Erhaltungsgleichungen und Differentialgleichungen. Arezou Cholongar. Wintersemester 2010/11

Transkript

1 Erhalungsgleichungen und Differenialgleichungen Arezou Cholongar Winersemeser 00/

2 Arezou Cholongar(Universiä Trier) Inhalsverzeichnis Einleiung Erhalungssaz. Die Advekionsgleichung.. Variablen Koeffizienen. Diffusion und die Advekion-Diffusionsgleichung

3 .3 Wärmeleiungsgleichung.4 Quellerme.4. Eerne Wärmeuellen.4. Reakionsfluss

4 Arezou Cholongar(Universiä Trier) Einleiung : Die Länge des Rohres : Die Zei : Die bekanne Geschwindigkei der Flüssigkei : Die Diche des chemischen Tracers (.) Berache : das einfachsmögliche flüssige Dynamik-Problemindem ein Gas oder Flüssigkeidie einen Schadsoff enhäldurch ein eindimensionales Rohr fließ.

5 Arezou Cholongar(Universiä Trier) m v wird gemessen in d :Die Gesammasse des Tracers in zur Zei : Die Flussrae des Tracers an den fesen Punken (i=) F i o o F i F i g m >0 : Die Flüsse fließen nach rechs <0 : Die Flüsse fließen nach links i o F i wird gemessen in g s

6 Erhalungssaz d d d F F (.) und F sellen beide Flüsse in das Inervall dar. F Das is die Inegralform eines Erhalungssazes. u Fluss (.3) u Fluss f (.4) Annahme: u u konsandann Fluss f u Die Gleichung wird auonom genann. (.5)

7 Arezou Cholongar Dann gil es: (.6) (.7) Annahme: und hinreichend gla (.8) (.9) Die Differenzialform des Erhalungssazes: (.0) Schreibweise: (.) f f d d d f f d f d d d 0 d f 0 f 0 f Arezou Cholongar(Universiä Trier)

8 Die Advekionsgleichung Fluss f u u 0 (.) Die allgemeine Lösung : (.3) Charakerisiken : Enlang Charakerisiken: d X 0 X d 0

9 Denn d d d d X 0 X X X X 0. u (.4) Zur Besimmung der Funkion in o Anfangsbedingungen o Randbedingungen

10 Anfangswerproblem für die lineare Advekionsgleichung u 0 Anfangsbedingung 0 o (.5) eake Lösung: Anfangsdaen werden enlang der Charakerisiken verschoben 0 0 u

11 0 u 0

12 Anfangsrandwerproblem für die lineare Advekionsgleichung: u 0 Anfangsbedingung: a b u 0 Randbedingung: Charakerisiken: a g 0 0 Enlang der Charakerisiken: d 0 d

13 Arezou Cholongar Lösung : a b a b (a) (b) b u a / u u a g 0 u a a Arezou Cholongar(Universiä Trier)

14 ... Variablen Koeffizienen u 0 (.6) Charakerisiken erfüllen: X 0 0 Enlang Charakerisiken gil: X u X (.7) d d X X X X u X u X ux X X u (.8)

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16 . Diffusion und die Advekion-Diffusionsgleichung Nach Fick s Saz der Diffusion: : Diffusionskoeffizien. (.0) Diffusionsgleichung: (.) f (.) Ganz allgemein würde sowohl Advekion als auch Diffusion gleichzeiig aufreen. f u Dies is die Advekion-Diffusionsgleichung. u (.3)

17 .3.Wärmeleiungsgleichung Die Wärmeleiungsgleichung: :Temperaur des Maerials(z.B.ein Meallsab) Die Diche der inneren Energie an der Selle E : die Wärmekapaziä des Maerials Fourier s Saz der Wärmeleiung: : die Wärmeleifähigkei des Soffes.

18 die Erhalungsgleichung der Wärmeleiung : d d d (.4) Differenzialform: wenn sich mi der Zei nich änder (.5) (.6) f 0 (.7) Dies is eine Verallgemeinerung des Erhalungssazes

19 .5 Quellerme : die Gesammasse : die Dichefunkion der Quelle dann gil es: d d d f d d Schreibweise: f (.8)

20 .5. Eerne Wärmeuellen berachen die Wärmeleiung in einem Sab Annahme: konsan :Diche der eernen Energieuelle enlang des Sabs Unabhängigkei der Wärmeuelle von der akuellen Temperaur

21 Berache ein Sab in einer Flüssigkei : eine konsane Temperaur der Flüssigkei Wärmefluss in den Sab an der Selle 0 dann D 0 D: der Leifähigkeiskoeffizien zwischen dem Sab und dem Bad.

22 Reacing Flow u u Konsan : die Diche eines radioakiven Isoops : die Diche anderes radioakiven Isoops : die Zerfallrae Dies ha die Form u u A A ui. (.9)

23 Reakion-Advekion-Diffusionsgleichung A. (.30) : eine Diagonalmari.

24 Danke für Ihre Aufmerksamkei