Inhalt. Lineare Algebra 1. Dr. Donat Adams. Fachhochschule Nordwest-Schweiz Technik, Brugg. 10. Oktober 2017

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1 Inhalt Lineare Algebra 1 Dr. Donat Adams Fachhochschule Nordwest-Schweiz Technik, Brugg 10. Oktober / 20

2 Inhalt Teil 2 / 20

3 Inhalt Inhaltsverzeichnis I 3 / 20

4 Inhalt Bibliographie I F. Bachmann, H.R. Schärer, and L.S. Willimann. Mathematik mit MATLAB. Computer - Algebra - Systeme. vdf, Hochschulverl. an der ETH, S. Goebbels and S. Ritter. Mathematik verstehen und anwenden von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation. Spektrum Akademischer Verlag, ISBN / 20

5 Inhalt Bibliographie II Lothar Papula. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium, volume 1 und 2. Vieweg + Teubner, Wiesbaden, 12 edition, 2009a. ISBN Lothar Papula. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, volume 2. Vieweg + Teubner, Wiesbaden, 12 edition, 2009b. ISBN / 20

6 Inhalt Griechisches Alphabet Grossbuchst. Kleinbuchst. A α Alpha B β Beta Γ γ Gamma δ Delta E ɛ, ε Epsilon Z ζ Zeta H η Eta Θ θ, ϑ Theta I ι Iota K κ, κ Kappa Λ λ Lambda M µ My N ν Ny Ξ ξ Xi O o Omikron Π π, ϖ Pi P ρ, ϱ Rho Σ σ, ς Sigma T τ Tau Y υ Ypsilon Φ φ, ϕ Phi X χ Chi Ψ ψ Psi Ω ω Omega 6 / 20

7 Bogenmass Definition (Bogenmass) Unter dem Bogenmass x eines Winkels α (in Grad) verstehen wir die Länge des Bogens auf dem Einheitskreis. x 2π = x α α Bogenmass α x π 3 π 12 3π 4 7π 6 π 6 7 / 20

8 Definitionen der trigonometrischen Funktionen y Hypotenuse H φ A Ankathete G Gegenkathete x [Papula(2009a), Bd. 1 III 9.1] Definition (Winkelfunktionen) GAGA HHAG sin(ϕ) = G H ; cos(ϕ) = A H tan(ϕ) = G A ; cot(ϕ) = A G 8 / 20

9 Identitäten für Winkelsummen cos( π 3 + π 6 ) = cos( π 3 ) + cos( π 6 ) 1. Berechne cos( π 3 + π 6 ), cos( π 3 ), cos( π 6 ) cos( π 3 + π 6 ) = 0, cos(π 3 ) = 1 2, cos(π 6 ) = 3 2 cos( π 3 + π 6 ) cos( π 3 ) + cos( π 6 ) 9 / 20

10 Herleitung Additionstheorem cos(α + β) (forts.) 2. Berechne die Länge der Sehnen B A D C B A = [cos(α + β) 1] 2 + [sin(α + β)] 2 D C = [cos( β) cos(α)] 2 + [sin( β) sin(α)] 2 3. Vergleiche deren Länge im Quadrat, benutze cos( x) = cos(x), sin( x) = sin(x) B A 2 = D C 2 [cos(α+β) 1] 2 +[sin(α+β)] 2 = [cos(β) cos(α)] 2 +[sin(β)+sin(α)] 2 10 / 20

11 Herleitung Additionstheorem cos(α + β) (forts.) 4. Vereinfache. Benutze cos 2 (x) + sin 2 (x) = cos(α + β) + sin 2 (α + β) }{{} cos 2 (α + β) } {{ } c = cos 2 (β) + cos 2 (α) 2 cos(β) cos(α) }{{}}{{} c c s + sin 2 (β) + sin 2 (α) +2 sin(β) sin(α) }{{}}{{} s s cos(α + β) = cos(β) cos(α) + 2 sin(β) sin(α cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) 11 / 20

12 Herleitung Additionstheorem sin(α + β) 1. Werte Ausdruck cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) bei β β π 2 aus cos(α + β π 2 ) = cos(α) cos(β π 2 ) sin(α) sin(β π 2 ) sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) 12 / 20

13 Additionstheoreme, β β 1. Werte Ausdruck cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) bei β β aus cos(α β) = cos(α) cos( β) sin(α) sin( β) cos(α β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) 2. Werte Ausdruck sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) bei β β aus sin(α β) = sin(α) cos( β) + cos(α) sin( β) sin(α β) = sin(α) cos(β) cos(α) sin(β) 13 / 20

14 Theorem (Additionstheoreme cos(α ± β) und sin(α ± β)) cos(α ± β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β) 14 / 20

15 Herleitung a cos(n ω 0 t) + b sin(n ω 0 t) = A sin(n ω 0 t + φ) 1. Schreibe x für n ω 0 t a cos(x) + b sin(x) = A sin(x + φ) 2. Wende rechts Additionstheorem an: A sin(x + φ) = A sin(x) cos(φ) + A cos(x) sin(φ) 3. Koeffizientenvergleich (Gleichung muss für alle x gelten): cos(x) : a = A sin(φ) sin(x) : b = A cos(φ) 4. Berechne a 2 + b 2 und a/b: a 2 + b 2 = [A sin(φ)] 2 + [A cos(φ)] 2 = A a/b = A sin(φ) A cos(φ) = tan φ 15 / 20

16 Theorem (Überlagerung von cos und sin mit gleicher Frequenz) mit a cos(n ω 0 t) + b sin(n ω 0 t) = A sin(n ω 0 t + φ) 16 / 20

17 Arkus-Cosinus Definition (Arkus-Cosinus-Funktion) Die Arkustangens-Funktion ordnet den Stücken x und r den Winkel ϕ zu. ϕ = arccos( x r ) Q 2 φ x y Q 1 dabei wird angenommen, dass y > 0. Q 3 Q 4 Im 3. und 4. Quadranten rechne ϕ = arccos( x r ). 17 / 20

18 Arkus-Cosinus Berechne ϕ 1. r = 5, x = 3, Q 1 2. r = 5, x = 3, Q 4 3. r = 5, x = 3, Q 2 4. r = 5, x = 3, Q 3 1. ϕ = arccos( 3 5 ) = ϕ = arccos( 3 5 ) = ϕ = arccos( 3 5 ) = ϕ = arccos( 3 5 ) = / 20

19 Arkus-Tangens Definition (Arkustangens-Funktion) Die Arkustangens-Funktion ordnet den Stücken x > 0 und y den Winkel ϕ zu. ϕ = arctan( y x ) Im 2. und 3. Quadranten rechne ϕ = arctan(y/x). Q 2 Q 3 φ x Arkus-Tangens Berechne ϕ ( ) ( 5 5, 4 4 ) y Q 1 Q 4 ( ) ( ) 5 5,, 4 4 ϕ = 38.66, , 38.66, / 20

20 Dachgiebel Triangulation 18 h=? 8 m h l/2 = tan(18 ) h = tan(18 ) l 2 = 1.30 A m 40. B x Turm h 14+x = tan(25 ) h x = tan(40 ) h=? h = ( ) 1 14/ tan(25 ) 1 tan(40 ) = x = h/ tan(40 ) = / 20