Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B

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1 Prof. Dr.-Ing. Joachim Böcker Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite von 6 Version vom 6. September 3

2 Aufgabe : Übertragungsfunktion, komplexe Wechselstromrechnung (3 Punkte). Ermitteln Sie allgemein die komplexen Widerstände Z und Z in Abhängigkeit der Bauteilparameter. Berechnen Sie ferner für die gegebenen Bauteilwerte die Kennkreisfrequenz ω und den Kennwiderstand Z für das Netzwerk Z als auch die Zeitkonstante τ des Netzwerks Z. (3 Punkte) Für Z gilt: = Z jω + jωc = ω C jω Z = jω ω C = j ω ω Z ω ω Zahlenwerte einsetzen liefert: ω = Für Z gilt: ه 9 ممF 3 H = 6 مم s Z = R+ + jωτ = R jωc jωτ Zahlenwerte einsetzen liefert: 5mF=,5msممτ=5mΩ mit ω ه = C, Z = Z = mit τ=rc 3 H 9 F = kω. Zeichnen Sie maßstäblich das komplexe Zeigerdiagramm von Z und Z für eine Frequenz von f = 5 Hz. Ermitteln Sie graphisch Betrag und Phase der Reihenschaltung Z + Z. (Maßstab:,Ω cm) (,5 Punkte) Im C Z =j,3ω Z =.5Ω-j,64Ω Re Z +Z =,5Ω-j,33Ω Abbildung.: ösungsskizze für Aufgabe. Einzeichnen der komplexen Zeigen Z und Z in Abb.. führt zu: Z + Z =,5Ω j,33ω=,44ωممe j5, Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite von 6

3 3. Die beiden Netzwerke werden nun parallel geschaltet (U = U 3 ). Stellen Sie die komplexe Übertragungsfunktion H( jω)= U 4 U allgemein in Abhängigkeit der Bauteilparameter auf. ( Punkte) Das Netzwerk Z hat aufgrund der Parallelschaltung keine Auswirkung auf H( jω).es gilt: H( jω)= U 4 = U 4 = I R = R = jωτ U U 3 I Z Z + jωτ 4. Untersuchen Sie das Verhalten von H( jω) für ω >> /τ und ω << /τ. Ermitteln Sie hierzu die Geradennäherung für beide Frequenzbereiche und skizzieren Sie diese jeweils getrennt nach Betrag und Phase in logarithmischer Darstellung. (,5 Punkte) Zunächst Aufteilung nach Real- und Imaginärteil: H( jω)= jωτ + jωτ = (ωτ) + jωτ +(ωτ) Dann Darstellung von Betrag und Phase: H( jω) = ωτ (ωτ) + +(ωτ) H( jω)=arctan ( ) ωτ Berechnung des Amplituden- und Phasengangs für kleine und große Frequenzen anhand der Geradennäherung: ωτ>> : H( jω) db ى dblog()=db H( jω)ىarctan()= ωτ<< : H( jω) db ى dblog(ωτ) H( jω)ىarctan( )=9 H(jω) in db arg{h(jω)} in ωτ db/dek ωτ Abbildung.: ösungsskizze für Aufgabe.4 5. Das weiterhin parallel geschaltete Gesamtnetzwerk werde nun an eine Spannungsquelle U = 5 Ve jφ t mit φ = und der Frequenz ω = ω angeschlossen. Erläutern Sie allgemein (ohne Rechnung), ob und warum das Netzwerk in diesem Fall kapazitives oder induktives Verhalten aufzeigt. ( Punkt) Da auf das Netzwerk eine Wechselspannung mit der Kreisfrequenz ω = ω geschaltet wird, befindet sich Z in Resonanz. Daher kompensieren sich und C. Es verbleibt das RC-Glied Z, sodass die Gesamtschaltung ebenfalls kapazitives Verhalten aufzeigt Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 3 von 6

4 Aufgabe : Ausgleichsvorgang, Schwingkreis (3 Punkte). a) C= Q = U = Q U C = مم 5 3 As V As 6 مم 5 = 45 V b) u (t = + )= U c) Da die Spannung u (t) an der Kapazität C zum Zeitpunkt t = + stetig verlaufen muss. i (t = + )= Da der Strom i (t) durch die Induktivität zum Zeitpunkt t= + stetig verlaufen muss.. u (t)= di (t) dt i (t)= C du (t) dt = C u (t)+ d u (t) dt Allgemeiner ösungsansatz: u (t)=e s t =( C + s ) e s t ف= s j C u (t)=a e + j C t + B e j C t u (t)=(a+b) cos( t)+ j (A B) sin( C C t) Anfangsbedingungen: u (t = )= U Ausserem muss die Spannung an einer Kapazität muss stetig verlaufen! = u (t)=r(u (t)) u (t)= U cos(ω t) Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 4 von 6

5 mit ω = C und A+B= U. i (t)= u (t) dt i (t)= U sin(ω t) Z مم 5 Z = C = 3 V s 6 A s = Ω مم 5 ω = C = VA VA 9 مم 5 مم 3 مم 5 s = s 3. t = 3 π = πمم 3 5 s= مم ω π ms u = t t u (t) dt = ω 3 π Aus Skizze wird ersichtlich, dass U U U 3 π ω 5 π U cos(ω t) dt 5 π 5 π t in ms u = U π ω ω 3 π U = t t u (t) dt = ω 3 π ω cos(ω t) dt = U 3 π 3 π ω ω U cos (ω t) dt مم 45 = πمم 3 95,5 ىV V U U U 5 π 5 π U t in ms 5 π U = ω U 3 π ( 3 π ω 3 π dt+ ω U = U ه ه = 45 38, ىV V ) cos( ω t) dt = U Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 5 von 6

6 4. u (t )= di (t ) dt u (t )=R i (t ) = R i (t )+ di (t ) dt Allgemeiner ösungsansatz: u (t )=e s t =( R t + s) es s= R = τ i (t )=A e t τ Anfangsbedingungen: i (t = )= U Z = A i (t )= U e t τ Z mit τ= R = مم 5 πمم 3 VA s VA = 5 π ms= t Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 6 von 6

7 I/A i (t) τ π ω 5 π t/ms π 5 π 5 π π 5π Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 7 von 6

8 Aufgabe 3: Tiefsetzssteller (3 Punkte). Tiefsetzsteller. ق V ق U 5V 3. Siehe Abbildung i = I max I min = i DTمم S = u (T = an) D = U U DT s i = D( D)U T s = U ( T s D D ) 5. i = max d i dd! = d i dd = U T s ( D)! = = D D= D= i = U T s ( D D ) = i U T s ( D D ) =,4A 5V khz (,5,5)=,565mH Schnell ط 6. Über Formfaktor Dreiecksfunktion: هîC I C = 3 =,A = 5,47mA Clever ط ه Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 8 von 6

9 Abbildung 3.: ösung Teilaufgabe Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 9 von 6

10 I C = I C = TS i C (τ)dτ (,5DTS,5DTS TS ) ic (τ)dτ+ ic (τ)dτ+ ic (τ)dτ,5d D,5D 4 TS i T (τ)dτ S,75 ] (τ,75 ) dτ ) τ dτ i C (τ)dτ+ DTS D =,5 4 identische Flächen I C = I C = I C = I C = I C = I C = I C = 4 4 TS [ 4iC,max,75,5TS ( 4iC,max 64i C,max T 3 S 64i C,max T 3 S 64i C,max T 3 S 3 i C,max,5TS ( 3 τ3 3 T 3 S 64 τ dτ ),5 I C i C,max I C I C = ه 3 i C,max = i = ه 3 i = ه 3,A=5,47mA ط Zu Fuß Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite von 6

11 I C = I C = I C = I C = TS ( DTS DTS,5TS,5TS i C (τ)dτ ( i i ( i i C (τ)dτ+ TS ) ic (τ)dτ D ) TS τ dτ+ D D ) dτ+ i τ ( i 4 i TS ( 3 i,5 + i ) τ dτ D + i ) τ dτ,5 ( 3 i TS IC = τ+ 4 i TS τ )dτ+ IC = i,5t 4 τ S i τ,5 + 4 i τ 3 TS i T 4 τ S 6 i τ,5 + 4 i τ 3,5 3 I C I C = i 8 i TS i TS T 3 S i 4 9 i 8 6 i TS + 6 i,5,5, i ( 9 i 4 τ 6 i + 4 i τ TS i = 8 i 4 i + 6 i i 9 8 i 3 i i i 6 i IC = i I C = ه 3 i = ه,A=5,47mA 3 4 ) dτ Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite von 6

12 Aufgabe 4: Magnetischer Kreis (3 Punkte) Gegegeben sei der in Abbildung 4. dargestellte magnetische Kreis. Der Querschnitt A kann in der gesamten Anordnung als konstant angenommen werden. Weiterhin kann die Streuung des magnetischen Flusses vernachlässigt werden. Die Senkundärwicklung N wird nicht belastet. A u (t) i (t) 3 3 i (t) = A N N u (t) N Abbildung 4.: Magnetischer Kreis Der Eingangsstrom sei gegeben durch folgenden Verlauf. i (t)=i sin(ωt) (4.) Bestimmen Sie alle Ausdrücke allgemein, ohne Zahlenwerte.. Zeichnen Sie das Reluktanzmodell des magnetischen Kreises und bestimmen Sie die magnetischen Widerstände. ϕ (t) V A ϕ (t) ϕ (t) 3Rm V A Rm 3Rm Θ (t) Θ (t) u (t) Abbildung 4.: Gefordertes Reluktanzmodell Der magnetische Widerstand berechnet sich zu: R m = µa (4.) Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite von 6

13 . Bestimmen Sie den magnetischen Fluss, der durch die Wicklung N fließt. Berechnung mit dem Knotenpotentialverfahren: Hierzu wird eine neue magnetische Verbraucherspannung V A zwischen dem oberen und unterem Knotenpunkt definiert. Der Knotenpunktsatz ergibt sich nun zu: Θ V A 3R m Θ V A R m Die Auflösung nach V A ergibt: V A 3R m = (4.3) V A = (N 3N )i(t) 5 (4.4) Mit Hilfe dieser Knotenspannung kann der Fluss φ (t) direkt bestimmt werden: φ (t)= V A 3R m = (N 3N )i(t) 5R m (4.5) 3. Bestimmen Sie die Spannung u (t). Bei Beachtung der enz schen Regel erhält man: u (t)= dψ dt = N dφ dt = N I ω(n 3N ) 5R m cos(ωt) (4.6) 4. Bei welchem Verhältnis N N hat die Spannung u (t) den geringsten Scheitelwert û? Bei N 3N = ist der Scheitelwert û =. N N = 3 (4.7) 5. Bestimmen Sie den Spannungsverlauf u (t) an der Stromquelle. Die Spannung an der Stromquelle kann mit Hilfe des Maschensatzes aus den Teilspannungen der Wicklungen N und N bestimmt werden. u (t)=u (t)+u (t) (4.8) Um die Teilspannungen zu erhalten werden zunächst die beiden Flüsse φ und φ bestimmt. Zu deren Ermittlung kann abermals die Knotenspannung V A verwendet werden: φ = N i(t) V A 3R m 4N + 3N =مممممم= 5R m i(t) (4.9) Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 3 von 6

14 φ = N i(t)+v A R m N + N =مممممم= 5R m i(t) (4.) Mit diesen Flüssen kann nun die Spannung u (t) berechnet werden: u (t)=u (t)+u (t)= dψ + dψ dφ dφ = N + N (4.) dt dt dt dt = N (4N + 3N ) di(t) + N (N + N ) di(t) (4.) 5R m dt 5R m dt ( ) 4 u (t)= 3 N + N N + N ωi cos(ωt) (4.3) 5R m Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 4 von 6

15 Aufgabe 5: Gleichstrommaschine (5 Punkte) In dieser Aufgabe soll ein fremderregter Gleichstrommotor untersucht werden. Bitte gehen Sie bei allen Aufgabenteilen vom eingeschwungenen Zustand aus. Folgende Parameter seien vorab über den Motor bekannt: E = 5 mh N E = 5. Skizzieren Sie das Ersatzschaltbild des fremderregten Gleichstrommotors.. Zunächst sei der Motor blockiert (ω=). Eine Messung ergibt folgende Werte: U A = 3V I A = A I E =,5A T =,8Nm Beachten Sie für diesen Aufgabenteil außerdem den Bürstenspannungsabfall U B, welcher jeweils V beträgt. Bestimmen Sie den Ankerwiderstand R A und die Maschinenkonstante c M. Hinweis: Ψ E = c M φ E R A = U A U B I A =,Ω c M = T φ E I A φ E = E N E I E, c M = 3. Im Folgenden kann sich der Motor drehen und eine mechanische ast wird angeschlossen. Der Spannungsabfall an den Bürsten kann von nun an vernachlässigt werden. Eine Messung ergibt folgende Werte: U A = V I A = 8A U E = V I E =,5A Berechnen Sie das Drehmoment und die Drehzahl in diesem Arbeitspunkt. φ E = مم,5 4 Vs T = c M φ E I A = 4,4 mnm U A = I A R A +U ia = I A R A + c m φ E ω ω= U A I A R A c M φ E = 6, s n=99,3 s Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 5 von 6

16 4. Berechnen Sie den Gesamtwirkungsgrad des Motors für diesen Arbeitspunkt. η= T ω U A I A +U E I E = 7,% 5. Bei welchem Ankerstrom ergibt sich der maximale Wirkungsgrad, wenn der Erregerstrom und die Drehzahl konstant bleiben sollen. eiten Sie den Zusammenhang allgemein her und geben Sie den Ankerstrom für den betrachteten Fall an. Hinweis: Beachten Sie, dass sich für diesen Ankerstrom entsprechend eine Ankerspannung und ein Drehmoment einstellt. c M φ E I A ω η= R A IA +U ia I A +U E I E C I A η= C IA +C 3I A +C 4 η = C ( C IA +C 3I A +C4 ) C I A (C I A +C 3 ) ( I A C IA +C 3I A +C4 ) η I A = = C IA +C 4 ηmax I A = I A = C4 C UE I E I R = 7,3A Musterlösung Grundlagen der Elektrotechnik B Seite 6 von 6