10. Kryptographie. Was ist Kryptographie?

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1 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2015) Kryptographie Was ist Kryptographie? Die Kryptographie handelt von der Verschlüsselung (Chiffrierung) von Nachrichten zum Zwecke der Geheimhaltung und von dem (häufig unberechtigten) Versuch, Geheimtexte wieder zu entschlüsseln (dechiffrieren). Während in früheren Zeiten kryptographische Verfahren hauptsächlich im militärischen, diplomatischen und wirtschaftlichen Bereich zur Anwendung kamen, sind wir heutzutage in vielfältiger Weise von Verschlüsselungen umgeben, ohne dass wir das überhaupt wahrnehmen. Kryptographie im Alltag Kryptographische Verfahren sind eigentlich immer dann im Spiel, wenn sich ein Mensch dem Computer gegenüber ausweisen muss. Beispiele: Zugang zu einem Computer mit Hilfe eines Passwortes bargeldloser Einkauf mit einer Scheckkarte Geldabheben an einem Geldautomaten mit einer Chipkarte e banking Handy

2 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2015) 40 Die Caesar Verschlüsselung Eine der ältesten bekannten Verschlüsselungsmethoden ist die sog. Caesar Verschlüsselung, mit der der römische Staatsmann und Feldherr Caesar seinen Generälen Befehle in verschlüsselter Form übermittelte. Bei dieser Verschlüsselung wird der Buchstabe a durch den Buchstaben D ersetzt, b durch E, c durch F usw. bis schließlich w durch Z, und dann x durch A usw. (s. Tabelle (10.1)). Der Name Caesar wird damit zu FDHVDU verschlüsselt. (10.1) Die Caesar Verschlüsselung Klartextalphabet a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C Geheimtextalphabet

3 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2015) 41 Um die Caesar Verschlüsselung formelmäßig in den Griff zu bekommen, nummerieren wir die Buchstaben von a bis z durch die Zahlen von 0 bis 25 (s.(10.1)). Diese Zahlen sind gerade die Reste, die bei Division durch 26 auftreten können. Wir sehen, dass sich die Nummern der Buchstaben von a bis w um 3 erhöhen und danach wieder an den Anfang zurückspringen. Der Buchstabe mit der Nummer α wird also durch den Buchstaben mit der Nummer r 26 (α + 3) verschlüsselt. Bezeichnen wir die Menge der Reste bei Division durch 26 mit R 26 : = {0,1,2,3,...,24,25}, so ist die Caesar Verschlüsselung mathematisch gesprochen eine Abbildung A 3 : R 26 R 26 mit der Zuordnungsvorschrift A 3 (α) = r 26 (α + 3). Dies können wir verallgemeinern, indem wir die Zahl 3, um die wir das Alphabet verschoben haben, durch eine beliebige ganze Zahl k ersetzen. (10.2) DEF: Sei k. Eine Abbildung A k : R 26 R 26 mit der Definitionsvorschrift heißt eine additive Chiffre. A k (α) = r 26 (α + k) für α R 26 JededieserAbbildungenA k könnenwiralsverschlüsselungbenutzen, diecaesar Verschlüsselung ist der Spezialfall k = 3. (10.3) BEM: Sind α und β verschiedene Zahlen aus R 26, so sind auch A k (α) und A k (β) verschieden, d.h. unterschiedliche Buchstabenwerdenauchimmerdurchunterschiedliche Buchstaben verschlüsselt. (10.4) BEM: Wird der Buchstabe mit der Nummer α durch die additive Chiffre A k verschlüsselt, so kann man ihn mit der additiven Chiffre A k entschlüsseln, es gilt nämlich A k (A k (α)) = A k (r 26 (α+k)) = r 26 (r 26 (α+k) k) = r 26 (α+k k) = r 26 (α) = α. (10.5) DEF: Sei k mit ggt(k,26) = 1. Eine Abbildung M k : R 26 R 26 mit der Definitionsvorschrift heißt eine multiplikative Chiffre. M k (α) = r 26 (k α) für α R 26

4 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2015) 42 (10.6) BEM: Sind α und β verschiedene Zahlen aus R 26, so sind auch M k (α) und M k (β) verschieden, d.h. unterschiedliche Buchstaben werden durch M k auch immer zu unterschiedlichen Buchstaben verschlüsselt. (10.7) BEM: Ist M k eine multiplikative Chiffre, so gilt ggt(k,26) = 1, so dass k invertierbar modulo 26 ist (7.12). Es gibt also ein Inverses l von k modulo 26. Wird der Buchstabe mit der Nummer α durch die multiplikative Chiffre M k verschlüsselt, so kann man ihn mit der multiplikativen Chiffre M l entschlüsseln, es gilt nämlich l k 1 (mod 26), d.h. r 26 (l k) = 1, und M l (M k (α)) = M l (r 26 (k α)) = r 26 (l r 26 (k α)) = r 26 (l k α) = r 26 (r 26 (l k) α) = r } {{ } 26 (α) = α. =1 Um eine verschlüsselte Nachricht entschlüsseln zu können, müssen Sender und Empfänger vorher einen Schlüssel vereinbart haben. Bei einer multiplikativen Chiffre M k etwa ist k der Schlüssel zum Verschlüsseln und das Inverse l von k modulo 26 ist der Schlüssel zum Entschlüsseln. Der eine Schlüssel lässt sich aber aus dem anderen berechnen, was sicherheitstechnische Nachteile haben kann. Ein solches Verschlüsselungssystem heißt symmetrisch. Ein weiterer Nachteil ist der große Aufwand bei der Schlüsselverwaltung, wenn viele Personen an diesem Verschlüsselungssystem teilnehmen wollen. Bei einer asymmetrischen Verschlüsselung lässt sich der Schlüssel zum Entschlüsseln nicht aus dem Schlüssel zum Verschlüsseln bestimmen und umgekehrt. Ein Beispiel für ein asymmetrisches Verfahren ist das sog. Public Key Verfahren, bei dem jeder Teilnehmer einen privaten (geheimen) Schlüssel und einen öffentlichen Schlüssel hat. Will eine Person A eine verschlüsselte Nachricht an eine zweite Person B schicken, so benutzt A den öffentlichen Schlüssel von B zum Verschlüsseln, und B kann dann mit seinem geheimen Schlüssel die Nachricht entschlüsseln. Damit B sicher sein kann, dass die Nachricht auch wirklich von A stammt, kann A seine Nachricht signieren. Er verschlüsselt noch zusätzlich mit seinem geheimen Schlüssel, was B durch den öffentlichen Schlüssel von A wieder entschlüsseln kann. Im nächsten Paragraphen werden wir ein Public Key Verfahren kennenlernen, das auf zahlentheoretischen Überlegungen basiert.

5 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2015) 43 Schematische Darstellung eines Public Key Verfahrens KT: Klartext GT: Geheimtext A schickt eine verschlüsselte Nachricht an B A KT öffentlicher Schlüssel von B GT B B entschlüsselt die Nachricht von A B GT geheimer Schlüssel von B KT A A signiert eine Nachricht an B A KT geheimer Schlüssel von A GT B B überprüft die Signatur von A B GT öffentlicher Schlüssel von A KT A

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