Klausur zur Vorlesung Operations Research im Sommersemester 2009

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1 Leibniz Universität Hannover Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Institut für Produktionswirtschaft Prof. Dr. Stefan Helber Klausur zur Vorlesung Operations Research im Sommersemester 2009 Hinweise: Die Klausur besteht aus 8 Seiten (inkl. Deckblatt). Bitte überprüfen Sie, ob Ihr Exemplar komplett ist und lassen Sie sich ggf. ein anderes geben. Die Klausurdauer beträgt 60 Minuten und es sind maximal insgesamt 60 Punkte zu erreichen. Der Lösungsweg muß erkennbar sein! Wenn Sie zur Beantwortung einer Frage eine Formel verwenden, so geben Sie diese zunächst in allgemeiner Form an! Als Hilfsmittel ist ein nicht alpha-numerisch programmierbarer Taschenrechner zulässig sowie ein beidseitig handbeschriebenes Hilfsblatt im Format DIN A4 mit Formeln etc. nach Ihrer Wahl. Zur Beantwortung der Fragen finden Sie genügend Platz in der Klausur. Bitte reißen Sie die Klausur nicht auseinander und verwenden Sie kein eigenes Papier. Tragen Sie bitte zuerst Ihre persönlichen Daten ein. Persönliche Daten: Nachname Vorname Matrikelnr. Studienfach Semester Bewertung: Aufg Summe Punkte 1

2 1. Simplexalgorithmus und Dualität(18 P.) (a) Gegeben sei das folgende lineare Maximierungsproblem: u.b.d.r. Maximiere 8x 1 + 4x x 3 x 1 + 2x x 1 + 4x 2 5x 3 30 x 1, x 2, x 3 0 i. Tragen Sie das Problem unter Verwendung geeigneter Schlupfvariablen in das folgende Starttableau ein! (2 P.) BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i F-Zeile ii. Führen Sie nun in den folgenden Tableaus zwei Iterationen der jeweils erforderlichen Variante des Simplexalgorithmus aus und kennzeichnen Sie das jeweilige Pivotelement! (7 P.) BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i F-Zeile BV x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i F-Zeile iii. Geben Sie die Werte der Entscheidungsvariablen nach der zweiten Iteration an und begründen Sie, ob diese Lösung optimal ist. (2 P.) 2

3 (b) Begründen Sie, warum beim primalen Simplex-Algorithmus mit der Ihnen bekannten Pivot-Regel ein Basistausch nicht zu einer unzulässigen Basislösung führen kann, sobald eine erste zulässige Basislösung bestimmt worden ist. (2 P.) (c) Dualisieren Sie das folgende LP! (5 P.) u.b.d.r. Maximiere 3x 1 + 7x 2 x 1 + 3x 2 = 120 2x 1 5x x 2 50 x 1 0 x 2 0 3

4 2. Branch & Bound-Verfahren (12 P.) Ein Schatzsucher findet in einer Höhle vier unteilbare Gegenstände mit einem jeweiligen Wert von 13, 18, 14 und 12 Geldeinheiten. Diese vier Gegenstände wiegen jeweils 10, 12, 8 und 6 kg. In seinem Rucksack kann der Schatzsucher Gegenstände mit einem maximalen Gesamtgewicht von 24 kg mitnehmen, zu der Höhle kann er nie wieder zurückkehren. Er möchte den Gesamtwert der aus der Höhle gebrachten Gegenstände maximieren. Ermitteln Sie die optimale Lösung durch ein Branch & Bound-Verfahren. Zeichnen Sie dazu einen Entscheidungsbaum auf. (Verwenden Sie dazu keinen Bleistift!) Geben Sie für jedes Teilproblem i die berechnete obere bzw. untere Schranke F i bzw. F sowie die Ausprägungen der Entscheidungsvariablen x (P i ) für die relaxierten Probleme an. Verwenden Sie im Branch & Bound-Verfahren unbedingt(!) folgende Vorgehensweise: Ermitteln Sie obere Schranken F i mittels LP-Relaxation, Lösung durch relative Nutzwertsortierung. Setzen Sie zu Beginn F = 0. Nehmen Sie die Teilproblemauswahl nach der MUB-Regel vor (Breitensuche). Konstruieren Sie die Teilprobleme nach der Regel Einpacken vor Verbieten. Verzweigen Sie nach der Maßnahme, die bei der LP-Relaxation gerade nicht mehr komplett durchgeführt wird (also nach dem Gegenstand, der gerade nicht komplett eingepackt werden kann). Bitte nutzen Sie für die Konstruktion des Entscheidungsbaumes den Platz auf der Rückseite des vorherigen Blattes! Geben Sie die optimale Lösung und deren Zielfunktionswert an. 4

5 3. Heuristische Lösungsansätze und Totale Unimodularität (10 P.) (a) Erläutern Sie stichwortartig die Begriffe Eröffnungsverfahren und Verbesserungsverfahren und grenzen Sie beide voneinander ab. Gehen Sie dabei auch auf Metastrategien ein und begründen Sie, inwieweit sich diese von reinen Verbesserungsverfahren unterscheiden. (6 P.) 5

6 (b) Nennen Sie die in der Vorlesung vorgestellte hinreichende Bedingung für Totale Unimodularität und begründen Sie, ob damit auf die Ganzzahligkeit des folgenden LP geschlossen werden kann. (4 P.) Maximiere 2x 1 + 5x 2 + x 3 3x 4 x 1 + x 2 x 3 10 x 1 x 3 x 4 15 x 2 x 4 21 x 1, x 2, x 3, x 4 0 6

7 4. Dijkstra-Algorithmus (12 P.) (a) Betrachten Sie den unten abgebildeten gerichteten Graphen G = (V, E) und führen Sie die ersten drei Iterationen mit dem Dijkstra-Algorithmus durch, um die kürzesten Wege vom Knoten 1 zu allen anderen Knoten zu bestimmen. (9 P.) Start: MK = { 1 } i D[i] 0 R[i] h = ; Iteration 1 ergibt: MK = { } i D[i] R[i] h = ; Iteration 2 ergibt: MK = { } i D[i] R[i] h = ; Iteration 3 ergibt: MK = { } i D[i] R[i] (b) Geben Sie den nach drei Iterationen gefundenen kürzesten Weg von Knoten 1 zu Knoten 6 an. Begründen Sie allgemein, wann die kürzeste Entfernung vom Knoten 1 zu einem Knoten i während des Dijkstra-Algorithmus endgültig feststeht. (3 P.) 7

8 5. Modellierung (8 P.) Ein Unternehmen stellt zwei Produkte A und B mit einem Deckungsbeitrag von 2,50 e bzw. 2 e je Stück her. Bei der Herstellung benötigt eine ME von Produkt A dreimal soviel Zeit wie eine ME von Produkt B. Wenn nur Produkt B produziert werden würde, so könnten maximal 1800 Stück pro Tag von Produkt B angefertigt werden. Aufgrund von Lieferbeschränkungen können jedoch insgesamt nur 750 ME pro Tag (Produkt A und Produkt B zusammen) hergestellt werden. (a) Formulieren Sie ein Optimierungmodell mit den Entscheidungsvariablen x A und x B für die periodenbezogenen Produktionsmengen der Produkte A und B, in welchem unter den genannten Nebenbedingungen der Deckungsbeitrag der Periode maximiert wird! (4 P.) Sie sollen das Modell nur aufschreiben, es jedoch nicht lösen! (b) Erweitern Sie obiges Modell um folgenden Aspekt: Für die Fertigung fallen einmalig fixe (mengenunabhängige) Rüstkosten in Höhe von 200 e an. Geben Sie die veränderte Zielfunktion und die veränderten bzw. zusätzlichen Nebenbedingungen an. Sollten Sie zusätzliche Variablen und Parameter benötigen, so geben Sie diese bitte an. (4 P.) 8