Ferienkurs Experimentalphysik 4

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1 Ferienkurs Experimentalphysik 4 Vorlesung Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms, Quantenmechanische Addition von Drehimpulsen, Korrekturen der einfachen Theorie des Wasserstoffatoms, Atome im Magnetfeld Markus Perner, Rolf Ripszam, Christoph Kastl

2 1 Das Wasserstoffatom In diesem Kapitel wollen wir Lösung der Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms besprechen. Als Einelektronensystem ist es neben den Ionen He +, Li ++, usw. das einzige Atom, für das die Schrödingergleichung exakt, d.h. analytisch, lösbar ist. Die Einsichten in die Physik des Systems, die wir in diesem Zusammenhang gewinnen, bilden die Grundlage für das Verständnis der komplexeren Verhältnisse bei den Mehrelektronenatomen. 1.1 Schrödingergleichung für Einelektronen-Atome Ausgangspunkt für die Untersuchung ist der Hamiltonoperator des Systems Ĥ = m K K m e e Ze 4πɛ 0 1 r K r e Der erste Term repräsentiert die kinetische Energie des Kerns mit Ladung Z e, der zweite die kinetische Energie des Elektrons und der dritte die potentielle Energie der Coulomb-Wechselwirkung zwischen Kern und Elektron. Wir wollen nun die Eigenzustände des Hamiltonoperators, d.h. die Lösungen der stationären Schrödingergleichung finden. Es handelt sich hierbei um ein Zweikörperproblem, das aber analog zur klassischen Mechanik durch Verwendung von Schwerpunktskoordinaten auf ein Einkörperproblem zurückgeführt werden kann. Man erhält für die Relativbewegung folgende Gleichung ] [ µ + V (r) ψ = Eψ mit der reduzierten Masse µ, welche den Effekt der Bewegung um den gemeinsamen Schwerpunkt von Kern und Elektron erfasst. µ = m e m K m e + m K Die Symmetrie des Coulombpotentials legt die Verwendung von Kugelkoordinaten nahe. Der Hamiltonoperator zerfällt dann in einen winkelabhängigen und in einen radialen Anteil. Unter Verwendung des Drehimpulsoperators ˆL = ˆr ˆp lautet die Schrödingergleichung [ ˆp r µ + ˆL ] µr + V (r) ψ = Eψ 1

3 1. Eigenschaften der Lösungen Das genaue Verfahren zur Lösung der Schrödingergleichung wollen wir hier nicht weiter verfolgen, sondern lediglich ihre Eigenschaften diskutieren. Die Lösung lässt sich schreiben als ψ(r, θ, φ) = R n,l (r) Yl m (θ, φ) Die Lösungsfunktionen hängen von drei ganzzahligen Parametern n, l, m ab. Dabei ist n = 1,,... die Hauptquantenzahl. 0 l n 1 die Drehimpulsquantenzahl. l m l die magnetische Quantenzahl. R n,l ist der radiale Anteil der Wellenfunktion. Yl m sind die sogenannten Kugelflächenfunktionen. Sie besitzen ihrerseits wieder eine Produktdarstellung Y m l = Pl m (cos θ)φ m (φ) und sind Eigenfunktionen von ˆL und zugleich von ˆL z. In den Eigenzuständen gilt ˆL = l(l + 1) ˆL z = m Die Quantenzahl l bestimmt den Betrag des Drehimpulses, während m den quantisierten Wert der Drehimpulskomponente in z-richtung angibt. Die Funktionen Pl m sind Polynome in cos θ. Φ m besitzt die einfache Form Φ m (φ) = 1 π e imφ Die möglichen Energien der Zustände ergeben sich zu E n = µz e 4 8ɛ 0h n = = 13.6 ev Z n Die Hauptquantenzahl n gibt also die Energie des Zustands an. Die quantenmechanische Berechnung mit Hilfe der Schrödingergleichung ergibt die gleichen Energieeigenwerte wie das Bohrsche Atommodell. Die Energie, der Drehimpuls und die z-komponente des Drehimpulses sind in einem stationären Zustand (n, l, m) Erhaltungsgrößen. Der Zustand ist durch die Angabe der Quantenzahlen, die mit den Erhaltungsgrößem verknüpft sind, eindeutig charakterisiert. Man spricht in diesem Zusammenhang von guten Quantenzahlen. Experimentelle Befunde haben gezeigt (Stern-Gerlach-Experiment), dass man dem Elektron neben dem Bahndrehimpuls noch einen Eigendrehimpuls S, den Spin, zuweisen

4 l Zustand m Zustand 0 s 0 σ 1 p 1 π d δ 3 g 3 φ 4 f 4 γ Tabelle 1: Bezeichungen der Zustände (l, m) muss. Nach den quantenmechanischen Regeln für Drehimpulse gilt für den Betrag S = s(s + 1) und für die z-komponente Sz = m s. Für das Elektronen findet man experimentell s = 1 m s = ± 1 Der Zustand des Elektrons wird somit nicht mehr durch drei Quantenzahlen (n, l, m l ), sondern durch vier Quantenzahlen (n, l, m l, m s ) charakterisiert. Da die Energie eines Zustandes nur von der Hauptquantenzahl n, nicht aber von l, m l, m s abhängt, gibt es für gegebenes n immer mehrere entartete Zustände. Die Anzahl der Zustände für gegebenes n ist n 1 g = (l + 1) = n l=0 Oft bezeichnet man die Zustände nach der Buchstaben-Nomenklatur die in Tabelle 1 angeben ist. Alle s-zustände (l=0) besitzen eine kugelsymmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung. Anschaulich kann man dies folgendermaßen verstehen: Für verschwindenden Drehimpuls ist keine Richtung im Raum ausgezeichnet. Die Lösung der Schrödingergleichung sollte somit die volle Symmetrie des Coulombpotentials, also die Kugelsymmetrie, wiederspiegeln. Summiert man die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten ψ n,l,m (r, θ, φ) bei festem n über alle erlaubten Werte von l und m, so ergibt sich die gesamte Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Zustand n. Sie ist immer kugelsymmetrisch. Man bezeichnet deshalb die Summe aller Zustände für einen festen Wert von n als eine Elektronenschale. 3

5 Quantenmechanische Addition von Drehimpulsen Der quantenmechanische Drehimpulsoperator kann in Analogie zum klassischen Drehimpuls definiert werden, wenn man die klassischen Größen durch die entsprechenden Operatoren ersetzt. ˆL = ˆr ˆp = i r Der so definierte Drehimpulsoperator erfüllt die folgenden, sogenannten fundamentalen Kommutatorrelationen: i ˆL x = [ˆL y, ˆL z ] i ˆL y = [ˆL z, ˆL x ] i ˆL z = [ˆL x, ˆL y ] Diese Gleichungen definieren einen abstrakten Drehimpuls. Jeder Operator Ĵ, für dessen Komponenten obige Kommutatorrelationen gelten, ist ein Drehimpulsoperator. Die Eigenzustände des Operators sind durch zwei Quantenzahlen j und m j charakterisiert. Ĵ und Ĵ z besitzen gemeinsame Eigenfunktionen, wobei die Eigenwerte von folgender Form sind Ĵ j(j + 1) j ganz- oder halbzahlig Ĵ z m j m j = j, j + 1,..., j 1, j Es ist oft notwendig, zwei Einzeldrehimpulse Ĵ1 und Ĵ zu einem Gesamtdrehimpuls Ĵ = Ĵ1 + Ĵ zu kombinieren. Es ist deshalb von Interesse, wie man die Eigenschaften von Ĵ aus denen von Ĵ1 und Ĵ ableiten kann. Zunächst stellen wir fest, dass der durch Ĵ = Ĵ1 + Ĵ definierte Operator auch tatsächlich ein Drehimpulsoperator ist, das heißt die Kommutatorrelationen erfüllt. Die Eigenzustände des Operators sind folglich durch die Quantenzahlen j und m j charakterisiert. Es stellt sich nun die Frage welche Werte j und m j annehmen können. Man kann zeigen, dass gilt j 1 j j j 1 + j j m j j Auf einen Beweis dieser Aussage wird an dieser Stelle verzichtet. Als Beispiel wollen wir die Quantenzahlen j und m j des Gesamtdrehimpulses eines Elektrons mit Bahndrehim- 4

6 puls l = 0, 1, und Spin s = 1 betrachten. l s j m j , 1 1-1, 1 3-3, - 1, 1, 3 3-3, - 1, 1, 3 5-5, - 3, - 1, 1, 3, 5 3 Korrekturen der einfachen Theorie des Wasserstoffatoms 3.1 Relativistische Korrektur der Energieterme Zur Berechung der Energieverschiebung gehen wir statt von der klassische Energie- Impulsformel T = p m von der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung aus. E = E 0 + c p Die kinetische Energie T eines Elektrons ergibt sich als Differenz zwischen Gesamtenergie E und Ruheenergie E 0 = m 0 c. T = p c + m 0c 4 m 0 c = m 0 c 1 + p m 0c m 0c Für p << m 0c können wir den Wurzelterm in eine Taylorreihe entwickeln. Wir berücksichtigen Terme bis zur 4.Ordnung in p. p 1 + p m 0c = m 0c 1 8 m 4 0c + 4 O(p6 ) = = 1 ) (m m 0 c 0 c + p p4 + O(p 6 ) m 0 8m 3 0c p 4 5

7 Einsetzen der Entwicklung ergibt T = m 0 c + p m 0 = T 0 E rel p4 8m 3 0c m 0c = p m 0 p4 8m 3 0c = Der zweite Term stellt die relativistische Korrektur der Energieterme dar. Zur Berechnung des Erwartungswertes der Energiekorrektur nehmen wir wie üblich die Ersetzung p i vor E rel = 4 ψ 8m 3 0c n,l,m 4 ψn,l,m d 3 r = = = E n [ Z α n ( 3 4n 1 ) ] + O(α 3 ) l + 1 / Für das Wasserstoffatom gilt natürlich Z = 1. Den dimensionslosen Faktor α bezeichnet man als Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante α = e 4πɛ 0 c Die relativistische Energiekorrektur ist im wesentlichen von der Größenordnung α Wir werden später sehen, dass auch die Energiekorrektur durch die Berücksichtigung der Spin-Bahn-Kopplung proportional zu α ist. 3. Magnetisches Moment Ein Elektron mit Drehimpuls L erzeugt auf Grund seiner Ladung e ein magnetisches Dipolmoment µ. Diese Tatsache können wir in einem halbklassischen Modell beschreiben, in dem die Bewegung des Elektrons auf einer klassischen Kreisbahn erfolgt, wobei der Drehimpuls die Quantenbedingung L = l(l + 1) erfüllt. Ein auf einer Kreisbahn mit Frequenz ν = v/(πr) umlaufendes Elektron stellt einen elektrischen Strom dar, der ein magnetisches Moment I = e ν = e v πr µ = I A = Iπr ˆn = evr ˆn erzeugt. A ist der Flächenvektor senkrecht zur Umlauffläche. Der Bahndrehimpuls des 6

8 Elektrons ist gegeben durch L = r p = m e rv ˆn Damit erhält man den Zusammenhang zwischen magnetischem Moment und Bahndrehimpuls Definiert man das Bohrsche Magneton als µ l = e m e L µ B = e m e kann man für das magnetische Moment schreiben µ l = µ B L Für das magnetische Spinmoment des Elektrons gilt µ s = g s µ B S Der Faktor g s heißt Landé-Faktor. Er kann mit einer relativistischen Quantenmechanik begründet werden. Die Energie eines magnetischen Dipols im homogenen Magnetfeld beträgt E = µb 3.3 Spin-Bahn-Kopplung Die Wechselwirkung des magnetischen Moments µ s mit dem Magnetfeld B l, das durch die Bahnbewegung des Elektrons erzeugt wird, wird als Spin-Bahn-Kopplung bezeichnet. Zur Berechnung der Spin-Bahn-Kopplung verwenden wir ein halbklassisches Modell. Wir nehmen an, dass sich das Elektron auf einer Kreisbahn mit Radius r um den Kern bewegt. Der Drehimpuls soll die quantenmechanische Bedingung L = l(l + 1) erfüllen. Um das Magnetfeld, das durch die Bahnbewegung verursacht wird, am Ort des Elektrons zu bestimmen, machen wir folgende Überlegung: Im Ruhesystem des Elektrons bewegt sich der Kern auf einer Kreisbahn um das Elektron, siehe Abb. 1. Diese Kernbewegung entspricht einem Kreisstrom, dessen Magnetfeld B l mit Hilfe des Gesetzes von Biot- Savart berechnet werden kann. Am Ort des Elektrons gilt: 7

9 Abbildung 1: Im Ruhesystem des Kerns bewegt sich das Elektron um den Kern (links). Im Ruhesystem des Elektrons kreist der Kern um das Elektron (rechts).[r. Gross, Vorlesung Experimentalphysik 4, 003] B l = Zeµ 0 4πr 3 v ( r) = Zeµ 0 4πr 3 r v = = Zeµ 0 4πr 3 m e L mit L = m e r v. Man beachte, dass im Ruhesystem des Elektrons die Kernposition durch r gegeben ist. Für die Energieaufspaltung durch die Wechselwirkung des magnetischen Spinmoments mit dem Magnetfeld ergibt sich dann mit g s. µ B E LS = µ s B l = g s Zeµ 0 (L S) 4πm e r3 E n,l,s = E n + Ze µ 0 (L S) 8πm 3 er Hierbei wurde schon der sogenannte Thomas-Faktor beachtet. Denn bei der Rücktransformation ins Ruhesystem des Elektrons ergibt sich bei genauer relativistischer Betrachtung auf Grund des Elektronenspins ein zusätzlicher Faktor 1 /. Durch den Kopplungsterm kommutieren S z und L z nicht mehr mit dem Hamiltonoperator, das heißt S z und L z sind keine Erhaltungsgrößen mehr. Deshalb geht man zur Beschreibung des Systems über zum Gesamtdrehimpuls J = L + S Man kann zeigen, dass in diesem Fall J und J z Erhaltungsgrößen sind. Das System wird dann durch die Quantenzahlen j und m j beschrieben. Mit Hilfe von J können wir das Skalarprodukt L S weiter auswerten. Durch Quadrieren der Definitionsgleichung 8

10 erhält man J = (L + S) = S + L S + L S L = 1 ( J L S ) = 1 [j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)] Zur Berechnung der Spin-Bahn-Kopplungsenergie benötigen wir noch den Wert des Faktors 1 /r 3. Bei der Herleitung hatten wir Gebrauch von einer klassischen Betrachtung gemacht und angenommen, dass sich das Elektron in einem wohldefinierten Abstand r auf einer Kreisbahn um das Proton bewegt. Quantenmechanisch gesehen befindet sich das Elektron natürlich nicht auf einer definierten Bahn und wir können nur die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in einem bestimmten Volumenelement bestimmen. Wir können allerdings den Erwartungswert des Terms 1 /r 3 und somit die mittlere Spin-Bahn-Kopplungskonstante ā berechnen. ā = µ 0Ze 8πm e φ n,l,m 1 r 3 φ n,l,mdr Berücksichtigt man sowohl die relativistischen Korrekturen, als auch die Spin-Bahn- Kopplung so ergibt sich, dass die Energie der Zustände des Elektrons nicht von der Bahndrehimpulsquantenzahl l abhängt. Alle Zustände mit gleichen Quantenzahlen n und j haben die gleiche Energie. Das Ergebnis ist die Feinstruktur der Wasserstoffatoms. (Man beachte E n < 0) E n,j = E n + E rel + E LS = [ ( = E n 1 + Z α 1 n j + 1 / 3 )] 4n In komplexeren Atomen ist es nicht ohne weiteres möglich, das Magnetfeld, in dem sich das Elektron bewegt, zu berechnen. Deshalb schreibt man die Spin-Bahn-Kopplung auch in folgender Form µ B E LS = µ s B l = g s S B l cos ( S, L) = µ B = g s S B S L l S L = = g sµ B B l 1 [j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)] = l(l + 1) = a [j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)] 9

11 mit der Spin-Bahn-Kopplungskonstanten. a = g sµ B B l l(l + 1) Abbildung : Aufspaltung durch Spin-Bahn-Kopplung und relativistische Energiekorrektur. Niveaus mit gleichem j und n sind energetisch entartet. [R. Gross, Vorlesung Experimentalphysik 4, 003] 3.4 Lamb-Verschiebung Durch höchstauflösende Spektroskopie am Wasserstoffatom stellte es sich heraus, dass durch die Berücksichtigung relativistischer Korrekturen und der Spin-Bahn-Kopplung das Spektrum des Wasserstoffatoms immer noch nicht vollständig beschrieben werden kann. Eine weitere Korrektur stellt die sogenannte Lamb-Verschiebung dar, die im Rahmen der Quantenelektrodynamik erklärt werden kann. Die physikalische Ursache der Lamb-Verschiebung ist die Tatsache, dass das Elektron innerhalb der Grenzen der Unschärferelation E t virtuelle Photonen emittieren und absorbieren kann ohne die Energieerhaltung zu verletzen. Durch den Rückstoß bei der Emission und Absorption führt das Elektron eine Zitterbewegung um den Kern aus, was zu einer Verschiebung der Energieniveaus in der Größenordnung von 10 6 ev führt. Infolgedessen fallen Energieniveaus mit gleichem n und j aber unterschiedlichem l nicht exakt zusammen. 10

12 3.5 Hyperfeinstruktur Untersucht man die Feinstruktur des Wasserstoffatoms mit sehr hoher Auflösung, so stellt man fest, dass die Feinstrukturkomponenten ihrerseits eine Substruktur besitzen. Diese sehr kleine Aufspaltung, die man nur mit dopplerfreien spektroskopischen Methoden auflösen kann, nennt man die Hyperfeinstruktur. Ursache der Hyperfeinstruktur ist die Tatsache, dass wir dem Kern ebenso wie dem Elektron einen Eigendrehimpuls I zuordnen müssen, den sogenannten Kernspin. Analog zur Spin-Bahn-Kopplung müssen wir deshalb die Wechselwirkung des Kernmoments mit dem Magnetfeld, das durch den Gesamtdrehimpuls des Elektrons erzeugt wird, berechnen. Das magnetische Kernmoment ergibt sich zu µ i = g i µ K I mit dem Kern-g-Faktor g i und mit dem Kernmagneton µ K = e m p Man sieht sofort µ K µ B = m e m p = Da die Größe der Aufspaltung wesentlich vom Betrag des Kernmoments bestimmt wird, ist die Aufspaltung auf Grund der Hyperfeinstruktur ungefähr um obigen Faktor kleiner als auf Grund der Feinstruktur. Die Energie im Magnetfeld B j des Elektrons beträgt im halbklassischen Modell E = µ i B j = µ i B j cos ( (J, I)) = µ K = g i I B J I j J I Das weitere Vorgehen ist analog zur Spin-Bahn-Kopplung. Zur Auswertung des Skalarprodukts führen wir den Gesamtdrehimpuls F = J + I ein. Die Hyperfeinenergie beträgt dann E HFS = A [f(f + 1) j(j + 1) i(i + 1))] mit der Hyperfeinkonstanten A = g iµ K B j j(j + 1) Man beachte, dass die Berechnung des Magnetfelds B j im allgemeinen sehr komplex ist. 11

13 Die Struktur der Hyperfeinaufspaltung ist in der obigen Darstellung jedoch sehr einfach zu erkennen. Die Zahl der Hyperfeinkomponenten entspricht der Anzahl der möglichen Realisierungen von F. Für das Proton gilt i = 1, g i = 5.59 Der Gesamtdrehimpuls kann somit nur zwei Werte annehmen f = j ± 1 Jede Feinstrukturkomponente spaltet damit in zwei Hyperfeinstrukturkomponenten auf. 3.6 Vollständiges Termschema des Wasserstoffatoms Abbildung 3: Vollständiges Termschema des Wasserstoffatoms mit allen bisher bekannten Wechselwirkungen. Die Fein- und Hyperfeinstruktur, sowie die Lamb- Verschiebung sind aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht maßstabsgerecht gezeichnet [Gross, Vorlesung Experimentalphysik 4, 003]. 1

14 4 Verhalten im Magnetfeld 4.1 Normaler Zeeman-Effekt Wir wollen nun den Einfluss eines äußeren Magnetfeldes auf die Energieniveaus untersuchen. Der Spin des Elektrons soll zunächst noch vernachlässigt werden. In einem äußeren Magnetfeld B ist die potentielle Energie eines magnetischen Dipols mit dem magnetischen Moment µ l gegeben durch E = µ l B Im Falle des Elektrons mit Bahndrehimpuls L erhalten wir E = µ B L B Wir betrachten ein homogenes Magnetfeld in z-richtung. In Richtung des Magnetfeldes kann der Drehimpuls nur die diskreten Werte m annehmen E = µ B m B = µ B m B mit dem Bohrschen Magneton µ B = JT 1 Der Abstand zweier benachbarter Linien ist = evt 1 E = E m+1 E m = µ B B(m + 1 m) = µ B B evt 1 B Die zu einer Quantenzahl l gehörenden entarteten Energieniveaus spalten in einem äußeren Magnetfeld aufgrund des mit dem Bahndrehimpuls verknüpften magnetischen Moments in l + 1 äquidistante Niveaus auf. Dieser Effekt heißt normaler Zeemann- Effekt. Die Aufspaltung liegt in der Größenordnung von 10 5 ev. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass der Spin des Elektrons bisher vernachlässigt wurde. Die obigen Betrachtungen gelten deshalb nur für Systeme mit S = 0. 13

15 4. Anomaler Zeeman-Effekt Bei Berücksichtigung des Spins ist die Aufspaltung der Atomzustände in einem Magnetfeld im Allgemeinen komplizierter als dies in Abschnitt 4.1 durch den normalen Zeeman- Effekt beschrieben wurde. Das magnetische Moment setzt sich dann aus einem Bahnund einem Spinmoment zusammen. µ j = µ B (L + g ss) Abbildung 4: Magnetisches Moment und Gesamtdrehimpuls sind für S 0 nicht mehr parallel. Wie Abb. 4 zeigt, ist das magnetische Moment µ j nicht antiparallel zum Drehimpuls J. Der zeitliche Mittelwert des magnetischen Moments µ j ist gleich der Projektion von µ j auf J. µ j = µ j J J = = µ B ( L J J ) S J + g s J Mit J = L + S stellen wir die Skalarprodukte wieder als Summe von Betragsquadraten dar L J = 1 [ J + L + S ] = 1 [j(j + 1) + l(l + 1) s(s + 1)] S J = 1 [ J L + S ] = 1 [j(j + 1) l(l + 1) + s(s + 1)] 14

16 mit g s erhalten wir Der Landé-Faktor g j ist definiert als 3j(j + 1) + s(s + 1) l(l + 1) µ j = µ B = j(j + 1) J = g j µ B g j = 1 + j(j + 1) + s(s + 1) l(l + 1) j(j + 1) Die Zusatzenergie E in einem homogenen Magnetfeld, das in z-richtung orientiert ist, beträgt E = µ j z B = m j g j µ B Damit erhalten wir die Aufspaltung zwischen zwei benachbarten Zeeman-Komponenten zu E = g j µ B B Die Aufspaltung ist für gegebenes j und l äquidistant. Im Gegensatz zum normalen Zeeman-Effekt hängt hier die Größe der Aufspaltung von j und l ab, so dass im allgemeinenen mehr Spektrallinien auftreten. 4.3 Paschen-Back-Effekt Wir haben bisher den Fall betrachtet, dass das durch die Bahnbewegung des Elektrons erzeugte Magnetfeld viel größer ist als das externe Feld. In diesem Fall bleibt die Kopplung von L und S zu J erhalten. Bei genügend starken Magnetfeldern ist die Wechselwirkung der beiden magnetischen Momente µ l und µ s mit dem Magnetfeld stärker als die Spin-Bahn-Kopplung. S und L koppeln dann nicht mehr zum Gesamtdrehimpuls. Die z-komponenten orientieren sich unabhängig voneinander längs der Magnetfeldrichtung gemäß den Quantisierungsregeln L z = m l und S z = m s. Die magnetische Zusatzenergie ist dann gegeben durch E = µ B (L B + g ss B) = µ B (m l + g s m s )B Sowohl für den Paschen-Back-Effekt, als auch für den Zeeman-Effekt gilt: Will man ebenfalls den Kernspin berücksichtigen, muss man beachten, dass das Feld B j, das von der Elektronenhülle am Kernort erzeugt wird, sehr stark ist (10 T < B j < 100 T). Dieses muss also zusätzlich berücksichtigt werden. Für eine kurze Diskussion siehe z.b. Hak- 15

17 en, Wolf, Atom- und Quantenphysik, Kapitel 0.5. Für den Fall eines verschwindenden Drehimpulses L = 0 der Elektronenhülle, wird am Kern kein intrinsisches Magnetfeld erzeugt. Die Aufspaltung im Megnetfeld lautet dann E = g s m s µ B B g i m i µ K B Man beachte das negative Vorzeichen des Kernspinanteils, das aus dem positiven Kernmoment resultiert. 4.4 Anwendbarkeit auf komplexere Atome Viele Überlegungen aus den vorherigen Abschnitten gelten auch für komplexe Mehrelektronenatome. Man muss dabei nur die jeweilige Kopplung der Drehimpulse und Spins des Elektronensystems beachten. Insbesondere gilt für die Spin-Bahn-Kopplung und für die Hyperfeinstruktur E LS = a [j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)] E HFS = A [f(f + 1) j(j + 1) i(i + 1))] 16