Einfache kryptographische Verfahren

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1 Einfache kryptographische Verfahren Prof. Dr. Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik 26. April 2015 c = a b + a b + + a b n c = a b + a b + + a b n c = a b + a b + + a b n n1 1 n2 2 nn n n n

2 Was ist Kryptographie? Kryptographie ist ein Fachgebiet, in dem man versucht Lösungen zu folgendem Grundproblem zu finden: Wie können Informationen zwischen zwei Parteien so ausgtauscht werden, dass es für eine dritte Partei schwierig oder unmöglich ist, diese Informationen ebenfalls in die Hand zu bekommen. Parteien können Personen, Unternehmen, staatliche Einrichtungen etc. sein. Informationen umfassen zum Beispiel s, Produktions- oder Wirtschaftsdaten, Konstruktionszeichnungen, interne Berichte etc. In erster Linie geht es heute um digital vorliegende Informationen, die über das Internet übertragen werden sollen. 2

3 Ver- und Entschlüsselung Verschlüsselung (Chiffrieren): Umwandlung einer Information in ein Format, das eine unbefugte Partei nicht lesen kann. Entschlüsselung (Dechiffrieren): Rückumwandlung von verschlüsselter Information in die lesbare Originalinformation. Entschlüsselung sollte nur möglich sein, wenn man das entsprechende Entschlüsselungsverfahren kennt (befugte Parteien!). Die informationsaustauschenden Parteien müssen sich also auf ein geheimes Ver- und Entschlüsselungsverfahren einigen. Ver- und Entschlüsselungsverfahren beruhen häufig auf mathematischen Ideen; Beispiele werden in diesem Vortrag erklärt. 3

4 Der Weg eines s Server beim Provider Zwischenstationen Server beim Provider Sender Hier können s gelesen werden und werden es auch! zum Schutz vor Viren zu Werbezwecken zu Spionagezwecken Empfänger 4

5 Alphabete, Blöcke und Texte Wir befassen uns im folgenden mit Verfahren zur Ver- und Entschlüsselung einfacher Texte wie zum Beispiel privater s. Ein solcher Text besteht aus endlich vielen Zeichen; diese stammen aus einer Menge möglicher bzw. zulässiger Zeichen, dem so genannten Alphabet: A = {A,a,B,b,,!,?,#,,0,1,2,,9}. Zeichen werden im folgenden auch Buchstaben genannt. Jede endliche Folge von Zeichen ist ein Text, unabhängig davon, ob sie einen Sinn besitzt oder nicht. Beispieltexte: Im Hinterhof bellt ein Hund. Hinterhof?im?ein?Hund.bellt? ZhkjZ89hkjUJIj76FHfgz&r6rf 5

6 Alphabete, Blöcke und Texte Ein Text(-stück) bestehend aus n verschiedenen Zeichen nennt man einen Block der Länge n. Die Menge aller Blöcke der Länge n, die man aus dem Alphabet A bilden kann, bezeichnet man mit A(n). Beispiele für Blöcke der Länge 4 aus dem Alphabet {A,B,C, } der deutschen Großbuchstaben. OTTO WRZY GGGG Gibt es in dem Alphabet A insgesamt r verschiedene Buchstaben, so gibt es n r verschiedene Blöcke der Länge n. Konvention: Im folgenden werden Texte T, die aus Blöcken a,b,c, in dieser Reihenfolge bestehen, als T = abc geschrieben. 6

7 Blockchiffren Definition: Eine Blockchiffre der Länge n ist eine Abbildung e : A( n) A( n) mit folgenden Eigenschaften: 1. Für verschiedene Blöcke x und y sind auch die Bildblöcke e(x) und e(y) verschieden. (e ist injektiv.) 2. Zu jedem Block y gibt es einen Block x, für den e(x)=y gilt. (e ist surjektiv.) Hierbei ist A ein beliebiges Alphabet. 7

8 Blockchiffren Folgerung: Eine Blockchiffre e : A( n) A( n) besitzt eine Umkehrabbildung das heißt für d gilt: d : A( n) A( n), d( e( x)) = x für jeden Block x. 8

9 Blockchiffren Beispiele für Blockchiffren: A = deutsche Großbuchstaben n=1 e(a):=b, e(b):=c, e(c):=d,,e(z):=a n = 3 Für beliebige Buchstaben x,y,z in A definiert man: e(xyz) := yzx Es gilt also beispielsweise e(ein)=ine und e(der)=erd. 9

10 Verschlüsseln mit einer Blockchiffre Um einen Text T mit Hilfe einer Blockchiffre e : A( n) A( n) der Länge n zu verschlüsseln, führt man folgende Schritte durch: 1. Zerlege den Text T in eine Folge von Blöcken der Länge n: T = B1B 2 Bm Der letzte Block muss dabei gegebenenfalls durch Einfügen einer geeigneten Anzahl eines fest gewählten Buchstabens bis zur Länge n aufgefüllt werden. 2. Definiere den verschlüsselten Text C durch: C = e B1 e B2 e B m ( ) ( ) ( ) 10

11 Entschlüsseln mit einer Blockchiffre Um einen Text C, der mit Hilfe der Blockchiffre e : A( n) A( n) verschlüsselt wurde, wieder zu entschlüsseln, führt man folgende Schritte durch: 1. Zerlege den Text C in eine Folge von Blöcken der Länge n: C = C1C 2 Cm Beachte: Der letzte Block muss nicht aufgefüllt werden! 2. Definiere den entschlüsselten Text T durch: T = d( C1) d( C2) d( C m ) wobei d die Umkehrabbildung von e. 11

12 Beispiel für die Ver- und Entschlüsselung A = deutsche Großbuchstaben Betrachte e: A(3) A(3), e(xyz) := yzx. Dann ist die Umkehrabbildung durch die Gleichung: d(uvw) = wuv gegeben. Die Verschlüsselug des Textes T = KRYPTOGRAPHIE lautet C = e(kry)e(pto)e(gra)e(phi)e(iee) = RYKTOPRAGHIPEEI Die Entschlüsselung des Textes C = ATMEMHTIKKKK lautet T = d(atm)d(emh)d(tik)d(kkk) = MATHEMATIK 12

13 Blockchiffren verbessert Ein Nachteil der gerade beschriebenen Methode ist der, dass die Chiffrierabbildung e und die Dechriffrierabbildung d umständlich zu programmieren und zu ändern sind. Besser wäre es sie durch eine Formel zu realisieren aber dazu müsste man mit den Blöcken in A(n) rechnen können. Das kann man erreichen, indem man vor der Verschlüsselung das verwendete Alphabet wechselt: Hat A insgesamt r Buchstaben, so wähle man zum Beispiel eine Primzahl p größer gleich r und eine Alphabetwechselabbildung mit der Eigenschaft: w : A Fp Für verschiedene Buchstaben a und b in A sind auch die Bildbuchstaben w(a) und w(b) verschieden. 13

14 Blockchiffren verbessert Zu der Alphabetwechselabbildung w : A Fp gibt es eine Rückwechselabbildung v F A : p mit der Eigenschaft v(w(a)) = a für jeden Buchstaben aus A. Mit Hilfe einer Alphabetwechselabbildung w kann man einen Text T in einen Text S mit Buchstaben in dem endlichen KörperF p umwandeln: Ist T = a1a 2 am, so ist S = w( a1) w( a2 ) w( a m ). Genauso kann man einen Text S mit Buchstaben in F p mit Hilfe der Rückwechselabbildung v zu w in einen Text mit Buchstaben in A umwandeln. Wurde der Text S durch umwandeln mit w aus T erzeugt, so liefert die Umwandlung von S mit v wieder den Text T zurück. 14

15 Lineare Blockchiffren Texte mit Buchstaben aus F p kann man verschlüsseln, indem man die Rechenoperationen in diesem Körper nutzt. Definition: Eine lineare Blockchiffre der Länge n über Blockchiffre wobei e : F ( n) F ( n) für gewisse Elemente p p ist eine der Länge n der folgenden Form: e( b b b ) = c c c, 1 2 n 1 2 c = a b + a b + + a b n c = a b + a b + + a b n c = a b + a b + + a b n n1 1 n2 2 nn n a11, a12,, ann Fp n gilt. n n F p 15

16 Lineare Blockchiffren A = {A,B,,Z, Punkt, Komma, Leerzeichen} (29 Buchstaben) Man wählt die Alphabetwechselabbildung w : A F w( A) = 0, w( B) = 1,, w( Z) = 26, w(.) = 27, w(,) = 28, w( ) = 29. Wir wollen eine lineare Blockchiffre der Länge 2 benutzen, also: Aber: Welche a, a, a, a F liefern eine Blockchiffre? 29 e : F (2) F (2) e( b b ) = c c c = a b + a b, c = a b + a b

17 Lineare Blockchiffren Die Elemente a11, a12, a21, a22 F29 liefern genau dann eine lineare Blockchiffre der Länge 2, wenn das lineare Gleichungssystem a b + a b = c a b + a b = c für beliebige c genau eine Lösung besitzt. 1, c2 F29 b1, b2 F29 Satz: Die Elemente Blockchiffre der Länge 2, wenn gilt. a11, a12, a21, a22 F29 a11 a22 a12 a21 0 liefern genau dann eine lineare 17

18 Danke für s Zuhören und Mitmachen! 18

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