Zahl 1). 1). Seite 33 ZZ Die Die ganzen Zahlen entstehen aus aus den den natürlichen Zahlen, indem man man noch noch die die negativen Zahlen hinzufügt. (Diese haben nichts Minderwertiges an an sich, sich, sie sie sind sind Zahlen so so gut gut wie wie die die natürlichen Zahlen auch. In In Z ist ist die die Subtraktion abgeschlossen. Anders ausgedrückt: Jede Jede ganze Zahl Zahl z hat hat eine eine inverse Zahl Zahl bezüglich der der Addition, nämlich z. z. Man Man nennt z z die die Gegenzahl zu zu z. z. Beispiel: 3 3 ist ist die die Gegenzahl zu zu 3, 3, 7 ist ist die die Gegenzahl zu zu Seite 34

18 QQ Man Man erhält die die rationalen Zahlen, indem man man fordert, dass dass die die Division unbeschränkt gelten soll, soll, d.h. d.h. dass dass jede jede Zahl Zahl? 0 ein ein multiplikatives Inverses haben soll. soll. Die Die Menge der der rationalen Zahlen besteht aus aus den den Bruchzahlen. (Achtung: 1/2 1/2 und und 2/4 2/4 sind sind verschiedene Brüche, stellen aber aber die die gleiche Bruchzahl dar.) dar.) Jede Jede Bruchzahl a/b a/b (a (a? 0) 0) hat hat ein ein multiplikatives Inverses, nämlich b/a. b/a. Seite 35 RR Die Die Menge Menge der der reellen reellen Zahlen Zahlen ist ist schwieriger zu zu beschreiben (siehe (siehe WGMS WGMS IV). IV). Sie Sie enthält enthält --alle alle Wurzeln 2, 2, 5, 137 5, auch auch Zahlen Zahlen wie wie π --allgemein alle alle Grenzwerte konvergenter Folgen. Eine Eine reelle reelle Zahl, Zahl, die die nicht nicht rational rational ist, ist, nennt nennt man man irrational. Beispiele: 2, 2, π sind sind irrational Seite 36