Lyapunov-Exponenten. Analyse des Langzeitverhaltens ( t ) eines physikalischen Systems:

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1 Analyse des Langzeitverhaltens ( t ) eines physikalischen Systems: - t tritt bei konkreten beobachteten Systemen nicht auf t >> τ (τ: charakteristische Systemzeit) - t: Dauer der Beobachtung, Prognosezeitraum,... - Langzeitverhalten: (erste) Klassifizierung von dynamischen physikalischen Systemen

2 Arten des Langzeitverhaltens: - unbeschränktes Wachstum tritt konkret nicht auf; bei Modellen: zeitliche Stabilisierung oder Modellwechsel - beschränkte Dynamik - Fixpunkt/Ruhepunkt/Gleichgewichtspunkt - periodische oder quasi-periodische Bewegung - chaotische Bewegung - Frage wie stabil ist die Dynamik/wie ändert sich die Dynamik? bei Änderung der Kontrollparameter bei Übergang zu benachbartem Punkt im Phasenraum

3 Stabilitätsdogma (Andronov & Pontryagin, 30iger Jahre): Da alle mathematischen Modelle Vereinfachungen, Abstraktionen sind, sollten anwendungsrelevante Modelle strukturell stabil sein. aber einfache Modelle aus physikalisch akzeptablen Bausteinen sind strukturell instabil (vgl. starke/schwache Kausalität) welche Zustände führen zu gleichem/ähnlichen Langzeitverhalten? Lyapunov-Stabilität

4 Def.: Eine Trajektorie Φ t ( x 0 ) heißt Lyapunov-stabil, wenn sie mit einem ε-schlauch umgeben werden kann und man dabei eine δ-umgebung findet, so daß Trajektorien, die in dieser δ-umbegung starten, für alle künftigen Zeiten innerhalb des ε-schlauches verlaufen: ε > δ = δ ( ε), y x y < δ, Φ( x ) Φ( y ) < ε t

5 chaotische Trajektorien sind Lyapunov-instabil: Divergenz: benachbarte Trajektorien bewegen sich mit der Zeit exponentiell auseinander (Strecken) Konvergenz: Auseinanderlaufen der Trajektorien mit endlichem Abstand der Startpunkte nur bis Maximalabstand (wenn Attraktor kompakt), danach wird Abstand wieder kleiner (Falten)

6 "The exponential divergence or convergence of nearby trajectories is conceptually the most basic indicator of deterministic chaos." (Sano & Sawada, 985)

7 exponentielle Divergenz und Konvergenz sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen, Störungen reelle Zahlen, beschreiben Stabilität im Rahmen der Störungsanalyse Predictability: Does the Flap of a Butterfly s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas? E. Lorenz, December 972. Meeting of the American Association for the Advancement of Science in Washington, D.C.

8 Störungsanalyse: δx sei eine kleine (differentielle) Störung in den Anfangsbedingungen dx dt d( x + δx) dt = f ( x) = f ( x + δx) = f ( x) + δxd + O( 2) Taylorreihenentwicklung f ( x) D f ( x) Jacobi-Matrix

9 Störungsanalyse: mit lokaler Linearisierung: wird die unter dem Einfluß der Störung vorliegende Abweichung von der Trajektorie ausgedrückt durch: mit λ = Lyapunov-Exponent. dδx dt = δxd f ( x ) δx( t) = δx( 0) e λ t

10 im m-dimensionalen Phasenraum: -Lyapunov-Spektrum λ i, i =,..., m Wachstumsraten in verschiedenen lokalen Richtungen im Phasenraum Relation zur Divergenz: divf = λ i i dissipatives System: < 0 i λ i größter Lyapunov-Exponent λ reguläre Dynamik chaotische Dynamik stochastische Dynamik stabiler Fixpunkt λ = 0 λ > 0 λ λ < 0

11 Veränderung des größten der logistischen Abbildung bei Ändern des Kontrollparameters r

12 Bestimmung der : - Spektrum i.a. schwierig (Rauschen, Fehlerfortpflanzung) (Sano & Sawada, 985; Eckmann et al., 986; Stoop & Parisi, 99) - Beschränkung auf größten λ (Wolf et al. 985; Rosenstein et al., 993; Kantz, 994)

13 Bestimmung des größten (I): - bestimme geeignete Referenztrajektorie x(t) (typischer Startpunkt und möglichst viele Punkte in dessen Umgebung) - suche benachbarte Trajektorie y (t) bestimme Anfangsabstand Abstand nach T Zeitschritten d ( 0) = x( 0) y ( 0) d ( T) = x( T) y ( T) berechne Streckungsfaktor ( ) Λ( ) = d T d ( 0) Wahl von T: zu klein Rauschen dominiert, zu groß Attraktorgrenzen schnell erreicht

14 Bestimmung des größten (II): - suche neue benachbarte Trajektorie y 2 (t) zu x(t) (mit kleinem Abstandsbetrag und möglichst gleicher Orientierung) bestimme Anfangsabstand Abstand nach 2T Zeitschritten berechne Streckungsfaktor d ( 0) = y ( 0) x( T) 2 2 d ( T) = y ( T) x( T) ( ) Λ( 2) = d T d ( 0) 2 - suche neue benachbarte Trajektorie y (t) zu x(2t) - wiederhole l-mal 3

15 Bestimmung des größten (III): - nach l Wiederholungen Λ( l) = dl( T) d ( 0) l - größter Lyapunov-Exponent: λ ( T) = ln ( l) T Λ l ln (<Λ(l)>) Steigung ~ λ beachte: m 2D + 0 Zeitschritte T

16 - dynamisches Maß der Attraktor-Eigenschaften - Klassifizierung von Attraktoren mit Vorzeichen aus Lyapunov- Spektrum - Stabilitätseigenschaften eines Systemzustandes - mittlerer Informationsverlust bzgl. der Anfangsbedingungen aufgrund der Wirkungsweise einer i.a. nichtlinearen Funktion - mittlere Prädiktionszeit T p j+ i= λ i log( ρ ) ρ: Lokalisationsgenauigkeit des Anfangszustandes j+: Index des letzten positiven