Eine Relation zwischen M und N ist eine Teilmenge R M N. Im Fall M = N sagen wir: R ist Relation auf M.

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1 1.5 Relationen Es seien M und N Mengen. Definition Eine Relation zwischen M und N ist eine Teilmenge R M N. Im Fall M = N sagen wir: R ist Relation auf M. Terminologie und Notation Es sei R M N eine Relation zwischen M und N. Für (x, y) R schreiben wir auch und sagen x R y x steht bzgl. R in Relation zu y.

2 Relationen (Forts.) Beispiele < auf N M Menge auf Pot(M) M Menge = auf M M Menge M M auf M {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} auf {1, 2, 3} M, N, Mengen, f : M N Abbildung. {(x, f (x)) x M}.

3 Relationen (Forts.) Beispiele A: Einwohner von Aachen für a, b A: a N b: a ist Nachkomme von b D: Studierende von Diskrete Strukturen für s, t D: s E t: s hat die gleichen Eltern wie t für s, t D: s G t: s hat den gleichen Geburtstag wie t P: farbige Glasperlen in einer Dose für p, q P: p F q: p hat die gleiche Farbe wie q

4 Eigenschaften Definition M Menge, R Relation auf M. Dann heißt R: (R) reflexiv: für x M: x R x (S) symmetrisch: für x, y M: x R y y R x (A) antisymmetrisch: für x, y M: x R y und y R x x = y (T) transitiv: für x, y, z M: x R y und y R z x R z (V) vollständig: für x, y M: x R y oder y R x

5 Eigenschaften (Forts.) Beispiel < auf N: transitiv nicht reflexiv nicht symmetrisch antisymmetrisch nicht vollständig

6 Eigenschaften (Forts.) Beispiel R auf {1} gegeben durch R = {(1, 1)} R reflexiv R auf {1, 2} gegeben durch R = {(1, 1)} R nicht reflexiv

7 Abschlüsse Definition M Menge, R Relation auf M transitiver Abschluss von R: Relation S auf M mit S transitiv und R S für jede Relation T auf M: T transitiv und R T S T reflexiver Abschluss von R: Relation S auf M mit S reflexiv und R S für jede Relation T auf M: T reflexiv und R T S T symmetrischer Abschluss von R: Relation S auf M mit S symmetrisch und R S für jede Relation T auf M: T symmetrisch und R T S T

8 Abschlüsse (Forts.) Beispiel R Relation auf {1, 2, 3} gegeben durch R = {(1, 2), (2, 3)} ein transitiver Abschluss von R: S = ein reflexiver Abschluss von R: S = ein symmetrischer Abschluss von R: S =

9 Abschlüsse (Forts.) Proposition M Menge, R Relation auf M es gibt genau einen transitiven Abschluss S von R für x, y M: x S y es gibt n N, x 0,..., x n M: x = x 0 R x 1 R... R x n = y es gibt genau einen reflexiven Abschluss S von R für x, y M: x S y x R y oder x = y es gibt genau einen symmetrischen Abschluss S von R für x, y M: x S y x R y oder y R x

10 Äquivalenzrelationen und Ordnungen Es sei M eine Menge und R eine Relation auf M. Definition R heißt Äquivalenzrelation auf M, falls R erfüllt. (R), (S), (T ) R heißt (partielle) Ordnung auf M, falls R erfüllt. (R), (A), (T ) R heißt Totalordnung auf M, falls R eine Ordnung ist und falls R vollständig ist.

11 Äquivalenzrelationen und Ordnungen (Forts.) Es sei M eine Menge. Beispiele auf R ist Totalordnung. < auf R ist antisymmetrisch und transistiv, aber weder reflexiv noch symmetrisch. auf Pot(M) ist Ordnung. Keine Totalordnung, falls M 2. M = Z oder M = N. Definiere Teilbarkeitsrelation durch x y : Es existiert z M mit xz = y. Dann ist reflexiv und transitiv. ist Ordnung auf N aber keine Totalordnung. ist keine Ordnung auf Z.

12 Äquivalenzrelationen und Ordnungen (Forts.) Es sei M eine Menge. Beispiele Gleichheit = ist eine Äquivalenzrelation auf M. Es sei N eine Menge und f : M N Abbildung. Die Bildgleichheit R f auf M ist definiert durch: xr f x : f (x) = f (x ). R f ist Äquivalenzrelation auf M. M = Z. Die Paritätsrelation 2 ist definiert durch x 2 y : x y gerade. 2 ist eine Äquivalenzrelation auf Z.

13 Äquivalenzrelationen (Forts.) Weitere Beispiele C auf R: für x, y R: C auf {1, 2, 3, 4} x C y : x = y oder x = y C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 4), (4, 2)} D: Studierende von Diskrete Strukturen für s, t D: s E t: s hat die gleichen Eltern wie t für s, t D: s G t: s hat den gleichen Geburtstag wie t P: farbige Glasperlen in einer Dose für p, q P: p F q: p hat die gleiche Farbe wie q

14 Äquivalenzrelationen (Forts.) Definition M Menge, C Äquivalenzrelation auf M, x M Äquivalenzklasse von x in M bzgl. C: [x] = [x] C := { x M x C x} Terminologie: Repräsentant von [x] C : auch: jedes x M mit x

15 Äquivalenzrelationen (Forts.) Beispiele C auf R: für x, y R: x C y : x = y oder x = y für x R: [x] C = Repräsentanten für [x] C : 2 auf Z: für x, y Z: x 2 y x y gerade. [0] 2 = Repräsentanten für [0] 2 :

16 Äquivalenzrelationen (Forts.) Beispiele C auf {1, 2, 3, 4} C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 4), (4, 2)} [1] C = M Menge, = auf M für x M: [x] = =

17 Äquivalenzrelationen (Forts.) Proposition M Menge, C Äquivalenzrelation auf M Für x M gilt: x [x] C. Für x, y M sind äquivalent: [x]c = [y] C [x] C [y] C x C y

18 Äquivalenzrelationen (Forts.) Definition M Menge, C Äquivalenzrelation auf M Quotientenmenge von M modulo C: Terminologie und Notation: M/C := {[x] C x M} Quotientenabbildung von M/C: κ : M M/C, x [x] C

19 Quotientenmengen (Forts.) Beispiel C auf {1, 2, 3, 4} c = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 4), (4, 2)} {1, 2, 3, 4}/C =