LOG 3 log 4 = log 43 = log 64 x a log 2 + log 3 = log 2 3 = log 6 : * 8 log 8 log 2 = log = log PreStudy 2018 Torsten Schreiber 56

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1 5

2 Widrholung Dis Fragn solltn Si ohn Skript bantwortn könnn: Was bdutt in ngativr Eponnt? Wi kann man dn Grad inr Wurzl noch darstlln? Wi wrdn Potnzn potnzirt? Was bwirkt in Null im Eponntn? Wann kann man Potnzn addirn / subtrahirn? Wi lösn Si vrschachtlt Wurzlausdrück? Was vrsthn Si untr dr Hirarchi dr Mathmatik? Was ist in Polynom vom Grad n? Was bdutt dr Bgriff Ggnopration? Wi Lösn Si in Glichung mit inm höhrn Oprator? Wann sprchn Si von inr Funktion? Auf wlchr Achs wird dr Wrtbrich abgtragn? Was ist in Hyprbl und wlch Variantn gibt s? 5

3 Dr Logarithmus dint zur Brchnung ins variabln Ausdrucks im Eponntn. Es gilt: a b log b a logb log a 0r-Logarithmus: Ein Logarithmus ohn Angab inr Basis ist immr zur Basis 0. Bispil: log0.000 log 0 Logarithmus naturalis: Dr Logarithmus zur Basis ist dr natürlich Logarithmus. Bispil: 0 ln log,77 log log0 ln log Logarithmus dualis: Ein Logarithmus zur Basis nnnt man dualis. 5 Bispil: ld( log 5 ld( log 55

4 LOG log log log 6 a log log log log 6 * : 8 log 8 log log log - 56

5 Di zu inm Logarithmusausdruckzughörig Ggnopration ist stts in Eponntialoprator, wodurch sich bid nutralisirn. Di Zusammnhäng rgbn sich wi folgt: log0 0 Ψ log Ψ Ψ ln Ω ln Ω Ω ld Θ ldθ Θ Aufgrund disr Vrinfachungn, muss di zughörig Basis bzw. dr Eponnt im rstn Schritt mittls ponntillr/ logarithmischr Gstz passnd umgformt wrdn. Bispil: log 000 ln ld6 0, log 0,5 ln 8 ld log0 ln ld 0 ( log ( ln ld

6 Vrinfachn Si folgnd Ausdrück sowit als möglich. log 00 ln ld ld0,5 00 log ln 0,5ld6 ln 8 ld 6ln ld6 log 000 ln 7 ln 9 00 log 6 ld log 0,00 ln ld 56 58

7 Positivr Logarithmus: Ngativr Logarithmus: Ausschlißlich positiv Stigung Ausschlißlich ngativ Stigung Gminsamr Punkt: (/0 J größr di Basis, dsto flachr ab J größr di Basis, dsto stilr vor 59

8 Dfinitionsbrich: Wi man schon durch di Funktionsgraphn rknnn kann, darf man inn Logarithmus nur von positivn Zahln zihn. { R > } R D 0, da 0 > 0 log( > 0 gilt. Bispil: ln( 5 6 y ( 5 6 ( ( > 0 D { R > < } Wrtbrich: Aufgrund dr Funktionsgraphn ist rsichtlich, dass in Logarithmus all rlln Wrt annhmn kann. W y R ( > 0 ( 0, da 0 > 0 gilt. Bispil: ln( 5 y ] ; [ R W y R 60

9 Sofrn in rin Logarithmnglichungistirt kann man dis mit dr folgndn Mthodik lösn, wobi primärs Zil in Isolirung ds Logarithmus auf bidn Sitn dr Glichung ist: Mthodik:. Di Faktorn vor dm Logarithmus in dn Eponntn vrschibn.. All positivn Trm übr dn Bruchstrich, all ngativn daruntr schribn.. Strichn dr Logarithmn auf bidn Sitn.. Lösn dr Glichung. Bispil: log log log log log( log log 8 8 log log 6 log 6 ( log log(

10 I. Bstimmn Si bi dn folgndn Ausdrückn di Lösungsmng. log log log 6 ( log 7 log log 6 6 ln 0,5 ln ln8,5 ln 8ln ln II. III. Brchnn Si bi dn folgndn Funktionn dn Dfinitions- und Wrtbrich. f ( ln( g( log( 5 h( 5 ld 6 Vrinfachn Si folgnd Ausdrück sowit als möglich. log 000 ln 6 ld ln log ( 0 ld log ( ( ( ln 5 5 ld 6 log 0 ln 0, ld 00 ( 6

11 Für di Sinus/ Cosinus-Funktion sind im Brich dr Addition dr Argumnt zwi Additionsthormdfinirt, wodurch stts bi rchtwinkligr Konstllation ntwdr in Sinus odr in Cosinus aus dr Funktion ntfrnt wrdn kann. sin( a ± b sin( a cos( b ± sin( b cos( a sin( sin( sin( cos( sin( cos( sin( 0 cos( cos( 90 Phasnvrschibung dr Sinusfunktion Cosinusfunktion cos( a ± b cos( a cos( b µ sin( a sin( b cos( cos( cos( cos( sin( sin( 0cos( ( sin( sin( 70 Phasnvrschibung dr Cosinusfunktion -Sinusfunktion 6

12 I. Gbn Si Schätzungn für di folgndn Wrt an. a sin(00 b cos(60 c cos(00 d sin(800 II. Vrinfachn Si di folgndn Ausdrück sowit als möglich. a sin( b cos( c cos( ( III. Bwisn Si dn folgndn Zusammnhang. sin ( cos( 6

13 I. Vrinfachn Si di folgndn Ausdrück sowit als möglich. a sin( 9 b sin(,5 7,5 c cos( ( 5 d cos( ( 7 6,5 65

14 Ein rin trigonomtrisch Funktion (sinus/ cosinus stllt in Schwingung innrhalb inr bstimmbarn Priodund ins konstantn Wrtbrichs dar, di für all rlln Zahln dfinirt ist. f ( a sin( b c d Di vir Paramtr in dr Funktion bzihn sich zum inn auf di Vrschibung und zum andrn auf di Strckung/ Stauchung in dr -Achsn bzw. y-achsn-richtung: a: Amplitudnfaktor Strckung/Stauchung in y-achsn-richtung b: Priodnfaktor Strckung/Stauchung in -Achsn-Richtung c: Phasnvrschibung Vrschibung in -Achsn-Richtung d: Wrtbrichvrschibung Vrschibung in y-achsn-richtung Symmtri: SIN: Punktsymmtri f ( f ( sin( sin( COS: Achsnsymmtri f ( f ( cos( cos( Bi dm Priodnfaktor gilt für di nu Priod: P NEU P ALT b 66

15 Anhand dr folgndn Virfldrtaflkönnn di grundlgndn Eignschaftn inr trigonomtrischn Funktion dirkt abglsn wrdn. Es wird dabi davon ausggangn, dass s sich um in Standardfunktion in dr Form odr h handlt. Virfldrtafl $% & 0; 0; ; ; WS 0/ Torstn Schribr 67

16 Bispil: Vrinfachung: Wrtbrich: Priod: sin( ( f sin( ( ( cos( sin( cos( sin( ( f f [ ] [ ] [ ] ;7 ; ; y W ( ( f f P NEU sin( cos( 0 sin( ( cos( sin( cos( sin( ( sin( ( sin( ( f f f PrStudy Torstn Schribr

17 Bispil: Symmtri: Skizz: f ( ( sin( [ ] Punktsymmtri f ( f ( f ( sin( sin( [ f ( ] sin( sin( 69

18 Vrinfachn Si di folgndn Funktionn mittls dr Additionsthorm und bstimmn Si dn Wrtbrich, das Symmtrivrhaltn und frtign Si in Skizz an. f ( sin( 5 5 g( sin ( 5 h( [ cos( ] k( 5 cos ( ( 70

19 Wlch nun Bgriff hab ich knnn glrnt? 7

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