Elementare Geometrie Wiederholung 3

Transkript

1 Elementare Geometrie Wiederholung 3 Thomas Zink

2 1.Schwerpunkt und Teilverhältnis, V13, Es seien A, B, C, D Punkte, die auf einer Geraden liegen, und so dass A B und C D. AB = λ CD λ = AB CD. (1) Hier ist λ 0 eine reelle Zahl. Wenn (1) erfüllt ist, so gilt für den absoluten Betrag λ λ = AB CD. Es gilt genau dann λ > 0, wenn die Vektoren AB und CD in die gleiche Richtung zeigen.

3 2.Streckung Die Gleichung AB = λ CD sagt, dass AB eine Streckung des Vektors CD ist. Wenn A B und C D ist, besagt die Gleichung, dass AB und CD parallel sind. Wir schreiben λ = AB CD.

4 3.Affine Abbildungen, V11,8 Definition Eine bijektive Abbildung f : g g heißt affin, wenn für beliebige Punkte A, B, C g, die verschieden sind CA CB = f(c)f(a) f(c)f(b). Wenn A, B, C, D g, so dass A B und C D, so gilt für eine affine Abbildung AB CD = f(b)f(a) f(d)f(c).

5 4. Der erste Strahlensatz, V11,9 Proposition Es seien g und g Geraden in einer Ebene. Eine Parallelprojektion f : g g ist eine affine Abbildung (1.Strahlensatz). Es seien A, B g und A, B g jeweils zwei verschiedene Punkte. Dann gibt es genau eine affine Abbildung f : g g, so dass f(a) = A und f(b) = B

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10 5.Der zweite Strahlensatz Proposition Es seien g und g zwei Geraden in einer Ebene, die sich genau in einem Punkt S schniden. Es seien A, B g zwei Punkte, die von S verschieden sind und A, B g zwei Punkte, die von S verschieden sind. Es sei AA BB. Dann gilt: SB SA = BB AA

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12 6. Das Teilverhältnis Geometrisch sehen wir eine Zahl λ als Verhältnis der Längen zweier Strecken an. λ = ± q p. (Eine Länge hat eine Maßeinheit und ist daher nicht einfach eine Zahl.)

13 Aufgabe: Es seien p und q zwei Längen. Es sei AB eine Strecke. Man konstruiere einen Punkt S AB, so dass SA SB = q p. Man konstruiere einen Punkt T AB, so dass T A T B = q p.

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15 Konstruktion mit dem zweiten Strahlensatz

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17 Konstruktion mit dem zweiten Strahlensatz

18 7.Der Schwerpunkt, V13 Proposition Es seien (A, p), (B, q) und (C, r) drei gewichtete Punkte in der Ebene, so dass p + q + r 0. Dann gibt es genau einen Punkt S E, so dass für alle Punkte M E p MA + q MB + r MC = (p + q + r) MS. (2) Man nennt S den Schwerpunkt von (A, p), (B, q) und (C, r).

19 Wenn r = 0 so findet man die Gleichung: p MA + q MB = (p + q) MS. Dann nennt man S den Schwerpunkt von (A, p) und (B, q). Der Schwerpunkt S liegt auf der Geraden AB.

20 8.Der Schwerpunkt Wenn man M = S setzt, so findet man die Gleichung: Dafür kann man schreiben: p SA + q SB = 0 SA SB = q p.

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24 Schwerpunkt von 3 gewichteten Punkten

25 Der Satz von Ceva, V12,9 Proposition Es sei ABC ein Dreieck. Es sei G AB, E BC und F CA. Dann schneiden sich die Geraden AE, BF, CG genau dann in einem Punkt, wenn GA GB EB EC F C F A = 1. Den Ausdruck auf der linken Seite nennen wir CM-Quotient.

26 Im Fall von drei gewichteten Punkten (A, p), (B, q), (C, r) findet man den Bezeichnungen das voletzten Blattes: GA GB EB EC F C F A = ( q p ) ( r q ) ( p r ) = 1.

27 Übung 7,4: Es sei ABC ein Dreieck. Es sei G AB, der Punkt, wo der Inkreis die Strecke AB berührt, es sei F AC, der Punkt, wo der Inkreis die Strecke AC berührt und es sei E BC, der Punkt, wo der Inkreis die Strecke BC berührt.

28 Übung 7,4: Es sei ABC ein Dreieck. Es sei G AB, der Punkt, wo der Inkreis die Strecke AB berührt, es sei F AC, der Punkt, wo der Inkreis die Strecke AC berührt und es sei E BC, der Punkt, wo der Inkreis die Strecke BC berührt. Man beweise, dass sich die drei Geraden AE, BF, CG in einem Punkt schneiden.

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30 Beweis: Es gilt: F A = GA, F C = EC, EB = GB, weil der Abstand eines Punktes zu den Berührungspunkten der beiden Tangenten an einen Kreis gleich lang sind. (Tangentenabschnitte sind gleich lang.) Dann gilt: GA GB EB EC F C GA = ( F A GB ) ( GB F C ) ( F C GA ) = 1 Da der CM-Quotient 1 ist, schneiden sich CG, BE und AF in einem Punkt.

31 Der Satz des Apolloniuskreis, V19,10 Proposition Es seien A und B zwei Punkte. Es sei f > 0, f 1 eine reelle Zahl. Dann ist die Menge aller Punkte P, so dass AP = f BP (3) ein Kreis (Apolloniuskreis). Der Mittelpunkt dieses Kreises liegt auf der Geraden AB.

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34 Es sei C ein Punkt auf dem Apolloniuskreis. Dann gilt: CA T A = f = CB T B = SA SB Nach dem Satz über die Winkelhalbierenden (V12, 4 und V19, 15) geht die Winkelhalbierende von ACB durch T und die Winkelhalbierende des Außenwinkels durch S.

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36 Es sei AB eine Strecke und es sei T AB. Den Apolloniuskreis von (AB, T ) ist nach Definition der Apolloniuskreis aller Punkte C, so dass T A CA = f CB, f = T B. Einen solchen Punkt C kann man mit dem Satz über die Winkelhalbierende konstruieren.

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38 Übung 10,4: Von einem Dreieck ABC sei die Seite AB und der Schnittpunkt F AB der Winkelhalbierenden des Winkels im Punkt C mit der Geraden AB gegeben. Weiter sei die Länge a = BC bekannt. Man konstruiere das Dreieck.

39 Übung 10,4: Von einem Dreieck ABC sei die Seite AB und der Schnittpunkt F AB der Winkelhalbierenden des Winkels im Punkt C mit der Geraden AB gegeben. Weiter sei die Länge a = BC bekannt. Man konstruiere das Dreieck. Lösung: Man konstruiert den Apolloniuskreis zu (AB, F ).

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