GF Mathematik 4c PAM Übungsfragen

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1 GF Mathematik c PAM Übungsfragen Vektorgeometrie Repräsentanten von zwei Vektoren a und b b a a + b a b c b a b b b Vektorgeometrie ( a b + c ) = b ( a + b c ). Eine Vektorgleichung ( ) ( ) a b + c = b a + b c ( a b + c ) = b ( a + b c ) 6 a b + c = 6 b a + 9 c 7 a = 8 b + 7 c a = 8 b + c 7 Wenn die Gleichung α a + β b + γ c = 0 nur die Lösung α = β = γ = 0 hat. Nein, denn die Gleichung ist für α =, β = 8 und γ = erfüllt. 7

2 Vektorgeometrie x x 5x = x 5x = x + x + x = Ein lineares Gleichungssystem aus Gleichungen mit Unbekannten. Erweiterte Matrix: Addiere das -fache von Zeile zur Zeile : Tausche Zeilen und : Addiere das -fache von Zeile zur Zeile : Addiere das 5-fache von Zeile zur Zeile : Addiere das -fache von Zeile zur Zeile : Addiere das -fache von Zeile zur Zeile : L = {(0,, 0)}

3 Vektorgeometrie a =, b = = 8 0 = a b = 0 = = 5 0 a b = 0 = 7 5 a s = Vektorgeometrie 5 Gegeben: A(, 7, ), B( 5,, 8) und C(8,, ) M ( 5, 7+, ) +8 = M(,, 6) S ( ) 5+8, 7++, +8 = S(,, ) Vektorgeometrie 6 P (x, 0, 0) x 0 x P A = 0, P B = P A = P B ( x) = ( x) + + x + x + 9 = x + + x = 5 x =.5

4 Vektorgeometrie 7 AB = AC = α = arccos AB AC AB = arccos = arccos AC = arccos 9 8 = arccos = 5 Vektorgeometrie 8 u v Zwischenwinkelformel: cos ϕ = u v cos 60 = x = x + = (x + ) x + = 8 x = x = x = (x + ) Vektorgeometrie 9 P A P B = 0 x 0 x 0 0 = 0 ( x)( x) = 0 ( x)x = 0 x = 0 P (0, 0, 0) x = P (, 0, 0)

5 Vektorgeometrie 0 Projiziere den Vektor b = orthogonal auf den Vektor a = 6. 7 b n p a p = k a und n = b p = b k a a n = 0 a ( b k a) = 0 a b k a a = 0 da a n a b k = a a = = = p = = 8 Vektorgeometrie Gegeben sind zwei einfache Dokumente: d = die maus ist klein d = die welt ist gross Um ein Mass, wie stark sich zwei Dokumente unterscheiden. d d die maus 0 ist klein 0 welt 0 gross 0 (d, d ) = arccos = arccos = 60 5

6 Vektorgeometrie Berechnen alle Vektoren, die senkrecht zu a = und 0 b = stehen und die Länge 5 9 haben. 0 8 = = 5 8 = = c = ± 6 Vektorgeometrie AB = AC = 7 6 AB AC = 0 F ABC = = 5 = 7.5 Vektorgeometrie Berechne effizient den Inhalt des abgebildeten Polygons. (Abstand der Gittelinien: Längeneinheit) y x x y x i y i+ x i+ y i Summe: Inhalt: 5.5 Vektorgeometrie 5 6

7 Bestimme mit Hilfe homogener Koordinaten eine möglichst einfache Koordinatengleichung der Geraden g durch die Punkte A(, 5) und B(, ). A( : 5 : ) B( : : ) 5 = 6 = 6 x g : y = x y + = 0 Vektorgeometrie 6 Gegeben: g : x + 6y + 5 = 0 g : x + y + = 0 g : 6x + 9y + = 0 Bestimme mit Hilfe homogener Koordinaten die Schnittpunkte g g und g g. 6 = S ( : : ) = S (, 0.5) = S ( : : 0) Fernpunkt 5 0 g g Vektorgeometrie 7 Ein Spat ist ein Körper (genauer: ein Prisma), der von 6 paarweise kongruenten Parallelogrammen begrenzt wird. ( ) 0 7 AB AC AD = 6 = V = 6 7

8 Vektorgeometrie 8 0 Gegeben: a = b = c = (a) Untersuche mit Hilfe des Vektorprodukts, ob die Vektoren a und b linear unabhängig sind. (b) Untersuche mit Hilfe des Spatprodukts, ob die Vektoren a, b und c linear unabhängig sind. (a) a 0 0 b = = 0 linear unabhängig (nicht kollinear) (b) ( a 0 b) c = = 0 linear abhängig (komplanar) Potenzen x + = x Eine Exponentialgleichung Weil die Unbekannte x im Exponenten steht. x + = x x + = ( x ) Substitution: x = a a + = a 0 = a a 0 = (a + )(a 8) a = = x keine Lösung a = 8 = x x = Potenzen Vereinfache bzw. berechne die Terme: (a) 0.5 = ( 8 ) / = ( ) / = = / (b) = ( ) / = = /8 (c) a : ( a : a ) = a 9 : ( ) a 8 : a 9 = a 8 + = a 8

9 Potenzen Ist die Aussage wahr oder falsch? Begründe deine Antwort. (a) 9.5 N 9.5 = ( ) = = 7 N wahr (b) π 00 < 9 50 π 00 < ( ) 50 falsch, da π.5 > (c) ( + ) 0.5 = ( ) 0.5 ( 6 ) 0.5 ( = 0.5 ) ( 8 ) 0.5 = ( ) 0.5 = ( ) wahr Logarithmen log (x ) log (x ) = log (x 6) Eine Logarithmusgleichung log (x ) log (x ) = log (x 6) log x x = log (x 6) x x = x 6 x = (x 6)(x ) x = x 0x + 0 = x x = (x 7)(x 5) x = 7 x = 5 Probe: OK Probe: keine Lösung 9

10 Logarithmen x + x+ = 6 eine Exponentialgleichung (Variable im Exponenten) x + x+ = 6 x + x = 6 Potenzgesetze x ( + 8) = 6 Faktorisieren 9 x = 6 x = gleiche Basen erzwingen x = Exponenten vergleichen x = x = / Logarithmen x lg x = 0 x lg x = 0 Gleichung logarithmieren lg x lg x = lg 0 Logarithmengesetze lg x lg x = (lg x) = lg x = x = 0 = 00 (Probe: OK) lg x = x = 0 = 0.0 (Probe: OK) Logarithmen ( log 5 ) log5 9 log 5 ( log 5 ) log5 9 log 5 ( ) lg 5 = lg lg 9 lg 5 lg lg 5 = lg 5 lg 5 lg lg lg 9 lg 5 lg 5 lg 5 lg = lg lg lg 5 = = 6 lg lg 5 lg lg 5 0

11 Logarithmen 5 = ( + 0.0) n =.0 n lg = lg.0 n lg = n lg.0 n = lg lg.0 = lg(0.00 : 0.00) = lg(0.0) lg(0.) Also dauert es etwa 70 Jahre. = = = lg(0 7.00) = lg(70) Logarithmen 6 N(t) = N(0) 0 kt eine Zerfallsgleichung 0.5 = 0 k.5 lg 0.5 =.5 k lg 0 lg =.5 k k = lg(0.00 :.5) = lg(0.0) lg(0.5) = = = lg(0.8) = lg(0.08 }{{}) k Folgen und Reihen, 7,, 5,... Der Beginn einer Folge Um eine arithmetische Folge. Weil die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant ist. (oder: Für n ist jedes Folgeglied das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder.) a n = + (n ) = n Summenformel der AF: s n = n (a + a n ) = 00 ( + [ 00 ]) = = 80 00

12 Folgen und Reihen, 6,,,... Der Beginn einer Folge Um eine geometrische Folge. Weil der Quotient aufeinanderfolgender Glieder konstant ist. (oder: Für n ist jedes Folgeglied das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder.) a n = n Summenformel der AF: s 00 = a q00 q = 00 = ( 00 ) 00 lg 00 = 00 lg = = 0. = = lg(0 0.6) s Folgen und Reihen a =, a n+ = a n + Die rekursive Definition einer arithmetischen Folge. a n = + (n ) = n s n = n (a + a n ) s 00 = 00 ( + 00 ) s 00 = 50(00 ) s 00 = s 00 = s 00 = 950

13 Folgen und Reihen Stelle die Ausdrücke in der herkömmlichen Schreibweise dar und berechne ihren Wert. (a) (b) (c) 00 k= k = = 00 ( + 00) = k = k= = = = /9 00 (k 50) = ( 50) ( 50)... (00 50) = 0 k= Folgen und Reihen 5 Von einer arithmetische Folge (a n ) sind a = 0, n = und a n = 00 bekannt. a = a + (n ) d 00 = 0 + ( ) d 80 = 0 d d = s n = n (a + a n ) s = (0 + 00) = 60 = 60 Folgen und Reihen 6 Von einer arithmetische Folge (a n ) sind n =, d = und s n = 0 bekannt. s n = n (a + a n ) s n = n ( a + a + (n )d ) s n = n ( a + (n )d ) 80 = (a + 0 ) 0 = a = a a = 0 a n = a + (n )d a = 0 + ( ) a = a = 50

14 Folgen und Reihen 7 Leite die Summenformel s n für die arithmetische Folge her. s n = a + a a n + a n s n = a n + a n a + a s n = n(a + a n ) Begründung! s n = n (a + a n ) oder: s n = a + [a + d] [a + (n )d] + [a + (n )d] s n = [a + (n )d] + a + (n )d [a + d] + a s n = n [ a + (n )d ] Begründung! s n = na + n [ ] (n )d Folgen und Reihen 8 Von einer geometrischen Folge (a n ) sind a =, n = 6 und a n = 96 bekannt. a n = a q n 96 = q 6 = q 5 q = s n = a qn q s 6 = 6 s 6 = 6 s 6 = 9

15 Folgen und Reihen 9 Von einer geometrischen Folge (a n ) sind a =, q = und s n = 6 bekannt. s n = a qn q 6 = n 6 = ( n ) = n = n n = 5 a n = a q n a 5 = a 5 = 8 Folgen und Reihen 0 y... 8 (0, 0) 6 x Die Streckenlängen bilden eine GF mit a = 6 und q = Summenformel der nichtabbrechenden GF: s = a q = 6 = 6 = Die Streckenlängen in x-richtung bilden eine GF mit a = 6 und q =. Summenformel der nichtabbrechenden GF: s = a q = 6 + = 6 = 6 5

16 Folgen und Reihen 9 Das mittlere Quadrat hat eine Seitenlänge von 9 cm. Über drei der vier Seiten wird jeweils ein Quadrat angesetzt, dessen Seitenlänge mit dem Faktor verkleinert wurde. s = = Die Summe der Inhalte der Quadrate mit gleicher Seitenlänge bilden eine GF mit dem Startwert a = 8 und dem Faktor q =. s = 8 / = 8 / = 8 = =.5 cm Folgen und Reihen Leite die Summenformel s n für die geometrische Folge her. s n = a + a q a q n qs n = a q a q n + a q n s n qs n = a a q n s n ( q) = a ( q n ) s n = qn q = qn q 6