08 Aufgaben zur Wellenoptik

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1 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 1 A Überlagerung zweier Kreiswellen Aufgabe A 1 08 Aufgaben zur Wellenoptik Zwei Lautsprecher schwingen mit f = 15 khz und befinden sich im Abstand g = 5,0 cm. (c = 340 m/s) Ein Mikrofon wird im Abstand a = 10 cm entlang der y-achse bewegt. y g = 5,0 cm α a 0 d a) Unter welchen Bedingungen registriert das Mikrofon maximale Lautstärke? b) Darf man für diese Anordnung die im Unterricht benutzten Näherungen anwenden? c) Berechne für d = 1,4 cm den Gangunterschied der beiden Wellen und überlege, ob dort ein Maximum, ein Minimum oder etwas dazwischen existiert. Aufgabe A 2 Wir betrachten wieder die beiden Lautsprecher aus Aufgabe 1 (g = 5,0 cm; f = 15 khz), das Mikrofon kann sich nun aber im Abstand a = 20 m entlang der y-achse bewegen. a) Darf man eine der im Unterricht benutzten Näherungen verwenden? b) Unter welchen Winkeln α 1 bzw. α 2 befinden sich die Maxima 1. bzw. 2. Ordnung? c) Unter welchem Winkel ist das Minimum 1. Ordnung zu finden? B Doppelspalt Aufgabe B 1 Bestimme die zu den Wellenlängen 400 nm und 800 nm gehörenden Frequenzen und begründe die Aussage: Sichtbares Licht spielt sich akustisch gesprochen innerhalb einer Oktave ab. Aufgabe B 2 Führt man Doppelspaltversuche mit weißem Licht aus, zeigen die einzelnen Maxima farbige Säume. Was schließt du daraus? Aufgabe B 3 Rotes Laserlicht (λ = 633 nm) fällt auf einen Doppelspalt mit Spaltabstand g = 0,100 mm. Auf dem a = 3,40 m entfernten Schirm ist das Interferenzmuster zu sehen. a) Überlege und begründe, welche der im Unterricht gemachten Näherungen erlaubt sind! b) Berechne die Abstände d 1 d 3 der Maxima 1. bis 3. Ordnung vom Maximum 0. Ordnung. c) Nun fällt gelbes Licht durch die gleiche Anordnung, wobei die beiden Maxima 2. Ordnung den Abstand 6,80 cm besitzen. Berechne die Wellenlänge des gelben Lichtes. (Hier musst du genau lesen!)

2 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 2 C Mehrfachspalte Aufgabe C 1: Zeigeraddition beim Doppelspalt Die Abbildung zeigt einen Doppelspalt, an dessen Spalten zwei gleichphasig schwingende Wellen starten. Die zu den Schwingungen gehörenden Zeiger sind für einen bestimmten Augenblick abgebildet. Die Wellenlänge beträgt λ = 2,0 cm. a) Zeichne in den Punkten A und B die Zeiger ein, die zu der vom oberen Spalt kommenden Welle zum betrachteten Zeitpunkt gehören. b) Zeichne in C den zur unteren Welle gehörenden Zeiger. c) Zeichne in D die zu beiden Wellen gehörenden Zeiger, sowie die Überlagerung beider Zeiger ein. A B D C Aufgabe C 2: Doppelspalt Benutze für die folgenden Aufgaben das Programm "Mehrfachspalte" in der Programmsammlung "Zeigermodelle". a) Öffne das Programm und schaue im Menü nach, wie man die Anzahl der Spalte, sowie die Spaltbreite (und damit gleichzeitig die Wellenlänge) verändern und die Intensität der resultierenden Welle anzeigen kann. b) Wähle einen Doppelspalt mit großem Spaltabstand und erzeuge das zugehörige Intensitätsdiagramm. Skizziere das Diagramm. c) Welche Phasenwinkel stellen sich zwischen den Zeigern der Einzelwellen am Ort des Detektors ein, wenn man diesen999 (I) in ein Intensitätsmaximum, (II) in ein Intensitätsminimum bringt? Aufgabe C 3: Mehrfachspalte a) Wähle nun einen Dreifachspalt und stelle den kleinstmöglichen Spaltabstand ein. Skizziere die Intensitätsverteilung und beschreibe, welche Winkel sich zwischen den Zeigern an den Orten der Minima bzw. der Maxima einstellen. b) Löse die gleichen Aufgaben für eine Vierfach- und einen Fünffachspalt. c) Zwischen den groß ausgeprägten Hauptmaxima liegen nun kleine Nebenmaxima. Versuche eine Formel für die Zahl der zwischen zwei Hauptmaxima liegenden Nebenmaxima aufzustellen. d) Warum ist ein Achtfachspalt für Wellenlängenmessungen besser geeignet als ein Einzelspalt?

3 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 3 D Gitter: Aufgabe D 1 Leite selbständig (möglichst ohne nachzuschauen) die Formel für die Winkel her, unter denen Maxima beim Gitter entstehen. Aufgabe D 2 Ein Gitter hat 500 Linien pro mm. Der Schirmabstand beträgt 1,50 m. Welchen Abstand hat für λ = 780 nm die Spektrallinie 1. Ordnung von der Linie 2. Ordnung? Aufgabe D 3 Die beiden Spektrallinien 1. Ordnung von Na-Licht (λ = 590 nm) haben auf einem 1,00 m entfernten Schirm den Abstand 11,8 cm. Wie groß ist g? Aufgabe D 4 Ein Gitter mit 5000 Strichen pro cm wird mit parallelem weißem Glühlicht beleuchtet. Der Schirm hat die Form eines Halbzylinders, in dessen Mittelachse das Gitter steht. Bis zu welcher Ordnung kann das sichtbare Spektrum ganz beobachtet werden? E Einzelspalt: Aufgabe E 1 Ein Einzelspalt mit Spaltbreite b = 0,50 mm wird erst mit rotem (λ = 760 nm), dann mit violettem (λ = 400 nm) Licht durchstrahlt. Wie groß ist jeweils der Abstand der beiden ersten Minima auf einem Schirm im Abstand a = 1,50 m? Aufgabe E 2 Einfarbiges Licht fällt auf einen Spalt der Breite 0,30 mm. Auf einem 3,00 m entfernten Schirm haben die beiden mittleren dunklen Interferenzstreifen einen Abstand von 10,0 mm. Berechnen Sie die Wellenlänge des Lichtes. Aufgabe E 3 Lässt man statt einfarbigem Licht paralleles weißes Licht auf einen Spalt fallen, so entsteht ein Interferenzmuster, dessen Dunkelstellen von Farbsäumen umgeben sind. Wie kommen sie zustande? Handelt es sich um Spektralfarben oder um Mischfarben? Aufgabe E 4 Paralleles Licht einer Natriumspektrallampe (λ = 589 nm) fällt senkrecht auf eine Doppelspalt. Der Abstand der Spaltmitten beträgt 0,30 mm. Das entstehende Interferenzbild wird auf einem dazu parallelen Schirm mit Abstand a = 255 cm aufgefangen. a) Bestimmen Sie die Lage der Maxima des Doppelspalts bis zur 7. Ordnung auf dem Schirm. b) Jeder Spalt hat eine Breite von 0,050 mm. berechnen Sie die Lage der Minima bis zur 2. Ordnung auf den Millimeter genau, wenn entweder nur der erste oder nur der zweite der beiden Spalte geöffnet ist. c) Welches der in a) berechneten Maxima kann nicht beobachtet werden? Skizzieren sie den Intensitätsverlauf auf dem Schirm. Aufgabe E 5 Bei einem optischen Gitter seien die Spaltbreiten halb so groß wie die Gitterkonstante. Zeigen Sie: Im Interferenzmuster des Gitters kann man die Maxima mit geraden Ordnungszahlen nicht sehen.

4 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 4 F Brechungsgesetz Aufgabe F 1 Licht trifft unter dem Einfallswinkel α 1 = 30 von Luft auf eine Wasseroberfläche. (Für Wasser ist n 2 = 1,33) a) Berechne die Phasengeschwindigkeit des Lichtes in Wasser. b) Berechne den Brechungswinkel Aufgabe F 2 Vakuum Wasser Diamant α β n β 10,0 7,50 4,11 20,0 14,90 8,12 30,0 22,08 11,92 50,0 35,17 18,45 70,0 44,95 22,85 90,0 48,75 24,41 n β in Wasser Diamant α in Überprüfe anhand der Messwerte ob das Brechungsgesetz erfüllt ist und berechne für Wasser und für Diamant sowohl die Brechzahl, als auch die Phasengeschwindigkeit im entsprechenden Medium. Aufgabe F 3 a) Leite selbständig das Brechungsgesetz sinα 1 / sin α 2 = c 2 / c 1 her. b) Ein Lichtstrahl fällt unter α 1 = 20 von Luft in ein bestimmtes Medium, wo es mit dem Brechungswinkel α 2 = 14,9 gebrochen wird. Berechne die Ausbreitungsgeschwindigkeit in Medium 2 und dessen Brechungszahl G Interferenz an dünnen Schichten: Vorbemerkung: Wenn Licht vom optisch dünneren ins optische dichtere Medium gelangt, wird eine Teil (ca. 5 %) des Lichtes reflektiert, wobei die Reflexion wie bei der Reflexion an Metalloberflächen mit Phasensprung erfolgt. Beim Übergang vom dichteren ins dünnere Medium erfolgt die Reflexion ohne Phasensprung. Aufgabe G 1: Antireflexbeschichtung Grünes Licht mit λ = 520 nm trifft von oben auf die Antireflexbeschichtung einer Brille. n 1 (n 2 ) ist der Brechungsindex der Beschichtung (des Glases), wobei n Luft < n 1 < n 2. a) Wie dick muss die Beschichtung mindestens sein, damit das grüne Licht bei senkrechtem Einfall nicht reflektiert wird. b) Warum wird ein Teil des grünen Lichtes doch reflektiert, falls es schräg einfällt? c) Was geschieht mir blauem Licht (λ = 480 nm) bei senkrechtem Einfall? d) Welche Wellenlänge würde mit maximaler Intensität reflektiert werden? n 1 n d Aufgabe G 2: Seifenblase Bei der Seifenblase wird das Licht erst an der Grenze Luft/Wasser, dann an der Grenze Wasser/Luft reflektiert. Erkläre, warum eine Seifenhaut unterhalb einer gewissen Dicke kein Licht mehr reflektiert. n Luft n Wasser n Luft d

5 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 5 H Interferometer: Aufgabe H 1: Michelson-Interferometer Welche Wellenlänge besitzt der auf folgender Internetseite benutzte Laser? Aufgabe H 2 Verwendung des Michelson-Interferometers - Längenmessung: Der Strahl eines He-Ne-Lasers (633 nm) durchläuft ein Michelson-Interferometer. Die Spiegel S 1 und S 2 sind anfangs so eingestellt, dass der Detektor maximale Helligkeit registriert. Dann wird S 1 um die zu messende Länge Δl verschoben, wobei man 51 weitere Maxima und am Ende ein Minimum registriert. Wie groß war die Verschiebung Δl? Info: Definition des Meters Bis in die 1970-er Jahre lautete die Definition der Längeneinheit: Ein Meter ist das ,73-fache der Wellenlänge einer bestimmten Spektrallinie des 86 Kr- Isotops. D.h es ist wichtig, Wellenlängen genau vermessen zu können! Aufgabe H 3 Genaue Wellenlängenmessung: Licht der zu messenden Wellenlänge durchläuft das Interferometer. Der Spiegel wird um die genau bekannte Strecke Δl = 100,0μm bewegt, wobei man 400 Maxima registriert. Welche Wellenlänge besitzt das Licht? Aufgabe H 4 Messung der Ausbreitungsgeschwindigkeit in Gasen: In einen Arm des Interferometers wird eine evakuierte Röhre mit Glasfenstern gebracht. Wenn man nun langsam Gas einströmen lässt, nimmt die Phasengeschwindigkeit bzw. die Wellenlänge in der Röhre ab. Dadurch passen immer mehr Wellenlängen in die Röhre und man kann am Detektor abwechselnd Helligkeit und Dunkelheit registrieren. Detektor Spiegel Laser S 2 Röhre Aufgabe: Die Röhre besitzt die Länge 60 mm und wird mit λ = 632,8 nm durchstrahlt. Im evakuierten Zustand registriert man ein Helligkeitsmaximum. Während des Einströmens von Luft werden 54 Minima und am Ende wieder ein Maximum beobachtet. Wie groß sind die Phasengeschwindigkeit und die Brechungszahl in Luft? (Vakuumlichtgeschwindigkeit c o = 2, m/s) S 1 I Aufgabe zur Polarisation Aufgabe I 1 Wie viel Prozent des ursprünglichen E-Feldes (also wie viel Prozent der ursprünglichen Länge des Vektors) kommen in der Situation von Dorn S.212 V1c durch die drei Polarisationsfolien durch?

6 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 6 Lösungen: A Überlagerung zweier Kreiswellen Aufgabe A 1 Zwei Lautsprecher schwingen mit f = 15 khz und befinden sich im Abstand g = 5,0 cm. (c = 340 m/s) Ein Mikrofon wird im Abstand a = 10 cm entlang der y-achse bewegt. y g = 5,0 cm α a 0 d a) Unter welchen Bedingungen registriert das Mikrofon maximale Lautstärke? Maximale Lautstärke erhält man, wenn der Gangunterschied δ = r 2 r 1 = k λ mit k = 0,1,2 b) Darf man für diese Anordnung die im Unterricht benutzten Näherungen anwenden? Im Unterricht haben wir zwei Näherungen benutzt: 1. Wenn g << a => r 1 und r 2 sind in Spaltnähe fast parallel. Dies ist hier nicht der Fall! 2. Für d << a ist α sehr klein. Dann gilt näherungsweise tan α = sin α Auch das ist nicht der Fall! c) Berechne für d = 1,4 cm den Gangunterschied der beiden Wellen und überlege, ob dort

7 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 7 ein Maximum, ein Minimum oder etwas dazwischen existiert. Geg. d = 1,4 cm, g = 5,0 cm, a = 10 cm Ges.: Maximum oder Minimum am Detektor D? Lsg.: Maximum wenn δ = k λ mit k = 0,1,2 Um die Frage zu beantworten, muss man δ ermitteln. y r 1 g = 5,0 cm α a 0 d r 2 ½ g Pythagoras: r 2 2 = a 2 + ( ½ g + d ) 2 => r 2 = 10,73 cm r 2 1 = a 2 + ( ½ g d ) 2 => r 1 = 10,06 cm r 2 2 = a 2 + ( ½ g + d ) 2 => r 2 = 10,73 cm δ = r 2 - r 1 = 0,67 cm Vergleich mit λ: c = λ f => λ = c/f = 2,3 cm. Man erkennt: δ ¼ λ => Weder Maximum noch Minimum.

8 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 8 Aufgabe A 2 (Überlagerung von Kreiswellen) Wir betrachten wieder die beiden Lautsprecher aus Aufgabe 1 (g = 5,0 cm; f = 15 khz), das Mikrofon kann sich nun aber im Abstand a = 20 m entlang der y-achse bewegen. a) Darf man eine der im Unterricht benutzten Näherungen verwenden? Da nun g = 0,05 m << a = 20 m ist, kann man r 1 und r 2 in Spaltnähe als parallel betrachten. Ob auch die Winkel der Maxima klein genug sind, damit man sin α = tan α setzen kann, muss noch untersucht werden. b) Unter welchen Winkeln α 1 bzw. α 2 befinden sich die Maxima 1. bzw. 2. Ordnung? Geg.: g = 0,05 m, a = 20 m f = 15 khz => λ = 2,3 cm (s. 1c) sin α = δ / g α δ α Für Maxima k-ter Ordnung gilt: δ k = k λ (k = 0,1,2, ) => sin α k = k λ / g => α 1 = 27 α 2 = 65 c) Unter welchem Winkel ist das Minimum 1. Ordnung zu finden? Für Minima k. Ordnung gilt: δ = (2k-1) λ/2 sin α 1 = δ / g = 1 (λ/2) / g => α 1 = 13

9 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 9 B Doppelspalt Aufgabe B 1 Doppelspalt Bestimme die zu den Wellenlängen 400 nm und 800 nm gehörenden Frequenzen und begründe die Aussage: Sichtbares Licht spielt sich akustisch gesprochen innerhalb einer Oktave ab. Geg.: c = 3, m/s; λ 1 = 400 nm; λ 2 = 800 nm Ges. : f 1 und f 2 c = λ f => f = c/λ => f 1 = 7, Hz (violett) f 2 = 3, Hz (dunkelrot) Ein Ton mit doppelter Frequenz ist um eine Oktave höher als ein anderer. Da das violette Ende des sichtbaren Spektrums mit f 1 = 7, Hz die doppelte Frequenz des Lichtes am roten Ende besitzt, ist die Aussage sinnvoll. Aufgabe B 2 Doppelspalt Führt man Doppelspaltversuche mit weißem Licht aus, zeigen die einzelnen Maxima farbige Säume. Was schließt du daraus? Je nach Wellenlänge liegen die Maxima und Minima an verschiedenen Orten. Da bei weißem Licht verschiedene Farben an verschiedenen Orten zu sehen sind, muss weißes Licht aus verschiedenen Farben bzw. aus Wellen unterschiedlicher Wellenlänge zusammengesetzt sein.

10 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 10 Aufgabe B 3 Doppelspalt Rotes Laserlicht (λ = 633 nm) fällt auf einen Doppelspalt mit Spaltabstand g = 0,100 mm. Auf dem a = 3,40 m entfernten Schirm ist das Interferenzmuster zu sehen. a) Überlege und begründe, welche der im Unterricht gemachten Näherungen erlaubt sind! Da hier g << a ist, sind r 1 und r 2 in Spaltnähe r 1 praktisch parallel. Daher darf man die Näherung α sin α = δ / g benutzen. (1) Bei einem Spaltabstand von 0,1 mm erscheinen die ersten Maxima unter sehr kleinen Winkeln. Daher darf man die Näherung tan α = sin α benutzen (2) g α δ r 2 b) Berechne die Abstände d 1 d 3 der Maxima 1. bis 3. Ordnung vom Maximum 0. Ordnung. Aus der Skizze kann man ablesen: tan α = d / a (3) α a d (3) und (1) in (2) eingesetzt: d / a = δ / g => d = δ a / g Für Maxima gilt: δ = k λ mit k = 0,1,2, => d k = k λ a / g => d 1 = 2,15 cm; d 2 = 4,30 cm; d 3 = 6,46 cm c) Nun fällt gelbes Licht durch die gleiche Anordnung, wobei die beiden Maxima 2. Ordnung den Abstand 6,80 cm besitzen. Berechne die Wellenlänge des gelben Lichtes. (Hier musst du genau lesen!) Geg.: d 2 = ½ 6,8 cm = 3,40 cm, k = 2, a = 3,4 m Ges.: λ gelb Lsg.: Aus d k = k λ a / g folgt: λ = g d k / (k a) λ = 0, m 0,034 m / (2 3,4 m) λ = 500 nm

11 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 11 C Mehrfachspalte Aufgabe C 1: Zeigeraddition beim Doppelspalt Die Abbildung zeigt einen Doppelspalt, an dessen Spalten zwei gleichphasig schwingende Wellen starten. Die zu den Schwingungen gehörenden Zeiger sind für einen bestimmten Augenblick abgebildet. Die Wellenlänge beträgt λ = 2,0 cm. A B D C a) Zeichne in den Punkten A und B die Zeiger ein, die zu der vom oberen Spalt kommenden Welle zum betrachteten Zeitpunkt gehören. b) Zeichne in C den zur unteren Welle gehörenden Zeiger. c) Zeichne in D die zu beiden Wellen gehörenden Zeiger, sowie die Überlagerung beider Zeiger ein. a-d) Vorüberlegung: Für r = k λ (k = 0,1,2..) hinkt der Zeiger um Δφ =k 2π nach Allgemein gilt: Δφ = - r 2π / λ mit λ = 2,0 cm A B D C A: r A = 1 λ => Δφ = 0 bzw. 2 π B: r B = 2 ¼ λ => Δφ = - π/2 (-90 ) C: r C = 1 ½ λ => Δφ = - π (-180 ) D oben : r Do = 5 λ => Δφ = 0 D unten : r Du = 5 ¼ λ => Δφ = - π/2

12 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 12 Aufgabe C 2: Zeigeraddition beim Doppelspalt Benutze für die folgenden Aufgaben das Programm "Mehrfachspalte" in der Programmsammlung "Zeigermodelle". a) Öffne das Programm und schaue im Menü nach, wie man die Anzahl der Spalte, sowie die Spaltbreite (und damit gleichzeitig die Wellenlänge) verändern und die Intensität der resultierenden Welle anzeigen kann. b) Wähle einen Doppelspalt mit großem Spaltabstand und erzeuge das zugehörige Intensitätsdiagramm. Skizziere das Diagramm. Intens. c) Welche Phasenwinkel stellen sich zwischen den Zeigern der Einzelwellen am Ort des Detektors ein, wenn man diesen (I) in ein Intensitätsmaximum, Δφ = k 2π oder 0, k = 0,1,2 (II) in ein Intensitätsminimum bringt? Δφ = (2k-1) π k = 1,2,3 oder: 180, 540,... Intens.

13 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 13 Aufgabe C 3: Zeigeraddition bei Mehrfachspalten a) Wähle nun einen Dreifachspalt und stelle den kleinstmöglichen Spaltabstand ein. Skizziere die Intensitätsverteilung und beschreibe, welche Winkel sich zwischen den Zeigern an den Orten der Minima bzw. der Maxima einstellen. b) Löse die gleichen Aufgaben für eine Vierfach- und einen Fünffachspalt. Doppelspalt 3-fach Spalt 4-fach Spalt 5-fach Spalt Intens. Intens. Intens. Intens. Δφ max = 0, Δφ max = 0, Δφ max = 0, Δφ max = 0, Δφ min = 180 Δφ min = 120 Δφ min = 90 Δφ min = 350/5 c) Zwischen den groß ausgeprägten Hauptmaxima liegen nun kleine Nebenmaxima. Versuche eine Formel für die Zahl der zwischen zwei Hauptmaxima liegenden Nebenmaxima aufzustellen. Zahl der Nebenmaxima: Z = N-2 (N = Zahl der Spalte) d) Warum ist ein Achtfachspalt für Wellenlängenmessungen besser geeignet als ein Einzelspalt? Beim 8-fach Spalt sind die Hauptmaxima viel heller und schärfer ausgeprägt. Man kann daher die Lage der Maxima viel genauer ermitteln.

14 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 14 D Gitter: Aufgabe D 1 Leite selbständig (möglichst ohne nachzuschauen) die Formel für die Winkel her, unter denen Maxima beim Gitter entstehen. Herleitung: Ein Gitter kann man als einen Mehrfachspalt mit sehr vielen Einzelspalten auffassen. An jedem Einzelspalt starten Elementarwellen mit gleicher Phasenlage. Die Wellen von Sp1 und Sp1 verstärken sich gegenseitig (konstruktive Interferenz) unter dem Winkel α, falls g δ 1 α δ 1 = k λ ( k = 0,1,2..) ist Wenn δ 1 = k λ folgt: δ 2 = 2 k λ u.s.w. => Alle Wellen verstärken sich gegenseitig falls δ 1 = k λ Mit sin α = δ 1 / g folgt: sin α k = k λ / g für k = 0,1,2, q.e.d. δ 2 δ 3 4 Aufgabe D 2 Ein Gitter hat 500 Linien pro mm. Der Schirmabstand beträgt 1,50 m. Welchen Abstand hat für λ = 780 nm die Spektrallinie 1. Ordnung von der Linie 2. Ordnung? Geg.: g = 1/500 mm = 2, m, a = 1,50 m, λ = 780 nm Ges.: d 2 d 1 Lsg.: Für Maxima beim Gitter gilt: sin α k = k λ / g für k = 0,1,2, => sin α 1 = 1 λ / g => α 1 = 22, sin α 2 = 2 λ / g => α 2 = 51, Da die Winkel nicht klein sind, darf die Näherung tan α = sin α hier nicht benutzt werden.

15 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 15 Aber: Mit tan α = d / a folgt: d = a tan α => d 1 = 0,635.. m, d 2 = 1, m => d 2 d 1 = 123 cm Gitter g a Aufgabe D 3 Die beiden Spektrallinien 1. Ordnung von Na-Licht (λ = 590 nm) haben auf einem 1,00 m entfernten Schirm den Abstand 11,8 cm. Wie groß ist g? Geg.: a = 1,00 m, λ = 590 nm, Ges.: Lsg.: d 1 = 0,5 11,8 cm = 0,059 m g Für Maxima beim Gitter gilt: sin α k = k λ / g hier ist k = 1 => g = λ / sinα 1 (1) α 1 erhält man aus tan α 1 = d 1 / a => α 1 = 3,37.. in (1) eingesetzt: g = 1, m g = 10,0 μm bzw. 0,0100 mm Hinweis: da hier α 1 sehr klein ist, hätte man auch mit der Näherung sin α = tan α rechnen können. => δ/g = d / a => g = δ a / d = 1 λ a / g = 1, m k = d 1

16 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 16 Aufgabe D 4 Ein Gitter mit 5000 Strichen pro cm wird mit parallelem weißem Glühlicht beleuchtet. Der Schirm hat die Form eines Halbzylinders, in dessen Mittelachse das Gitter steht. Bis zu welcher Ordnung kann das sichtbare Spektrum ganz beobachtet werden? Geg.: g = 2, m λ rot = 800 nm, Ges.: Lsg.: k max Ansatz: Weißes Licht enthält die Wellenlängen 400 nm < λ < 800 nm Wenn das gesamte Spektrum der Ordnung k max sichtbar sein soll, muss auch der am stärksten gebeugte Anteil mit λ max = λ rot = 800 nm noch sichtbar sein. Für Interferenz am Gitter gilt: sin α k = k λ / g für k = 0,1,2, => k max = sin α max g / λ Da α max 90 ist, folgt: sin α max 1 => k max g / λ = 2,5 Licht => k max = 2 Beachte: k muss eine ganze Zahl sein! Man kann bis zur 2. Ordnung das gesamte Spektrum sehen. Gitter Schirm

17 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 17 E Einzelspalt: Aufgabe E 1 Ein Einzelspalt mit Spaltbreite b = 0,50 mm wird erst mit rotem (λ = 760 nm), dann mit violettem (λ = 400 nm) Licht durchstrahlt. Wie groß ist jeweils der Abstand der beiden ersten Minima auf einem Schirm im Abstand a = 1,50 m? Ansatz: Minima am Einzelspalt erhält man, wenn die beiden Rand"strahlen" den Gangunterschied δ = k λ (k = 1,2,3, ) besitzen. Die von den Spaltkanten zum Schirm laufenden Linien r 1 und r 2 sind in Spaltnähe praktisch parallel. => sin α k = δ k / b = k λ / b Der Winkel zum 1. Min. ist hier sehr klein => sin α = tan α tan α k = d k / a = k λ / b => d 1 = λ a / b Abstand = 2 d b α δ α r 1 r 2 rot: 2d 1 = 4,6 mm violett: 2d 1 = 2,4 mm Aufgabe E 2 Einfarbiges Licht fällt auf einen Spalt der Breite 0,30 mm. Auf einem 3,00 m entfernten Schirm haben die beiden mittleren dunklen Interferenzstreifen einen Abstand von 10,0 mm. Berechnen Sie die Wellenlänge des Lichtes. Geg.: b = 0,30 mm, a = 3,00 m, d 1 = 5,00 mm Ges.: λ d 1 << a => tan α = sin α (Wäre auch ohne Näherung berechenbar!) d 1 /a = δ / b = λ / b => λ = b d 1 / a = 500 nm λ = 0,50 μm

18 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 18 Aufgabe E 3 Lässt man statt einfarbigem Licht paralleles weißes Licht auf einen Spalt fallen, so entsteht ein Interferenzmuster, dessen Dunkelstellen von Farbsäumen umgeben sind. Wie kommen sie zustande? Handelt es sich um Spektralfarben oder um Mischfarben? Da rotes Licht stärker gebeugt wird als blaues, liegen die Maxima und Minima dieser Farben an verschiedenen Orten. Es handelt sich um Mischfarben, da an jedem Ort Licht unterschiedlichster Wellenlänge ankommt. Aufgabe E 4 Paralleles Licht einer Natriumspektrallampe (λ = 589 nm) fällt senkrecht auf eine Doppelspalt. Der Abstand der Spaltmitten beträgt 0,30 mm. Das entstehende Interferenzbild wird auf einem dazu parallelen Schirm mit Abstand a = 255 cm aufgefangen. a) Bestimmen Sie die Lage der Maxima des Doppelspalts bis zur 7. Ordnung auf dem Schirm. Für Maxima am Doppelspalt und g << a gilt für kleine α: sin α k = k λ / g = tan α k = d k / a k = 0,1,2.. => d k = k λ a / g Hier: d k = k 5 mm d 1,DS = 5,0 mm; d 2,DS = 10 mm; d 3,DS = 15 mm; d 4,DS = 20 mm; d 5,DS = 25 mm; d 6,DS = 30 mm; d 7,DS = 35 mm b) Jeder Spalt hat eine Breite von 0,050 mm. berechnen Sie die Lage der Minima bis zur 2. Ordnung auf den Millimeter genau, wenn entweder nur der erste oder nur der zweite der beiden Spalte geöffnet ist. Lage der Minima beim Einzelspalt für g << a und kleine α: sin α k = k λ / b = tan α k = d k / a => d k = k λ a / b = k 30 mm d 1,ES = 30 mm; d 2,ES = 60 mm

19 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 19 c) Welches der in a) berechneten Maxima kann nicht beobachtet werden? Skizzieren sie den Intensitätsverlauf auf dem Schirm. Vergleich ergibt: d 6,DS = d 1,ES Maximum der 6. Ordnung des DS aus a) kann nicht beobachtet werden, da dort die Einzelspalte ihr 1. Minimum haben cm Aufgabe E 5 Bei einem optischen Gitter seien die Spaltbreiten halb so groß wie die Gitterkonstante. Zeigen Sie: Im Interferenzmuster des Gitters kann man die Maxima mit geraden Ordnungszahlen nicht sehen. Für Minima beim Spalt gilt: sin α k,es = k Es λ / b mit k = 1, 2, 3 Für Maxima beim Gitter gilt: sin α k,ds = k Ds λ / g wobei g = 2 b Maxima des Gitters fehlen, wenn sin α k,es = sin α k,ds => k Es λ / b = k Ds λ / g = k Ds λ / 2b => k Es = k Ds / 2 => k Ds = 2 k Es, d. h. die Maxima mit gerader Ordnung fehlen.

20 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 20 F Brechungsgesetz Aufgabe F 1 Licht trifft unter dem Einfallswinkel α 1 = 30 von Luft auf eine Wasseroberfläche. (Für Wasser ist n 2 = 1,33) a) Berechne die Phasengeschwindigkeit des Lichtes in Wasser. Geg.: α 1 = 30, n 2 = 1,33, n 1 = 1 (Luft) Ges.: α 2 Lsg.: Es gilt das Brechungsgesetz: sin α 1 / sin α 2 = c 1 / c 2 = n => c 2 = c 1 / n = 3, m/s / 1,33 = 2, m/s c 2 = 2, m/s b) Berechne den Brechungswinkel Geg.: α 1 = 30, n 2 = 1,33, n 1 = 1 (Luft) Ges.: α 2 Lsg.: Es gilt das Brechungsgesetz: sin α 1 / sin α 2 = c 1 / c 2 = n => sin α 2 = sin α 1 / n = 0,3759 => α 2 = 22,08.. α 2 = 22

21 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 21 Aufgabe F 2 Überprüfe anhand der Messwerte ob das Brechungsgesetz erfüllt ist und berechne für Wasser und für Diamant sowohl die Brechzahl, als auch die Phasengeschwindigkeit im entsprechenden Medium. Vakuum Wasser Diamant α β sin α / sin β β sin α / sin β 10,0 7,50 1,33 4,11 2,42 20,0 14,90 1,33 8,12 2,42 30,0 22,08 1,33 11,92 2,42 50,0 35,17 1,33 18,45 2,42 70,0 44,95 1,33 22,85 2,42 90,0 48,75 1,33 24,41 2,42 50 β in Wasser Diamant α in Achtung: Hier wurde der Einfallswinkel als α, der Brechungswinkel als β bezeichnet! Das könnte in der Arbeit oder im Abi auch passieren. Falls das Brechungsgesetz sin α / sin β = n erfüllt ist, muss der Quotient aus sin α und sin β stets den gleichen konstanten Wert ergeben. Da dies der Fall ist (s. Tabelle), ist das Gesetz erfüllt. Da es sich bei Medium 1 um Vakuum handelt, gilt: n = c 1 / c 2 => c 2 = c 1 / n Wasser: n = 1,33 => c Wasser = 2, m/s Diamant: n = 2,42 => c Diamant = 1, m/s

22 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 22 Aufgabe F 3 a) Leite selbständig das Brechungsgesetz sinα 1 / sin α 2 = c 2 / c 1 her. Aus der Skizze erkennt man: sin α 1 = λ 1 / AC sin α 2 = λ 2 / AC Beide Gleichungen nach AC auflösen und gleichsetzen: λ 1 / sin α 1 = λ 2 / sin α 2 mit λ = c t folgt: α 1 A α 1 λ α 2 2 Medium 1, mit c 1 z.b. Luft α 2 λ 1 C c 1 t / sin α 1 = c 2 t / sin α 2 sin α 1 / sin α 2 = c 1 / c 2 = n q.e.d. Medium 2, mit c 2 z.b. Wasser b) Ein Lichtstrahl fällt unter α 1 = 20 von Luft in ein bestimmtes Medium, wo es mit dem Brechungswinkel α 2 = 14,9 gebrochen wird. Berechne den Brechungsindex und die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Medium 2. Geg.: Ges.: n 2 und c 2 Lsg.: α 1 = 20, α 2 = 14,9 n 1 = 1 (Luft) Es gilt das Brechungsgesetz: sin α 1 / sin α 2 = c 1 / c 2 = n n 2 = sin α 1 / sin α 2 = 1,33 n 2 = 1,33 c 2 = sin α 2 / sin α 1 c 1 c 2 = 2, m/s

23 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 23 G Interferenz an dünnen Schichten: Vorbemerkung: Wenn Licht vom optisch dünneren ins optische dichtere Medium gelangt, wird eine Teil (ca. 5 %) des Lichtes reflektiert, wobei die Reflexion wie bei der Reflexion an Metalloberflächen mit Phasensprung erfolgt. Beim Übergang vom dichteren ins dünnere Medium erfolgt die Reflexion ohne Phasensprung. Aufgabe G 1: Antireflexbeschichtung Grünes Licht mit λ = 520 nm trifft von oben auf die Antireflexbeschichtung einer Brille. n 1 (n 2 ) ist der Brechungsindex der Beschichtung (des Glases), wobei n Luft < n 1 < n 2. a) Wie dick muss die Beschichtung mindestens sein, damit das grüne Licht bei senkrechtem Einfall nicht reflektiert wird. Geg.: Ges.: Lsg.: Ansatz: λ = 520 nm, n Luft n 1 < n 2 => Jeweils wird mit Phasensprung reflektiert d Damit keine Reflexion erfolgt, muss der Gangunterschied der beiden an den Grenzflächen reflektierten Wellen mindestens δ = λ/2 sein. Da δ = 2 d folgt: d = 130 nm d = δ/2 = λ/4 = 140 nm n 1 n d b) Warum wird ein Teil des grünen Lichtes doch reflektiert, falls es schräg einfällt? Bei schrägem Einfall ist der Ansatz δ = 2 d nicht mehr gerechtfertigt. δ wird hier größer und damit wird eine größere Wellenlänge ausgelöscht. c) Was geschieht mir blauem Licht (λ = 480 nm) bei senkrechtem Einfall? Blaues Licht hat eine etwas kleinere Wellenlänge. Die Auslöschungsbedingung ist für blaues Licht also nicht erfüllt. Die beiden reflektierten Wellen schwächen sich zwar gegenseitig ab, löschen sich aber nicht völlig aus.

24 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 24 d) Welche Wellenlänge würde mit maximaler Intensität reflektiert werden? Maximale Intensität erhält man im einfachsten Fall falls δ = λ => d = δ/2 = λ/2 => λ = 2 d = 260 nm Licht mit λ = 260 nm (liegt weit im UV-Bereich) würde mit max. Intensität reflektiert werden. Aufgabe G 1: Seifenblase Bei der Seifenblase wird das Licht erst an der Grenze Luft/Wasser, dann an der Grenze Wasser/Luft reflektiert. Erkläre, warum eine Seifenhaut unterhalb einer gewissen Dicke kein Licht mehr reflektiert. n Luft n Wasser n Luft 1 2 d An der ersten Grenzfläche wird ein Wellenberg als Tal reflektiert. An der zweiten Grenze wird er aber als Berg reflektiert. Für d << λ löschen sich die beiden Wellen also aus und die Seifenhaut reflektiert daher kein Licht mehr. => Die Seifenhaut ist nicht mehr sichtbar! 1 2 1

25 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 25 H Interferometer: Aufgabe H 1: Michelson-Interferometer Welche Wellenlänge besitzt der auf folgender Internetseite benutzte Laser? ml?/medien/mm_videos/michelso n/michelson.html Zu Beginn ist in der Mitte des Interferenzmusters ein Helligkeitsminimum zu beobachten. Bei Verschiebung des Spiegels wird es zunächst heller, um bei Δl 316 nm wieder schwarz zu werden. D Detektor / Schirm halbdurchl. Spiegel Spiegel Laserlicht a S 2 => δ = 2 Δl = 1 λ => λ = 2 Δl 632 nm λ 632 nm Δl b S 1 Aufgabe H 2 Verwendung des Michelson-Interferometers - Längenmessung: Der Strahl eines He-Ne-Lasers (633 nm) durchläuft ein Michelson-Interferometer. Die Spiegel S 1 und S 2 sind anfangs so eingestellt, dass der Detektor maximale Helligkeit registriert. Dann wird S 1 um die zu messende Länge Δl verschoben, wobei man 51 weitere Maxima und am Ende ein Minimum registriert. Wie groß war die Verschiebung Δl? Verschiebung um Δl = λ/4 => Minimum Verschiebung um Δl = λ/2 => Wieder Maximum Aus dem Text folgt daher, dass S1 um 51,5 λ/2 verschoben wurde. Δl = 51,5 λ/2 = 16299,75 nm Δl = 16,3 μm = 0,0163 mm Δl = 16,3 μm

26 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 26 Info: Definition des Meters Bis in die 1970-er Jahre lautete die Definition der Längeneinheit: Ein Meter ist das ,73-fache der Wellenlänge einer bestimmten Spektrallinie des 86 Kr- Isotops. D.h es ist wichtig, Wellenlängen genau vermessen zu können! Aufgabe H 3 Genaue Wellenlängenmessung: Licht der zu messenden Wellenlänge durchläuft das Interferometer. Der Spiegel wird um die genau bekannte Strecke Δl = 100,0μm bewegt, wobei man 400 Maxima registriert. Welche Wellenlänge besitzt das Licht? Wie oben beschrieben ist Δl = n λ/2 => λ = 2 Δl / n = 2 100, m / 400 = 500 nm λ = 500 nm Aufgabe H 4 Messung der Ausbreitungsgeschwindigkeit in Gasen: In einen Arm des Interferometers wird eine evakuierte Röhre mit Glasfenstern gebracht. Wenn man nun langsam Gas einströmen lässt, nimmt die Phasengeschwindigkeit bzw. die Wellenlänge in der Röhre ab. Dadurch passen immer mehr Wellenlängen in die Röhre und man kann am Detektor abwechselnd Helligkeit und Dunkelheit registrieren. Detektor Spiegel Laser S 2 Röhre S 1 Die Röhre besitzt die Länge 60 mm und wird mit λ = 632,8 nm durchstrahlt. Im evakuierten Zustand registriert man ein Helligkeitsmaximum. Während des Einströmens von Luft werden 54 Minima und am Ende wieder ein Maximum beobachtet. Wie groß sind die Phasengeschwindigkeit und die Brechungszahl in Luft? (Vakuumlichtgeschwindigkeit c o = 2, m/s) Lösung: Licht legt in der Röhre den Weg 2 l = 120 mm zurück. Im Vakuum passen in diese Strecke k Wellenlängen. 2 l = k λ 0 => k = 2 l / λ 0 = ,4 In Luft ist λ 2 kleiner und es passen ( k + 54) λ 2 in die Röhre. 2 l = (k + 54) λ 2 λ 2 = 2 l / (k + 54) = 632,6 nm

27 Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2017 Seite 27 n = λ 0 / λ 2 = 1,00032 c 2 = c 0 / n = 2, m/s Aufgabe zur Polarisation Aus der oberen Skizze folgt: cos α = E blau / E rot mit E rot = 1 = 100% => E blau = 1 cos 45 = 0,7071 Von C abgeblockter Anteil E-Feld-Vektor hinter Polarisator α Von C durchgelassener Anteil Aus der unteren Skizze: E grün = 0,7071 cos 45 = 0,5, d.h. 50% kommen durch! Von C durchgelassener Anteil α Vom Analysator abgeblockter Anteil Vom Analysator durchgelassener Anteil