Reguläre Polyeder. Vortrag von Prof. Hans-Gert Gräbe, Uni Leipzig. im Mathespezialistencamp der LSGM 22. Juli 2006, Ilmenau
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- Pia Krause
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1 Reguläre Polyeder Vortrag von Prof. Hans-Gert Gräbe, Uni Leipzig im Mathespezialistencamp der LSGM 22. Juli 2006, Ilmenau export(plot): Die fünf Platonischen Körper plot(canvas(layout=horizontal,width=16*unit::cm, op(map([hexahedron, Tetrahedron, Octahedron, Icosahedron, Dodecahedr u -> Scene3d(u(FillColorFunction = RGB::LightBlue.[0.4]),Axes = None Als Platonische Körper bezeichnet man diejenigen (konvexen) Polyeder, welche "am symmetrischsten" sind. Charakterisierende Eigenschaften: Jeder dieser Körper o sieht an jeder Ecke "gleich aus", 1
2 o sieht an jeder Kante "gleich aus", o s ieht an jeder Seitenfläche "gleich aus". Frage: Gibt es weitere solche Körper? Wie können wir unsere Vermutung beweisen? Dazu müssen wir wissen, was genau mit "sieht gleich aus" gemeint ist. Z wischenfrage: Wie sieht das in der Ebene aus? plot(canvas(layout=horizontal,width=16*unit::cm,scene2d(polygon2d( [[cos(2*pi*k/n), sin(2*pi*k/n)] $ k = 0..n]))$n=3..9, Axes=None,Scaling=Constrained)) Antwort: In der Ebene gibt es unendlich viele reguläre Polygone. Genauer stellen wir fest, dass es für jedes nr3 bis auf Ähnlichkeit genau ein reguläres Polygon gibt. Die Eulersche Polyederformel Wir bestimmen für jeden der Platonischen Körper die Anzahl e der Ecken, k der Kanten, f der Seitenflächen In jedem der Fälle gilt... Weitere Beis piele plot(plot::waterman(4.5),axes=none) 2
3 Satz (Eulers che Polyederformel): Für jedes konvexe Polyeder gilt e-k+f=2 Für ebene Polygone gilt übrigens e=k oder e-k=0. Z wei Beweise der Eulerschen Polyederformel. Beweis, dass es nur fünf Platonische Körper gibt Reguläre Polyeder aus Dreiecken, m Kanten s toßen in einer Ecke zus ammen: u:=subs(e-k+f=2,f=2/3*k, e=2/m*k); solve(u,k,ignorespecialcases); 2 k - k = 2 m 3-6 m m - 6 Für vers chiedene Werte von m erhalten wir folgende Lös ungen [m,6*m/(6-m)]$m=3..5; 3, 6, 4, 12, 5, 30 Allgemein: Reguläre Polyeder aus p-ecken, m Kanten s toßen in einer Ecke zus ammen 3 u:=subs(e-k+f=2,f=2/p*k, e=2/m*k); solve(u,k,ignorespecialcases);
4 solve(u,k,ignorespecialcases); 2 k - k + 2 k = 2 m p p m Es muss zunächst einmal p=4 und p=5. Es ist jeweils nur m=3 möglich positiv sein. p=3 haben wir betrachtet, bleibt m p Die Gruppen der Symmetrien der Platonischen Körper Für Ecken heißt "sieht gleich aus", dass es für jedes Paar Ecken eine Bewegung des Körpers gibt, welche den Körper in sich überführt und die jeweilige Eckenfigur in die andere Eckenfigur. Eigenschaften der Menge der Bewegungen, die einen gegebenen Würfel in sich selbst überführen. plot(hexahedron (FillColorFunction = RGB::Yellow.[0.9]), Axes = None) Beschreibung der Gruppen der Platonischen Körper unter Berücksichtigung der Dualität. 4 Würfel und Oktaeder
![2]), Axes = None) Dodekaeder und Ikos aeder plot(dodecahedron (FillColorFunction = RGB::Yellow),](/docs-images/95/123621093/images/5-1.jpg "Rotate3d(PI/2,[0,0,0],[0,0,1],Scale3d([1.12$3], Icosahedron (FillColorFunction = RGB::Green.[0.1]))), Axes = None) Tetraeder und?")
5 plot(hexahedron (FillColorFunction = RGB::Yellow.[0.9]), Octahedron (FillColorFunction = RGB::Green.[0.2]), Axes = None) Dodekaeder und Ikos aeder plot(dodecahedron (FillColorFunction = RGB::Yellow), Rotate3d(PI/2,[0,0,0],[0,0,1],Scale3d([1.12$3], Icosahedron (FillColorFunction = RGB::Green.[0.1]))), Axes = None) Tetraeder und? plot(tetrahedron(fillcolorfunction = RGB::Yellow.[0.9]), 5 plot::scale3d([-1/3$3], Tetrahedron (FillColorFunction = RGB::Green.[0.2])),
6 Axes = None) Nacheinanderausführung von Würfeldrehungen, was ergibt sich? Beweisidee: Eckenbewegungen verfolgen und daraus die ursprüngliche Drehung rekonstruieren. Führt zur Idee der "operationstreuen Abbildung" in die Menge der Permutationen der Ecken. Begriff der Gruppe und der Is omorphie von Gruppen. 6
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