Aufgabe Summe Note Punkte

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1 Fachhochschule Südwestfalen - Meschede Prof. Dr. Henrik Schulze Klausur Ingenieurmathematik am. September 5 (mit Lösungen) Name Matr.-Nr. Vorname Unterschrift Aufgabe Summe Note Punkte Die Klausur umfasst 7 Aufgaben. Insgesamt sind Punkte erreichbar. Die Bearbeitungszeit beträgt 9 Minuten. Erlaubtes Hilfsmittel (neben Schreib- und Zeichengerät): Ein Formelblatt DIN A (beidseitig beschrieben). Ausdrücklich verboten sind Taschenrechner. Eingeschaltete Kommunikationsgeräte (z.b. Mobiltelefone) müssen als Täuschungsversuch gewertet werden. Verwenden Sie bitte ausschließlich das bereit gestellte Papier. Die Rechenschritte müssen nachvollziehbar sein. Ungültige Teile streichen Sie bitte durch! Vereinfachen Sie die Ergebnisse so weit wie möglich!

2 Aufgaben Aufgabe Gegeben sind der Vektor v = (a) Welchen Winkel schließen die beiden Vektoren ein? (b) Wie groß ist die Kraftkomponente F parallel zu v? (c) Wie groß ist die Kraftkomponente F senkrecht zu v? und der Kraftvektor F =. Lösung zu Aufgabe Skalarprodukt und Beträge: F v = 3, F =, v = (a) Winkel: F v = Fvcosϕ 3 = cosϕ = cosϕ ϕ = (b) F : 8 F F = v v v = 3 = (c) F : F = F F = / / = 3/ 3/

3 Aufgabe Eine Ebene geht durch die Punkte A = (; 3; ), B = (3;;) und C = (; ;). (a) Stellen Sie die Ebenengleichung auf. Ortsvektoren der 3 Punkte: Richtungsvektoren: a = Ebenengleichung in Richtungform: 3 u = b a =, b = 3 r(λ,µ) = a+λ u+µ v =, c =, v = c a = 3 +λ +µ (b) Wie groß ist der Abstand der Ebene zum Ursprung? Ermittle einen Normalenvektor durch Kreuzprodukt und wähle Normalenform der Ebene: u v = n = 8 u v = n r n a = also 8. x y z = Dividiere die Gleichung durch n = 3 und erhalte mit ˆ n = 3 die Hessesche Normalenform ˆ n r d = als 3 x y z =. Daraus liest man ab d = (c) Wie groß ist der Abstand der Ebene zum Punkt P = (; 3; 3)? Ortsvektor p = 3 = 3 3 = ˆ n p d = 3 3 = 3

4 Aufgabe 3 Berechnung komplexer Ausdrücke: (a) (b) Berechnen Sie den folgenden komplexen Ausdruck und geben Sie das Ergebnis in kartesischer Darstellung an: (( ) 3 ) j 3 z = 3+j + (+j) (3+j) 8+j Berechnen Sie für die folgenden komplexen Ausdrückez das Betragsquadrat z und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich. z = j 3j (+7j), z = e j5 + e j Lösung zu Aufgabe 3 (a) (( ) 3 ) j 3 z = 3+j + (+j) (3+j) 8+j (( ) e j 3 ( ) e j5 (3+j) ) = = ( 8 (3+j)) z = 8 j (b-) z = j 3j (+7j) z = 5 = 5 (b-) z = e j5 + e j ( z = e j5 + e j ) (e j5 + e j ) = ++ (e j5 +e j5 ) = 3+ cos5 = 3+ z = 5

5 Aufgabe Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen z der folgenden Gleichungen und geben Sie das Ergebnis in kartesischer Form an. (a) (b) d.h. Die Lösungen für lauten: Die andere Lösung ist z z +8 = z z ++ = (z ) = z, = ±j z +8z = (z 3 +8)z = z 3 = 8 oder z = z 3 = 8 = 3 e j8 z = e j = +j 3 z = e j8 = z = e j3 = j 3 z 3 =

6 Aufgabe 5 Gegeben ist die Matrix A = (a) Berechnen Sie die Spur und die Determinante der Matrix. Was folgt daraus für die Eigenwerte? Welche Eigenschaft der Eigenvektoren ergibt sich aus der Struktur der Matrix? Es gilt: tr(a) = λ +λ +λ 3 = det(a) = 3 λ λ λ 3 = 3 Die Matrix ist symmetrisch die Eigenvektoren sind orthogonal zu einander. (b) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A und vergleichen Sie mit den Erwartungen aus (a). Eigenwertgleichung: Charakteristische Gleichung: λ λ λ x x x 3 = ( λ)( ( λ)(+λ)) ( λ) = ( λ) ( λ 3 ) = Daraus ergeben sich die Eigenwerte: λ = λ = 3 λ 3 = 3. Offenbar sind die Bedingungen λ +λ +λ 3 = und λ λ λ 3 = 3 aus (a) erfüllt. Der Eigenvektor zu λ = ergibt sich aus Gleichungssystem: Also gilt x 3 = und x = x. Eigenvektor: x 3 = x 3 = x +x x 3 = x (α) = α Der Eigenvektor zu λ = 3 ergibt sich aus Gleichungssystem: ( 3)x +x 3 = ( 3)x +x 3 = x +x +(+ 3)x 3 = Aus den ersten beiden Gleichungen folgt x = x und x 3 = ( 3)x (die dritte Gleichung liefert nichts Anderes). Eigenvektor: x (β) = β 3 Man prüft zur Probe die wegen (a) erwartete Orthogonalität: x x =. Der Eigenvektor zu λ = 3 ergibt sich aus Gleichungssystem: (+ 3)x +x 3 = (+ 3)x +x 3 = x +x +( 3)x 3 = Aus den ersten beiden Gleichungen folgt x = x und x 3 = ( 3 + )x (die dritte Gleichung liefert nichts Anderes). Eigenvektor: x 3 (γ) = γ ( 3+) Man prüft zur Probe die wegen (a) erwartete Orthogonalität: x x 3 =, x x =.

7 Aufgabe Gegeben sind Matrix A und Vektor b: A = , b = (a) Wie lautet die Lösungsmenge des Gleichungssystems Ax = b? Wir wenden das Gaußsche Eliminationsverfahren an Die letzten 3 Gleichungen sind äquivalent zu: Es gibt also freie Parameter. Setze und erhalte daraus Einsetzen in die erste Gleichung führt auf ( ) 3 ( 3 ( )) 3 ( ( )) 7 5 ( ( )) x x 3 +x = x = λ und x 3 = µ x = λ µ. x = λ µ. Die Lösungsmenge ist also gegeben durch x(λ,µ) = +λ +µ 8 (b) Ist die Matrix A regulär oder singulär? Bitte begründen Sie die Antwort (möglichst einfach)! Es gibt keine eindeutige Lösung des Gleichungssystems die inverse Matrix existiert nicht die Matrix ist singulär. (c) Wie groß ist der Rang der Matrix A? Bitte begründen Sie die Antwort (möglichst einfach)! Es gilt rank(a) =. Die ersten beiden Spaltenvektoren der Matrix sind linear unabhängig, und die anderen beiden sind Linearkombinationen der ersten beiden. Man erkennt das auch nach dem letzten Schritt beim Gaußschen Eliminationsverfahren: Man sieht sofort, dass es nur zwei linear unabhängige Zeilenvektoren gibt.

8 Aufgabe 7 Eine reelle Funktion f ist gegeben durch die Abbildungsvorschrift f(x) = x x+ (x) +. (a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich D an! Besitzt die Funktion Polstellen oder Nullstellen? Wenn ja, wo? Der Nenner kann nicht null werden, also ist die Funktion auf D = R definiert, und es gibt keine Polstelle. Wegen f(x) = (x) (x) + (binomische Formel) gibt es eine Nullstelle bei x =. (b) Wie lautet das asymptotische Verhalten für x ±, d.h. Schreibe lim f(x)? x ± f(x) = x x+ x x+ = x x /x+/x /x+/x = /x+/x /x+/x für x ± (c) Wie lautet der (kleinste) Wertebereich W? Skizzieren Sie den Graphen der Funktion. Aus f(x) = (x) (x) + oder auch f(x) = (x) + folgt f(x) <. Die Funktion ist außerdem stetig und nicht-negativ und besitzt eine Nullstelle. Daraus folgt W = [, ). Mit diesen Informationen kann man die Funktion zeichnen: f(x) x (Die strenge Monotonie links und rechts der Nullstelle folgt man aus dem letzteren Ausdruck für f(x). Hier geht es aber nicht primär um die saubere mathematische Begründung, sondern vor allem um die Vorstellung über den Verlauf der Funktion.)