Jede beschränkte und monotone Folge (a n ) n N konvergiert, d.h. es gibt ein a R, so dass lim

Transkript

1 Beispiel 3.10 ( 1) n n a n a+nd aq n 1 (a > 0) n monoton steigend d 0 q 1 nein nein streng monoton steigend d > 0 q > 1 nein nein monoton fallend d 0 0 q 1 streng monoton fallend d < 0 0 < q < 1 ja nein ja nein beschränkt d = 0 1 q 1 ja ja konvergent d = 0 1 < q < 1 q = 1 ja Limes a 0 a 0 0 Wir geben jeweils an, für welche Werte von a,d,q die Folgen die entsprechende Eigenschaft haben. Ein sehr wichtiges Konvergenzkriterium ist das folgende: ja Jede beschränkte und monotone Folge (a n ) n N konvergiert, d.h. es gibt ein a R, so dass a n = a. 151

2 Beispiel 3.11 Die Folge 3 (n+1) ist monoton (fallend) und beschränkt, also konvergent, und der Grenzwert ist 0. Die Folge ( 1)n2 7n ist nicht monoton (aber beschränkt). Diese Folge ist auch konvergent(ihr Grenzwert ist ebenfalls 0). Es kann also durchaus nicht monotone Folgen geben, die konvergieren. Unbeschränkt kann eine konvergente Folge aber nicht sein! Rechenregeln für Grenzwerte Seien (a n ) n N, (b n ) n N konvergente Folgen mit a n = a und b n = b. Dann gilt: 1. (a n ±b n ) n N ist konvergent mit (a n ±b n ) = a±b. 2. (a n b n ) n N ist konvergent mit (a n b n ) = a b. 152

3 3. Sei b 0. Dann gibt es ein n 0 N( mit) b n an 0 für alle n n 0, und die Folge ist konvergent mit a n = a b n b. b n n n 0 4. Seiλ R.DannistauchdieFolge(λa n ) n N konvergent mit (λa n) = λa. Wir geben gleich eine Menge an Beispielen an, wie wir die oben angegebenen Sachverhalte ausnutzen können. Wir müssen, grob gesagt, den algebraischen Ausdruck, der die Folgenglieder a n definiert, in Teilausdrücke zerlegen, von denen wir dann jeweils die Grenzwerte kennen. Bevor wir zu den Beispielen kommen, hier ein weiteres wichtiges Konvergenzkriterium: 153

4 AusquetschenSeien(a n),(a n)konvergentefolgen mit a n = a = a n. Ist (a n ) eine Folge mit dann gilt auch a n a n a n für alle n, a n = a. Als Spezialfall erhalten wir für Nullfolgen: Sei (a n) eine Nullfolge. Ist (a n ) eine Folge mit a n a n für alle n, dann ist auch (a n ) eine Nullfolge. 154

5 Beispiel 3.12 (1) Für k N ist (2) 3n 2 +1 n 2 (3) Für a R mit a < 1 ist 1 n k = 0. = (3+ 1 n2) = 3+ an = 0. (4) Sei a n = n+1 n, n N. Bei dieser Folge hilft ein Umformungstrick weiter: n+1 n = ( n+1 n)( n+1+ n) n+1+ n = n+1 n n+1+ n = 1 n+1+ n 1 n 2 = 3. und daher ist ( n+1 n) =

6 Warnung:BeieinemGrenzwert n+1 nversuchenvieleanfänger etwa wie folgt zu argumentieren: ( n+1 n) = n+1 n = = 0. Das geht aber so nicht, weil der Grenzwert der Summe zweier Folgen nur dann die Summe der Grenzwerte dieser beiden Folgen ist, wenn die beiden Grenzwerte existieren. Das ist aber in unserem Beispiel nicht der Fall.Außerdem macht ein Ausdruck der Form keinen Sinn! Die oben angegebene Umformung ist somit falsch!!! Überlegen Sie sich bitte, dass man mit so einem Argument zeigen könnte ((n+1) n) = (n+1) (n) = 0, obwohl natürlich (n+1 n) = (1) = 1 gilt. Beispiel 3.13 Als einen etwas komplizierteren Grenzwert wollen wir hier zeigen n n = 1 Dazu benötigen wir den binomischen Lehrsatz n ( ) n (a+b) n = a i b n i i i=0 156

7 Hier ist (gelesen: n über i), wobei ( ) n i = n! i!(n i)! m! = m (m 1) (m 2) die Fakultät von m ist (das ist das Produkt aller natürlichen Zahlen m). Machen wir uns dies an einem Beispiel klar: (a+b) 3 = (a+b) 2 (a+b) = (a 2 +2ab+b 2 )(a+b) = = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 Der binomische Lehrsatz verallgemeinert also die binomischen Formeln (Spezialfall n = 2). Wir wollen etwas über die Konvergenz von a n = n n aussagen. Dazu definieren wir b n = a n 1 und berechnen (b n +1) n mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes: n = (b n +1) n = n i=0 ( ) n b i i n1 n i = n i=0 ( ) n b i i n, (3.1) 157

8 weil ja b n +1 = n n. Die Gleichung (3.1) zeigt ( ) n bn 2 n, 2 weil b n 0 (beachte: a n 1), also Wegen b n 0 erhalten wir somit n(n 1) b 2 n n, also b n 2 2 n 1. und deshalb ( Ausquetschen ) 0 b n 2 n 1 b n = 0, also (b n +1) = n n = 1. Wir haben bereits ein Beispiel einer Folge gesehen, die die Entwicklung eines Anfangskapitals K 0 bei einer p prozentigen Verzinsung beschreibt. Wenn x = p/100 ist, gilt für das Kapital nach m Jahren K n = (1+x) m K 0 158

9 nach einem Jahr also (1 + x)k 0. Nun könnte man es doch als fair empfinden, wenn man statt einmal jährlich p Prozent Zinsen zu bekommen, monatlich p/12 Prozent gutgeschrieben bekommt. Dann wäre das Kapital nach einem Jahr ( 1+ x 12) 12K0 Bei einer täglichen Verzinsung ist das schon ( 1+ x 365 ) 365K0 Vergleichen wir, wie stark sich das Kapital bei den diversen Verzinsungssmodellen und x = 0.05, d.h. bei einer p prozentigen Verzinsung, vergrößert: ( 1+x 1+ x ) 12 ( 1+ x ) Genauere Untersuchungen zeigen:

10 ( 1+ 1 n = e n) und (1+ x ) n = e x n Die Zahl e heißt Eulersche Zahl. Die unterschiedlichen Modelle können sich nach mehreren Jahren schon bemerkbar machen, wenn auch nicht sehr dramatisch. Wir können die Exponentialfunktion e x oder, wenn es um das Wachstum in m Jahren geht, die Funktion e mx = (e x ) m als eine Grenzfunktion interpretieren, die das Wachstum bei einer kontinuierlichen oder stetigen Verzinsung beschreibt. Wir setzen wieder x = 0.05: 160

11 (1+x) m ( 1+ x 12) 12m e mx m = m = m = m = m = m = Wir wollen uns jetzt überlegen, warum (1+ 1 n )n existiert, wir wollen also folgenden Satz beweisen: Satz 3.1 Die Folge (a n ) mit konvergiert. a n = ( 1+ 1 ) n n 161

12 Dazu zeigen wir zunächst, dass die Folge (1 + 1 n )n beschränkt ist, und dazu benutzen wir, ähnlich wie in Beispiel 3.13, den binomischen Lehrsatz: (1+ 1 ( ) n n )n = 1+ 1 n ( ) n 1 1 n + i n i i=2 n 1 < 1+1+ i! weil ni > n(n 1) (n i+1) 2+ < 3. n i=2 i=2 1 2 i 1 weil 2i 1 i! Die letzte Ungleichung gilt, weil n 1 i=1 1 2 i < 1, genauer: n 1 i= i = 1. (3.2) n 2n Das ist nichts anderes als die mathematische Formulierung des Sachverhaltes, das man einen Kuchen immer weiter halbieren kann: Man erhält dann 1 2 Kuchen +1 4 Kuchen Kuchen und so weiter bis 1 Kuchen. Die letzten beiden Stücke 2 n 1 haben aber dieselbe Größe 1 2 n. Wenn man all diese n+1 Stücke zusammenfügt, 162

13 hat man wieder den ganzen Kuchen. Wenn Sie wollen, können Sie die Gleichung (3.2) aber auch sauber mit Induktion beweisen. Was es mit Induktion auf sich hat, wollen wir nun erklären: Angenommen, Sie wollen eine Aussage A beweisen, wobei die Aussage aber von n N abhängt, wie zum Beispiel die Aussage (3.2). Wir schreiben deshalb A(n). Dann müssen Sie eigentlich unendlich viele Aussagen beweisen, nämlich A(n) für jedes n. Das kann man aber vermeiden, indem man die Idee eines Induktionsbeweises benutzt. Sie beweisen A(n) für ein n 0, meistens n 0 = 1. Wir nennen dies den Induktionsanfang. Danach nehmen Sie an, die Aussage A(n) gilt für ein beliebiges n, und sie beweisen, dass die Aussage dann auch für A(n+1) gilt. Wir nennen dies den Induktionsschritt. Danach können Sie mit Fug und Recht behaupten: Die Aussage A(n) gilt für alle n n 0. Dieses Induktionsprinzip wird in der Vorlesung an einigen Beispielen erläutert. Wir benutzen es hier, um die sogenannte Bernoullische Ungleichung zu beweisen: 163

14 Für alle x > 1 und alle n N gilt (1+x) n 1+nx. (3.3) Induktionsanfang: Die Aussage (3.3) ist richtig für n = 1: (1+x) 1 = 1+x 1+1 x. Induktionsschritt: (1+x) n+1 = (1+x) n (1+x) (1+nx)(1+x) = 1+(n+1)x+nx 2 1+(n+1)x. Das erste Ungleichungszeichen in der zweiten Zeile dieser Umformungskette gilt, weil wir im Induktionsschritt ja gerade annehmen, dass die Aussage für n schon bewiesen ist! Das Ungleichungszeichen in der letzten Zeile gilt, weil x 2 stets 0 ist. Die beiden folgenden Skizzen illustrieren noch einmal die Bernoullische Ungleichung: In den beiden Skizzen ist der rote Graph (die Gerade!) jeweils der von der Funktion 1+nx, wobei n = 3 in der ersten und n = 7 in der zweiten Skizze ist. Der blaue Graph beschreibt (1+x) n, natürlich wieder für n = 3 und n = 7. Man 164

15 sieht, dass der blaue Graph oberhalb des roten Graphen verläuft. Das ist genau die Aussage der Bernoullischen Ungleichung. 165

16 Nun ist es nicht mehr schwer, die Monotonie von (a n ) zu zeigen. Um zu zeigen, dass (a n ) monoton wachsend ist, genügt es zu zeigen, dass a n+1 /a n 1 gilt: a n+1 a n = (1+ 1 = (1+ 1 n n+1 )n+1 (1+ 1 n )n ) (1+ 1 n+1 )n+1 (1+ 1 n )n+1 ) n+1 = (1+ 1 n ) ( 1+ 1 n+1 = (1+ 1 n ) ( n+2 n+1 n+1 n 1+ 1 n ) n+1 = (1+ 1 n ) ( n 2 +2n n 2 +2n+1 ) n+1 ) n+1 = (1+ 1 n ) (1 1 n 2 +2n+1 (1+ 1 n ) (1 n+1 n 2 +2n+1 ) Bernoulli! = (1+ 1 n ) (1 1 n+1 ) =