K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 11. Übung WS 15/16: Woche vom

Transkript

1 Übungsaufgaben 11. Übung WS 15/16: Woche vom Integralsatz von Gauß 23.1, 23.3, 23.5 (a,g), 23.6 (a) Integralsatz von Stokes 23.7, 23.8 (a), Zusatzaufgabe zu Gauß + Stokes in 2D

2 Der Integralsatz von Gauß Es sei V R 3 ein Körper, V seine Oberfläche (stückw. glatt), v : R 3 R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt (dabei bezeichnet n die äussere Normalenrichtung) divv dv = v do = v n do, v n = v n. V V Folgerung: Für alle divergenzfreien Vektorfelder (divv = 0) gilt v do = 0, für alle regulären Körper V. V Bsp. 1: Fluß durch die Oberfläche der E.-Kugel K. v = (x 2 yz, xy 2 z, 2xyz 2 ) T, divv = 0 v do = 0 V K

3 Quaderseitenflächenparametrisierung Quader := { x R 3 a x b} (achsenparallel) S 1 = {(a 1, y, z) T a 2 y b 2, a 3 z b 3 } NV: e 1 S 2 = {(b 1, y, z) T a 2 y b 2, a 3 z b 3 } NV: e 1 S 3 = {(x, a 2, z) T a 1 x b 1, a 3 z b 3 } NV: e 2 S 4 = {(x, b 2, z) T a 1 x b 1, a 3 z b 3 } NV: e 2 S 5 = {(x, y, a 3 ) T a 1 x b 1, a 2 y b 2 } NV: e 3 S 6 = {(x, y, b 3 ) T a 1 x b 1, a 2 y b 2 } NV: e 3 e 1, e 2, e 3 : Kanonische Einheitsvektoren im R 3.

4 Der Integralsatz von Stokes Es sei S := x(b) : B R 3 eine (gekrümmte) Fläche im Raum (Normale n), L seine (geschlossene) Randkurve (τ = γ/ γ ), und v : R 3 R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt rotv do = v ds. S Orientierung der Randkurve: n, τ und n τ bilden Rechtssystem Folgerung: Besitzen 2 Flächen S 1 := x 1 (B 1 ) : B 1 R 3 und S 2 := x 2 (B 2 ) : B 2 R 3 im Raum die gleiche Randkurve L = S 1 = S 2, so gilt v ds = L rotv do = S 1 rotv do S 2 L

5 Der Integralsatz von Green Sei D R 2 ein Gebiet und B D ein Bereich, dessen Rand aus endlich vielen, positiv orientierten Kurven(stücken) besteht ( B = L, L : [a, b] R 2, L(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t)) T ) und v : R 2 R 2 sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt B [ v 2 (x, y) x v 1(x, y) ] db = v ds. y L Der Integralsatz von Green stellt die ebene Version des Integralsatzes von Stokes dar. Analog: Der Gauß-sche IS der Ebene lautet b ( ) ( divv db = v ds [ γ1 (t) γ1 (t) = v1 y 2 (t) v 2 γ 2 (t) γ 2 (t) B L a ) y 1 (t) ] dt.

6 Definition 1.5: komplexe Zahlen (Buch, Kap. 1.7) 1) Unter einer komplexen Zahl z C versteht man einen Ausdruck der Form z := a + b i mit a, b R. a R heißt Realteil von z : b R heißt Imaginärteil von z : i heißt imaginäre Einheit Re z := a Im z := b 2) Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sowohl Realteil als auch Imaginärteil übereinstimmen. Insbesondere ist a + bi = 0 a = 0 b = 0. 3) Ist z = a + b i, so heißt z := a b i die zu z konjugiert komplexe Zahl.

7 4) Unter dem Betrag z einer komplexen Zahl z = a + b i versteht man die nichtnegative reelle Zahl z = a 2 + b 2. Rechenregeln Seien z := a + bi, w := c + di, α R. Dann definiert man z ± w := (a ± c) + (b ± d)i αz := αa + (αb)i z w := ac bd + (bc + ad)i Festlegung! z w := 1 z w Folgerung! w 2 Weitere Folgerung: i 2 = 1

8 Weitere Eigenschaften komplexer Zahlen Die Operationen + und sind kommutativ und assoziativ 0 := 0 + 0i ist das neutrale Element bzgl. der Addition 1 := 1 + 0i ist das neutrale Element bzgl. der Multiplikation z + ( z) = 0 für alle z C Inversion bzgl. Addition z 1 = 1 für alle z C mit z 0 Inversion bzgl. z Multiplikation Es gelten die Distributivgesetze z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3, (z 1 + z 2 ) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 für alle z 1, z 2, z 3 C

9 C ist damit (wie R und Q) ein (Zahl-)Körper Schreibweise Anstelle von 0 + bi schreibt man kurz bi ( rein imaginär ) Anstelle von a + 0i schreibt man kurz a ( rein reell, R C) Anstelle von a + bi schreibt man auch (a, b) i ist eine Abkürzung für 0 + 1i bzw. für (0, 1).

10 Die GAUSSsche Zahlenebene (Buch, Kap ) Im z 1 z=2+i 0 2 Re z Abbildung 1.23: Komplexe Zahl z = 2 + i in der Zahlenebene

11 Komplexe Funktionentheorie Betrachtet werden komplexwertige Funktionen einer komplexen Veränderlichen, d.h., f : D C C. Genauer: f(z) = f(x + iy) = w = u + iv = u(x, y) + iv(x, y) Bekannt (Gauß sche Zahlenebene): Man kann dem Punkt (x, y) T R 2 eineindeutig die komplexe Zahl z = x + iy zuordnen = komplexe Funktionen können (auch) als Abbildung f : R 2 R 2 aufgefaßt werden (in wesentlichen Eigenschaften). Insbesonder die Begriffe der Konvergenz (GW) und Stetigkeit übertragen sich aus diesem Zusammenhang.

12 Einfache Funktionenklassen 1.) Komplexe Polynome n-ten Grades (Horner-Schema(!)): n p n (z) := a j z j = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n. j=0 2.) Möbiustransformationen (affin-lineare Funktionen): f(z) = az + b cz + d, a, b, c, d C fest vorgegeben. 3.) Konvergente Potenzreihen (z 0, a 0, a 1,... fixiert) f(z) = a j (z z 0 ) j, R > (!)0 j=0 Konvergenzradius R der Potenzreihe (B R (z 0 ) D(f)) R 1 := lim sup n a n.